الكسر المتصل البسيط

الكسر المستمر البسيط أو المنتظم هو كسر مستمر تكون فيه جميع البسط مساوية للواحد، والمقامات مبنية من متتالية $\{a_{i}\}$ من الأعداد الصحيحة . يمكن أن تكون المتتالية منتهية أو غير منتهية، مما ينتج عنه كسر مستمر منتهٍ (أو منتهٍ ) مثل $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$ أو كسر مستمر لانهائي مثل $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}.$

عادةً، يُحصل على هذا النوع من الكسور المستمرة من خلال عملية تكرارية تبدأ بتمثيل عدد ما كمجموع جزئه الصحيح وجزئه الكسري . يُسجل الجزء الصحيح، ثم يُمثل مقلوب الجزء الكسري بشكل تكراري بكسر مستمر آخر. في الحالة المحدودة ، تتوقف العملية التكرارية بعد عدد محدود من الخطوات باستخدام عدد صحيح بدلاً من كسر مستمر آخر. في المقابل، الكسر المستمر غير المحدود هو تعبير غير محدود . في كلتا الحالتين، يجب أن تكون جميع الأعداد الصحيحة في المتتالية، باستثناء العدد الأول، موجبة . $a_{i}$ تُسمى هذه الحدود بمعاملات أو حدود الكسر المستمر. ^{[ 1 ]}

تتمتع الكسور المستمرة البسيطة بعدد من الخصائص الرائعة المتعلقة بخوارزمية إقليدس للأعداد الصحيحة أو الأعداد الحقيقية . كل عدد نسبي $p$ / $q$ للمعادلة تعبيران مترابطان $ارتباطًا$ وثيقًا على شكل كسر مستمر محدود، ويمكن تحديد معاملاتهما $aᵢ$ بتطبيق خوارزمية إقليدس على $(p,q)$ القيمة العددية للكسر المستمر اللانهائي هي عدد غير نسبي ؛ تُعرَّف من خلال متتالية الأعداد الصحيحة اللانهائية الخاصة به على أنها نهاية متتالية من قيم الكسور المستمرة المنتهية. يُستخرج كل كسر مستمر منتهٍ من المتتالية باستخدام بادئة منتهية من متتالية الأعداد الصحيحة التي تُعرِّف الكسر المستمر اللانهائي. علاوة على ذلك، كل عدد غير نسبي $\alpha$ هي قيمة كسر مستمر منتظم لانهائي فريد ، يمكن إيجاد معاملاته باستخدام النسخة غير المنتهية من خوارزمية إقليدس المطبقة على القيم غير القابلة للقياس $\alpha$ و 1. تسمى هذه الطريقة للتعبير عن الأعداد الحقيقية (النسبية وغير النسبية) تمثيلها بالكسور المستمرة .

الدافع والتدوين

لنأخذ على سبيل المثال العدد النسبي 415/93 ، والذي يساوي تقريبًا 4.4624. كتقريب أولي ، نبدأ بالعدد الصحيح 4؛ 415/93 = 4 + 43/93 . الجزء الكسري هو مقلوب 93/43 ، والذي يساوي تقريبًا 2.1628 . نستخدم الجزء الصحيح ، 2 ، كتقريب للمقلوب لنحصل على تقريب ثانٍ وهو 4 + 1/2 = 4.5 . الآن ، 93/43 = 2 + 7/43 . الجزء الكسري المتبقي ، 7/43 ، هو مقلوب 43/7 ، و 43 / 7 يساوي تقريبًا 6.1429 . باستخدام 6 كقيمة تقريبية ، نحصل على 2 + 1/6 كقيمة تقريبية لـ 93/43 ، و 4 + 1/2 + 1/6 ، أي حوالي 4.4615 ، كقيمة تقريبية ثالثة . علاوة على ذلك ، 43/7 = 6 + 1/7 . وأخيرًا ، الجزء الكسري، ١/٧ ، هو مقلوب ٧، لذا فإن تقريبه في هذه الطريقة، ٧، دقيق ( ٧/١ = ٧ + ٠/١ ) وينتج عنه التعبير الدقيق $4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}$ لـ 415 / 93 .

يُطلق على هذا التعبير اسم تمثيل الكسر المستمر لـ 415 / 93. ويمكن تمثيله بالصيغة المختصرة 415 / 93 = [4; 2, 6 , 7]. جرت العادة على وضع فاصلة منقوطة بعد الرقم الأول للدلالة على أنه الجزء الصحيح. تستخدم بعض الكتب الدراسية القديمة جميع الفواصل في المجموعة $($ $ن$ $+ 1)$ ، على سبيل المثال، [4, 2, 6, 7]. ^[²^]^[³^]

إذا كان العدد الابتدائي عددًا نسبيًا، فإن هذه العملية تُحاكي تمامًا خوارزمية إقليدس المُطبقة على بسط ومقام العدد. وعلى وجه الخصوص، يجب أن تنتهي العملية وتُنتج تمثيلًا كسريًا مستمرًا محدودًا للعدد. سلسلة الأعداد الصحيحة التي تظهر في هذا التمثيل هي سلسلة نواتج القسمة المتتالية التي تحسبها خوارزمية إقليدس. أما إذا كان العدد الابتدائي عددًا غير نسبي ، فإن العملية تستمر إلى ما لا نهاية. ينتج عن ذلك سلسلة من التقريبات، جميعها أعداد نسبية، وتتقارب هذه التقريبات إلى العدد الابتدائي كنهاية. هذا هو التمثيل الكسري المستمر (غير المحدود) للعدد. من أمثلة التمثيلات الكسرية المستمرة للأعداد غير النسبية:

$\sqrt19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...]$ (التسلسل A010124 فيOEIS) $. يتكرر النمط إلى ما لا$ نهاية بدورة قدرها 6.
$e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...]$ (المتتالية A003417 فيOEIS). يتكرر النمط إلى ما لا نهاية بدورة قدرها 3 باستثناء إضافة 2 إلى أحد الحدود في كل دورة.
$π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...]$ (التسلسل A001203 في OEIS ) . لم يتم العثور على أي نمط في هذا التمثيل.
$φ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]$ (المتتالية A000012 في OEIS ) . النسبة الذهبية ، وهي العدد غير النسبي الذي يُعدّ "الأصعب" في التقريب النسبي.
$γ = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...]$ (المتتالية A002852 في OEIS ) . ثابت أويلر-ماسكيروني ، والذي من المتوقع أن يكون غير نسبي ولكنه غير معروف، وكسره المستمر ليس له نمط واضح.

تُعد الكسور المستمرة، من بعض النواحي، تمثيلات "طبيعية رياضياً" أكثر للأعداد الحقيقية من التمثيلات الأخرى مثل التمثيلات العشرية ، ولها العديد من الخصائص المرغوبة:

يكون تمثيل الكسر المستمر لعدد حقيقي منتهيًا إذا وفقط إذا كان عددًا نسبيًا. في المقابل، قد يكون التمثيل العشري لعدد نسبي منتهيًا، على سبيل المثال ١٣٧ / ١٦٠٠ = ٠٫ ٠٨٥٦٢٥ ، أو غير منتهٍ مع دورة متكررة، على سبيل المثال ٤ / ٢٧ = ٠ ٫ ١٤٨١٤٨١٤٨١٤٨...
$لكل عدد نسبي تمثيل كسري مستمر بسيط وفريد من$ نوعه. يمكن تمثيل كل عدد نسبي بطريقتين فقط، حيث أن $[a₀; a₁, ..., anₙ₋₁, anₙ] = [a₀; a₁, ..., anₙ₋₁, (anₙ₋₁), 1] . عادةً ما$ يُختار التمثيل الأول، الأقصر، $كتمثيل$ معياري .
التمثيل البسيط للكسر المستمر لعدد غير نسبي فريد من نوعه. (مع ذلك، توجد تمثيلات إضافية ممكنة عند استخدام الكسور المستمرة المعممة ؛ انظر أدناه.)
الأعداد الحقيقية التي تتكرر كسورها المستمرة هي تحديدًا الأعداد غير النسبية التربيعية . ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، الكسر المستمر المتكرر [1؛1،1،1،...] هو النسبة الذهبية ، والكسر المستمر المتكرر [1؛2،2،2،...] هو الجذر التربيعي للعدد 2. في المقابل، تبدو التمثيلات العشرية للأعداد غير النسبية التربيعية عشوائية . الجذور التربيعية لجميع الأعداد الصحيحة (الموجبة) التي ليست مربعات كاملة هي أعداد غير نسبية تربيعية، وبالتالي فهي كسور مستمرة دورية فريدة.
إن التقريبات المتتالية التي يتم إنشاؤها في إيجاد تمثيل الكسر المستمر لعدد ما، أي عن طريق اقتطاع تمثيل الكسر المستمر، هي بمعنى معين (موضح أدناه) "الأفضل الممكن".

