التقريب

التقريب هو عملية تحويل عدد إلى قيمة تقريبية أكثر ملاءمة، وغالبًا ما يكون ذلك باستخدام تمثيل أقصر أو أبسط. على سبيل المثال، استبدال 23.4476 دولارًا بـ 23.45 دولارًا، أو الكسر 312/937 بـ 1/3 ، أو التعبير √2 بـ 1.414.

يُلجأ إلى التقريب غالبًا للحصول على قيمة أسهل في الإبلاغ عنها وتوصيلها من القيمة الأصلية. كما يُعدّ التقريب مهمًا لتجنب الإبلاغ الدقيق والمضلل عن رقم أو قياس أو تقدير محسوب؛ فعلى سبيل المثال، من الأفضل عادةً التعبير عن كمية حُسبت على أنها 123456، ولكن من المعروف أن دقتها لا تتجاوز بضع مئات من الوحدات، بأنها "حوالي 123500".

من جهة أخرى، يُؤدي تقريب الأعداد الدقيقة إلى إدخال بعض أخطاء التقريب في النتيجة المُبلغ عنها. يكاد يكون التقريب أمرًا لا مفر منه عند الإبلاغ عن العديد من العمليات الحسابية، لا سيما عند قسمة عددين في العمليات الحسابية الصحيحة أو ذات الفاصلة الثابتة؛ أو عند حساب الدوال الرياضية مثل الجذور التربيعية واللوغاريتمات والجيوب ؛ أو عند استخدام تمثيل الفاصلة العائمة بعدد ثابت من الأرقام المعنوية . في سلسلة من العمليات الحسابية، تتراكم أخطاء التقريب هذه عمومًا ، وفي بعض الحالات غير المستقرة، قد تجعل النتيجة عديمة المعنى.

يُعدّ التقريب الدقيق للدوال الرياضية المتسامية أمرًا صعبًا، لأنّ عدد الأرقام الإضافية اللازمة لتحديد ما إذا كان التقريب للأعلى أو للأسفل غير معروف مسبقًا. تُعرف هذه المشكلة باسم " معضلة صانع الجداول ".

تتشابه عملية التقريب في كثير من جوانبها مع عملية التكميم التي تحدث عندما يتعين ترميز الكميات الفيزيائية بالأرقام أو الإشارات الرقمية .

تُستخدم علامة المساواة المتموجة (≈) أحيانًا للإشارة إلى تقريب الأرقام الدقيقة، على سبيل المثال 9.98 ≈ 10. وقد تم تقديم هذه العلامة بواسطة ألفريد جورج جرينهيل في عام 1892. ^{[ 1 ]}

تشمل الخصائص المثالية لطرق التقريب ما يلي:

يجب أن تتم عملية التقريب بواسطة دالة . بهذه الطريقة، عندما يتم تقريب نفس المدخلات في حالات مختلفة، فإن الناتج لا يتغير.
ينبغي أن تكون الحسابات التي تتم باستخدام التقريب قريبة من تلك التي تتم بدون تقريب.
- ونتيجة لذلك (1) و (2)، يجب أن يكون الناتج من التقريب قريبًا من مدخلاته، وغالبًا ما يكون أقرب ما يمكن.
لكي يُعتبر التقريب عمليةً، يجب أن يكون المدى مجموعةً جزئيةً من المجال ، وغالبًا ما تكون منفصلة . المدى الكلاسيكي هو الأعداد الصحيحة .
ينبغي أن يحافظ التقريب على التناظرات الموجودة أصلاً بين المجال والمدى. مع الدقة المحدودة (أو المجال المنفصل)، يُترجم هذا إلى إزالة التحيز .
ينبغي أن تكون طريقة التقريب مفيدة في علوم الحاسوب أو الحساب البشري حيث يتم استخدام دقة محدودة، وتكون السرعة عاملاً مهماً.

لأنه ليس من الممكن عادةً أن تلبي طريقة ما جميع الخصائص المثالية، توجد العديد من طرق التقريب المختلفة.

كقاعدة عامة، التقريب عملية متكررة لا تتغير ؛ ^{[ 2 ]} أي أنه بمجرد تقريب عدد ما، فإن تقريبه مرة أخرى بنفس الدقة لن يغير قيمته. كما أن دوال التقريب رتيبة ؛ أي أن تقريب عددين بنفس الدقة المطلقة لن يغير ترتيبهما ( ولكن قد يعطي نفس القيمة). في الحالة العامة لنطاق منفصل، تكون دوال التقريب دوالًا ثابتة جزئيًا .

أنواع التقريب

تشمل مشاكل التقريب النموذجية ما يلي:

مشكلة التقريب	مثال على المدخلات	نتيجة	معيار التقريب
تقريب عدد غير نسبي بكسر	$π$	22/7	مقام من رقم واحد
تقريب عدد نسبي بكسر ذي مقام أصغر	399 / 941	3 / 7	مقام من رقم واحد
تقريب الكسر بعدد عشري كسري	5 / 3	1.6667	4 منازل عشرية
تقريب عدد عشري كسري بمقدار واحد باستخدام عدد أقل من الأرقام	2.1784	2.18	منزلتان عشريتان
تقريب عدد صحيح عشري بعدد صحيح ذي أصفار لاحقة أكثر	23217	23200	3 أرقام مهمة
تقريب عدد صحيح عشري كبير باستخدام الترميز العلمي	300999999	$3.01 \times 10 8$	3 أرقام مهمة
تقريب قيمة ما بمضاعفات مبلغ محدد	48.2	45	مضاعفات العدد 15
تقريب كل عدد من مجموعة محدودة من الأعداد الحقيقية بعدد صحيح بحيث يكون مجموع الأعداد المقربة مساوياً لمجموع الأعداد المقربة ^{[ nb 1 ]}	⁠ ${\bigl \{}{\tfrac {3}{12}},{\tfrac {4}{12}},{\tfrac {5}{12}}{\bigr \}}$ ⁠	{0, 0, 1}	مجموع العناصر المقربة يساوي مجموع العناصر المقربة

التقريب إلى عدد صحيح

أبسط أشكال التقريب هو استبدال عدد عشوائي بعدد صحيح. جميع أنماط التقريب التالية هي تطبيقات عملية لإجراء "round()" المجرد ذي الوسيط الواحد. هذه دوال حقيقية (باستثناء تلك التي تستخدم العشوائية).

التقريب الموجه إلى عدد صحيح

تُسمى هذه الطرق الأربع بالتقريب الموجه إلى عدد صحيح ، حيث أن الإزاحات من العدد الأصلي $x$ إلى القيمة المقربة $y$ تكون جميعها موجهة نحو أو بعيدًا عن نفس القيمة الحدية (0، $+\infty$ ، أو $-\infty$ ). يُستخدم التقريب الموجه في حساب الفترات ، وغالبًا ما يكون مطلوبًا في الحسابات المالية.

إذا كانت قيمة $x$ موجبة، فإن التقريب إلى الأسفل يُعادل التقريب نحو الصفر، والتقريب إلى الأعلى يُعادل التقريب بعيدًا عن الصفر. وإذا كانت قيمة $x$ سالبة، فإن التقريب إلى الأسفل يُعادل التقريب بعيدًا عن الصفر، والتقريب إلى الأعلى يُعادل التقريب نحو الصفر. في جميع الأحوال، إذا كانت $x$ عددًا صحيحًا، $فإن y$ هي $x$ نفسها .

عند إجراء العديد من العمليات الحسابية بالتتابع، قد يكون لاختيار طريقة التقريب تأثير بالغ على النتيجة. ومن الأمثلة الشهيرة على ذلك مؤشر جديد أنشأته بورصة فانكوفر عام ١٩٨٢. حُدِّد المؤشر مبدئيًا عند ١٠٠٠٠٠٠ (بدقة ثلاثة أرقام عشرية)، وبعد ٢٢ شهرًا انخفض إلى حوالي ٥٢٠، على الرغم من أن السوق بدا في حالة صعود. كانت المشكلة ناتجة عن إعادة حساب المؤشر آلاف المرات يوميًا، مع تقريبه دائمًا إلى ثلاثة أرقام عشرية، مما أدى إلى تراكم أخطاء التقريب. أدى إعادة حساب المؤشر للفترة نفسها باستخدام التقريب لأقرب جزء من ألف بدلًا من التقريب إلى تصحيح قيمة المؤشر من ٥٢٤٨١١ إلى ١٠٩٨٨٩٢. ^{[ ٣ ]}

بالنسبة للأمثلة أدناه، يشير $sgn(x)$ إلى دالة الإشارة المطبقة على الرقم الأصلي $x$ .

التقريب إلى الأسفل

يمكن للمرء أن يقوم بالتقريب إلى الأسفل (أو يأخذ الجزء الصحيح ، أو التقريب نحو اللانهاية السالبة ): $y$ هو أكبر عدد صحيح لا يتجاوز $x$ .

y=\mathrm {floor} (x)=\left\lfloor x\right\rfloor =-\left\lceil -x\right\rceil

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.7 إلى 23، ويتم تقريب -23.2 إلى -24.

تقريب النتائج

يمكن أيضًا التقريب لأعلى (أو أخذ السقف ، أو التقريب نحو اللانهاية الموجبة ): $y$ هو أصغر عدد صحيح ليس أقل من $x$ .

y=\operatorname {ceil} (x)=\left\lceil x\right\rceil =-\left\lfloor -x\right\rfloor

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.2 إلى 24، ويتم تقريب -23.7 إلى -23.

التقريب نحو الصفر

يمكن أيضًا التقريب نحو الصفر (أو الاقتطاع ، أو التقريب بعيدًا عن اللانهاية ): $y$ هو العدد الصحيح الأقرب إلى $x$ بحيث يكون بين 0 و $x$ (بما في ذلك)؛ أي أن $y$ هو الجزء الصحيح من $x$ ، بدون أرقامه الكسرية.

y=\operatorname {truncate} (x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|\right\rfloor =-\operatorname {sgn}(x)\left\lceil -|x|\right\rceil ={\begin{cases}\left\lfloor x\right\rfloor &x\geq 0\\[5mu]\left\lceil x\right\rceil &x<0\end{cases}}

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.7 إلى 23، ويتم تقريب -23.7 إلى -23.

التقريب بعيدًا عن الصفر

يمكن أيضًا التقريب بعيدًا عن الصفر (أو التقريب نحو اللانهاية ): $y$ هو العدد الصحيح الأقرب إلى 0 (أو بشكل مكافئ، إلى $x$ ) بحيث يكون $x$ بين 0 و $y$ (بما في ذلك).

y=\operatorname {sgn}(x)\left\lceil |x|\right\rceil =-\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor -|x|\right\rfloor ={\begin{cases}\left\lceil x\right\rceil &x\geq 0\\[5mu]\left\lfloor x\right\rfloor &x<0\end{cases}}

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.2 إلى 24، ويتم تقريب -23.2 إلى -24.

التقريب إلى أقرب عدد صحيح

تُسمى هذه الطرق الست بالتقريب إلى أقرب عدد صحيح . يتطلب تقريب العدد $x$ إلى أقرب عدد صحيح قاعدة لكسر التعادل في الحالات التي يكون فيها $x$ في منتصف المسافة بين عددين صحيحين تمامًا - أي عندما يكون الجزء الكسري من $x$ هو 0.5 بالضبط.

