حقل محلي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 61 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الحقل المحلي هو حقل طوبولوجي هاوسدورف غير منفصل ومضغوط محليًا . [ 1 ] تجد الحقول المحلية تطبيقات عديدة في نظرية الأعداد الجبرية ، حيث تنشأ بشكل طبيعي كإكمال للحقول الشاملة . [ 2 ] علاوة على ذلك، تتوفر أدوات مثل التكامل وتحليل فورييه للدوال المعرفة على الحقول المحلية.

بفرض وجود حقل محلي، يمكن تعريف قيمة مطلقة عليه تُنتج مقياسًا كاملًا يُولّد بنيته الطوبولوجية. يوجد نوعان أساسيان من الحقول المحلية: الحقول المحلية الأرخميدية، حيث تكون القيمة المطلقة أرخميدية ، والحقول المحلية غير الأرخميدية، حيث لا تكون القيمة المطلقة أرخميدية. يمكن أيضًا تعريف الحقول المحلية غير الأرخميدية بأنها الحقول الكاملة بالنسبة لمقياس مُستحث بواسطة تقييم منفصل يكون حقل البقايا الخاص به محدودًا. [ 3 ]

كل حقل محلي متماثل (كحقل طوبولوجي) مع واحد مما يلي: [ 4 ]

الوحدة، القيمة المطلقة، المقياس

بالنظر إلى حقل محليF{\displaystyle F}، "وظيفة وحدة نمطية" علىF{\displaystyle F}يمكن تعريفها على النحو التالي. أولًا، لننظر إلى المجموعة الجمعية للحقل. باعتبارها مجموعة طوبولوجية متراصة محليًا، فإنها تمتلك مقياس هار فريدًا (حتى مضاعف قياسي موجب).μ{\displaystyle \mu }وحدة العنصرأ{\displaystyle a}لF{\displaystyle F} يُعرَّف بحيث يقيس التغير في حجم مجموعة ما بعد ضربها فيأ{\displaystyle a}. على وجه التحديد، حددمودك:F→R{\displaystyle \operatorname {mod} _{K}:F\to \mathbb {R} }بواسطة [ 5 ]

مودك⁡(أ)=μ(أX)μ(X){\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a)={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}}

لأي مجموعة فرعية قابلة للقياسX{\displaystyle X}لF{\displaystyle F}(مع0<μ(X)<∞{\displaystyle 0<\mu (X)<\infty }لا تعتمد هذه الوحدة علىX{\displaystyle X}ولا على اختيار مقياس هارμ{\displaystyle \mu }(لأن نفس الغموض في المضاعف القياسي سيحدث في كل من البسط والمقام). الدالةمودك{\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}متصلة وتفي بالغرض

مودك⁡(أب)=مودك⁡(أ)مودك⁡(ب)،{\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(ab)=\operatorname {mod} _{K}(a)\operatorname {mod} _{K}(b),}
مودك⁡(أ+ب)≤أرشفة(مودك⁡(أ)،مودك⁡(ب)){\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a+b)\leq A\sup \left(\operatorname {mod} _{K}(a),\operatorname {mod} _{K}(b)\right)}

لبعض الثوابتأ{\displaystyle A}هذا يعتمد فقط علىF{\displaystyle F}.

استخداممودك{\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}ويمكن للمرء حينها تعريف القيمة المطلقة|⋅|{\displaystyle |\cdot |}علىF{\displaystyle F}وهذا يؤدي إلى مقياسد{\displaystyle d}علىF{\displaystyle F}(عن طريق الضبط)د(x،y)=|x-y|{\displaystyle d(x,y)=|xy|})، بحيثF{\displaystyle F}يُعتبر كاملاً فيما يتعلق بهذا المقياس، ويُنتج المقياس الطوبولوجيا المعطاة علىF{\displaystyle F}.

السمات الأساسية للحقول المحلية غير الأرخميدية

بالنسبة لحقل محلي غير أرخميدسيF{\displaystyle F}بالقيمة المطلقة|⋅|{\displaystyle |\cdot |}العناصر التالية مهمة:

  • الوحدات في حلقة الأعداد الصحيحةيا×={أ∈F:|أ|=1}{\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}والتي تشكل مجموعة وهي كرة الوحدة لـF{\displaystyle F}؛
  • المثالي الأولي الفريد غير الصفريم={أ∈F:|أ|<1}{\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in F:|a|<1\}}في حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة بها، وهي كرة الوحدة المفتوحة لـF{\displaystyle F}؛
  • مولد كهربائيϖ{\displaystyle \varpi }لم{\displaystyle {\mathfrak {m}}}يُطلق عليه اسم مُوحِّدF{\displaystyle F}؛ و
  • مجال مخلفاتهك=يا/م{\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}وهو محدود (لأنه مضغوط ومنفصل ) .