التركيبة

الكسر المستمر في شكله المتعارف عليه هو تعبير عن الشكل $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}$ حيث تمثل a و _i أعدادًا صحيحة، تسمى معاملات أو حدود الكسر المستمر. ^{[ 1 ]}

When the expression contains finitely many terms, it is called a finite continued fraction. When the expression contains infinitely many terms, it is called an infinite continued fraction.^[5] When the terms eventually repeat from some point onwards, the continued fraction is called periodic.^[4]

Thus, all of the following illustrate valid finite simple continued fractions:

Examples of finite simple continued fractions
Formula	Numeric	Remarks
$\ a_{0}$	$\ 2$	All integers are a degenerate case
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}}}$	$\ 2+{\cfrac {1}{3}}$	Simplest possible fractional form
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}$	$\ -3+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{18}}}}$	First integer may be negative
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}$	$\ {\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{102}}}}}}$	First integer may be zero

For simple continued fractions of the form $r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}$ the $a_{n}$ term can be calculated from the following recursive sequence: $f_{n+1}={\frac {1}{f_{n}-\lfloor f_{n}\rfloor }}$ where $f_{0}=r$ and $a_{n}=\left\lfloor f_{n}\right\rfloor$ .

From which it can be understood that the $a_{n}$ sequence stops if $f_{n}=\lfloor f_{n}\rfloor$ is an integer.

Notations

Consider a continued fraction expressed as $x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}}}}}}}}}$ Because such a continued fraction expression may take a significant amount of vertical space, a number of methods have been tried to shrink it.

Gottfried Leibniz sometimes used the notation^[6] $\displaystyle \begin{aligned}x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}}}{{} \atop +}\\[28mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{2}}}{{} \atop +}\\[2mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{3}}}{{} \atop +}\end{aligned}}\!{\begin{aligned}\\[2mu]{\dfrac {1}{a_{4}}},\end{aligned}}}$ and later the same idea was taken even further with the nested fraction bars drawn aligned, for example by Alfred Pringsheim as $x=a_{0}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{1}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{2}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{3}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{4}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}},$ or in more common related notations as^[7] $x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}\,{1 \over a_{2}+}\,{1 \over a_{3}+}\,{1 \over a_{4}}$ or $x=a_{0}+{1 \over a_{1}}{{} \atop +}{1 \over a_{2}}{{} \atop +}{1 \over a_{3}}{{} \atop +}{1 \over a_{4}}.$

Carl Friedrich Gauss used a notation reminiscent of summation notation, $x=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a_{i}}},$ or in cases where the numerator is always 1, eliminated the fraction bars altogether, writing a list-style $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}].$

Sometimes list-style notation uses angle brackets instead, $x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right\rangle .$

The semicolon in the square and angle bracket notations is sometimes replaced by a comma.^[2]^[3]

One may also define infinite simple continued fractions as limits: $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots \,]=\lim _{n\to \infty }\,[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].$ This limit exists for any choice of $a_{0}$ and positive integers $a_{1},a_{2},\ldots$ .^[8]^[9]

Calculating continued fraction representations

Consider a real number ⁠ $r$ ⁠. Let $i=\lfloor r\rfloor$ and let ⁠ $f=ri$ ⁠. When ⁠ $f\neq 0$ ⁠, the continued fraction representation of $r$ is ⁠ $[i;a_{1},a_{2},\ldots ]$ ⁠, where $[a_{1};a_{2},\ldots ]$ is the continued fraction representation of ⁠ $1/f$ ⁠. When ⁠ $r\geq 0$ ⁠, then $i$ is the integer part of $r$ , and $f$ is the fractional part of ⁠ $r$ ⁠.

In order to calculate a continued fraction representation of a number $r$ , write down the floor of $r$ اطرح هذه القيمة من $r$ إذا كان الفرق يساوي صفرًا، فتوقف؛ وإلا فاحسب مقلوب الفرق وكرر العملية. ستتوقف العملية إذا وفقط إذا $r$ هو عدد نسبي. يمكن تنفيذ هذه العملية بكفاءة باستخدام خوارزمية إقليدس عندما يكون العدد نسبيًا.

يوضح الجدول أدناه تطبيق هذا الإجراء للرقم ⁠ $3.245=649/200$ ⁠ :

خطوة	عدد حقيقي	الجزء الصحيح	الجزء الكسري	مبسط	مقلوب f $$
1	$r={\frac {649}{200}}$	$i=3$	$f={\frac {649}{200}}-3$	$={\frac {49}{200}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {200}{49}}$
2	$r={\frac {200}{49}}$	$i=4$	$f={\frac {200}{49}}-4$	$={\frac {4}{49}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {49}{4}}$
3	$r={\frac {49}{4}}$	$i=12$	$f={\frac {49}{4}}-12$	$={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {4}{1}}$
4	$r=4$	$i=4$	$f=4-4$	$=0$	قف

الكسر المستمر لـ $3.245$ وبالتالي $[3;4,12,4],$ أو بتعبير موسع: ${\frac {649}{200}}=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}.$

المقلوب

تمثيلات الكسور المستمرة لعدد نسبي موجب ومقلوبه متطابقة باستثناء إزاحة خانة واحدة إلى اليسار أو اليمين اعتمادًا على ما إذا كان العدد أقل من واحد أو أكبر منه على التوالي. بعبارة أخرى، الأعداد التي يمثلها $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ و $[0;a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}]$ هي متبادلة.

على سبيل المثال إذا $a$ هو عدد صحيح و $x<1$ ثم $x=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}$ و ${\frac {1}{x}}=a+{\frac {1}{b}}$ .

لو $x>1$ ثم $x=a+{\frac {1}{b}}$ و ${\frac {1}{x}}=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}$ .

الرقم الأخير الذي يُولّد باقي الكسر المستمر هو نفسه في الحالتين. $x$ ومعكوسها.

على سبيل المثال، $2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]$ و ${\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]$ .

الكسور المستمرة المنتهية

كل كسر مستمر منتهٍ يُمثل عددًا نسبيًا ، ويمكن تمثيل كل عدد نسبي بطريقتين مختلفتين تمامًا ككسر مستمر منتهٍ، بشرط أن يكون المعامل الأول عددًا صحيحًا، وأن تكون المعاملات الأخرى أعدادًا صحيحة موجبة. تتفق هاتان الطريقتان التمثيليتان باستثناء حدودهما الأخيرة. في التمثيل الأطول، يكون الحد الأخير في الكسر المستمر هو 1؛ أما في التمثيل الأقصر، فيُحذف الرقم 1 الأخير، ولكن يُزاد الحد الأخير الجديد بمقدار 1. وبالتالي، يكون العنصر الأخير في التمثيل المختصر دائمًا أكبر من 1، إن وُجد. بالرموز:

[a 0; a 1, a 2, ..., a n - 1, a n, 1] = [a 0; a 1, a 2, ..., a n - 1, a n + 1]

.

[a 0; 1] = [a 0 + 1]

.

الكسور المستمرة اللانهائية والمتقاربة

كل كسر مستمر لانهائي هو عدد غير نسبي ، ويمكن تمثيل كل عدد غير نسبي بطريقة واحدة فقط ككسر مستمر لانهائي.

يُعدّ تمثيل العدد غير النسبي بكسر مستمر لانهائي مفيدًا لأنّ أجزاءه الأولية تُقدّم تقريبات نسبية للعدد. تُسمى هذه الأعداد النسبية بتقاربات الكسر المستمر. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} كلما زاد حجم أحد الحدود في الكسر المستمر، اقترب التقارب المقابل من العدد غير النسبي المراد تقريبه. تحتوي أعداد مثل π على حدود كبيرة أحيانًا في كسرها المستمر، مما يُسهّل تقريبها بأعداد نسبية. بينما تحتوي أعداد أخرى مثل e على حدود صغيرة فقط في بداية كسرها المستمر، مما يجعل تقريبها نسبيًا أكثر صعوبة. أما النسبة الذهبية φ، فلها حدود تساوي 1 في كل مكان - وهي أصغر القيم الممكنة - مما يجعل φ أصعب عدد يمكن تقريبه نسبيًا. وبهذا المعنى، فهي "الأكثر لا نسبية" بين جميع الأعداد غير النسبية. تكون التقاربات ذات الأعداد الزوجية أصغر من العدد الأصلي، بينما تكون التقاربات ذات الأعداد الفردية أكبر.

بالنسبة للكسر المستمر $[a₀; a₁, a₂, ...] ،$ فإن أول أربعة متقاربات (مرقمة من 0 إلى 3) $هي$ ${\frac {a_{0}}{1}},\,{\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\,{\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\,{\frac {a_{3}{\bigl (}a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}{\bigr )}+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.$

يُحسب بسط الكسر المتقارب الثالث بضرب بسط الكسر المتقارب الثاني في المعامل الثالث، ثم إضافة بسط الكسر المتقارب الأول. وبالمثل، تُحسب المقامات. لذا، يمكن التعبير عن كل كسر متقارب صراحةً بدلالة الكسر المستمر كنسبة بين كثيرات حدود متعددة المتغيرات تُسمى الكسر المستمر .