لولا الأجزاء الكسرية 0.5، لكانت أخطاء التقريب الناتجة عن طريقة التقريب إلى أقرب عدد متناظرة: لكل كسر يتم تقريبه إلى الأسفل (مثل 0.268)، يوجد كسر مكمل (وهو 0.732) يتم تقريبه إلى الأعلى بنفس المقدار.

عند تقريب مجموعة كبيرة من الأعداد ذات الفاصلة الثابتة ذات الأجزاء الكسرية الموزعة بانتظام ، فإن أخطاء التقريب لجميع القيم، باستثناء تلك التي تحتوي على جزء كسري 0.5، تتعادل إحصائيًا. وهذا يعني أن القيمة المتوقعة (المتوسطة) للأعداد المقربة تساوي القيمة المتوقعة للأعداد الأصلية عند حذف الأعداد التي تحتوي على جزء كسري 0.5 من المجموعة.

في الممارسة العملية، يتم استخدام الأرقام العشرية عادةً، والتي تحتوي على المزيد من الفروق الدقيقة الحسابية لأنها ليست متباعدة بالتساوي.

تقريب النصف لأعلى

يمكن تقريب النصف لأعلى (أو تقريبه نحو اللانهاية الموجبة )، وهي قاعدة شائعة الاستخدام في العديد من المجالات لحلّ التعادلات. أي أن قيم $x$ التي تقع في منتصف المسافة تُقرّب دائمًا لأعلى. فإذا كان الجزء الكسري من $x$ يساوي 0.5 بالضبط، فإن $y$ $=$ $x$ $+ 0.5$

y=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =-\left\lceil -x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.5 إلى 24، ويتم تقريب -23.5 إلى -23.

تستخدم بعض لغات البرمجة (مثل جافا وبايثون) مصطلح "نصف لأعلى" للإشارة إلى تقريب العدد إلى نصف المسافة بعيدًا عن الصفر بدلاً من تقريبه إلى نصف المسافة باتجاه اللانهاية الموجبة . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

لا تتطلب هذه الطريقة سوى التحقق من رقم واحد لتحديد اتجاه التقريب في نظام المتمم الثنائي والتمثيلات المماثلة.

تقريب النصف لأسفل

يمكن أيضًا تقريب النصف إلى الأسفل (أو تقريب النصف باتجاه سالب ما لا نهاية ) بدلًا من التقريب الأكثر شيوعًا إلى الأعلى . إذا كان الجزء الكسري من $x$ يساوي 0.5 بالضبط، فإن $y = x - 0.5$

y=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =-\left\lfloor -x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.5 إلى 23، ويتم تقريب -23.5 إلى -24.

تستخدم بعض لغات البرمجة (مثل جافا وبايثون) مصطلح "نصف لأسفل" للإشارة إلى تقريب نصف العدد باتجاه الصفر بدلاً من تقريب نصف العدد باتجاه سالب ما لا نهاية . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

تقريب النصف نحو الصفر

يمكن أيضًا تقريب النصف نحو الصفر (أو تقريب النصف بعيدًا عن اللانهاية ) بدلًا من التقريب التقليدي للنصف بعيدًا عن الصفر . إذا كان الجزء الكسري من $x$ يساوي 0.5 بالضبط، فإن $y = x - 0.5$ إذا كانت $x$ موجبة، و $y = x + 0.5$ إذا كانت $x$ سالبة.

y=\operatorname {sgn}(x)\left\lceil |x|-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =-\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor -|x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor ={\begin{cases}\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor &x\geq 0\\[5mu]\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil &x<0\end{cases}}

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.5 إلى 23، ويتم تقريب -23.5 إلى -23.

تتعامل هذه الطريقة مع القيم الموجبة والسالبة بشكل متناظر، وبالتالي فهي خالية من التحيز الإيجابي/السلبي العام إذا كانت الأرقام الأصلية موجبة أو سالبة باحتمالية متساوية. ومع ذلك، لا تزال تعاني من تحيز نحو الصفر.

تقريب نصف المسافة من الصفر

يمكن أيضًا تقريب النصف بعيدًا عن الصفر (أو تقريب النصف نحو اللانهاية )، وهي قاعدة كسر التعادل التي يتم تدريسها واستخدامها بشكل شائع، وهي: إذا كان الجزء الكسري من $x$ يساوي 0.5 بالضبط، فإن $y = x + 0.5$ إذا كانت $x$ موجبة، و $y = x - 0.5$ إذا كانت $x$ سالبة.

y=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =-\operatorname {sgn}(x)\left\lceil -|x|-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil ={\begin{cases}\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil &x\geq 0\\[5mu]\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor &x<0\end{cases}}

على سبيل المثال، يتم تقريب 23.5 إلى 24، ويتم تقريب -23.5 إلى -24.

قد يكون هذا الأسلوب أكثر كفاءة على أجهزة الكمبيوتر التي تستخدم تمثيل الإشارة والمقدار للقيم المراد تقريبها، لأنه لا يلزم سوى النظر إلى الرقم الأول المحذوف لتحديد ما إذا كان التقريب لأعلى أو لأسفل. هذه إحدى الطرق المستخدمة عند التقريب إلى أرقام معنوية نظرًا لبساطتها.

تُعرف هذه الطريقة أيضاً بالتقريب التجاري ، وهي تُعامل القيم الموجبة والسالبة بشكل متناظر، وبالتالي فهي خالية من التحيز الإيجابي/السلبي الكلي إذا كانت الأرقام الأصلية موجبة أو سالبة باحتمالية متساوية. ومع ذلك، فإنها لا تزال تُظهر تحيزاً بعيداً عن الصفر.

غالباً ما يتم استخدامه لتحويل العملات وتقريب الأسعار (عندما يتم تحويل المبلغ أولاً إلى أصغر جزء مهم من العملة، مثل سنتات اليورو) لأنه من السهل شرحه بمجرد النظر إلى الرقم الكسري الأول، بغض النظر عن أرقام الدقة التكميلية أو إشارة المبلغ (للمساواة الصارمة بين دافع المبلغ ومستلمه).

تقريب النصف إلى عدد صحيح

يمكن أيضًا تقريب النصف إلى عدد زوجي ، وهي قاعدة لكسر التعادل دون تحيز إيجابي/سلبي أو تحيز نحو الصفر أو بعيدًا عنه. وفقًا لهذا الاصطلاح، إذا كان الجزء الكسري من $x$ يساوي 0.5، فإن $y$ هو العدد الزوجي الأقرب إلى $x$ . وبالتالي، على سبيل المثال، يصبح 23.5 هو 24، وكذلك 24.5؛ ومع ذلك، يصبح -23.5 هو -24، وكذلك -24.5. تقلل هذه الدالة الخطأ المتوقع عند جمع الأرقام المقربة، بغض النظر عما إذا كانت المدخلات موجبة في الغالب أو سالبة في الغالب، بشرط ألا تكون زوجية في الغالب أو فردية في الغالب.

يُطلق على هذا النوع من طريقة التقريب إلى أقرب عدد اسم التقريب التقاربي ، أو تقريب الإحصائي ، أو التقريب الهولندي ، أو التقريب الغاوسي ، أو التقريب الفردي-الزوجي ، ^{[ 6 ]} أو تقريب المصرفيين . ^{[ 7 ]}

هذا هو وضع التقريب الافتراضي المستخدم في عمليات IEEE 754 للنتائج بتنسيقات الفاصلة العائمة الثنائية.

من خلال القضاء على التحيز، فإن الجمع أو الطرح المتكرر للأعداد المستقلة، كما هو الحال في المشي العشوائي أحادي البعد ، سيعطي نتيجة مقربة مع خطأ يميل إلى النمو بما يتناسب مع الجذر التربيعي لعدد العمليات بدلاً من النمو الخطي.

مع ذلك، تُشوّه هذه القاعدة التوزيع بزيادة احتمالية الأعداد الزوجية مقارنةً بالأعداد الفردية. ولذلك، تُستخدم هذه القاعدة في الحالات التي تكون فيها المجاميع أهم من التوزيع.

تقريب النصف إلى عدد فردي

يمكن أيضًا تقريب النصف إلى عدد فردي ، وهي قاعدة مشابهة لتقريب النصف إلى عدد زوجي في حالة التعادل. في هذه الحالة، إذا كان الجزء الكسري من $x$ يساوي 0.5، فإن $y$ هو العدد الفردي الأقرب إلى $x$ . وبالتالي، على سبيل المثال، يصبح 23.5 هو 23، وكذلك 22.5؛ بينما يصبح -23.5 هو -23، وكذلك -22.5.

تخلو هذه الطريقة أيضًا من التحيز الإيجابي/السلبي والتحيز نحو/بعيدًا عن الصفر، شريطة ألا تكون الأعداد المراد تقريبها زوجية في الغالب أو فردية في الغالب. كما أنها تشترك مع طريقة تقريب النصف إلى الزوجي في تشويه التوزيع الأصلي، حيث تزيد من احتمالية الأعداد الفردية مقارنةً بالأعداد الزوجية. وقد استُخدمت هذه الطريقة لحساب أرصدة البنوك في المملكة المتحدة عند اعتمادها النظام العشري لعملتها ^{[ 8 ]} .

نادرًا ما يُستخدم هذا الخيار في العمليات الحسابية، إلا في الحالات التي يُراد فيها تجنب زيادة نطاق الأعداد العشرية ذات الأسس المحدودة. عند استخدام خيار " تقريب النصف إلى عدد زوجي" ، يُقرَّب العدد غير اللانهائي إلى اللانهاية، وتُقرَّب القيمة غير الطبيعية الصغيرة إلى قيمة طبيعية غير صفرية. عمليًا، يُفضِّل هذا الوضع الحفاظ على النطاق الحالي للأعداد المتساوية، متجنبًا النتائج الخارجة عن النطاق قدر الإمكان لأنظمة العد ذات الأساس الزوجي (مثل النظام الثنائي والعشري) .

التقريب العشوائي إلى عدد صحيح

كسر التعادل بالتناوب

إحدى الطرق، وإن كانت أقل شيوعًا، هي تقريب عدد يحتوي على جزء كسري مقداره 0.5 بالتناوب. أما باقي الأعداد، فيتم تقريبها إلى أقرب عدد صحيح. عندما يكون الجزء الكسري 0.5، يتم التقريب بالتناوب لأعلى أو لأسفل: عند أول ظهور للجزء الكسري 0.5، يُقرّب لأعلى، وعند ثاني ظهور، يُقرّب لأسفل، وهكذا. ويمكن تحديد تقريب أول جزء كسري مقداره 0.5 باستخدام قيمة عشوائية . ويمكن أن يكون "لأعلى" و"لأسفل" أي طريقتين للتقريب متعاكستين - باتجاه اللانهاية الموجبة وبعيدًا عنها، أو باتجاه الصفر وبعيدًا عنه.

إذا تكررت أجزاء كسرية مقدارها 0.5 بشكل ملحوظ أكثر من إعادة بدء عملية "العد"، فإنها تكون خالية من التحيز فعليًا. وبفضل ضمان انعدام التحيز، تُعدّ هذه الطريقة مفيدة عند جمع الأرقام أو حساب متوسطها.