كل عنصر غير صفريأ{\displaystyle a}لF{\displaystyle F}يمكن كتابتها على النحو التاليأ=ϖنu{\displaystyle a=\varpi ^{n}u}معu{\displaystyle u}وحدة فييا×{\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}، ون{\displaystyle n}عدد صحيح فريد. التقييم المعياري لـF{\displaystyle F}هي الدالة الشاملةv:F→Z∪{∞}{\displaystyle v:F\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}يتم تعريفها عن طريق إرسال قيمة غير صفريةأ{\displaystyle a}إلى العدد الصحيح الفريدن{\displaystyle n}بحيثأ=ϖنu{\displaystyle a=\varpi ^{n}u}معu{\displaystyle u}وحدة، وذلك بإرسال 0 إلى∞{\displaystyle \infty }. لوq{\displaystyle q}يمثل عدد عناصر حقل البقايا، والقيمة المطلقة علىF{\displaystyle F}يتم تحديد ما ينتج عن بنيته كحقل محلي بواسطة: [ 6 ]

|أ|=q-v(أ).{\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}

التعريف المكافئ والمهم للغاية للحقل المحلي غير الأرخميدي هو أنه حقل كامل بالنسبة لتقييم منفصل وحقل البقايا الخاص به محدود.

أمثلة

  • الأعداد p -adic : حلقة الأعداد الصحيحةسؤالص{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}هو خاتمص{\displaystyle p}الأعداد الصحيحة -adicZص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}. مثالها الأعلى هوصZص{\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}ومجال البقايا الخاص به هوZ/صZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }كل عنصر غير صفري منسؤالص{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}يمكن كتابتها على النحو التاليuصن{\displaystyle up^{n}}أينu{\displaystyle u}هي وحدة فيZص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}ون{\displaystyle n}هو عدد صحيح، معv(uصن)=ن{\displaystyle v(up^{n})=n}للتقييم المعياري.
  • متسلسلة لوران الرسمية على حقل منتهٍ : حلقة الأعداد الصحيحة لـFq((ت)){\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}هي حلقة سلسلة القوى الرسميةFq[[ت]]{\displaystyle \mathbb {F} _{q}[[t]]}مثالها الأمثل هو(ت){\displaystyle (t)}(أي مجموعة متسلسلات القوى التي تكون حدودها الثابتة صفرًا) وحقل البواقي الخاص بها هوFq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}ترتبط قيمتها المعيارية بدرجة (الأدنى) لسلسلة لوران الرسمية على النحو التالي:
v(∑أنا=-م∞أأناتيأنا)=-م{\displaystyle v{\biggl (}\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}{\biggr )}=-m}
أينأ-م{\displaystyle a_{-m}}ليس صفراً.
  • المجالج((ت)){\displaystyle \mathbb {C} ((t))}إن متسلسلات لوران الرسمية على الأعداد المركبة ليست حقلاً محلياً: حقل البقايا الخاص بها هوج((ت))/(ت)=ج{\displaystyle \mathbb {C} ((t))/(t)=\mathbb {C} }، وهو ليس محدوداً.

مجموعات الوحدات العليا

المجموعة الوحدوية العليا رقم n لحقل محلي غير أرخميدسيF{\displaystyle F}يكون

يو(ن)=1+من={u∈يا×:u≡1(مoدمن)}{\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}}

لن≥1{\displaystyle n\geq 1}المجموعةيو(1){\displaystyle U^{(1)}}تُسمى مجموعة الوحدات الرئيسية . مجموعة الوحدات الكاملةيا×{\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}يُشار إليه بـيو(1){\displaystyle U^{(1)}}.

تشكل المجموعات الوحدوية الأعلى ترشيحًا متناقصًا للمجموعة الوحدوية

يا×⊇يو(1)⊇يو(2)⊇⋯{\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots }

والتي تُعطى نواتج قسمتها بواسطة

يا×/يو(ن)≅(يا/من)× و يو(ن)/يو(ن+1)≈يا/م{\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}

لن≥1{\displaystyle n\geq 1}[ 7 ] (هنا "≈{\displaystyle \approx }"يعني تماثلًا غير قياسي."

بنية المجموعة الوحدوية

المجموعة الضربية للعناصر غير الصفرية لحقل محلي غير أرخميدسيF{\displaystyle F}متماثل مع

F×≅(ϖ)×μq-1×يو(1){\displaystyle F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}}

أينq{\displaystyle q}هي رتبة حقل البقايا، وμq-1{\displaystyle \mu _{q-1}}هي مجموعة (q-1{\displaystyle q-1})- جذور الوحدة فيF{\displaystyle F}يعتمد هيكلها كمجموعة أبيلية على خصائصها :

