وظائف الأرضية والسقف

يمكن استخدام هذه الصيغ لتبسيط التعبيرات التي تتضمن الأرضيات والأسقف. ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}}$

في لغة نظرية الترتيب ، دالة الأرضية هي دالة متبقية ، أي جزء من اتصال غالوا : إنها المرافق العلوي للدالة التي تدمج الأعداد الصحيحة في الأعداد الحقيقية.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ إذا وفقط إذا }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

توضح هذه الصيغ كيف يؤثر إضافة عدد صحيح n إلى الوسائط على الدوال:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

ما سبق لا يكون صحيحًا أبدًا إذا لم يكن n عددًا صحيحًا؛ ومع ذلك، بالنسبة لكل x و y ، فإن المتباينات التالية صحيحة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{محاذاة}}}$

كلتا الدالتين الأرضية والسقفية هما دالتان غير متناقصتين بشكل رتيب :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}$

يتضح من التعريفات أن

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$ تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان x عددًا صحيحًا، أي

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ إذا كان }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ إذا كان }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

في الواقع، بالنسبة للأعداد الصحيحة n ، فإن كلاً من دالتي الجزء الصحيح والجزء المغلق هما دالة الوحدة :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

يؤدي نفي الحجة إلى تبديل مستوى الصوت وسقفه وتغيير الإشارة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

و:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{إذا كان }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

إن نفي الحجة يكمل الجزء الكسري:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{إذا كان }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

دوال الجزء السفلي، والجزء العلوي، والجزء الكسري هي دوال متطابقة :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

نتيجة تداخل وظائف الأرضية أو السقف هي الوظيفة الداخلية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

بسبب خاصية الهوية للأعداد الصحيحة.

إذا كان m و n عددين صحيحين و n ≠ 0،

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

إذا كانت قيمة n موجبة ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

إذا كانت قيمة m موجبة ^{[ 13 ]}

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

بالنسبة لـ m = 2، فإن هذا يعني

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

وبشكل أعم، ^{[ 14 ]} بالنسبة لـ m الموجبة (انظر متطابقة هيرميت )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

يمكن استخدام ما يلي لتحويل الأرضيات إلى أسقف والعكس صحيح (مع كون m موجبًا) ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة تمامًا m و n : ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

والذي، بالنسبة لـ m و n الموجبين والأوليين فيما بينهما ، يختزل إلى

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

وبالمثل بالنسبة لدوال السقف والجزء الكسري (مع مراعاة أن m و n موجبتان وأوليتان فيما بينهما ) .

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

بما أن الجانب الأيمن من الحالة العامة متناظر في m و n ، فإن هذا يعني أن

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

وبشكل أعم، إذا كانت قيمتا m و n موجبتين،

$[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم قانون المعاملة بالمثل . ^{[ 17 ]}

القسمة على أعداد صحيحة موجبة تُنتج خاصية مثيرة للاهتمام ومفيدة أحيانًا. بافتراض${\displaystyle m,n>0}$،

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

بصورة مماثلة،

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

بالفعل،

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

مع الأخذ في الاعتبار أن${\textstyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor .}$ ويمكن إثبات التكافؤ الثاني الذي يتضمن دالة السقف بطريقة مماثلة.

إذا كان d عددًا صحيحًا موجبًا حيث x أكبر من d ، فإن ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \left\{{\frac {x}{d}}\right\}={\frac {\{x\}+r}{d}}{\text{ و }}\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor ={\frac {\lfloor {x}\rfloor -r}{d}},}$

أين${\textstyle 0\leq r\leq d-1}$هو باقي القسمة${\textstyle \lfloor {x}\rfloor }$بواسطة د

بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، وأعداد حقيقية اختيارية m و x : ^{[ 19 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor }{n}}\right\rfloor &=\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor \\[4px]\left\lceil {\frac {\left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil }{n}}\right\rceil &=\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .\end{aligned}}}$

لا توجد أي من الدوال التي نوقشت في هذه المقالة متصلة ، ولكن جميعها خطية متقطعة : الدوال${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$،${\displaystyle \lceil x\rceil }$، و${\displaystyle \{x\}}$توجد انقطاعات عند الأعداد الصحيحة.

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$هو شبه متصل علوي و${\displaystyle \lceil x\rceil }$و${\displaystyle \{x\}}$هي شبه متصلة سفلية.