كسر التعادل العشوائي

إذا كان الجزء الكسري من $x$ يساوي 0.5، فاختر $قيمة y$ عشوائيًا بين $x + 0.5$ و $x - 0.5$ ، باحتمالية متساوية. أما باقي القيم فتُقرّب إلى أقرب عدد صحيح.

على غرار قاعدة التقريب إلى النصف للعدد الزوجي والنصف للعدد الفردي، تخلو هذه القاعدة أساسًا من أي تحيز عام، كما أنها عادلة بين قيم $y$ الزوجية والفردية . ومن مزاياها مقارنةً بقواعد كسر التعادل البديلة، عدم الحاجة إلى "تذكر" اتجاه التقريب الأخير للجزء الكسري 0.5.

التقريب العشوائي

يُطلق على التقريب كما يلي إلى أقرب عدد صحيح باتجاه سالب ما لا نهاية وأقرب عدد صحيح باتجاه موجب ما لا نهاية، باحتمالية تعتمد على القرب، اسم التقريب العشوائي ، وسيعطي نتيجة غير متحيزة في المتوسط. ^{[ 9 ]}

\operatorname {Round} (x)={\begin{cases}\lfloor x\rfloor &{\text{ باحتمالية }}1-(x-\lfloor x\rfloor )=\lfloor x\rfloor -x+1\\[5mu]\lfloor x\rfloor +1&{\text{ باحتمالية }}{x-\lfloor x\rfloor }\end{cases}}

على سبيل المثال، سيتم تقريب 1.6 إلى 1 باحتمالية 0.4 وإلى 2 باحتمالية 0.6.

يمكن أن يكون التقريب العشوائي دقيقًا بشكلٍ لا يمكن لدالة التقريب العادية تحقيقه . على سبيل المثال، لنفترض أننا بدأنا بصفر وأضفنا إليه 0.3 مئة مرة مع تقريب المجموع التراكمي بين كل إضافة. ستكون النتيجة صفرًا مع التقريب العادي، ولكن مع التقريب العشوائي، ستكون النتيجة المتوقعة 30، وهي نفس القيمة التي تم الحصول عليها بدون تقريب. يمكن أن يكون هذا مفيدًا في التعلم الآلي حيث قد يستخدم التدريب عمليات حسابية منخفضة الدقة بشكل تكراري. ^{[ 9 ]} يُعد التقريب العشوائي أيضًا طريقة لتحقيق التذبذب أحادي البعد .

مقارنة بين طرق التقريب إلى عدد صحيح

قيمة	الأساليب الوظيفية											الأساليب العشوائية
	التقريب الموجه				قرّب إلى أقرب عدد صحيح						التقريب للتحضير لدقة أقصر	كسر التعادل بالتناوب		كسر التعادل العشوائي		ستوكاستيك
	إلى الأسفل (باتجاه − ∞ )	لأعلى (باتجاه + ∞ )	نحو الصفر	بعيدًا عن 0	نصف لأسفل (باتجاه − ∞ )	نصف للأعلى (باتجاه + ∞ )	نصف الطريق نحو الصفر	نصف المسافة من الصفر	نصف إلى 1/	نصف إلى فردي	التقريب للتحضير لدقة أقصر	متوسط	SD	متوسط	SD	متوسط	SD
+2.8	+2	+3	+2	+3	+3	+3	+3	+3	+3	+3	+2	+3	0	+3	0	+2.8	0.04
+2.5					+2	+3	+2	+3	+2	+3		+2.505	0	+2.5	0.05	+2.5	0.05
+2.2						+2		+2		+2		+2	0	+2	0	+2.2	0.04
+1.8	+1	+2	+1	+2						+2	+1	+2	0	+2	0	+1.8	0.04
+1.5					+1		+1			+1		+1.505	0	+1.5	0.05	+1.5	0.05
+1.2						+1		+1	+1			+1	0	+1	0	+1.2	0.04
+0.8	0	+1	0	+1					+1			+1	0	+1	0	+0.8	0.04
+0.5					0		0		0			+0.505	0	+0.5	0.05	+0.5	0.05
+0.2						0		0		0		0	0	0	0	+0.2	0.04
-0.2	-1	0		-1				0		0	-1	0	0	0	0	-0.2	0.04
-0.5					-1			-1		-1		-0.495	0	-0.5	0.05	-0.5	0.05
-0.8						-1	-1		-1			-1	0	-1	0	-0.8	0.04
-1.2	-2	-1	-1	-2					-1			-1	0	-1	0	-1.2	0.04
-1.5					-2			-2	-2			-1.495	0	-1.5	0.05	-1.5	0.05
-1.8						-2	-2			-2		-2	0	-2	0	-1.8	0.04
-2.2	-3	-2	-2	-3						-2	-2	-2	0	-2	0	-2.2	0.04
-2.5					-3			-3		-3		-2.495	0	-2.5	0.05	-2.5	0.05
-2.8					-3	-3	-3	-3	-3	-3		-3	0	-3	0	-2.8	0.04

التقريب إلى قيم أخرى

التقريب إلى مضاعف محدد

إن أكثر أنواع التقريب شيوعًا هو التقريب إلى عدد صحيح؛ أو بشكل عام، إلى مضاعف صحيح لبعض الزيادة - مثل التقريب إلى أعشار الثواني، أو أجزاء من مئة من الدولار، أو إلى مضاعفات صحيحة لـ 1/2 أو 1/8 بوصة، أو إلى عشرات أو آلاف صحيحة، وما إلى ذلك.

بشكل عام، يتطلب تقريب العدد $x$ إلى مضاعف لقيمة موجبة محددة $m$ الخطوات التالية:

\mathrm {roundToMultiple} (x,m)=\mathrm {round} (x/m)\times m

على سبيل المثال، تقريب $x = 2.1784$ دولار إلى سنتات كاملة (أي إلى مضاعف 0.01) يستلزم حساب $2.1784 / 0.01 = 217.84$ ، ثم تقريب ذلك إلى 218، وأخيراً حساب $218 \times 0.01 = 2.18$ .

عند التقريب إلى عدد محدد مسبقًا من الأرقام المعنوية ، تعتمد الزيادة $m$ على مقدار الرقم المراد تقريبه (أو على النتيجة المقربة).

عادةً ما تكون الزيادة $m$ كسرًا محدودًا في أي نظام عددي يُستخدم لتمثيل الأرقام. عند عرضها للبشر، يُقصد بها عادةً النظام العشري (أي أن $m$ عدد صحيح مضروب في قوة من قوى العدد 10، مثل 1/1000 أو 25/100). أما بالنسبة للقيم الوسيطة المخزنة في الحواسيب الرقمية، فغالبًا ما يُقصد بها النظام الثنائي ( حيث $m$ عدد صحيح مضروب في قوة من قوى العدد 2).

تتضمن الدالة المجردة "round()" ذات الوسيط الواحد، والتي تُعيد عددًا صحيحًا من قيمة حقيقية عشوائية، ما لا يقل عن اثني عشر تعريفًا ملموسًا مختلفًا، مُوضحة في قسم التقريب إلى عدد صحيح . أما الدالة المجردة "roundToMultiple()" ذات الوسيطين، فقد تم تعريفها رسميًا هنا، ولكن في كثير من الحالات، تُستخدم مع القيمة الضمنية $m = 1$ للزيادة، ثم تُختزل إلى الدالة المجردة المكافئة ذات الوسيط الواحد، والتي تتضمن أيضًا نفس التعريفات الملموسة المختلفة.

التقريب اللوغاريتمي

التقريب إلى قوة محددة

التقريب إلى قوة محددة يختلف تمامًا عن التقريب إلى مضاعف محدد ؛ على سبيل المثال، من الشائع في الحوسبة الحاجة إلى تقريب عدد إلى قوة صحيحة للعدد 2. الخطوات، بشكل عام، لتقريب عدد موجب $x$ إلى قوة عدد موجب $b$ غير 1 هي:

\mathrm {roundToPower} (x,b)=b^{\mathrm {round} (\log _{b}x)},x>0,b>0,b\neq 1

العديد من المحاذير التي تنطبق على التقريب إلى مضاعفات تنطبق أيضاً على التقريب إلى قوى.

في السلم الموسيقي الكروماتي "ذي الاثنتي عشرة نغمة" ، يتم تقريب 3 ⁄ 2 $إلى 2 7/12$ ( خامسة )، ويتم تقريب 4 ⁄ 3 $إلى 2$ $5/12$ ( رابعة )، ويتم تقريب 5 ⁄ 4 $إلى 2$ $4/12$ ( ثالثة كبيرة )، ويتم تقريب 6 ⁄ 5 $إلى 2$ $3/12$ ( ثالثة صغيرة )، ويتم تقريب 9 ⁄ 8 $إلى 2$ $2/12$ ( ثالثة منقوصة ).

التقريب المُقاس

يُعدّ هذا النوع من التقريب، والذي يُسمى أيضاً التقريب إلى مقياس لوغاريتمي ، شكلاً من أشكال التقريب إلى قوة محددة . ويتم التقريب على مقياس لوغاريتمي بأخذ لوغاريتم القيمة ثم تقريبها بالطريقة المعتادة إلى أقرب قيمة على المقياس اللوغاريتمي.

على سبيل المثال، تُزوَّد المقاومات بقيم مُفضَّلة على مقياس لوغاريتمي. وبالتحديد، بالنسبة للمقاومات ذات دقة 10%، تُزوَّد بقيم اسمية 100، 120، 150، 180، 220، إلخ، مُقرَّبة إلى مُضاعفات العدد 10 ( سلسلة E12 ). إذا أشارت الحسابات إلى الحاجة إلى مقاومة قيمتها 165 أوم، فإن $لوغاريتم 150 يساوي 2.176$ ، $ولوغاريتم 165 يساوي 2.217$ ، ولوغاريتم $180 يساوي 2.255$ . ولأن لوغاريتم 165 أقرب إلى لوغاريتم 180، فإن المقاومة 180 أوم هي الخيار الأمثل في حال عدم وجود اعتبارات أخرى.

يعتمد تقريب قيمة $x \in (a, b)$ إلى $a$ أو $b$ على ما إذا كانت قيمة مربع $x²$ $أكبر$ من أو أصغر من حاصل ضربها $في ab$ . في مثال المقاومات، تُقرّب القيمة 165 إلى 180 لأن $165² = 27225$ أكبر من $150$ $\times 180 = 27000$ .

تقريب الأرقام العشرية

في الحساب ذي الفاصلة العائمة ، يهدف التقريب إلى تحويل قيمة معينة $x$ إلى قيمة $y$ بعدد محدد من الأرقام المعنوية . بعبارة أخرى، يجب أن تكون $y$ من مضاعفات العدد $m$ الذي يعتمد على قيمة $x$ . العدد $m$ هو قوة أساس ( عادةً 2 أو 10) تمثيل الفاصلة العائمة.

بغض النظر عن هذه التفاصيل، تنطبق جميع أنواع التقريب المذكورة أعلاه على تقريب الأعداد العشرية أيضًا. يُعرض خوارزمية هذا التقريب في قسم "التقريب المُقاس" أعلاه، ولكن بمعامل قياس ثابت $s = 1$ ، وأساس عددي صحيح $b > 1$ .