إذا تم العثور على متقاربات متتالية، مع بسط $h$ ₁ ، $h$ ₂ ، ... ومقام $k$ ₁ ، $k$ ₂ ، ... فإن العلاقة التكرارية ذات الصلة هي علاقة الأقواس الغاوسية : ${\begin{aligned}h_{n}&=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\\[3mu]k_{n}&=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.\end{aligned}}$

تُعطى المتتاليات المتقاربة بالصيغة التالية ${\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.$

وبالتالي ، لإدراج حد جديد في تقريب كسري، يكفي استخدام الحدين المتقاربين السابقين فقط. الحدان المتقاربان الأوليان (المطلوبان للحدين الأولين) هما ^0/1 و ₁^/ 0 _. على سبيل المثال، إليك الحدان المتقاربان للفترة [0;1,5,2,2].

$ن$	-2	-1	0	1	2	3	4
$أن $			0	1	5	2	2
$hn $	0	1	0	1	5	11	27
$ك ن$	1	0	1	1	6	13	32

عند استخدام طريقة بابل لتوليد تقريبات متتالية للجذر التربيعي لعدد صحيح، إذا بدأنا بأصغر عدد صحيح كتقريب أولي، فإن جميع الأعداد النسبية المولدة تظهر في قائمة التقريبات المتقاربة للكسر المستمر. تحديدًا، ستظهر التقريبات في قائمة التقريبات المتقاربة في المواضع 0، 1، 3، 7، 15، ...، $2k - 1$ ، ... على سبيل المثال، توسيع الكسر المستمر لـ ${\sqrt {3}}$ هي $[1؛ 1، 2، 1، 2، 1، 2، 1، 2، ...]$ . مقارنة التقاربات بالتقريبات المشتقة من الطريقة البابلية:

$ن$	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
$أن $			1	1	2	1	2	1	2	1
$hn $	0	1	1	2	5	7	19	26	71	97
$ك ن$	1	0	1	1	3	4	11	15	41	56

x 0 = 1 = 1 / 1

x 1 = 1 / 2 (1 + 3 / 1) = 2 / 1 = 2 ​ ​

x 2 = 1 / 2 (2 + 3 / 2) = 7 / 4 ​ ​ ​

\times ٣ = ١/٢ (٧/٤ + ٣/٧/٤) = ٩٧/٥٦ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ملكيات

فضاء باير هو فضاء طوبولوجي على متواليات لانهائية من الأعداد الطبيعية. يوفر الكسر المستمر اللانهائي تماثلًا طوبولوجيًا من فضاء باير إلى فضاء الأعداد الحقيقية غير النسبية (مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي الموروثة من الطوبولوجيا المعتادة على الأعداد الحقيقية). كما يوفر الكسر المستمر اللانهائي دالة بين الأعداد غير النسبية التربيعية والأعداد النسبية الثنائية ، ومن الأعداد غير النسبية الأخرى إلى مجموعة السلاسل اللانهائية من الأعداد الثنائية (أي مجموعة كانتور )؛ تُسمى هذه الدالة دالة علامة الاستفهام مينكوفسكي . تتمتع هذه الدالة بخصائص فركتالية ذاتية التشابه مثيرة للاهتمام ؛ تُعطى هذه الخصائص بواسطة المجموعة النمطية ، وهي المجموعة الجزئية من تحويلات موبيوس التي لها قيم صحيحة في التحويل. بشكل عام، يمكن اعتبار متقاربات الكسر المستمر تحويلات موبيوس تعمل على النصف العلوي (الزائدي) من المستوى ؛ وهذا ما يؤدي إلى التناظر الذاتي الفركتالي.

إن التوزيع الاحتمالي النهائي للمعاملات في توسيع الكسر المستمر لمتغير عشوائي موزع بشكل منتظم في (0، 1) هو توزيع جاوس-كوزمين .

بعض النظريات المفيدة

لو $\ a_{0}\ ,$ $a_{1}\ ,$ $a_{2}\ ,$ $\ \ldots \$ إذا كانت لدينا متتالية لانهائية من الأعداد الصحيحة الموجبة، فعرّف المتتاليات. $\ h_{n}\$ و $\ k_{n}\$ بشكل متكرر:

$h_{n}=a_{n}\ h_{n-1}+h_{n-2}\ ,$			$h_{-1}=1\ ,$		${\displaystyle h_{-2}=0\$
$k_{n}=a_{n}\ k_{n-1}+k_{n-2}\ ,$			$k_{-1}=0\ ,$		$k_{-2}=1~.$

النظرية 1. لأي عدد حقيقي موجب $\ x\$
$\left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1},x\ \right]={\frac {x\ h_{n-1}+h_{n-2}}{\ x\ k_{n-1}+k_{n-2}\ }},\quad \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1}+x\ \right]={\frac {h_{n-1}+xh_{n-2}}{\ k_{n-1}+xk_{n-2}\ }}$

النظرية 2. تقارب ${\displaystyle \ [\ a_{0}\$ $a_{1}\ ,$ $a_{2}\ ,$ $\ldots \ ]\$ يتم تقديمها بواسطة
$\left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n}\ \right]={\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}~.$ أو في شكل مصفوفة، ${\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}$
النظرية 3. إذا $\ n$ المقدار المتقارب إلى كسر مستمر هو $\ {\frac {h_{n}}{k_{n}}}\ ,$ ثم $k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}=(-1)^{n}\ ,$ أو ما يعادل ذلك ${\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-1}}{\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n-1}\ k_{n}\ }}~.$

النتيجة 1: كل حد متقارب يكون في أبسط صورة (لأن إذا $\ h_{n}\$ و $\ k_{n}\$ لو كان له قاسم مشترك غير تافه لكان سيقسم $\ k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}\ ,$ وهو أمر مستحيل).

النتيجة الثانية: الفرق بين المتقاربات المتتالية هو كسر بسطه واحد: ${\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {\ h_{n}\ k_{n-1}-k_{n}\ h_{n-1}\ }{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}~.$

النتيجة الثالثة: الكسر المستمر يكافئ سلسلة من الحدود المتناوبة: $a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.$

النتيجة الرابعة: المصفوفة ${\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}$ له محدد $(-1)^{n+1}$ وبالتالي ينتمي إلى مجموعة $\ 2\times 2\$ المصفوفات أحادية المعامل $\ \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )~.$

النتيجة الخامسة: المصفوفة ${\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-2}\\k_{n}&k_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{n-1}&h_{n-2}\\k_{n-1}&k_{n-2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}&0\\1&1\end{bmatrix}}$ له محدد $(-1)^{n}a_{n}$ أو ما يعادل ذلك، ${\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-2}}{\ k_{n-2}\ }}={\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n-2}\ k_{n}\ }}a_{n}$ بمعنى أن الحدود الفردية تتناقص بشكل رتيب، بينما الحدود الزوجية تتزايد بشكل رتيب.

النتيجة السادسة: متتالية المقام $k_{0},k_{1},k_{2},\dots$ يحقق علاقة التكرار $k_{-1}=0,k_{0}=1,k_{n}=k_{n-1}a_{n}+k_{n-2}$ وينمو على الأقل بنفس سرعة متتالية فيبوناتشي ، التي تنمو بدورها مثل $O(\phi ^{n})$ أين $\phi =1.618\dots$ هي النسبة الذهبية .

النظرية 4. كل ( $\ s$ th) التقارب أقرب إلى اللاحق ( $\ n$ th) أكثر تقاربًا من أي سابق ( $\ r$ th) متقاربة. بالرموز، إذا كان $\ n$ يُعتبر التقارب th هو $\ \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{n}\ \right]=x_{n}\ ,$ ثم
$\left|\ x_{r}-x_{n}\ \right|>\left|\ x_{s}-x_{n}\ \right|$
للجميع $\ r<s<n~.$

النتيجة 1: المتتابعات الزوجية المتقاربة (قبل $\ n$ th) تزداد باستمرار، لكنها دائمًا أقل من $\ x_{n}~.$

النتيجة الثانية: المتقاربات الفردية (قبل $\ n$ th) تتناقص باستمرار، لكنها دائمًا أكبر من $\ x_{n}~.$

النظرية 5.
${\frac {1}{\ k_{n}\ (k_{n+1}+k_{n})\ }}<\left|\ x-{\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}\ \right|<{\frac {1}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.$

النتيجة 1: يكون الكسر المتقارب أقرب إلى نهاية الكسر المستمر من أي كسر يكون مقامه أقل من مقام الكسر المتقارب.

النتيجة 2: إن التقارب الذي يتم الحصول عليه عن طريق إنهاء الكسر المستمر قبل حد كبير هو تقريب دقيق لنهاية الكسر المستمر.

النظرية 6: لنعتبر مجموعة جميع الفترات المفتوحة ذات نقاط النهاية $[0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]$ . أشر إليه بـ ${\mathcal {C}}$ أي مجموعة فرعية مفتوحة من $[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ هو اتحاد منفصل لمجموعات من ${\mathcal {C}}$ .

