مساحة منفصلة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 54 صور
الموسوعة الحرة

في علم الطوبولوجيا ، يُعد الفضاء المتقطع مثالًا بسيطًا على الفضاء الطوبولوجي أو بنية مشابهة، حيث تُشكّل النقاط فيه متتالية غير متصلة ، أي أنها معزولة عن بعضها البعض بمعنى ما. تُعتبر الطوبولوجيا المتقطعة أدق أنواع الطوبولوجيا التي يمكن تمثيلها على مجموعة. كل مجموعة جزئية مفتوحة في الطوبولوجيا المتقطعة، وبالتالي، فإن كل مجموعة جزئية تحتوي على عنصر واحد فقط هي مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا المتقطعة.

التعريفات

بالنظر إلى مجموعةX{\displaystyle X}:

  • الالطوبولوجيا المنفصلة علىX{\displaystyle X}يتم تعريفها عن طريق جعل كل مجموعة جزئية منX{\displaystyle X}أن يكون مفتوحًا [ 1 ] (وبالتالي مغلقًا أيضًا )، وX{\displaystyle X}هوالفضاء الطوبولوجي المنفصل إذا كان مزودًا بطوبولوجيا منفصلة؛
  • الالتوحيد المنفصل علىX{\displaystyle X}يتم تعريفها بجعل كل مجموعة جزئية من القطر{(x،x):x∈X}{\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}فيX×X{\displaystyle X\times X}كن حاشية ، وX{\displaystyle X}هوالفضاء المنتظم المنفصل إذا كان مزودًا بتجانسه المنفصل.
  • المقياس منفصلρ{\displaystyle \rho }علىX{\displaystyle X}يتم تعريفها بواسطةρ(x،y)={0لو x=y،1لو x≠y{\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان}}\ x=y,\\1&{\text{إذا كان}}\ x\neq y\end{cases}}}لأيx،y∈X.{\displaystyle x,y\in X.}في هذه الحالة(X،ρ){\displaystyle (X,\rho )}يُطلق عليه اسمفضاء متري منفصل أوفضاء من النقاط المعزولة .
  • أفضاء فرعي منفصل من فضاء طوبولوجي معين(Y،τ){\displaystyle (Y,\tau )}يشير إلى فضاء طوبولوجي فرعي من(Y،τ){\displaystyle (Y,\tau )}(مجموعة فرعية منY{\displaystyle Y}بالإضافة إلى طوبولوجيا الفضاء الفرعي التي(Y،τ){\displaystyle (Y,\tau )}(يُستحث عليه) الذي تكون طوبولوجيته مساوية للطوبولوجيا المنفصلة. على سبيل المثال، إذاY:=R{\displaystyle Y:=\mathbb {R} }إذن، لها بنيتها الطوبولوجية الإقليدية المعتادة.S={12،13،14،...}{\displaystyle S={\bigl \{}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots {\bigr \}}}(مزودة بطوبولوجيا الفضاء الجزئي) هي فضاء جزئي منفصل منR{\displaystyle \mathbb {R} }لكنS∪{0}{\displaystyle S\cup \{0\}}ليس كذلك.
  • مجموعة​S{\displaystyle S}منفصلة في فضاء متري(X،د)،{\displaystyle (X,d),}لS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}إذا لكلx∈S،{\displaystyle x\in S,}يوجد بعضدلتا>0{\displaystyle \delta >0}(اعتمادا عليx{\displaystyle x}) بحيثد(x،y)>دلتا{\displaystyle d(x,y)>\delta }للجميعy∈S∖{x}{\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}تتكون هذه المجموعة من نقاط معزولة . مجموعةS{\displaystyle S}منفصلة بشكل منتظم في الفضاء المتري(X،د)،{\displaystyle (X,d),}لS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}إذا كان هناكε>0{\displaystyle \varepsilon >0}بحيث يكون لأي اثنين مختلفينx،y∈S،د(x،y)>ε.{\displaystyle x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .}