عندما يتجاوز الناتج المُقرَّب الحد الأقصى للقيمة في عملية التقريب الموجه، فإنه إما يصل إلى اللانهاية المُوَقَّعة المناسبة عند "التقريب بعيدًا عن الصفر"، أو إلى أكبر عدد موجب محدود قابل للتمثيل (أو أصغر عدد سالب محدود قابل للتمثيل إذا كانت قيمة $x سالبة) عند "التقريب نحو الصفر". أما في حالة$ التقريب لأقرب عدد، فإن نتيجة تجاوز الحد الأقصى للقيمة تكون دائمًا هي اللانهاية المناسبة.

التقريب إلى كسر بسيط

في بعض السياقات، يُفضّل تقريب عددٍ مُعطى $x$ إلى كسرٍ "مُرتب" - أي أقرب كسر $y = m / n$ لا يتجاوز بسطه $m$ ومقامه $n$ قيمةً قصوى مُحددة. تختلف هذه المسألة تمامًا عن مسألة تقريب قيمةٍ إلى عددٍ ثابتٍ من الأرقام العشرية أو الثنائية، أو إلى مُضاعفٍ لوحدةٍ مُحددة $m$ . ترتبط هذه المسألة بمتتاليات فاري ، وشجرة ستيرن-بروكوت ، والكسور المُستمرة .

التقريب إلى القيمة المتاحة

عادة ما يتم بيع الأخشاب المصنعة ، وورق الكتابة، والمكونات الإلكترونية، والعديد من المنتجات الأخرى ببضع قيم قياسية فقط.

تصف العديد من إجراءات التصميم كيفية حساب قيمة تقريبية، ثم تقريبها إلى حجم معياري باستخدام عبارات مثل "التقريب إلى أقرب قيمة معيارية"، أو "التقريب إلى أقرب قيمة معيارية". ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

عندما تكون مجموعة من القيم المفضلة متساوية التباعد على مقياس لوغاريتمي، يمكن اعتبار اختيار أقرب قيمة مفضلة لأي قيمة معينة بمثابة تقريب مُقاس . ويمكن حساب هذه القيم المقربة مباشرةً. ^{[ 12 ]}

صناديق عشوائية

يمكن لقواعد التقريب العامة فصل القيم عند نقاط فاصلة عشوائية، كما هو مستخدم على سبيل المثال في تجميع البيانات . ومن الأدوات الرياضية الرسمية ذات الصلة متواليات الإشارات ، التي تستخدم مفاهيم للمسافة غير الفرق البسيط - على سبيل المثال، قد يتم تقريب المتوالية إلى العدد الصحيح ذي أصغر خطأ نسبي (مئوي).

التقريب في سياقات أخرى

التردد وانتشار الخطأ

عند تحويل الإشارات المستمرة ، كالموجات الصوتية، إلى إشارات رقمية، يكون التأثير الكلي لعدد من القياسات أهم من دقة كل قياس على حدة. في هذه الحالة، يُستخدم عادةً التمويه ، وتقنية مشابهة تُسمى نشر الخطأ . كما تُستخدم تقنية أخرى تُسمى تعديل عرض النبضة للحصول على خرج تناظري من جهاز قصوري عن طريق نبض الطاقة بسرعة وبدورة تشغيل متغيرة . ويُستخدم تعديل دلتا-سيجما عادةً للتحويل بين الإشارات الواقعية والإشارات الرقمية، مما يسمح بالتحكم في إحصائيات تردد التكميم .

تهدف تقنية نشر الخطأ إلى تقليل الخطأ، في المتوسط، إلى أدنى حد. عند التعامل مع ميل طفيف من واحد إلى صفر، يكون الناتج صفرًا في الحدود القليلة الأولى حتى يصبح مجموع الخطأ والقيمة الحالية أكبر من 0.5، وفي هذه الحالة يُخرج الناتج 1 ويُطرح الفرق من الخطأ المحسوب حتى الآن. يُعدّ التمويه بتقنية فلويد-شتاينبرغ إجراءً شائعًا لنشر الخطأ عند رقمنة الصور.

كمثال أحادي البعد، لنفترض أن الأعداد $0.9677$ ، $0.9204$ ، $0.7451$ ، و $0.3091$ تظهر بالترتيب، ونريد تقريب كل منها إلى مضاعف للعدد $0.01$ . في هذه الحالة، يتم تقريب المجاميع التراكمية، $0.9677$ ، $1.8881 = 0.9677 + 0.9204$ ، $2.6332 = 0.9677 + 0.9204 + 0.7451$ ، و $2.9423 = 0.9677 + 0.9204 + 0.7451 + 0.3091$ ، إلى مضاعف للعدد $0.01$ : $0.97$ ، $1.89$ ، $2.63$ ، و $2.94$ . تعطي القيمة الأولى من هذه القيم وفروق القيم المجاورة القيم المقربة المطلوبة: $0.97$ ، $0.92 = 1.89 - 0.97$ ، $0.74 = 2.63 - 1.89$ ، و $0.31 = 2.94 - 2.63$ .

حساب مونت كارلو

تُعدّ حسابات مونت كارلو تقنيةً في طرق مونت كارلو، حيث يكون التقريب عشوائيًا لأعلى أو لأسفل. يمكن استخدام التقريب العشوائي في حسابات مونت كارلو، ولكن عمومًا، يُستخدم التقريب لأعلى أو لأسفل باحتمالية متساوية في أغلب الأحيان. تُعطي عمليات التشغيل المتكررة توزيعًا عشوائيًا للنتائج، مما قد يُشير إلى استقرار الحساب. ^{[ 13 ]}

الحساب الدقيق باستخدام التقريب الحسابي

من الممكن استخدام التقريب الحسابي لحساب القيمة الدقيقة لدالة ذات مجال ومدى صحيحين. على سبيل المثال، إذا عُلم أن العدد الصحيح $n مربع كامل، فيمكن حساب جذره التربيعي بتحويل$ $n$ إلى قيمة عشرية $z$ ، ثم حساب الجذر التربيعي التقريبي $x$ لـ $z$ باستخدام الفاصلة العائمة، ثم تقريب $x$ إلى أقرب عدد صحيح $y$ . إذا لم يكن $n$ كبيرًا جدًا، فسيكون خطأ التقريب في $x$ أقل من 0.5، وبالتالي ستكون القيمة المقربة $y هي الجذر التربيعي الدقيق لـ$ $n$ . هذا هو السبب الرئيسي لاستخدام المسطرة الحاسبة في العمليات الحسابية الدقيقة.

التقريب المزدوج

لا يضمن تقريب عدد مرتين متتاليتين بمستويات دقة مختلفة، حيث تكون الدقة الثانية أقل، الحصول على نفس نتيجة التقريب مرة واحدة إلى الدقة النهائية، إلا في حالة التقريب الموجه. ^{[ ملاحظة 2 ]} على سبيل المثال، تقريب 9.46 إلى أقرب جزء من عشرة يعطي 9.5، ثم 10 عند التقريب إلى أقرب عدد صحيح باستخدام تقريب النصف إلى عدد زوجي، ولكنه يعطي 9 عند التقريب المباشر باستخدام نفس الطريقة. يناقش بورمان وشاتفيلد ^{[ 14 ]} آثار التقريب المزدوج عند مقارنة البيانات المقربة إلى منزلة عشرية واحدة بحدود المواصفات المعبر عنها باستخدام الأعداد الصحيحة.

في قضيتي مارتينيز ضد أولستيت وسينديجو ضد فارمرز ، اللتين نُظر فيهما بين عامي 1995 و1997، جادلت شركات التأمين بأن تقريب الأقساط مرتين جائز بل ومطلوب. وقد حكمت المحاكم الأمريكية ضد شركات التأمين وأمرتها بوضع قواعد تضمن تقريب الأقساط مرة واحدة فقط. ^{[ 15 ]}

تنص بعض لغات البرمجة ومعيار IEEE 754-2008 على عدم تقريب النتيجة مرتين في العمليات الحسابية البسيطة. وقد شكل هذا مشكلة خاصة مع لغة جافا، المصممة للعمل بشكل متطابق على أجهزة مختلفة؛ ما استدعى استخدام حيل برمجية خاصة لتحقيق ذلك باستخدام نظام الفاصلة العائمة x87 . ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} تم تعديل لغة جافا للسماح بنتائج مختلفة عندما لا يكون الاختلاف مهمًا، واشتراط استخدام مُحدد strictfp عندما يجب أن تتطابق النتائج بدقة؛ وقد أُعيد دعم نظام الفاصلة العائمة الصارم في جافا 17. ^{[ 18 ]}

في بعض الخوارزميات، تُحسب نتيجة وسيطة بدقة أعلى، ثم تُقرّب إلى الدقة النهائية. يمكن تجنب التقريب المزدوج باختيار تقريب مناسب للحساب الوسيط. ويتمثل ذلك في تجنب التقريب إلى نقطة المنتصف في التقريب النهائي (إلا إذا كانت نقطة المنتصف دقيقة). في الحساب الثنائي، تتمثل الفكرة في تقريب النتيجة نحو الصفر، وتعيين البت الأقل أهمية إلى 1 إذا كانت النتيجة المقربة غير دقيقة؛ يُسمى هذا التقريب بالتقريب اللاصق . ^{[ 19 ]} وبالمثل، يتمثل في إرجاع النتيجة الوسيطة عندما تكون قابلة للتمثيل بدقة، وأقرب عدد عشري ذي معامل فردي في غير ذلك؛ ولهذا يُعرف أيضًا بالتقريب إلى عدد فردي . ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} يُنفذ تطبيق عملي لهذا النهج، للحساب الثنائي والعشري، كـ " التقريب للتحضير لدقة أقل" .

التقريب للتحضير لدقة أقصر

يُستخدم نمط التقريب هذا لتجنب الحصول على نتيجة خاطئة محتملة بعد عمليات تقريب متعددة . ويمكن تحقيق ذلك إذا تم إجراء جميع عمليات التقريب باستثناء الأخيرة باستخدام التقريب المُعدّ لدقة أقل ("RPSP")، بينما تستخدم عملية التقريب الأخيرة فقط النمط المطلوب خارجيًا.

في العمليات الحسابية العشرية، يتم تجنب الرقمين 0 و5 في نهاية العدد عندما لا يكون من الممكن تمثيل المدخلات بدقة؛ فإذا كان هناك خيار بين أعداد ذات أقل رقم معنوية 0 أو 1، أو 4 أو 5، أو 5 أو 6، أو 9 أو 0، فسيتم اختيار الرقم المختلف عن 0 أو 5؛ وإلا، يكون الاختيار عشوائيًا. تُعرّف IBM أنه في الحالة الأخيرة، يتم اختيار الرقم ذي القيمة الأصغر. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} يمكن تطبيق RPSP بخطوة بين عمليتي تقريب متتاليتين صغيرة تصل إلى رقم واحد (على سبيل المثال، يمكن تطبيق التقريب إلى 1/10 بعد التقريب إلى 1/100). على سبيل المثال، عند التقريب إلى عدد صحيح،

يتم تقريب العدد 20.0 إلى 20؛
يتم تقريب الأرقام 20.01، 20.1، 20.9، 20.99، 21، 21.01، 21.9، 21.99 إلى 21 (مع تجنب وجود صفر في النهاية)؛
يتم تقريب الأرقام 22.0، 22.1، 22.9، 22.99 إلى 22؛
يتم تقريب الأرقام 24.0 و 24.1 و 24.9 و 24.99 إلى 24 (مع تجنب الرقم 5 الأخير)؛
يتم تقريب العدد 25.0 إلى 25؛
يتم تقريب العددين 25.01 و 25.1 إلى 26 (مع تجنب الرقم 5 الأخير).