النتيجة: يوفر الكسر المستمر اللانهائي تماثلًا تماثليًا من فضاء باير إلى $[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ .

شبه متقاربة

لو ${\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}},{\frac {h_{n}}{k_{n}}}$ إذا كانت متقاربة متتالية، فإن أي كسور من الشكل ${\frac {h_{n-1}+mh_{n}}{k_{n-1}+mk_{n}}},$ أين $m$ هو عدد صحيح بحيث $0\leq m\leq a_{n+1}$ تُسمى هذه الكسور شبه متقاربة ، أو متقاربة ثانوية ، أو كسور متوسطة . $(m+1)$ -st شبه متقارب يساوي وسيط $m$ الواحد -th والمتقارب ${\tfrac {h_{n}}{k_{n}}}$ أحيانًا يُفهم المصطلح على أنه يعني أن كون الشيء شبه متقارب يستبعد إمكانية كونه متقاربًا (أي، $0<m<a_{n+1}$ ), بدلاً من أن يكون التقارب نوعًا من التقارب الجزئي.

ويترتب على ذلك أن المتتاليات شبه المتقاربة تمثل متتالية رتيبة من الكسور بين المتتاليات المتقاربة. ${\tfrac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}$ (الموافق لـ) $m=0$ ) و ${\tfrac {h_{n+1}}{k_{n+1}}}$ (الموافق لـ) $m=a_{n+1}$ ). شبه التقاربات المتتالية ${\tfrac {a}{b}}$ و ${\tfrac {c}{d}}$ استيفاء الشروط الخاصة $ad-bc=\pm 1$ .

إذا كان التقريب العقلاني ${\tfrac {p}{q}}$ إلى عدد حقيقي $x$ بحيث تكون القيمة $\left|x-{\tfrac {p}{q}}\right|$ إذا كانت أصغر من أي تقريب بمقام أصغر، ${\tfrac {p}{q}}$ هي شبه متقاربة لتوسيع الكسور المستمرة لـ $x$ لكن العكس ليس صحيحاً.

أفضل التقريبات العقلانية

يمكن تعريف أفضل تقريب كسري للعدد الحقيقي $x$ بأنه عدد كسري n $/$ $d$ ، حيث $d$ $> 0$ ، يكون أقرب إلى $x$ من أي تقريب آخر بمقام أصغر أو مساوٍ له. ويمكن استخدام الكسر المستمر البسيط لـ $x$ لتوليد جميع أفضل التقريبات الكسرية لـ $x$ بتطبيق هذه القواعد الثلاث:

قم بتقصير الكسر المستمر، وقلل حده الأخير بمقدار مختار (ربما صفر).
لا يمكن أن تقل قيمة الحد المختزل عن نصف قيمته الأصلية.
إذا كان الحد الأخير زوجيًا، فإن نصف قيمته مقبول فقط إذا كان التقارب شبه المقابل أفضل من التقارب السابق. (انظر أدناه.)

على سبيل المثال، العدد 0.84375 له كسر مستمر [0؛ 1، 5، 2، 2]. فيما يلي أفضل تقريباته الكسرية.

الكسر المستمر	[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
التقريب العقلاني	1	3 / 4	٤ / ٥	5 / 6	11 / 13	16 / 19	27 / 32
المكافئ العشري	1	0.75	0.8	~0.83333	0.84615 تقريبًا	~0.84211	0.84375
خطأ	+18.519%	-11.111%	-5.1852%	-1.2346%	+0.28490%	-0.19493%	0%

{\displaystyle \pi } — أفضل التقريبات النسبية للأعداد غير النسبية $\pi$ ( دائرة خضراء )، $e$ ( الماس الأزرق )، $\phi$ ( مستطيل وردي اللون )، ${\sqrt {3}}/2$ ( سداسي رمادي )، $1/{\sqrt {2}}$ ( مثمن أحمر ) و $1/{\sqrt {3}}$ ( المثلث البرتقالي ) محسوب من توسعات الكسور المستمرة الخاصة بها، ومُرسمة كميول $y/x$ مع وجود أخطاء عن قيمها الحقيقية ( خطوط سوداء متقطعة )
v
ت
هـ

إن الزيادة الرتيبة الصارمة في المقامات مع تضمين الحدود الإضافية تسمح للخوارزمية بفرض حد، إما على حجم المقام أو على مدى دقة التقريب.

تنص "قاعدة النصف" المذكورة أعلاه على أنه عندما يكون $k$ زوجيًا، يكون الحد المنصف $a$ _$k$ /2 مقبولًا إذا وفقط إذا كان $|$ _$x$ $-$ $[$ $a$ $0$ $;$ $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $k$ $- 1$ $]| > |$ $x$ $- [$ $a$ $0$ $;$ $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $k$ $- 1$ $,$ $a$ $k$ $/2]|$ . ^[¹²^] وهذا يكافئ ما يلي: ^[¹³^]

[a k; a k - 1, ..., a 1] > [a k; a k + 1, ...]

.

تُعدّ الدوال المتقاربة إلى $x$ "أفضل التقريبات" بمعنى أقوى بكثير من المعنى المُعرّف أعلاه. أي أن $n$ / $d$ دالة متقاربة لـ $x$ إذا وفقط إذا كانت $| dx - n |$ هي أصغر قيمة بين التعبيرات المماثلة لجميع التقريبات الكسرية $m$ / $c$ حيث $c \leq d$ ؛ أي أن $| dx - n | < | cx - m |$ طالما أن $c < d$ . (لاحظ أيضًا أن $| dkx - nk | \to 0$ عندما $k$ $\to$ $\infty$ ) $.$

أفضل عقلانية ضمن فترة زمنية محددة

يمكن إيجاد عدد نسبي يقع ضمن الفترة $(س ، ص)$ ، حيث $0 < س < ص$ ، باستخدام الكسور المستمرة لـ $س$ و $ص$ . عندما يكون كل $من س$ و $ص$ عددين غير نسبيين و

x = [a 0; a 1, a 2, ..., a k - 1, a k, a k + 1, ...]

y = [a 0; a 1, a 2, ..., a k - 1, b k, b k + 1, ...]

حيث يكون لـ $x$ و $y$ امتدادات كسرية مستمرة متطابقة حتى $k -1 ، فإن$ العدد النسبي الذي يقع ضمن الفترة $(x, y)$ يُعطى بواسطة الكسر المستمر المحدود،

z (x, y) = [a 0; a 1, a 2, ..., a k - 1, min(a k, b k) + 1]

سيكون هذا العدد النسبي هو الأفضل بمعنى أنه لن يكون لأي عدد نسبي آخر في $(س ، ص)$ بسط أصغر أو مقام أصغر. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

إذا كان $x$ عددًا نسبيًا، فسيكون له تمثيلان كسريان مستمران منتهيان ، هما $x₁$ $و$ x₂ $،$ وبالمثل، سيكون للعدد النسبي $y$ تمثيلان، هما $y₁$ $و$ $y₂$ . $يجب$ تفسير المعاملات التي تتجاوز الحد الأخير في أي من هذين التمثيلين على أنها $+$ $\infty$ $؛$ $وأفضل$ عدد نسبي $سيكون$ $أحد$ $z$ $($ $x₁$ $,$ $y₁$ $)$ ، $أو$ $z$ $($ $x₁$ $,$ $y₂$ $)$ ، $أو$ $z$ $($ $x₂$ $,$ $y₁$ $)$ $،$ أو $z$ $($ $x₂$ $,$ $y₂$ $)$ $.$

على سبيل المثال، يمكن تقريب العدد العشري 3.1416 من أي عدد في الفترة $[3.14155، 3.14165]$ . تمثيلات الكسور المستمرة للعددين 3.14155 و3.14165 هي

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

وأفضل خيار منطقي بين هذين الخيارين هو

[3; 7, 16] = 355 / 113 = 3.1415929 ....

وبالتالي، فإن 355 / 113 هو أفضل عدد نسبي يتوافق مع العدد العشري المقرب 3.1416، بمعنى أنه لا يوجد عدد نسبي آخر يمكن تقريبه إلى 3.1416 سيكون له بسط أصغر أو مقام أصغر.

فترة التقارب

العدد النسبي، الذي يمكن التعبير عنه ككسر مستمر منتهٍ بطريقتين،

z = [a 0; a 1, ..., a k - 1, a k, 1] = [a 0; a 1, ..., a k - 1, a k + 1] = ⁠ p k / q k ⁠

سيكون أحد التقاربات لتوسيع الكسر المستمر لعدد ما، إذا وفقط إذا كان العدد يقع تمامًا بين (انظر هذا البرهان ).

x = [a 0; a 1, ..., a k - 1, a k, 2] = ⁠ 2 p k - p k-1 / 2 q k - q k-1 ⁠

و

y = [a 0; a 1, ..., a k - 1, a k + 2] = ⁠ p k + p k-1 / q k + q k-1 ⁠

يتم تكوين العددين $x$ و $y$ عن طريق زيادة المعامل الأخير في التمثيلين لـ $z$ . ويكون $x < y$ عندما يكون $k$ زوجيًا، و $x > y$ عندما يكون $k$ فرديًا.