فضاء متري(هـ،د){\displaystyle (E,d)}يُقال إنها منفصلة بشكل منتظم إذا وُجدنصف قطر التعبئةر>0{\displaystyle r>0}بحيث يكون لأيx،y∈هـ،{\displaystyle x,y\in E,}إما أن يكون لدى المرءx=y{\displaystyle x=y}أود(x،y)>ر.{\displaystyle d(x,y)>r.}[ 2 ] يمكن أن تكون الطوبولوجيا الكامنة وراء الفضاء المتري منفصلة، ​​دون أن يكون المقياس منفصلاً بشكل منتظم: على سبيل المثال، المقياس المعتاد على المجموعة{2-ن:ن∈شمال0}.{\displaystyle \left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.}

إثبات أن الفضاء المنفصل ليس بالضرورة منفصلاً بشكل منتظم

يتركX={2-ن:ن∈شمال0}={1،12،14،18،...}،{\textstyle X={\bigl \{}2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}{\bigr \}}={\bigl \{}1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots {\bigr \}},}لنفترض هذه المجموعة باستخدام المقياس المعتاد على الأعداد الحقيقية. ثم،X{\displaystyle X}هو فضاء منفصل، لأنه لكل نقطةxن=2-ن∈X،{\displaystyle x_{n}=2^{-n}\in X,}يمكننا إحاطتها بفترة مفتوحة(xن-ε،xن+ε)،{\displaystyle (x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),}أينε=12(xن-xن+1)=2-(ن+2).{\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.}التقاطع(xن-ε،xن+ε)∩X{\displaystyle \left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X}وبالتالي، فإن العنصر الوحيد هو عنصر بديهي{xن}.{\displaystyle \{x_{n}\}.}بما أن تقاطع مجموعة مفتوحة من الأعداد الحقيقية وX{\displaystyle X}إذا كان المجال مفتوحًا للطوبولوجيا المستحثة، فإن ذلك يترتب عليه أن{xن}{\displaystyle \{x_{n}\}}مفتوح، لذا فإن الكائنات الفردية مفتوحة وX{\displaystyle X}هو مساحة منفصلة.

لكن،X{\displaystyle X}لا يمكن أن تكون منفصلة بشكل منتظم. لمعرفة السبب، لنفترض وجودر>0{\displaystyle r>0}بحيثد(x،y)>ر{\displaystyle d(x,y)>r}حينماx≠y.{\displaystyle x\neq y.}يكفي إثبات وجود نقطتين على الأقلx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}فيX{\displaystyle X}التي هي أقرب إلى بعضها البعض منر.{\displaystyle r.}بما أن المسافة بين النقاط المتجاورةxن{\displaystyle x_{n}}وxن+1{\displaystyle x_{n+1}}يكون2-(ن+1)،{\displaystyle 2^{-(n+1)},}نحتاج إلى إيجادن{\displaystyle n}الذي يحقق هذه المتباينة: 2-(ن+1)<ر1<2ن+1رر-1<2ن+1سجل2⁡(ر-1)<ن+1-سجل2⁡(ر)<ن+1-1-سجل2⁡(ر)<ن{\displaystyle {\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}}

بما أن هناك دائمًان{\displaystyle n}إذا كان أكبر من أي عدد حقيقي معين، فإنه يترتب على ذلك أنه سيكون هناك دائمًا نقطتان على الأقل فيX{\displaystyle X}التي تتقارب من بعضها البعض أكثر من أي قيمة موجبةر،{\displaystyle r,}لذلكX{\displaystyle X}ليست منفصلة بشكل منتظم.