في المثال الوارد في قسم " التقريب المزدوج "، فإن تقريب 9.46 إلى منزلة عشرية واحدة يعطي 9.4، والذي بدوره عند تقريبه إلى عدد صحيح يعطي 9.

في الحساب الثنائي، يُطلق على هذا التقريب أيضًا اسم "التقريب إلى عدد فردي" (لا يُخلط بينه وبين " تقريب النصف إلى عدد فردي "). على سبيل المثال، عند التقريب إلى 1/4 (0.01 في النظام الثنائي)،

$x = 2.0$ ⇒ النتيجة هي 2 (10.00 بالنظام الثنائي)
$2.0 < x < 2.5$ ⇒ النتيجة هي 2.25 (10.01 بالنظام الثنائي)
$x = 2.5$ ⇒ النتيجة هي 2.5 (10.10 بالنظام الثنائي)
$2.5 < x < 3.0$ ⇒ النتيجة هي 2.75 (10.11 بالنظام الثنائي)
$x = 3.0$ ⇒ النتيجة هي 3 (11.00 بالنظام الثنائي)

للحصول على نتائج صحيحة في الحساب الثنائي، يجب أن تزيل كل خطوة تقريب رقمين ثنائيين على الأقل، وإلا فقد تظهر نتائج خاطئة. على سبيل المثال،

3.125 RPSP إلى 1/4 ⇒ النتيجة هي 3.25
3.25 RPSP إلى 1/2 ⇒ النتيجة هي 3.5
3.5 تقريب إلى أقرب عدد صحيح 1 ⇒ النتيجة هي 4 (خطأ)

إذا تمت إزالة الخطوة الوسطى الخاطئة، فإن التقريب النهائي إلى عدد صحيح سيقرب 3.25 إلى القيمة الصحيحة وهي 3.

يتم تطبيق RPSP في الأجهزة في IBM zSeries و pSeries . في وحدة بايثون "Decimal"، ووحدة Tcl "math"، وحزمة Haskell "decimal-arithmetic"، وربما غيرها، يُطلق على هذا الوضع اسم ROUND_05UP أو round05up.

معضلة صانع الطاولات

صاغ ويليام إم. كاهان مصطلح "معضلة صانع الطاولات" للإشارة إلى التكلفة غير المعروفة لتقريب الدوال المتسامية :

لا أحد يعلم كم ستكلف عملية حساب $y w$ بشكل صحيح لكل وسيطين من نوع الفاصلة العائمة لا يحدث عندهما تجاوز أو نقص في القيمة. بدلاً من ذلك، تحسب مكتبات الرياضيات الموثوقة الدوال المتسامية الأساسية في الغالب ضمن نطاق يزيد قليلاً عن نصف وحدة ulp ، ودائماً تقريباً ضمن وحدة ulp كاملة. لماذا لا يمكن تقريب $y w$ ضمن نطاق نصف وحدة ulp مثل الجذر التربيعي؟ لأن لا أحد يعلم مقدار الحساب المطلوب... لا توجد طريقة عامة للتنبؤ بعدد الأرقام الإضافية التي يجب إضافتها لحساب تعبير متسامي وتقريبه بشكل صحيح إلى عدد محدد مسبقاً من الأرقام. حتى حقيقة (إن صحت) أن عدداً محدوداً من الأرقام الإضافية سيكفي في النهاية قد تكون نظرية معقدة. ^{[ 24 ]}

يضمن معيار IEEE 754 للأعداد العشرية أن عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والضرب والجمع المدمج والجذر التربيعي وباقي القسمة ستعطي نتائج مقربة صحيحة للعملية ذات الدقة اللانهائية. لم يقدم معيار 1985 مثل هذا الضمان للدوال الأكثر تعقيدًا، وعادةً ما تكون دقتها في أفضل الأحوال في حدود البت الأخير فقط. مع ذلك، يضمن معيار 2008 أن التطبيقات المتوافقة ستعطي نتائج مقربة صحيحة تحترم وضع التقريب النشط؛ إلا أن تنفيذ هذه الدوال اختياري.

باستخدام مبرهنة جيلفوند-شنايدر ومبرهنة ليندمان-فايرشتراس ، يمكن إثبات أن العديد من الدوال الأساسية القياسية تُرجع نتائج متسامية ، باستثناء بعض الوسائط المعروفة؛ لذا، من الناحية النظرية، من الممكن دائمًا تقريب هذه الدوال بشكل صحيح. مع ذلك، عند تطبيق مثل هذه الدوال، قد يتطلب تحديد حدٍّ لدقة معينة، قبل ضمان الحصول على نتيجة تقريب صحيحة، وقتًا حسابيًا طويلًا أو قد يكون مستحيلًا. ^{[ 25 ]} عمليًا، عندما يكون هذا الحد غير معروف (أو معروف حدٌّ كبير جدًا فقط)، يجب اتخاذ قرار ما في التطبيق (انظر أدناه)؛ ولكن وفقًا لنموذج احتمالي، يمكن تحقيق التقريب الصحيح باحتمالية عالية جدًا عند استخدام دقة متوسطة تصل إلى ضعف عدد أرقام التنسيق المستهدف بالإضافة إلى ثابت صغير (بعد مراعاة الحالات الخاصة).

توفر بعض حزم البرمجة تقريبًا صحيحًا. تُقدم حزمة GNU MPFR نتائج دقيقة ومقربة بشكل صحيح. كما تُنفذ بعض المكتبات الأخرى وظائف أساسية بتقريب صحيح في معيار IEEE 754 ذي الدقة المزدوجة (binary64).

مكتبة ml4j من IBM ، وهي اختصار لـ Mathematical Library for Java ، التي كتبها أبراهام زيف وموشيه أولشانسكي عام 1999، تُقرّب الأرقام إلى أقرب عدد صحيح فقط. ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]} زُعم أن هذه المكتبة قابلة للنقل، ولكن لم تُوفر إلا ملفات تنفيذية لأنظمة PowerPC / AIX و SPARC / Solaris و x86 / Windows NT . وفقًا لوثائقها، تستخدم هذه المكتبة خطوة أولى بدقة أعلى بقليل من الدقة المزدوجة، وخطوة ثانية تعتمد على حسابات مزدوجة الدقة ، وخطوة ثالثة بدقة 768 بت تعتمد على مصفوفات من أرقام الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة IEEE 754.
مكتبة IBM الرياضية المحمولة Accurate (المختصرة بـ APMathLib أو MathLib فقط)، ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} وتُسمى أيضًا libultim، ^{[ 30 ]} تُستخدم للتقريب إلى أقرب عدد صحيح فقط. تستخدم هذه المكتبة دقة تصل إلى 768 بت. أُدرجت في مكتبة GNU C عام 2001، ^{[ 31 ]} ولكن أُزيلت "المسارات البطيئة" (التي توفر التقريب الصحيح) بين عامي 2018 و2021.
تم تطوير مكتبة CRlibm بواسطة فريق أرينير القديم (مختبر الفيزياء التطبيقية، المدرسة العليا للأساتذة في ليون )، ونُشرت لأول مرة عام 2003. ^{[ 32 ]} تدعم المكتبة أنماط التقريب الأربعة، وقد تم إثباتها باستخدام معرفة الحالات الأصعب تقريبًا. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]} وهي أكثر كفاءة من مكتبة IBM MathLib. ^{[ 35 ]} وقد حلت محلها مكتبة Metalibm (2014)، التي تُؤتمت عمليات البراهين الرسمية. ^{[ 36 ]}
مكتبة libmcr من شركة Sun Microsystems لعام 2004، في أوضاع التقريب الأربعة. ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]} في الحالات الصعبة، تستخدم هذه المكتبة أيضًا الدقة المتعددة، ويتم زيادة عدد الكلمات بمقدار 2 في كل مرة تحدث فيها معضلة مُنشئ الجدول (مع سلوك غير محدد في حالة نادرة جدًا تتمثل في الوصول إلى حد معين للجهاز).
يُقدّم مشروع CORE-MATH (2022) بعض الدوال المُقرّبة بشكل صحيح في أوضاع التقريب الأربعة لمعالجات x86-64 . وقد تمّ إثبات ذلك باستخدام معرفة الحالات التي يصعب تقريبها. ^{[ 39 ]}^{[ 35 ]}
توفر مكتبة LLVM libc بعض الدوال المقربة بشكل صحيح في أوضاع التقريب الأربعة. ^{[ 40 ]}

توجد أعداد قابلة للحساب لا يمكن تحديد قيمتها المقربة مهما بلغ عدد الأرقام المحسوبة. لا يمكن ذكر أمثلة محددة، ولكن هذا ناتج عن عدم قابلية حل مسألة التوقف . على سبيل المثال، إذا كانت فرضية غولدباخ صحيحة ولكنها غير قابلة للإثبات ، فلا يمكن تحديد نتيجة تقريب القيمة التالية، $n$ ، إلى العدد الصحيح التالي : إما $n$ = 1 + 10 ^{- $k$} حيث $k$ هو أول عدد زوجي أكبر من 4 ليس مجموع عددين أوليين، أو $n$ = 1 إذا لم يكن هناك عدد كهذا. تكون النتيجة المقربة 2 إذا وُجد عدد $k$ كهذا ، و1 فيما عدا ذلك. مع ذلك، يمكن تقريب القيمة قبل التقريب إلى أي دقة معينة حتى لو كانت الفرضية غير قابلة للإثبات.

التفاعل مع عمليات البحث عن السلاسل النصية

قد يؤثر التقريب سلبًا على البحث عن رقم في سلسلة نصية. على سبيل المثال، $قيمة π$ المقربة إلى أربعة أرقام هي "3.1416"، لكن البحث البسيط عن هذه السلسلة لن يكشف عن "3.14159" أو أي قيمة أخرى لـ $π$ مقربة إلى أكثر من أربعة أرقام. في المقابل، لا تتأثر عملية الاقتطاع بهذه المشكلة؛ فعلى سبيل المثال، البحث البسيط عن "3.1415"، وهي قيمة $π$ مقتطعة إلى أربعة أرقام، سيكشف عن قيم $π$ مقتطعة إلى أكثر من أربعة أرقام.

تاريخ

مفهوم التقريب قديم جدًا، وربما أقدم من مفهوم القسمة نفسه. تحتوي بعض الألواح الطينية القديمة التي عُثر عليها في بلاد ما بين النهرين على جداول بقيم مقربة للمقلوبات والجذور التربيعية في النظام الستيني. ^{[ 41 ]} كما أن التقريبات المقربة لـ $π$ ، وطول السنة، وطول الشهر قديمة أيضًا - انظر أمثلة النظام الستيني .