على سبيل المثال ، العدد 355 / 113 ( كسر زو ) له تمثيلات الكسر المستمر .

355 / 113 = [3؛ 7، 15، 1] = [3؛ 7، 16

وبالتالي فإن 355 / 113 هو عدد متقارب لأي عدد يقع بين

$[3؛ 7، 15، 2]$	=	$688 / 219 \approx 3.1415525 $
$[3؛ 7، 17]$	=	$377 / 120 \approx 3.1416667 $

نظرية ليجاندر حول الكسور المستمرة

في كتابه "مقال في نظرية الأعداد " (1798)، استنتج أدريان ماري ليجندر شرطًا ضروريًا وكافيًا لكي يكون العدد النسبي متقاربًا للكسر المستمر لعدد حقيقي مُعطى. ^{[ 16 ]} ومن نتائج هذا المعيار، والذي يُعرف غالبًا باسم نظرية ليجندر في دراسة الكسور المستمرة، ما يلي: ^{[ 17 ]}

نظرية . إذا كان α عددًا حقيقيًا و p و q عددين صحيحين موجبين بحيث $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}$ ، إذن فإن p / q هو متقارب للكسر المستمر لـ α .

دليل

البرهان . نتبع البرهان الوارد في كتاب "مقدمة في نظرية الأعداد" لـ جي إتش هاردي وإي إم رايت . ^{[ 18 ]}

لنفترض أن α و p و q هي بحيث $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}$ وبافتراض أن α > p / q ، يمكننا كتابة $\alpha -{\frac {p}{q}}={\frac {\theta }{q^{2}}}$ حيث 0 < θ < 1/2. نكتب p / q على شكل كسر مستمر محدود [ a ₀ ; a ₁ , ..., _an ] ، ونظرًا لأن لكل عدد نسبي تمثيلين مختلفين ككسور مستمرة محدودة يختلفان في الطول بمقدار واحد (أي أحدهما حيث an = 1 والآخر حيث an _≠ 1)، يمكننا اختيار n ليكون زوجيًا. (في حالة α < p / q ، نختار n ليكون فرديًا) _.

ليكن p₀ _/q₀ ، ...، _pₙ/ _qₙ = p / qₙ _{متقاربات} هذا التوسع الكسري المستمر . ${\displaystyle \omega$ ، بحيث $\theta ={\frac {q_{n}}{q_{n-1}+\omega q_{n}}}$ وبالتالي، $\alpha ={\frac {p}{q}}+{\frac {\theta }{q^{2}}}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}+{\frac {1}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {(p_{n}q_{n-1}+1)+\omega p_{n}q_{n}}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {p_{n-1}q_{n}+\omega p_{n}q_{n}}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {p_{n-1}+\omega p_{n}}{q_{n-1}+\omega q_{n}}},$ حيث استخدمنا حقيقة أن p _n₋₁q _n - p _n q _n₋₁ = (-1) ⁿ وأن n عدد زوجي.

الآن، تشير هذه المعادلة إلى أن α = [ a ₀ ; a ₁ , ..., an _, ω ]. وبما أن 0 < θ < 1/2 يعني أن ω > 1، نستنتج أن متسلسلة الكسور المستمرة لـ α يجب أن تكون [ a ₀ ; a ₁ , ..., an _, b ₀ , b ₁ , ...]، حيث [ b ₀ ; b ₁ , ...] هي متسلسلة الكسور المستمرة لـ ω ، وبالتالي فإن p _n / q _n = p / q هي دالة متقاربة لمتسلسلة الكسور المستمرة لـ α .

تشكل هذه النظرية أساس هجوم وينر ، وهو استغلال لبروتوكول التشفير RSA في وقت متعدد الحدود ، والذي يمكن أن يحدث نتيجة لاختيار غير موفق للمفاتيح العامة والخاصة (على وجه التحديد، ينجح هذا الهجوم إذا كانت العوامل الأولية للمفتاح العام n = pq تحقق الشرط p < q < 2p وكان المفتاح الخاص d أقل من (1/3) n ^1/4 ). ^{[ 19 ]}

مقارنة

لنفترض أن $x = [a 0; a 1, ...]$ و $y = [b 0; b 1, ...]$ . إذا كان $k$ هو أصغر دليل يكون فيه $a k$ غير مساوي لـ $b k،$ فإن $x < y$ إذا كان $(-1) k (a k - b k) < 0،$ و $y < x$ خلاف ذلك.

إذا لم يكن هناك $k$ من هذا القبيل ، ولكن كان أحد التوسعات أقصر من الآخر، على سبيل المثال $x = [a 0; a 1, ..., a n]$ و $y = [b 0; b 1, ..., b n, b n + 1, ...]$ مع $a i = b i$ لـ $0 \leq i \leq n$ ، فإن $x < y$ إذا كان $n$ زوجيًا و $y < x$ إذا كان $n$ فرديًا.

توسيع الكسور المستمرة لـ $π$ ومشتقاتها المتقاربة

لحساب متقاربات $π$ $،$ يمكننا وضع $a₀ = ⌊π⌋ = 3$ ، وتعريف $u₁ = 1 / π - 3 \approx 7.0625$ و $a₁ = ⌊u₁⌋ = 7$ $،$ $و u₂$ $=$ $1$ $/$ $u₁$ $-$ $7$ $\approx$ $15.9966$ و $a₂ = ⌊u₂⌋ = 15 ،$ و u₃ $=$ $1$ $/$ $u₂$ $-$ $15$ $\approx$ $1.0034$ $.$ $وبمتابعة$ $ذلك$ ، $يمكن$ تحديد الكسر المستمر اللانهائي $لـ$ $π$ $كما$ $يلي$ $:$

[3;7,15,1,292,1,1,...] (التسلسل A001203 في OEIS ) .

التقارب الرابع لـ $π$ هو [3؛7،15،1] = 355 / 113 = 3.14159292035 ...، ويسمى أحيانًا ميلو ، وهو قريب جدًا من القيمة الحقيقية لـ $π$ .

لنفترض أن نواتج القسمة التي تم التوصل إليها هي، كما سبق، [3؛7،15،1]. فيما يلي قاعدة تمكننا من كتابة الكسور المتقاربة الناتجة عن هذه النواتج مباشرةً دون الحاجة إلى كتابة الكسر المستمر.

بافتراض قسمة الناتج الأول على واحد، نحصل على الكسر الأول، وهو صغير جدًا، أي ٣/١ . ثم ، بضرب بسط ومقام هذا الكسر في الناتج الثاني وإضافة واحد إلى البسط، نحصل على الكسر الثاني، ٢٢/٧ ، وهو كبير جدًا. وبضرب بسط ومقام هذا الكسر في الناتج الثالث بنفس الطريقة، وإضافة بسط الكسر السابق إلى البسط ، ومقام الكسر السابق إلى المقام، نحصل على الكسر الثالث، وهو صغير جدًا. وبالتالي، بما أن ناتج القسمة الثالث هو 15، فإن البسط هو (22 × 15 = 330) + 3 = 333 ، والمقام هو (7 × 15 = 105) + 1 = 106. إذن ، الكسر الثالث هو 333 / 106. نتبع نفس الطريقة للكسر الرابع. بما أن ناتج القسمة الرابع هو 1، نقول إن 333 مضروبًا في 1 يساوي 333، وهذا الناتج مضافًا إليه 22، وهو بسط الكسر السابق، يساوي 355؛ وبالمثل، 106 مضروبًا في 1 يساوي 106، وهذا الناتج مضافًا إليه 7 يساوي 113. بهذه الطريقة، باستخدام نواتج القسمة الأربعة [3، 7، 15، 1]، نحصل على الكسور الأربعة:

3/1 ، ، 333/106 ، 355/113 ....

باختصار، النمط هو ${\text{Numerator}}_{i}={\text{Numerator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Numerator}}_{(i-2)}$ ${\text{Denominator}}_{i}={\text{Denominator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Denominator}}_{(i-2)}$

تتقارب هذه المقادير بالتناوب بين كونها أصغر وأكبر من القيمة الحقيقية لـ π ، $وتقترب$ منها أكثر فأكثر $.$ والفرق بين مقدار متقارب معين و $π$ أقل من مقلوب حاصل ضرب مقام ذلك المقدار المتقارب والمقام المتقارب التالي . على سبيل المثال ، الكسر $22/7$ أكبر من $π$ ، لكن 22/7 - $π$ أصغر من 1/7 × 10⁶ = 1/742 ( في الواقع ، 22/7 - π أكبر بقليل من 1/791 = 1/7 × 11³ ) .