بما أن جميع الدوال المذكورة في هذه المقالة غير متصلة، فلا يوجد لها متسلسلة قوى . ولأن دالتيّ الجزء السفلي والعلوي ليستا دوريتين، فلا توجد لهما متسلسلة فورييه متقاربة بانتظام . أما دالة الجزء الكسري فلها متسلسلة فورييه ^{[ 20 ].}$${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$ لأن x ليس عددًا صحيحًا.

عند نقاط عدم الاستمرارية، تتقارب متسلسلة فورييه إلى قيمة هي متوسط ​​حدودها على اليسار واليمين، على عكس دوال الجزء السفلي والعلوي والكسري: بالنسبة لـ y ثابتة و x مضاعف لـ y، فإن متسلسلة فورييه المعطاة تتقارب إلى y /2، بدلاً من x  mod y = 0. عند نقاط الاستمرارية، تتقارب المتسلسلة إلى القيمة الحقيقية.   

باستخدام الصيغة${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$أعطِ $${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$ لأن x ليس عددًا صحيحًا.

بالنسبة لعدد صحيح x وعدد صحيح موجب y ، فإن عملية باقي القسمة ، التي يُرمز لها بـ x mod y ، تُعطي قيمة الباقي عند قسمة x على y . ويمكن تعميم هذا التعريف ليشمل الأعداد الحقيقية x و y ، حيث y ≠ 0، باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle x{\bmod {y}}=xy\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

وبناءً على تعريف دالة الجزء الصحيح، فإن هذه العملية الموسعة تحقق العديد من الخصائص الطبيعية. ومن الجدير بالذكر أن قيمة x mod y تقع دائمًا بين 0 و y ، أي

إذا كانت قيمة y موجبة،

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}<y,}$

وإذا كانت قيمة y سالبة،

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

يتضمن برهان غاوس الثالث على التبادلية التربيعية ، بصيغته المعدلة من قبل أيزنشتاين، خطوتين أساسيتين. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

ليكن p و q عددين أوليين فرديين موجبين مختلفين، وليكن${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

أولاً، تُستخدم ليمّة غاوس لإثبات أن رموز ليجندر تُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

الخطوة الثانية هي استخدام حجة هندسية لإثبات ذلك.

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

بدمج هذه الصيغ نحصل على التبادل التربيعي بالشكل التالي:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

توجد صيغ تستخدم الجزء الصحيح للتعبير عن الخاصية التربيعية للأعداد الصغيرة modulo الأعداد الأولية الفردية p : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

لأي عدد حقيقي${\displaystyle x}$، التقريب${\displaystyle x}$يُعطى التقريب لأقرب عدد صحيح مع كسر التعادل باتجاه اللانهاية الموجبة بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil$ ;}

التقريب نحو سالب ما لا نهاية يُعطى على النحو التالي

${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor .}$

إذا كانت قيمة كسر التعادل بعيدة عن الصفر، فإن دالة التقريب هي

${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$

(أين${\displaystyle \operatorname {sgn} }$دالة الإشارة هي )، ويمكن التعبير عن التقريب نحو الأعداد الزوجية باستخدام الصيغة الأكثر تعقيدًا.

${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rfloor -1,}$

وهو التعبير أعلاه للتقريب نحو اللانهاية الموجبة${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ناقص مؤشر التكامل لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$.

تقريب عدد حقيقي${\displaystyle x}$يُشكل التقريب إلى أقرب قيمة عددية صحيحة نوعًا أساسيًا جدًا من المُكمِّمات - وهو المُكمِّم المُنتظم . المُكمِّم المُنتظم النموذجي ( في منتصف الدورة ) ذو حجم خطوة تكميم يساوي قيمة معينة${\displaystyle \Delta }$يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$،

عدد الأرقام في النظام العددي ذي الأساس b لعدد صحيح موجب k هو

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

عدد السلاسل الممكنة ذات الطول العشوائي والتي لا تستخدم أي حرف مرتين يتم تحديده بواسطة ^{[ 24 ]}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

أين:

• n > 0 هو عدد الأحرف في الأبجدية (على سبيل المثال، 26 في اللغة الإنجليزية )
• العامل التنازلي${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$يشير إلى عدد السلاسل ذات الطول k التي لا تستخدم أي حرف مرتين.
• n ! يرمز إلى مضروب العدد n
• e = 2.718... هو عدد أويلر

بالنسبة لـ n = 26، فإن هذا يساوي 1096259850353149530222034277.