تُستخدم طريقة التقريب إلى النصف للعدد الصحيح كمعيار أمريكي Z25.1 ومعيار ASTM E-29 منذ عام 1940. ^{[ 42 ]} أما أصل مصطلحي "التقريب غير المتحيز" و "تقريب الإحصائي" فهو واضح إلى حد كبير. ففي الطبعة الرابعة من كتاب " الاحتمالات ونظرية الأخطاء" عام 1906، أطلق روبرت سيمبسون وودوارد على هذه الطريقة اسم "قاعدة الحاسوب"، ^{[ 43 ]} مشيرًا إلى أنها كانت شائعة الاستخدام آنذاك من قِبل الحاسبين البشريين الذين كانوا يحسبون الجداول الرياضية. فعلى سبيل المثال، أوصى بها سيمون نيوكومب في كتابه " الجداول اللوغاريتمية وغيرها من الجداول الرياضية" الصادر حوالي عام 1882. ^{[ 44 ]} ووصفها لوسيوس تاتل في كتابه "نظرية القياسات " الصادر عام 1916 بأنها "قاعدة معتمدة عالميًا" لتسجيل القياسات الفيزيائية. ^{[ 45 ]} وأشار تشرشل أيزنهاورت إلى أن هذه الممارسة كانت "راسخة" بالفعل في تحليل البيانات بحلول أربعينيات القرن العشرين. ^{[ 46 ]}

لا يزال أصل مصطلح "التقريب المصرفي" غامضًا. وإذا كان هذا الأسلوب في التقريب معيارًا مُعتمدًا في القطاع المصرفي، فقد ثبت صعوبة العثور على دليل على ذلك. على العكس من ذلك، يشير القسم الثاني من تقرير المفوضية الأوروبية بعنوان " إدخال اليورو وتقريب المبالغ النقدية " ^{[ 47 ]} إلى أنه لم يكن هناك سابقًا نهج معياري للتقريب في القطاع المصرفي؛ وينص على تقريب المبالغ التي تقع في المنتصف إلى الأعلى.

حتى ثمانينيات القرن الماضي، كانت طريقة التقريب المستخدمة في العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة في الحواسيب تُحدد عادةً بواسطة مكونات الجهاز، وكانت موثقة بشكل ضعيف، وغير متسقة، ومختلفة باختلاف العلامة التجارية والطراز. تغير هذا الوضع بعد اعتماد معيار IEEE 754 للفاصلة العائمة من قبل معظم مصنعي الحواسيب. يسمح هذا المعيار للمستخدم بالاختيار من بين عدة أنماط للتقريب، ويحدد بدقة في كل حالة كيفية تقريب النتائج. جعلت هذه الميزات العمليات الحسابية أكثر قابلية للتنبؤ وأقل اعتمادًا على الجهاز، ومكّنت من التنفيذ الفعال والمتسق للحسابات الفاصلية .

في الوقت الحالي، تميل معظم الأبحاث إلى تقريب الأرقام إلى مضاعفات العدد 5 أو 2. على سبيل المثال، استخدم يورغ باتن أسلوب تجميع الأعمار في العديد من الدراسات لتقييم مستوى معرفة الحساب لدى السكان القدماء. وقد ابتكر مؤشر ABCC ، الذي يُمكّن من مقارنة مستوى معرفة الحساب بين المناطق دون الحاجة إلى أي مصادر تاريخية لقياس معرفة القراءة والكتابة لدى السكان. ^{[ 48 ]}

دوال التقريب في لغات البرمجة

تُوفّر معظم لغات البرمجة دوالًا أو صيغًا خاصة لتقريب الأعداد الكسرية بطرقٍ مُختلفة. أما اللغات العددية الأولى، مثل فورتران وسي ، فكانت تُوفّر طريقة واحدة فقط، وهي عادةً التقريب إلى أقرب عدد صحيح (باتجاه الصفر). يُمكن استخدام هذه الطريقة الافتراضية ضمنيًا في سياقات مُعينة، مثل إسناد عدد كسري إلى مُتغير صحيح ، أو استخدام عدد كسري كمؤشر في مصفوفة . أما أنواع التقريب الأخرى فكانت تتطلب برمجة صريحة؛ فعلى سبيل المثال، يُمكن تقريب عدد موجب إلى أقرب عدد صحيح بإضافة 0.5 ثم التقريب إلى أقرب عدد صحيح.

في العقود الأخيرة، باتت قواعد اللغة ومكتباتها القياسية توفر على الأقل أربع دوال تقريب أساسية (للأعلى، وللأسفل، وللأقرب، وللأقرب إلى الصفر). قد تختلف طريقة حسم التعادل باختلاف اللغة والإصدار، أو قد يختارها المبرمج. تتبع عدة لغات معيار IEEE 754 للأعداد العشرية، وتُعرّف هذه الدوال بأنها تأخذ وسيطًا من نوع عدد عشري مزدوج الدقة ، وتُعيد النتيجة من النوع نفسه، والتي يمكن تحويلها إلى عدد صحيح عند الضرورة. قد يُجنّب هذا الأسلوب حدوث تجاوزات غير متوقعة ، لأن نطاق الأعداد العشرية أوسع من نطاق الأعداد الصحيحة. توفر بعض اللغات، مثل PHP ، دوالًا تُقرّب القيمة إلى عدد محدد من المنازل العشرية (مثلًا، من 4321.5678 إلى 4321.57 أو 4300). بالإضافة إلى ذلك، توفر العديد من لغات البرمجة دالة printf أو دالة تنسيق سلاسل نصية مشابهة، والتي تسمح بتحويل عدد كسري إلى سلسلة نصية، مُقرّبًا إلى عدد من المنازل العشرية يحدده المستخدم ( الدقة ). من ناحية أخرى، لا يزال التقريب إلى الصفر هو طريقة التقريب الافتراضية المستخدمة في العديد من اللغات، خاصةً عند قسمة عددين صحيحين.

على النقيض من ذلك، لا تحدد CSS و SVG أي دقة قصوى محددة للأرقام والقياسات، والتي تتعامل معها وتعرضها في DOM وفي واجهة IDL الخاصة بها كسلاسل كما لو كانت ذات دقة لا نهائية ، ولا تميز بين الأعداد الصحيحة وقيم الفاصلة العائمة؛ ومع ذلك، فإن تطبيقات هذه اللغات عادةً ما تحول هذه الأرقام إلى قيم الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة IEEE 754 قبل عرض الأرقام المحسوبة بدقة محدودة (لا سيما ضمن روابط واجهة JavaScript أو ECMAScript القياسية ^{[ 49 ] ).}

معايير التقريب الأخرى

أصدرت بعض التخصصات أو المؤسسات معايير أو توجيهات للتقريب.

رصدات الطقس في الولايات المتحدة

في توجيهات صدرت في منتصف عام 1966، ^{[ 50 ]} قرر مكتب المنسق الفيدرالي للأرصاد الجوية الأمريكي تقريب بيانات الطقس إلى أقرب عدد صحيح ، مع تطبيق قاعدة "تقريب النصف لأعلى" لحلّ التعادل. على سبيل المثال، يُقرّب العدد 1.5 إلى 2، ويُقرّب العدد -1.5 إلى -1. قبل ذلك التاريخ، كانت قاعدة حلّ التعادل هي "تقريب النصف بعيدًا عن الصفر".

الصفر السالب في علم الأرصاد الجوية

قد يستخدم بعض خبراء الأرصاد الجوية الرمز "−0" للإشارة إلى درجة حرارة تتراوح بين 0.0 و −0.5 درجة مئوية (باستثناء الصفر) تم تقريبها إلى عدد صحيح. يُستخدم هذا الرمز عندما تكون الإشارة السالبة مهمة، بغض النظر عن صغر القيمة؛ على سبيل المثال، عند تقريب درجات الحرارة في مقياس سيليزيوس ، حيث يشير ما دون الصفر إلى التجمد.

الصفر السالب في الحساب

تُميّز بعض تمثيلات الأرقام الحاسوبية، بما في ذلك تمثيل الفاصلة العائمة ، بين $الصفر$ ( $+0$ ) والصفر السالب $(-0$ ). في هذه الحالة، يمكن تقريب العدد السالب إلى $الصفر$ بدلاً من تقريبه إلى $الصفر (-0$ $)$ .

انظر أيضاً

تقريب المبالغ النقدية – تقريب الديون إلى أدنى فئة نقدية فعلية ، مع مراعاة عدم وجود عملات معدنية ذات قيمة منخفضة للغاية
تجميع البيانات – تقنية معالجة البيانات المسبقة ، وهي عملية مماثلة
جداول غال الدقيقة
رقم الحماية
الحساب الفتري – طريقة لتحديد حدود أخطاء العمليات الحسابية العددية
ISO/IEC 80000 – المعيار الدولي للكميات الفيزيائية ووحدات القياس
خوارزمية جمع كاهان – خوارزمية في التحليل العددي
التمثيل النسبي للقوائم الحزبية – عائلة من أنظمة التصويت
تمثيل الأرقام الموقعة - نظام موضعي بأرقام موقعة؛ قد لا يكون التمثيل فريدًا
الاقتطاع – في الرياضيات، هو تقليل عدد الأرقام على يمين الفاصلة العشرية

ملحوظات

↑ هذا مطلوب على سبيل المثال [1] لتوزيع المقاعد ، ويتم تنفيذه على سبيل المثال بواسطة طريقة الباقي الأكبر ، انظر رياضيات التوزيع ، و[2] لتوزيع إجمالي ضريبة القيمة المضافة للفاتورة على بنودها)
↑ الحالة التي يؤدي فيها التقريب المزدوج دائمًا إلى نفس القيمة التي يؤدي إليها التقريب المباشر إلى الدقة النهائية هي عندما يكون الأساس فرديًا.