يُستنتج إثبات الخصائص المذكورة أعلاه من حقيقة أنه إذا بحثنا عن الفرق بين أحد الكسور المتقاربة والكسر المجاور له مباشرةً، فسنحصل على كسر يكون بسطه دائمًا واحدًا ومقامه حاصل ضرب المقامين . وهكذا ، فإن الفرق بين 22/7 و 3 / 1 هو 1/7 ، أي زائد ؛ وبين 333/106 و 22 / 7 هو 1/742 ، أي ناقص ؛ وبين 355/113 و 333 / 106 هو 1/11978 ، أي زائد ؛ وهكذا . والنتيجة هي أنه باستخدام سلسلة الفروق هذه، يمكننا التعبير بطريقة أخرى بسيطة للغاية عن الكسور التي نتناولها هنا، وذلك بواسطة سلسلة ثانية من الكسور تكون فيها البسط جميعها واحدًا، والمقامات هي حاصل ضرب كل مقامين متجاورين. فبدلاً من الكسور المذكورة أعلاه، لدينا السلسلة التالية:

3/1 + 7 - 1/7 × 106 + 1/106 × 113 -

الحد الأول ، كما نرى، هو الكسر الأول؛ الأول والثاني معًا يعطيان الكسر الثاني، 22 / 7 ؛ الأول والثاني والثالث يعطيان الكسر الثالث 333 / 106 ، وهكذا مع البقية؛ والنتيجة هي أن السلسلة بأكملها تعادل القيمة الأصلية.

الكسور المستمرة غير البسيطة

الكسر المستمر غير البسيط هو تعبير من الشكل $x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}$ حيث أن a _n ( n > 0) هي البسط الجزئي، و b _n هي المقام الجزئي، ويسمى الحد الرئيسي b _{0 الجزء}الصحيح من الكسر المستمر.

لتوضيح استخدام الكسور المستمرة غير البسيطة، انظر إلى المثال التالي. لا يُظهر تسلسل المقامات الجزئية للكسر المستمر البسيط لـ $π أي نمط واضح:$ $\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]$ أو $\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

ومع ذلك، فإن العديد من الكسور المستمرة غير البسيطة لـ $π$ لها بنية منتظمة تمامًا، مثل: $\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}$ $\displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}$ $\displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}$

أول حالتين من هذه الحالات هما حالتان خاصتان من دالة الظل العكسي مع $π$ = 4 arctan (1)، ويمكن اشتقاق الحالتين الرابعة والخامسة باستخدام جداء واليس . ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

$\pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6\cdot 1^{2}+1^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6\cdot 2^{2}+2^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6\cdot 3^{2}+3^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6\cdot 4^{2}+\ddots }}}}}}}}}}$ الجزء المستمر من $\pi$ يستخدم ما سبق، والمكون من مكعبات، سلسلة نيلاكانثا وثغرة من ليونارد أويلر. ^{[ 22 ]}

توسعات الكسور المستمرة الأخرى

الكسور المستمرة الدورية

الأعداد التي لها متسلسلات كسور مستمرة دورية هي تحديدًا الحلول غير النسبية للمعادلات التربيعية ذات المعاملات النسبية؛ أما الحلول النسبية فلها متسلسلات كسور مستمرة محدودة كما ذُكر سابقًا. أبسط الأمثلة هي النسبة الذهبية φ = [1;1,1,1,1,1,...] و√2 = [1; 2,2,2,2 ,...]، بينما √14 = [ 3 ;1,2,1,6,1,2,1,6...] و√42 = [ 6 ;2,12,2,12,2,12...]. جميع الجذور التربيعية غير النسبية للأعداد الصحيحة لها شكل خاص للدورة؛ سلسلة متناظرة، مثل السلسلة الفارغة (لـ √2 ) أو 1,2,1 (لـ √14 ) ، متبوعة بضعف العدد الصحيح الرئيسي.

إحدى خصائص النسبة الذهبية φ

لأن كسر الاستمرار لـ φ لا يستخدم أي أعداد صحيحة أكبر من 1، فإن φ يُعد من أصعب الأعداد الحقيقية تقريبًا بالأعداد النسبية. تنص نظرية هورويتز ^{[ 23 ]} على أنه يمكن تقريب أي عدد غير نسبي $k$ بعدد لا نهائي من الأعداد النسبية m / n . $\left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.$

بينما تمتلك جميع الأعداد الحقيقية $k تقريبًا عددًا لا نهائيًا$ من التقاربات m / n التي تكون المسافة بينها وبين k أصغر بكثير $من$ هذا الحد ، فإن التقاربات لـ φ ( أي الأعداد 5/3 ، 8/5 ، 13/8 ، 21/13 ، إلخ ) "تلامس الحد" باستمرار ، محافظةً على مسافة تقارب 1/2 . ${\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}$ بعيدًا عن φ، وبالتالي لا ينتج عنه تقريبٌ يُضاهي، على سبيل المثال، 355 / 113 لـ π . ويمكن أيضًا $إثبات$ أن كل عدد حقيقي على الصورة a + b φ / c + d φ ، حيث a $و$ b و c و $d$ أعداد صحيحة بحيث يكون $a$ $d$ $-$ $b$ $c$ $= \pm$ $1 ، يشترك في هذه الخاصية مع النسبة الذهبية φ؛ وأن جميع الأعداد الحقيقية$ $الأخرى$ يمكن تقريبها بدقة أكبر.

أنماط منتظمة في الكسور المستمرة

بينما لا يوجد نمط واضح في توسيع الكسر المستمر البسيط لـ $π$ ، يوجد نمط لـ $e$ ، أساس اللوغاريتم الطبيعي : $e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],$ وهو حالة خاصة من هذا التعبير العام للعدد الصحيح الموجب $n$ : $e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.$

يظهر نمط آخر أكثر تعقيدًا في هذا التوسع المستمر للكسور لـ $n$ فردي موجب : $e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,$ مع حالة خاصة عندما $n = 1$ : $e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.$

وهناك كسور مستمرة أخرى من هذا النوع $\tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]$ حيث $n$ عدد صحيح موجب؛ وكذلك بالنسبة للعدد الصحيح $n$ : $\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,$ مع حالة خاصة عندما $n = 1$ : $\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.$

إذا كانت $دالة In (x) هي$ دالة بيسل المعدلة، أو الزائدية، من النوع الأول، فيمكننا تعريف دالة على الأعداد النسبية p / q كما يلي : $S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}}=I_{2+p/q}(2/q)+{\frac {p+q}{q^{2}}},$ ^{[ 24 ]} وهو مُعرَّف لجميع الأعداد النسبية، مع $p$ و $q$ في أبسط صورة.^{[ 25 ]} إذن، بالنسبة لجميع الأعداد النسبية غير السالبة، لدينا $S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],$ مع صيغ مماثلة للأعداد النسبية السالبة؛ على وجه الخصوص لدينا $S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].$

يمكن إثبات العديد من الصيغ باستخدام الكسر المستمر لغوس .

الكسور المستمرة النموذجية

لا تُظهر معظم الأعداد غير النسبية أي سلوك دوري أو منتظم في تمثيلها بالكسور المستمرة. ومع ذلك، فإنها تُظهر نفس السلوك النهائي تقريبًا لجميع الأعداد الواقعة على فترة الوحدة.

المتوسط الحسابي يتباعد: $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=+\infty$ وبالتالي، تنمو المعاملات بشكل كبير بشكل تعسفي: $\limsup _{n}a_{n}=+\infty$ وعلى وجه الخصوص، هذا يعني أن جميع الأرقام تقريبًا قابلة للتقريب بشكل جيد، بمعنى أن $\liminf _{n\to \infty }\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|q_{n}^{2}=0$ أثبت خينشين أن المتوسط الهندسي لـ $a i$ يؤول إلى ثابت (يُعرف باسم ثابت خينشين ): $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots$ أثبت بول ليفي أن الجذر $النوني$ لمقام المتسلسلة المتقاربة من الرتبة $النونية$ يتقارب إلى ثابت ليفي $\lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots$ تنص نظرية لوخ على أن المتتاليات المتقاربة تتقارب أُسّيًا بمعدل $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}$

التطبيقات

معادلة بيل

تلعب الكسور المستمرة دورًا أساسيًا في حل معادلة بيل . على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة $p و q، و n غير مربع، إذا كان p² - nq² = \pm1، فإن p/q$ $يمثل$ تقاربًا $للكسر$ $المستمر$ المنتظم لـ $\sqrtn$ $. وينطبق العكس إذا$ كانت $دورة$ $الكسر$ $المستمر$ المنتظم لـ $\sqrtn$ $تساوي$ 1 $،$ وبشكل عام $،$ تحدد الدورة أي التقاربات تعطي حلولًا لمعادلة بيل. ^[²⁶^]

الأنظمة الديناميكية

تلعب الكسور المستمرة أيضًا دورًا في دراسة الأنظمة الديناميكية ، حيث تربط بين كسور فاري التي تظهر في مجموعة ماندلبروت مع دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي والمجموعة النمطية جاما.