ملكيات

إن الانتظام الأساسي في فضاء متري منفصل هو الانتظام المنفصل، والطوبولوجيا الأساسية في فضاء منتظم منفصل هي الطوبولوجيا المنفصلة. وبالتالي، فإن المفاهيم المختلفة للفضاء المنفصل متوافقة مع بعضها البعض. من ناحية أخرى، يمكن أن تكون الطوبولوجيا الأساسية لفضاء منتظم أو متري غير منفصل منفصلة؛ ومن الأمثلة على ذلك الفضاء المتريX={ن-1:ن∈شمال}{\displaystyle X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}}(مع مقياس موروث من خط الأعداد الحقيقية ومعطى بواسطةد(x،y)=|x-y|{\displaystyle d(x,y)=\left|x-y\right|}هذا ليس المقياس المنفصل؛ كما أن هذا الفضاء غير كامل ، وبالتالي ليس منفصلاً كفضاء منتظم. ومع ذلك، فهو منفصل كفضاء طوبولوجي. نقول إنX{\displaystyle X}منفصلة طوبولوجيًا ولكنها ليست منفصلة بشكل منتظم أو منفصلة متريًا .

بالإضافة إلى ذلك:

أي دالة من فضاء طوبولوجي منفصل إلى فضاء طوبولوجي آخر تكون متصلة ، وأي دالة من فضاء منتظم منفصل إلى فضاء منتظم آخر تكون متصلة بانتظام . أي أن الفضاء المنفصلX{\displaystyle X}مجاني في موقع التصويرX{\displaystyle X}في فئة الفضاءات الطوبولوجية والخرائط المتصلة، أو في فئة الفضاءات المنتظمة والخرائط المتصلة بانتظام. هذه الحقائق أمثلة على ظاهرة أوسع بكثير، حيث تكون البنى المنفصلة عادةً حرة على المجموعات.

في الفضاءات المترية، يصبح الأمر أكثر تعقيدًا، نظرًا لوجود عدة فئات منها، وذلك تبعًا لاختيار التشكلات . صحيح أن الفضاء المتري المتقطع يكون حرًا عندما تكون جميع التشكلات عبارة عن دوال متصلة بانتظام أو دوال متصلة فقط، إلا أن هذا لا يُقدم أي معلومات جوهرية عن البنية المترية ، بل يُشير فقط إلى البنية المنتظمة أو الطوبولوجية. يمكن إيجاد فئات أكثر صلة بالبنية المترية بتقييد التشكلات بالدوال المتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز أو بالدوال القصيرة ؛ مع ذلك، لا تحتوي هذه الفئات على عناصر حرة (على أكثر من عنصر واحد). ومع ذلك، يكون الفضاء المتري المتقطع حرًا في فئة الفضاءات المترية المحدودة والدوال المتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز، كما يكون حرًا في فئة الفضاءات المترية المحدودة بالعدد 1 والدوال القصيرة. أي أن أي دالة من فضاء متري متقطع إلى فضاء متري محدود آخر تكون متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز، وأي دالة من فضاء متري متقطع إلى فضاء متري محدود بالعدد 1 تكون قصيرة.

وبالاتجاه الآخر، دالةو{\displaystyle f}من فضاء طوبولوجيY{\displaystyle Y}إلى مساحة منفصلةX{\displaystyle X}تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت ثابتة محليًا بمعنى أن كل نقطة فيY{\displaystyle Y}يوجد حي فيهو{\displaystyle f}ثابت.

كل مرشح فائقيو{\displaystyle {\mathcal {U}}}على مجموعة غير فارغةX{\displaystyle X}يمكن ربطها بطوبولوجياτ=يو∪{∅}{\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}}علىX{\displaystyle X}مع الخاصية التي تكون فيها كل مجموعة جزئية فعلية غير فارغةS{\displaystyle S}لX{\displaystyle X}إما أن تكون مجموعة جزئية مفتوحة أو مجموعة جزئية مغلقة ، ولكن لا يمكن أن تكون كليهما. بعبارة أخرى، كل مجموعة جزئية إما مفتوحة أو مغلقة، ولكن (على عكس الطوبولوجيا المنفصلة) فإن المجموعات الجزئية الوحيدة التي تكون مفتوحة ومغلقة في نفس الوقت (أي clopen ) هي∅{\displaystyle \varnothing }وX{\displaystyle X}بالمقارنة، كل مجموعة فرعية منX{\displaystyle X}مفتوح ومغلق في الطوبولوجيا المنفصلة.