مراجع

↑ إشعيا لانكهام، برونو ناختيرغيل ، آن شيلينغ : الجبر الخطي كمقدمة للرياضيات المجردة. دار النشر العالمية، سنغافورة 2016، رقم ISBN 978-981-4730-35-8، ص 186.
↑ كوليش، أولريش و. (يوليو 1977). "الأساس الرياضي للحساب الحاسوبي". معاملات IEEE في الحوسبة . C-26 (7): 610-621 . Bibcode : 1977ITCmp.100..610K . doi : 10.1109/TC.1977.1674893 .
↑ هايام، نيكولاس جون (2002). دقة واستقرار الخوارزميات العددية ( الطبعة الثانية). ص 54. doi : 10.1137/1.9780898718027.ch2 . ISBN 978-0-89871-521-7.
نيفيرجيلت، إيف (2000). "أخطاء التقريب التي قد تُلحق الضرر بأسهمك". مجلة الرياضيات . 73 (1): 47-48 . doi : 10.1080/0025570X.2000.11996800 . JSTOR 2691491 .
كوين، كيفن (8 نوفمبر 1983). "هل واجهتَ مشاكل في تقريب الأرقام؟ هذه البورصة واجهتها" (ملف PDF) . صحيفة وول ستريت جورنال .
ليلي، واين (29 نوفمبر 1983). "مؤشر أسهم فانكوفر يصل إلى الرقم الصحيح أخيرًا" (ملف PDF) . صحيفة تورنتو ستار .
1 2 "java.math.RoundingMode" . Oracle.
1 2 "decimal – العمليات الحسابية العشرية ذات النقطة الثابتة والنقطة العائمة" . مؤسسة برمجيات بايثون.
↑ دليل معايير الرسم الهندسي (وكالة ناسا)، X-673-64-1F، صفحة 90
↑ أبس، برايان؛ باركر ، كريس؛ فريبورن، إنغريد (2003). بطاقات بريدية 4 لتعزيز اللغة: كتاب تمارين مع بناء القواعد . بيرسون للتعليم. ص 85. ISBN 0-13-093904-8. يُطلق على التقريب إلى أقرب عدد زوجي أيضًا اسم "تقريب المصرفيين" لأن البنوك تستخدم هذه التقنية أيضًا.
دليل مستخدم مُجمِّع لغة باسكال من مايكروسوفت لنظام التشغيل MS-DOS . شركة مايكروسوفت. 1985. صفحة 165. يُستخدم التقريب المصرفي عند اقتطاع الأعداد الحقيقية التي تنتهي بـ 0.5؛ أي أن الأعداد الفردية تُقرَّب لأعلى إلى عدد زوجي، والأعداد الزوجية تُقرَّب لأسفل إلى عدد زوجي.
↑ الجدول 1 من قانون العملة العشرية لعام 1969
1 2 جوبتا، سويوج؛ أنغراول، أنكور؛ جوبالاكريشنان، كايلاش؛ نارايانان ، بريتيش (2016/02/09). “التعلم العميق بدقة عددية محدودة”. ص. 3.arXiv : 1502.02551 [ cs.LG ] .
↑ "منظمات جهد ثنائي زينر" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 13 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 نوفمبر 2010 .
↑ "جهاز الصراف الآلي ستيلافان: بناء أداة اختبار فوكو ورونشي، الصفحة 3" . stellafane.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 سبتمبر 2025 .
↑ شنايدر، كريستين (21 يناير 2002). "صيغة إكسل لحساب قيم المقاومة القياسية بنسبة 1%" . التصميم الإلكتروني . تم الاسترجاع في 10 سبتمبر 2025 .
↑ باركر، د. ستوت؛ إيغرت، بول ر.؛ بيرس، براد (28-03-2000). "حساب مونت كارلو: إطار عمل للتحليل الإحصائي لأخطاء التقريب" . مجلة IEEE للحوسبة في العلوم والهندسة.
↑ بورمان، فيل؛ تشاتفيلد، ماريون (10 نوفمبر 2015). "تجنب مخاطر استخدام البيانات المقربة". مجلة التحليل الصيدلاني والحيوي . 115 : 506-507 . doi : 10.1016/j.jpba.2015.07.021 . PMID 26299526 .
↑ ديبورا ر. هينسلر (2000). معضلات الدعاوى الجماعية: السعي لتحقيق أهداف عامة من أجل مكاسب خاصة . راند. ص 255-293 . ISBN 0-8330-2601-1.
↑ صموئيل أ. فيغيروا (يوليو 1995). "متى يكون التقريب المزدوج غير ضار؟" . نشرة ACM SIGNUM . 30 (3). ACM: 21-25 . doi : 10.1145/221332.221334 .
↑ روجر غوليفر (أكتوبر 1998). "إنتاج نتائج IEEE المزدوجة المتعامدة الافتراضية بكفاءة باستخدام أجهزة IEEE الموسعة" (ملف PDF) . إنتل.
↑ دارسي، جوزيف د. "JEP 306: استعادة دلالات الفاصلة العائمة الصارمة دائمًا" . تم الاسترجاع في 12-09-2021 .
↑ مور، ج. ستروثر؛ لينش، توم؛ كوفمان، مات (1996). "برهان مُدقَّق آليًا لصحة نواة خوارزمية قسمة الفاصلة العائمة AMD5K86" (ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات الحاسوبية . 47. CiteSeerX 10.1.1.43.3309 . doi : 10.1109/12.713311 . تاريخ الاسترجاع : 2016-08-02 .
↑ بولدو، سيلفي ؛ ميلكيوند، غيوم (2008). "محاكاة FMA والمجاميع المقربة بشكل صحيح: خوارزميات مثبتة باستخدام التقريب إلى أعداد فردية" . معاملات IEEE في الحوسبة . 57 (4): 462-471 . doi : 10.1109/TC.2007.70819 .
↑ "21718 – التقريب في real.c ليس مثاليًا" . gcc.gnu.org .
↑ "العمليات الحسابية" . ibm.com . شركة IBM. 2025-04-08 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-01-12 .
↑ "مبادئ تشغيل هندسة z/، الطبعة الحادية عشرة" ( ملف PDF) . publibfi.boulder.ibm.com . ص 9-14 .
↑ كاهان، ويليام مورتون . "لوغاريتم ذكي أكثر من اللازم بنصفه" . تم الاسترجاع في 14-11-2008 .
^ مولر، جان ميشيل. بريسبار، نيكولاس. دي دينشين، فلوران؛ جانرود، كلود بيير؛ لوفيفر، فنسنت؛ ملكيوند، غيوم؛ ريفول, ناتالي ; ستيهلي، داميان؛ توريس، سيرج (2010). "الفصل الثاني عشر: حل معضلة صانع الطاولة" . دليل حساب النقطة العائمة (1 ed.). بيركهوسر . دوى : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . رقم ISBN 978-0-8176-4704-9. إل سي سي إن 2009939668 .
↑ "ملخص الجمعية الأمريكية لأطباء التخدير، الأحد 18 أبريل 1999، المجلد 99 : العدد 16" . 18-04-1999 . تاريخ الاسترجاع: 29-08-2022 .
↑ "مكتبة الرياضيات للغة جافا" . مؤرشفة من الأصل بتاريخ 1999-05-08.
↑ "مكتبة رياضية محمولة دقيقة" . مؤرشفة من الأصل بتاريخ 2005-02-07.
↑ مكتبة الرياضيات على GitHub .
↑ "libultim – مكتبة الدوال الأولية ذات التقريب الصحيح" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2021-03-01.
↑ "Git - glibc.git/commit" . Sourceware.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-07-2022 .
↑ دي دينشين، فلورنت؛ لاوتر، كريستوف؛ مولر، جان ميشيل (يناير–مارس 2007). "لوغاريتمات سريعة ومقربة بشكل صحيح بدقة مزدوجة". RAIRO-Theor. Inf. Appl . 41 (1): 85–102 . CiteSeerX 10.1.1.106.6652 . doi : 10.1051/ita:2007003 . HAL ensl-00000007v2 .
↑ "CRlibm – مكتبة رياضية مُقَرَّبة بشكل صحيح" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 27-10-2016.
↑ crlibm على GitHub
1 2 سيبيدانوف، أليكسي؛ زيمرمان، بول؛ غلوندو، ستيفان (2022). مشروع CORE-MATH . المؤتمر التاسع والعشرون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول الحساب الحاسوبي (ARITH 2022) . تم الاسترجاع في 30 أغسطس 2022 .
↑ كوبيانوفا، أولغا؛ لاوتر، كريستوف (2014). ميتالي بي إم: مولد أكواد الدوال الرياضية . البرمجيات الرياضية – المؤتمر الدولي للرياضيات 2014. المجلد 8592. الصفحات 713-717 . doi : 10.1007/978-3-662-44199-2_106 .
↑ "libmcr – مكتبة الدوال الأولية ذات التقريب الصحيح" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 25-02-2021.
↑ libmcr على GitHub .
↑ "مشروع CORE-MATH" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-08-2022 .
↑ "وظائف الرياضيات - مكتبة LLVM C" . libc.llvm.org .
↑ دنكان ج. ميلفيل. "اللوح الطيني YBC 7289". 2006
↑ قواعد تقريب القيم العددية . جمعية المعايير الأمريكية . 1940. Z25.1-1940.
نشأ هذا المعيار من لجنة تابعة لجمعية المعايير الأمريكية (ASA) كانت تعمل على توحيد التحويل بين البوصة والمليمتر. انظر: أغنيو، بي جي (سبتمبر 1940). "حب الإنسان للأرقام الدائرية" . مجلة المعايير الصناعية والتجارية الشهرية . المجلد 11، العدد 9، الصفحات 230-233 .
كما تم الإعلان عن المعيار بشكل أكثر إيجازًا في: "تقريب الأعداد العشرية" . مجلة باور . المجلد 84، العدد 11. نوفمبر 1940. صفحة 93.
الممارسة القياسية لاستخدام الأرقام المعنوية في بيانات الاختبار لتحديد المطابقة مع المواصفات . الجمعية الأمريكية لاختبار المواد (ASTM). 2013 [1940]. doi : 10.1520/E0029-13 . E-29.
↑ وودوارد، روبرت س. (1906). الاحتمالات ونظرية الأخطاء . دراسات رياضية. المجلد 7. نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص 42. من الحقائق المهمة المتعلقة بالخطأ 1/2 عندما يكون $n$ زوجيًا أن إشارته اعتباطية، أو غير محددة مسبقًا في الحساب كما هو الحال مع جميع الأخطاء الأخرى. ومع ذلك، فإن قاعدة الحاسوب، التي تجعل الرقم الأخير المقرب من القيمة المُستكملة زوجيًا عند التخلص من نصف وحدة، ستجعل هذا الخطأ، على المدى الطويل، موجبًا بقدر ما هو سالب.
↑ نيوكومب، سيمون (1882). جداول اللوغاريتمات وغيرها من الجداول الرياضية مع أمثلة على استخدامها وتلميحات حول فن الحساب . نيويورك: هنري هولت. الصفحات 14-15 . هنا لدينا حالة نحتاج فيها إلى نصف عدد فردي. [...] من القواعد الجيدة التي يُنصح باتباعها في مثل هذه الحالة كتابة أقرب عدد زوجي .
↑ تاتل، لوسيوس (1916). نظرية القياسات . فيلادلفيا: مختبر جيفرسون للفيزياء. ص 29. يجب استبعاد أي كسر أقل من النصف بشكل ملحوظ، ويجب اعتبار أي كسر يزيد عن النصف وحدة إضافية. ولكن عندما يكون من غير المؤكد أي الرقمين أقرب، فإن القاعدة المتبعة عالميًا هي تسجيل أقرب عدد زوجي بدلاً من العدد الفردي الأقرب منه. والسبب في ذلك هو أنه في سلسلة من القياسات المتعددة لنفس الكمية، سيكون من المحتمل أن يكون التسجيل أكبر من القيمة الحقيقية كما هو الحال في التسجيل أصغر من القيمة الحقيقية، وبالتالي فإن متوسط عدة قيم من هذا القبيل لن يتسبب إلا في خطأ طفيف، إن وجد.
↑ تشرشل أيزنهارت (1947). "آثار تقريب البيانات أو تجميعها" . في: أيزنهارت؛ هاستاي؛ واليس (محررون). تقنيات مختارة للتحليل الإحصائي للبحث العلمي والصناعي، وهندسة الإنتاج والإدارة . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 187-223 . تاريخ الاسترجاع: 30 يناير 2014 .
↑ "إدخال اليورو وتقريب المبالغ النقدية" (ملف PDF) . مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2010. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أغسطس 2011 .
↑ باتن، يورغ (2009). "قياس المعرفة الكمية: تراكم الأعمار وتاريخ رأس المال البشري". مجلة التاريخ الاقتصادي . 69 (3): 783-808 . doi : 10.1017/S0022050709001120 . hdl : 10230/481 .
↑ "مواصفات لغة ECMAScript ECMA-262" (ملف PDF) . ecma-international.org .
↑ OFCM، 2005: الدليل الفيدرالي للأرصاد الجوية رقم 1 مؤرشف في 1999-04-20 في Wayback Machine ، واشنطن العاصمة، 104 صفحة.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "التقريب" . عالم الرياضيات .
مقدمة لخوارزميات التقريب المختلفة ، وهي متاحة للجمهور العام ولكنها مفيدة بشكل خاص لأولئك الذين يدرسون علوم الحاسوب والإلكترونيات.
كيفية تطبيق إجراءات التقريب المخصصة من مايكروسوفت (معطل)

[3] هذا مطلوب على سبيل المثال [1] لتوزيع المقاعد ، ويتم تنفيذه على سبيل المثال بواسطة طريقة الباقي الأكبر ، انظر رياضيات التوزيع ، و[2] لتوزيع إجمالي ضريبة القيمة المضافة للفاتورة على بنودها)

[NB_Double-15] الحالة التي يؤدي فيها التقريب المزدوج دائمًا إلى نفس القيمة التي يؤدي إليها التقريب المباشر إلى الدقة النهائية هي عندما يكون الأساس فرديًا.