عامل الإزاحة العكسية للكسور المستمرة هو الدالة $h (x) = 1/ x - ⌊1/ x⌋ ،$ وتُسمى دالة غاوس ، وهي تحذف أرقامًا من توسيع الكسر المستمر: $h ([0; a1, a2, a3, ...]) = [0; a2, a3, ...]$ . يُسمى عامل النقل لهذه الدالة عامل غاوس-كوزمين-ويرسينغ . يُعطى توزيع الأرقام في الكسور المستمرة بواسطة المتجه الذاتي الصفري لهذا $العامل$ $،$ ويُسمى توزيع غاوس- $كوزمين$ .

تاريخ

يحتوي كتاب العناصر لإقليدس الذي يعود تاريخه إلى عام 300 قبل الميلاد على خوارزمية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر ، والتي ينتج عنها في نسختها الحديثة كسر مستمر كسلسلة من نواتج قسمة عمليات القسمة الإقليدية المتتالية التي تحدث فيه.
499 يحتوي كتاب أريابهاتيا على حلول المعادلات غير المحددة باستخدام الكسور المستمرة
1572 رافائيل بومبيلي ، كتاب "الجبر العملي" - طريقة لاستخراج الجذور التربيعية المرتبطة بالكسور المستمرة
1613 بيترو كاتالدي ، Trattato del modo brevissimo di trovar la radice Quadra delli numeri – التدوين الأول للكسور المستمرة

مثّل كاتالدي جزءًا مستمرًا حيث

a_{0}

و

{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}

و

{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}

و

{\frac {n_{3}}{d_{3}\cdot }}

مع وضع النقاط للإشارة إلى مكان الكسور التالية.

1695 جون واليس ، أوبرا ماثيماتيكا - تقديم مصطلح "الكسر المستمر"
1737 ليونارد أويلر ، أطروحة حول الكسور المستمرة - قدم أول شرح شامل لخصائص الكسور المستمرة، وتضمن أول برهان على أن العدد e غير نسبي. ^{[ 27 ]}
1748 أويلر، مقدمة في تحليل اللانهائيات . المجلد الأول، الفصل 18 – أثبت تكافؤ شكل معين من الكسور المستمرة ومتسلسلة لانهائية معممة ، وأثبت أن كل عدد نسبي يمكن كتابته على شكل كسر مستمر محدود، وأثبت أن الكسر المستمر لعدد غير نسبي لانهائي. ^{[ 28 ]}
1761 يوهان لامبرت – قدم أول برهان على عدم عقلانية $π$ باستخدام الكسر المستمر لـ tan(x) .
في عام 1768، قدم جوزيف لويس لاغرانج الحل العام لمعادلة بيل باستخدام الكسور المستمرة المشابهة لمعادلة بومبيلي.
1770 لاغرانج – أثبت أن الأعداد غير النسبية التربيعية تتوسع إلى كسور مستمرة دورية .
في عام 1813، استنتج كارل فريدريش غاوس ، في أعماله ، المجلد 3، الصفحات 134-138، كسرًا مستمرًا عامًا جدًا ذو قيم مركبة عبر متطابقة ذكية تتضمن الدالة فوق الهندسية
في عام 1892، عرّف هنري باديه مصطلح باديه التقريبي
1972 بيل جوسبر – أول خوارزميات دقيقة لحساب الكسور المستمرة.

انظر أيضاً

حاصل القسمة الكامل
حساب الكسور المستمرة للجذور التربيعية - خوارزميات حساب الجذور التربيعية. صفحات تعرض وصفًا موجزًا لأهداف إعادة التوجيه.
الكسر المصري – مجموع محدود من كسور الوحدة المختلفة
مفكوك إنجل – مجموع كسور الوحدة القابلة للقسمة على اثنين – نوع من الكسور المصرية التي يمكن اعتبارها كسرًا مستمرًا "تصاعديًا"
صيغة أويلر للكسور المستمرة – متطابقة رياضية
العملية الثنائية المتكررة – تطبيق عملية ما بشكل متكرر على سلسلة من العمليات
متعدد السطوح كلاين – الشكل في هندسة الأعداد
الثوابت الرياضية باستخدام تمثيل الكسور المستمرة
القسمة الجزئية المقيدة – المتسلسلات التحليلية
شجرة ستيرن-بروكوت – شجرة ثنائية مرتبة للأعداد النسبية

ملحوظات

1 2 Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص. 150.
1 2 Long 1972 ، ص. 173.
1 2 Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص. 152.
1 2 وايسشتاين 2022 .
↑ كولينز 2001 .
↑ كاجوري، فلوريان (1925). "لايبنيتز، الباني الرئيسي للرموز الرياضية" . إيزيس . 7 (3): 412-429 . doi : 10.1086/358328 .
↑ سوانسون، إيلين (1999) [1971]. الرياضيات في شكل نص (ملف PDF) . تحديث: أوشين، أرلين؛ شلاير، أنطوانيت ( طبعة محدثة). الجمعية الأمريكية للرياضيات. 2.4.1c "الكسور المستمرة"، ص 18.
↑ لونغ 1972 ، ص 183.
↑ Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص 158.
↑ لونغ 1972 ، ص 177.
↑ Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص 162-163.
↑ ثيل 2008 .
↑ شوماك 1995 .
↑ جوسبر، آر دبليو (1977). "الملحق 2: حساب الكسور المستمر" .انظر "أبسط منطق متدخل"، الصفحات 29-31.
↑ موراكامي، هيروشي (فبراير 2015). "حساب الأعداد النسبية في فترة يكون مقامها أصغر ما يمكن باستخدام حساب الفترات في برنامج FP". مجلة ACM للاتصالات في الجبر الحاسوبي . 48 (3/4): 134-136 . doi : 10.1145/2733693.2733711 .
^ ليجيندر ، أدريان ماري (1798). Essai sur la théorie des nombres (باللغة الفرنسية). باريس: دوبرات. ص 27 – 29.
^ باربولوسي، دومينيك. جاجر، هندريك (1994). "على نظرية ليجيندر في نظرية الكسور المستمرة" . جورنال دي Théorie des Nombres de Bordeaux . 6 (1): 81-94 . دوى : 10.5802/jtnb.106 . جستور 26273940 .
↑ هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1938). مقدمة في نظرية الأعداد . لندن: مطبعة جامعة أكسفورد . الصفحات 140-141 ، 153.
↑ وينر، مايكل ج. (1990). "تحليل تشفير الأسس السرية القصيرة لـ RSA". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 36 (3): 553-558 . doi : 10.1109/18.54902 .
↑ بندر وتونين 2017 .
↑ شاينرمان، بيكيت وكولمان 2008 .
↑ فوستر 2015 .
↑ هاردي ورايت 2008 ، النظرية 193.
↑ "دالة بيسل المعدلة من النوع الأول: المتطابقات (الصيغة 03.02.17.0001)" . functions.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-07-2025 .
↑ "حكمم - الكسور المتتابعة - مسودة، لم تُدقّق بعد" . www.inwap.com . تاريخ الاسترجاع: 31 يوليو 2025 .
↑ نيفن، زوكرمان ومونتغمري 1991 .
↑ سانديفير 2006 .
↑ أويلر 1748 .