ليكن n عددًا صحيحًا موجبًا و p عددًا أوليًا موجبًا . يُعطى أس أعلى قوة لـ p التي تقسم n ! بواسطة صيغة من صيغة ليجاندر ^{[ 25 ].}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

أين${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$هذه هي طريقة كتابة n في الأساس p . هذا مجموع محدود، لأن الأجزاء السفلية تساوي صفرًا عندما يكون p ^k > n .

تُظهر متتالية بيتي كيف أن كل عدد غير نسبي موجب يؤدي إلى تقسيم الأعداد الطبيعية إلى متتاليتين عبر دالة الجزء الصحيح. ^{[ 26 ]}

توجد صيغ لثابت أويلر γ = 0.57721 56649 ... التي تتضمن الحد الأدنى والحد الأقصى، على سبيل المثال ^{[ 27 ]}

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

و

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

تظهر دالة الجزء الكسري أيضًا في التمثيلات التكاملية لدالة زيتا لريمان . من السهل إثبات (باستخدام التكامل بالتجزئة ) ^{[ 28 ]} أنه إذا${\displaystyle \varphi (x)}$هي أي دالة ذات مشتقة متصلة في الفترة المغلقة [ a , b ]،

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

تأجير${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$بالنسبة للجزء الحقيقي من s الأكبر من 1، وبفرض أن a و b عددان صحيحان، وبفرض أن b يقترب من اللانهاية، نحصل على

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

هذه الصيغة صالحة لجميع قيم s التي يكون جزءها الحقيقي أكبر من -1 (باستثناء s = 1، حيث يوجد قطب)، ويمكن استخدامها مع متسلسلة فورييه لـ { x } لتمديد دالة زيتا إلى المستوى المركب بأكمله ولإثبات معادلتها الوظيفية. ^{[ 29 ]}

بالنسبة لـ s = σ + it في الشريط الحرج 0 < σ < 1،

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

في عام 1947، استخدم فان دير بول هذا التمثيل لبناء حاسوب تناظري لإيجاد جذور دالة زيتا. ^{[ 30 ]}

تظهر دالة الجزء الصحيح في العديد من الصيغ التي تميز الأعداد الأولية. على سبيل المثال، بما أن $${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor ={\begin{cases}1&{\text{if }}m{\text{ divides }}n\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ ويترتب على ذلك أن العدد الصحيح الموجب n هو عدد أولي إذا وفقط إذا ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

يمكن أيضًا تقديم صيغ لإنتاج الأعداد الأولية. على سبيل المثال، ليكن p _n هو العدد الأولي رقم n ، ولأي عدد صحيح r  >  1، يُعرَّف العدد الحقيقي α بالمجموع التالي:

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

ثم ^{[ 32 ]}

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

نتيجة مماثلة هي وجود عدد θ = 1.3064... ( ثابت ميلز ) يتميز بالخاصية التالية:

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

جميعها أعداد أولية. ^{[ 33 ]}

يوجد أيضًا عدد ω = 1.9287800... يتميز بالخاصية التالية:

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

جميعها أعداد أولية. ^{[ 33 ]}

ليكن π ( x ) عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي x . ومن الاستنتاج المباشر من نظرية ويلسون أن ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

أيضًا، إذا كان n ≥ 2، ^{[ 35 ]}

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\displaystyle \sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

لا توجد أي من الصيغ الواردة في هذا القسم ذات فائدة عملية. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

قدم رامانوجان هذه المسائل إلى مجلة الجمعية الرياضية الهندية . ^{[ 38 ]}

إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا، فأثبت أن

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

تم إثبات بعض التعميمات لهويات دالة الأرضية المذكورة أعلاه. ^{[ 39 ]}

أدت دراسة مشكلة وارينغ إلى مشكلة لم يتم حلها بعد:

هل توجد أي أعداد صحيحة موجبة k ≥ 6 بحيث ^{[ 40 ]}

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\$ ؟}

أثبت ماهلر أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى عدد محدود من هذه القيم k ؛ ولا يُعرف أي منها. ^{[ 41 ]}