  • لوF{\displaystyle F}له خصائصص{\displaystyle p}، ثم
F×≅Z⊕Z/(q-1)⊕Zصشمال{\displaystyle F^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }}
أينشمال{\displaystyle \mathbb {N} }يرمز إلى الأعداد الطبيعية ؛
  • لوF{\displaystyle F}لها خاصية صفرية، أي أنها امتداد محدود لـسؤالص{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}درجة علميةد{\displaystyle d}، ثم
F×≅Z⊕Z/(q-1)⊕Z/صأ⊕Zصد{\displaystyle F^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\oplus \mathbb {Z} /p^{a}\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}}
أينأ≥0{\displaystyle a\geq 0}يتم تعريفها بحيث تكون مجموعةص{\displaystyle p}-جذور القوة للوحدة فيF{\displaystyle F}يكونμصأ{\displaystyle \mu _{p^{a}}}[ 8 ]​

نظرية الحقول المحلية

تشمل هذه النظرية دراسة أنواع الحقول المحلية، وامتدادات الحقول المحلية باستخدام مبرهنة هينسل ، وامتدادات غالوا للحقول المحلية، ومجموعات التفرع ، وترشيح مجموعات غالوا للحقول المحلية، وسلوك خريطة المعيار على الحقول المحلية، ونظرية التشاكل التبادلي المحلي ونظرية الوجود في نظرية حقول الفئات المحلية ، ومراسلة لانجلاندز المحلية ، ونظرية هودج-تيت (وتسمى أيضًا نظرية هودج p -adic )، والصيغ الصريحة لرمز هيلبرت في نظرية حقول الفئات المحلية. [ 9 ]

تعريفات المتغيرات

إن تعريف "الحقل المحلي" المعتمد في هذه المقالة، باعتباره حقلاً طوبولوجياً هاوسدورفياً غير منفصل ومتراص محلياً، هو تعريف شائع اليوم. مع ذلك، يخصص بعض المؤلفين مصطلح "الحقل المحلي" لما أطلقنا عليه "الحقل المحلي غير الأرخميدي".

غالباً ما تتناول الأبحاث في نظرية الأعداد الحديثة مفهوماً أكثر عمومية للحقل المحلي غير الأرخميدي، حيث تشترط فقط أن يكون كاملاً بالنسبة لتقييم منفصل وأن يكون حقل البقايا مثالياً ذو خاصية موجبة، وليس بالضرورة منتهياً. [ 10 ]

في كتابه "الحقول المحلية "، يُعرّف سير "الحقول المحلية" بأنها حقول كاملة بالنسبة لتقييم منفصل، دون أي قيود على حقل الباقي، مما يؤدي إلى مفهوم أكثر عمومية. [ 11 ]

الحقول المحلية ذات الأبعاد الأعلى

يُطلق على الحقل المحلي أحيانًا اسم الحقل المحلي أحادي البعد .

يمكن اعتبار الحقل المحلي غير الأرخميدي بمثابة حقل كسور إكمال الحلقة المحلية لمخطط حسابي أحادي البعد من الرتبة 1 عند نقطته غير المنفردة.

بالنسبة لعدد صحيح غير سالبن{\displaystyle n}، أنن{\displaystyle n}الحقل المحلي ذو الأبعاد n هو حقل تقييم منفصل كامل يكون حقل البقايا الخاص به هو(ن-1){\displaystyle (n-1)}الحقل المحلي ذو البعد n. [ 10 ] اعتمادًا على تعريف الحقل المحلي، فإن الحقل المحلي ذو البعد الصفري يكون إما حقلًا منتهيًا (بالتعريف المستخدم في هذه المقالة)، أو حقلًا مثاليًا ذا خاصية موجبة.

من وجهة النظر الهندسية،ن{\displaystyle n}ترتبط الحقول المحلية ذات الأبعاد n مع حقل البقايا المحدود الأخير بشكل طبيعي بعلامة كاملة للمخططات الفرعية لـن{\displaystyle n}مخطط حسابي ذو أبعاد .

انظر أيضاً

الاقتباسات

  1. ↑ ويل 1995 ، ص 20.
  2. ↑ نوكيرش 1999 ، ص 134، القسم 5.
  3. ^ كاسيلز وفروليتش ​​1967 ، ص. 129، الفصل. السادس، المقدمة.. خطأ sfn: لا يوجد هدف: CITEREFCasselsFröhlich1967 ( مساعدة )
  4. ↑ ميلن 2020 ، ص 127، ملاحظة 7.49.
  5. ↑ ويل 1995 ، ص 4.
  6. ↑ ويل 1995 ، الفصل الأول، النظرية 6.
  7. ↑ نوكيرش 1999 ، ص 122.
  8. ↑ نوكيرش 1999 ، النظرية II.5.7.
  9. ^ فيسينكو وفوستوكوف 2002 ، الفصول 1-4، 7.
  10. 1 2 فيسينكو وفوستوكوف 2002 , ديف. 1.4.6.
  11. ↑ سير 1979 .

مراجع

  • نيوكيرش، يورغن (1999)، نظرية الأعداد الجبرية ، سلسلة دراسات شاملة في الرياضيات، المجلد  322، سبرينغر برلين، هايدلبرغ، ISBN 978-3-540-65399-8