مراجع

بندر، مارتن و.؛ تونين، جوزيف (2017). "صيغ مغلقة لكسرين توافقيين مستمرين" . المجلة الرياضية . 101 (552): 439-448 . doi : 10.1017/mag.2017.125 . S2CID 125489697 .
تشين، تشين-فان؛ شيه، ليانغ-سان (1969). "عكس الكسور المستمرة باستخدام خوارزمية راوث". معاملات IEEE في نظرية الدوائر . 16 (2): 197-202 . doi : 10.1109/TCT.1969.1082925 .
كولينز، دارين سي. (2001). "الكسور المستمرة" (ملف PDF) . مجلة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا لطلاب البكالوريوس في الرياضيات . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 20 نوفمبر 2001.
كويت، أ.؛ بريفيك بيترسن، ف.؛ فيردونك، ب.؛ وادلاند، هـ.؛ جونز، و.ب. (2008). دليل الكسور المستمرة للدوال الخاصة . سبرينغر فيرلاغ. ISBN 978-1-4020-6948-2.
موسوعة بريتانيكا (2013). "الكسور المستمرة - الرياضيات" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2022 .
أويلر، ليونارد (1748). "E101 – مقدمة في تحليل اللانهاية، المجلد 1" . أرشيف أويلر . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2022 .
فوستر، توني (22 يونيو 2015). "نظرية اليوم: النظرية رقم 203" (ملف PDF) . روبن ويتّي. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 11 ديسمبر 2013. تاريخ الاطلاع: 26 أبريل 2022 .
غراغ، ويليام ب. (1974). "تفسيرات المصفوفات وتطبيقات خوارزمية الكسور المستمرة" . مجلة روكي ماونتن للرياضيات . 4 (2): 213. doi : 10.1216/RMJ-1974-4-2-213 . S2CID 121378061 .
هاردي، جودفري هـ.؛ رايت، إدوارد م. (ديسمبر 2008) [1979]. مدخل إلى نظرية الأعداد ( الطبعة السادسة). مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 9780199219865.
هيلرمان، JBH (1846). "Ueber die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche" . مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 33 : 174 - 188.
جونز، ويليام ب.؛ ثرون، دبليو جيه (1980). الكسور المستمرة: النظرية التحليلية وتطبيقاتها. موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها . المجلد 11. ريدينغ، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشر. ISBN 0-201-13510-8.
خينشين، أ. يا. (1964) [نُشرت أصلاً باللغة الروسية عام 1935]. الكسور المستمرة . مطبعة جامعة شيكاغو . ISBN 0-486-69630-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
لونغ، كالفن ت. (ديسمبر 1972). مقدمة تمهيدية في نظرية الأعداد ( الطبعة الثانية). ليكسينغتون: دي سي هيث وشركاه . ISBN 9780669627039.
ماغنوس، آرني (1962). "الكسور المستمرة المرتبطة بجدول باديه". مجلة الرياضيات 78 : 361-374 . doi : 10.1007/BF01195180 . S2CID 120535167 .
نيفن، إيفان؛ زوكرمان، هربرت س.؛ مونتغمري، هيو ل. (1991). مدخل إلى نظرية الأعداد ( الطبعة الخامسة). نيويورك: وايلي . ISBN 0-471-62546-9.
بيرون، أوسكار (1950). Die Lehre von den Kettenbrüchen . نيويورك، نيويورك: شركة تشيلسي للنشر.
بيتوفريزو، أنتوني جيه؛ بيركيت، دونالد آر. (ديسمبر 1970). عناصر نظرية الأعداد . إنجلوود كليفس: برنتيس هول . ISBN 9780132683005.
ريجر، جورج يوهان (1982). "نهج جديد للأعداد الحقيقية (بدافع من الكسور المستمرة)" (PDF) . Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft . 33 : 205– 217. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2020-12-10.
روكيت، أندرو م.؛ سزوز، بيتر (1992). الكسور المستمرة . دار النشر العالمية العلمية. ISBN 981-02-1047-7.
سانديفير، سي. إدوارد (2006). "الفصل 32: من أثبت أن e عدد غير نسبي؟". كيف فعلها أويلر (ملف PDF) . الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 185-190 . ISBN 978-0-88385-563-8. LCCN 2007927658 . مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 2014-03-19.
شاينرمان، إد؛ بيكيت، توماس جيه؛ كولمان، آن (2008). " كسر مستمر آخر لـ π". المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية . 115 (10): 930-933 . doi : 10.1080/00029890.2008.11920610 . JSTOR 27642639. S2CID 11914017 .
شومايك، كين (1995). "1.4: التقريب العقلاني" . في بايث، آلان دبليو (محرر). جواهر الرسومات 5 (إصدار IBM) . سان دييغو، كاليفورنيا: أكاديميك برس. ص 25-31 . ISBN 0-12-543455-3.
سيبيك، هـ. (1846). "Ueberperiodische Kettenbrüche" . مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 33 : 68 – 70.
ثيل، م. (2008). "خوارزمية تقريب أكثر دقة للأعداد النسبية". الحوسبة . 82 ( 2-3 ): 189-198 . doi : 10.1007/s00607-008-0006-7 . S2CID 45166490 .
ثورستون، بن (2012). "تقدير الجذور التربيعية، صيغة الكسر المستمر المعممة لكل جذر تربيعي" . مدونة بن بول ثورستون . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2022 .
وال، هوبرت ستانلي (1948). النظرية التحليلية للكسور المستمرة . شركة دي. فان نوستراند. رقم ISBN 0-8284-0207-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
وايسشتاين، إريك وولفغانغ (2022). ماث وورلد (محرر). "الكسور الدورية المستمرة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2022 .

روابط خارجية

"الكسور المستمرة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
نوت، رون (2018). "الكسور المستمرة (تتوفر حاسبة إلكترونية للكسور المستمرة المركبة)" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2022 .
يستعرض كتاب ليناس فيبستاس " الكسور المستمرة والفجوات " (2004) الهياكل الفوضوية في الكسور المستمرة.
الكسور المستمرة على شجرة البروكلي ستيرن عند قطع العقدة
آلية أنتيكيثيرا 1: نسب التروس والكسور المستمرة. مؤرشف بتاريخ 4 مايو 2009 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
حاسبة الكسور المستمرة ، WIMS.
حساب الكسور المستمرة: أول ورقة بحثية لجوسبر حول الكسور المستمرة، غير منشورة. محفوظة في أرشيف الإنترنت ( Wayback Machine).
وايسشتاين، إريك دبليو. "الكسور المستمرة" . عالم الرياضيات .
الكسور المستمرة من تأليف ستيفن وولفرام وتقريبات الكسور المستمرة لدالة الظل من تأليف مايكل تروت، مشروع وولفرام للعروض التوضيحية .
تسلسل OEIS A133593 ("كسر مستمر دقيق لـ π")
نظرة على "الاستيفاء الكسري" لكسر مستمر ${1؛ 1، 1، 1، ...$ }
أفضل تقريب نسبي من خلال الكسور المستمرة
الكسور المتتابعة بقلم سي دي أولدز

[FOOTNOTEPettofrezzoByrkit1970150-1] 1 2 Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص. 150.

[FOOTNOTELong1972173-2] 1 2 Long 1972 ، ص. 173.

[FOOTNOTEPettofrezzoByrkit1970152-3] 1 2 Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص. 152.

[FOOTNOTEWeisstein2022-4] 1 2 وايسشتاين 2022 .

[FOOTNOTECollins2001-5] كولينز 2001 .

[6] كاجوري، فلوريان (1925). "لايبنيتز، الباني الرئيسي للرموز الرياضية" . إيزيس . 7 (3): 412-429 . doi : 10.1086/358328 .

[7] سوانسون، إيلين (1999) [1971]. الرياضيات في شكل نص (ملف PDF) . تحديث: أوشين، أرلين؛ شلاير، أنطوانيت ( طبعة محدثة). الجمعية الأمريكية للرياضيات. 2.4.1c "الكسور المستمرة"، ص 18.

[FOOTNOTELong1972183-8] لونغ 1972 ، ص 183.

[FOOTNOTEPettofrezzoByrkit1970158-9] Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص 158.

[FOOTNOTELong1972177-10] لونغ 1972 ، ص 177.

[FOOTNOTEPettofrezzoByrkit1970162–163-11] Pettofrezzo & Byrkit 1970 ، ص 162-163.

[FOOTNOTEThill2008-12] ثيل 2008 .

[FOOTNOTEShoemake1995-13] شوماك 1995 .

[14] جوسبر، آر دبليو (1977). "الملحق 2: حساب الكسور المستمر" .انظر "أبسط منطق متدخل"، الصفحات 29-31.

[15] موراكامي، هيروشي (فبراير 2015). "حساب الأعداد النسبية في فترة يكون مقامها أصغر ما يمكن باستخدام حساب الفترات في برنامج FP". مجلة ACM للاتصالات في الجبر الحاسوبي . 48 (3/4): 134-136 . doi : 10.1145/2733693.2733711 .

[16] ليجيندر ، أدريان ماري (1798). Essai sur la théorie des nombres (باللغة الفرنسية). باريس: دوبرات. ص 27 – 29.

[17] باربولوسي، دومينيك. جاجر، هندريك (1994). "على نظرية ليجيندر في نظرية الكسور المستمرة" . جورنال دي Théorie des Nombres de Bordeaux . 6 (1): 81-94 . دوى : 10.5802/jtnb.106 . جستور 26273940 .

[18] هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1938). مقدمة في نظرية الأعداد . لندن: مطبعة جامعة أكسفورد . الصفحات 140-141 ، 153.

[19] وينر، مايكل ج. (1990). "تحليل تشفير الأسس السرية القصيرة لـ RSA". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 36 (3): 553-558 . doi : 10.1109/18.54902 .

[FOOTNOTEBunderTonien2017-20] بندر وتونين 2017 .

[FOOTNOTEScheinermanPickettColeman2008-21] شاينرمان، بيكيت وكولمان 2008 .

[FOOTNOTEFoster2015-22] فوستر 2015 .

[FOOTNOTEHardyWright2008Theorem_193-23] هاردي ورايت 2008 ، النظرية 193.

[24] "دالة بيسل المعدلة من النوع الأول: المتطابقات (الصيغة 03.02.17.0001)" . functions.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-07-2025 .

[25] "حكمم - الكسور المتتابعة - مسودة، لم تُدقّق بعد" . www.inwap.com . تاريخ الاسترجاع: 31 يوليو 2025 .

[FOOTNOTENivenZuckermanMontgomery1991-26] نيفن، زوكرمان ومونتغمري 1991 .

[FOOTNOTESandifer2006-27] سانديفير 2006 .

[FOOTNOTEEuler1748-28] أويلر 1748 .

[ 1 ]

[

[

[ 4 ]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[ 10 ]

[ 11 ]

[

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[

[ 27 ]

[ 28 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