أمثلة واستخدامات

غالبًا ما يُستخدم البناء المنفصل كـ"بناء افتراضي" لمجموعة لا تحمل أي طوبولوجيا طبيعية أخرى، أو انتظام، أو مقياس؛ ويمكن استخدام البناءات المنفصلة كأمثلة "متطرفة" لاختبار افتراضات معينة. على سبيل المثال، يمكن اعتبار أي زمرة زمرة طوبولوجية بإعطائها الطوبولوجيا المنفصلة، ​​مما يعني أن النظريات المتعلقة بالزمر الطوبولوجية تنطبق على جميع الزمر. في الواقع، قد يشير المحللون إلى الزمر العادية غير الطوبولوجية التي يدرسها علماء الجبر باسم " الزمر المنفصلة ". في بعض الحالات، يمكن تطبيق ذلك بشكل مفيد، على سبيل المثال بالاشتراك مع ازدواجية بونترياجين . إن المشعب الصفري الأبعاد (أو المشعب التفاضلي أو التحليلي) ليس سوى فضاء طوبولوجي منفصل وقابل للعد (الفضاء المنفصل غير القابل للعد ليس قابلاً للعد من الدرجة الثانية). لذلك، يمكننا اعتبار أي زمرة منفصلة قابلة للعد زمرة لي صفرية الأبعاد .

إن حاصل ضرب عدد لا نهائي من النسخ المعدودة من الفضاء المنفصل للأعداد الطبيعية متماثل طوبولوجيًا مع فضاء الأعداد غير النسبية ، حيث يُعطى التماثل بواسطة توسيع الكسر المستمر .{0،1}{\displaystyle \{0,1\}}متماثلة شكليًا مع مجموعة كانتور ؛ بل ومتماثلة شكليًا بشكل منتظم مع مجموعة كانتور إذا استخدمنا خاصية انتظام الضرب على الضرب. يُعطى هذا التماثل الشكلي باستخدام الترميز الثلاثي للأعداد. (انظر فضاء كانتور ). كل ليف لدالة حقنية محلية هو بالضرورة فضاء جزئي منفصل من مجالها .

في أسس الرياضيات ، دراسة خصائص التراص لحاصل ضرب{0،1}{\displaystyle \{0,1\}}يُعد هذا الأمر محورياً في النهج الطوبولوجي لنظرية المرشح الفائق (أو ما يعادلها، نظرية المثالي الأولي البولياني )، وهي شكل ضعيف من بديهية الاختيار .

مساحات غير منفصلة

من بعض النواحي، يُعدّ عكس الطوبولوجيا المنفصلة هو الطوبولوجيا التافهة (وتُسمى أيضًا الطوبولوجيا غير المنفصلة )، والتي تحتوي على أقل عدد ممكن من المجموعات المفتوحة ( المجموعة الفارغة والفضاء نفسه فقط). بينما تكون الطوبولوجيا المنفصلة أولية أو حرة، تكون الطوبولوجيا غير المنفصلة نهائية أو حرة جزئيًا : أي أن كل دالة من فضاء طوبولوجي إلى فضاء غير منفصل تكون متصلة، وهكذا.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جوشي، ك. د. (1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . نيو إيج إنترناشونال. ص  86. ISBN 978-0-85226-444-7.
  2. ↑ بليزانتس، بيتر أ.ب. (2000). "البلورات شبه الدورية المصممة: مجموعات القطع والإسقاط ذات الخصائص المحددة مسبقًا". في: باك، مايكل (محرر). اتجاهات في البلورات شبه الدورية الرياضية . سلسلة دراسات مركز البحوث الرياضية. المجلد 13. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 95-141 . ISBN   0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018 . 
  3. ↑ ويلانسكي 2008 ، ص 35.