[1] إشعيا لانكهام، برونو ناختيرغيل ، آن شيلينغ : الجبر الخطي كمقدمة للرياضيات المجردة. دار النشر العالمية، سنغافورة 2016، رقم ISBN 978-981-4730-35-8، ص 186.

[2] كوليش، أولريش و. (يوليو 1977). "الأساس الرياضي للحساب الحاسوبي". معاملات IEEE في الحوسبة . C-26 (7): 610-621 . Bibcode : 1977ITCmp.100..610K . doi : 10.1109/TC.1977.1674893 .

[4] هايام، نيكولاس جون (2002). دقة واستقرار الخوارزميات العددية ( الطبعة الثانية). ص 54. doi : 10.1137/1.9780898718027.ch2 . ISBN 978-0-89871-521-7.
نيفيرجيلت، إيف (2000). "أخطاء التقريب التي قد تُلحق الضرر بأسهمك". مجلة الرياضيات . 73 (1): 47-48 . doi : 10.1080/0025570X.2000.11996800 . JSTOR 2691491 .
كوين، كيفن (8 نوفمبر 1983). "هل واجهتَ مشاكل في تقريب الأرقام؟ هذه البورصة واجهتها" (ملف PDF) . صحيفة وول ستريت جورنال .
ليلي، واين (29 نوفمبر 1983). "مؤشر أسهم فانكوفر يصل إلى الرقم الصحيح أخيرًا" (ملف PDF) . صحيفة تورنتو ستار .

[java-5] 1 2 "java.math.RoundingMode" . Oracle.

[python-6] 1 2 "decimal – العمليات الحسابية العشرية ذات النقطة الثابتة والنقطة العائمة" . مؤسسة برمجيات بايثون.

[7] دليل معايير الرسم الهندسي (وكالة ناسا)، X-673-64-1F، صفحة 90

[8] أبس، برايان؛ باركر ، كريس؛ فريبورن، إنغريد (2003). بطاقات بريدية 4 لتعزيز اللغة: كتاب تمارين مع بناء القواعد . بيرسون للتعليم. ص 85. ISBN 0-13-093904-8. يُطلق على التقريب إلى أقرب عدد زوجي أيضًا اسم "تقريب المصرفيين" لأن البنوك تستخدم هذه التقنية أيضًا.
دليل مستخدم مُجمِّع لغة باسكال من مايكروسوفت لنظام التشغيل MS-DOS . شركة مايكروسوفت. 1985. صفحة 165. يُستخدم التقريب المصرفي عند اقتطاع الأعداد الحقيقية التي تنتهي بـ 0.5؛ أي أن الأعداد الفردية تُقرَّب لأعلى إلى عدد زوجي، والأعداد الزوجية تُقرَّب لأسفل إلى عدد زوجي.

[9] الجدول 1 من قانون العملة العشرية لعام 1969

[stochastic-10] 1 2 جوبتا، سويوج؛ أنغراول، أنكور؛ جوبالاكريشنان، كايلاش؛ نارايانان ، بريتيش (2016/02/09). “التعلم العميق بدقة عددية محدودة”. ص. 3.arXiv : 1502.02551 [ cs.LG ] .

[11] "منظمات جهد ثنائي زينر" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 13 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 نوفمبر 2010 .

[12] "جهاز الصراف الآلي ستيلافان: بناء أداة اختبار فوكو ورونشي، الصفحة 3" . stellafane.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 سبتمبر 2025 .

[13] شنايدر، كريستين (21 يناير 2002). "صيغة إكسل لحساب قيم المقاومة القياسية بنسبة 1%" . التصميم الإلكتروني . تم الاسترجاع في 10 سبتمبر 2025 .

[14] باركر، د. ستوت؛ إيغرت، بول ر.؛ بيرس، براد (28-03-2000). "حساب مونت كارلو: إطار عمل للتحليل الإحصائي لأخطاء التقريب" . مجلة IEEE للحوسبة في العلوم والهندسة.

[16] بورمان، فيل؛ تشاتفيلد، ماريون (10 نوفمبر 2015). "تجنب مخاطر استخدام البيانات المقربة". مجلة التحليل الصيدلاني والحيوي . 115 : 506-507 . doi : 10.1016/j.jpba.2015.07.021 . PMID 26299526 .

[17] ديبورا ر. هينسلر (2000). معضلات الدعاوى الجماعية: السعي لتحقيق أهداف عامة من أجل مكاسب خاصة . راند. ص 255-293 . ISBN 0-8330-2601-1.

[18] صموئيل أ. فيغيروا (يوليو 1995). "متى يكون التقريب المزدوج غير ضار؟" . نشرة ACM SIGNUM . 30 (3). ACM: 21-25 . doi : 10.1145/221332.221334 .

[19] روجر غوليفر (أكتوبر 1998). "إنتاج نتائج IEEE المزدوجة المتعامدة الافتراضية بكفاءة باستخدام أجهزة IEEE الموسعة" (ملف PDF) . إنتل.

[20] دارسي، جوزيف د. "JEP 306: استعادة دلالات الفاصلة العائمة الصارمة دائمًا" . تم الاسترجاع في 12-09-2021 .

[21] مور، ج. ستروثر؛ لينش، توم؛ كوفمان، مات (1996). "برهان مُدقَّق آليًا لصحة نواة خوارزمية قسمة الفاصلة العائمة AMD5K86" (ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات الحاسوبية . 47. CiteSeerX 10.1.1.43.3309 . doi : 10.1109/12.713311 . تاريخ الاسترجاع : 2016-08-02 .

[22] بولدو، سيلفي ؛ ميلكيوند، غيوم (2008). "محاكاة FMA والمجاميع المقربة بشكل صحيح: خوارزميات مثبتة باستخدام التقريب إلى أعداد فردية" . معاملات IEEE في الحوسبة . 57 (4): 462-471 . doi : 10.1109/TC.2007.70819 .

[23] "21718 – التقريب في real.c ليس مثاليًا" . gcc.gnu.org .

[24] "العمليات الحسابية" . ibm.com . شركة IBM. 2025-04-08 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-01-12 .

[25] "مبادئ تشغيل هندسة z/، الطبعة الحادية عشرة" ( ملف PDF) . publibfi.boulder.ibm.com . ص 9-14 .

[26] كاهان، ويليام مورتون . "لوغاريتم ذكي أكثر من اللازم بنصفه" . تم الاسترجاع في 14-11-2008 .

[Muller_2010-27] مولر، جان ميشيل. بريسبار، نيكولاس. دي دينشين، فلوران؛ جانرود، كلود بيير؛ لوفيفر، فنسنت؛ ملكيوند، غيوم؛ ريفول, ناتالي ; ستيهلي، داميان؛ توريس، سيرج (2010). "الفصل الثاني عشر: حل معضلة صانع الطاولة" . دليل حساب النقطة العائمة (1 ed.). بيركهوسر . دوى : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . رقم ISBN 978-0-8176-4704-9. إل سي سي إن 2009939668 .

[28] "ملخص الجمعية الأمريكية لأطباء التخدير، الأحد 18 أبريل 1999، المجلد 99 : العدد 16" . 18-04-1999 . تاريخ الاسترجاع: 29-08-2022 .

[29] "مكتبة الرياضيات للغة جافا" . مؤرشفة من الأصل بتاريخ 1999-05-08.

[30] "مكتبة رياضية محمولة دقيقة" . مؤرشفة من الأصل بتاريخ 2005-02-07.

[31] مكتبة الرياضيات على GitHub .

[32] "libultim – مكتبة الدوال الأولية ذات التقريب الصحيح" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2021-03-01.

[33] "Git - glibc.git/commit" . Sourceware.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-07-2022 .

[34] دي دينشين، فلورنت؛ لاوتر، كريستوف؛ مولر، جان ميشيل (يناير–مارس 2007). "لوغاريتمات سريعة ومقربة بشكل صحيح بدقة مزدوجة". RAIRO-Theor. Inf. Appl . 41 (1): 85–102 . CiteSeerX 10.1.1.106.6652 . doi : 10.1051/ita:2007003 . HAL ensl-00000007v2 .

[35] "CRlibm – مكتبة رياضية مُقَرَّبة بشكل صحيح" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 27-10-2016.

[36] rlibm على GitHub

[coremath-ieee29-37] 1 2 سيبيدانوف، أليكسي؛ زيمرمان، بول؛ غلوندو، ستيفان (2022). مشروع CORE-MATH . المؤتمر التاسع والعشرون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول الحساب الحاسوبي (ARITH 2022) . تم الاسترجاع في 30 أغسطس 2022 .

[38] كوبيانوفا، أولغا؛ لاوتر، كريستوف (2014). ميتالي بي إم: مولد أكواد الدوال الرياضية . البرمجيات الرياضية – المؤتمر الدولي للرياضيات 2014. المجلد 8592. الصفحات 713-717 . doi : 10.1007/978-3-662-44199-2_106 .

[39] "libmcr – مكتبة الدوال الأولية ذات التقريب الصحيح" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 25-02-2021.

[40] r على GitHub .

[41] "مشروع CORE-MATH" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-08-2022 .

[42] "وظائف الرياضيات - مكتبة LLVM C" . libc.llvm.org .

[43] دنكان ج. ميلفيل. "اللوح الطيني YBC 7289". 2006

[44] قواعد تقريب القيم العددية . جمعية المعايير الأمريكية . 1940. Z25.1-1940.
نشأ هذا المعيار من لجنة تابعة لجمعية المعايير الأمريكية (ASA) كانت تعمل على توحيد التحويل بين البوصة والمليمتر. انظر: أغنيو، بي جي (سبتمبر 1940). "حب الإنسان للأرقام الدائرية" . مجلة المعايير الصناعية والتجارية الشهرية . المجلد 11، العدد 9، الصفحات 230-233 .
كما تم الإعلان عن المعيار بشكل أكثر إيجازًا في: "تقريب الأعداد العشرية" . مجلة باور . المجلد 84، العدد 11. نوفمبر 1940. صفحة 93.
الممارسة القياسية لاستخدام الأرقام المعنوية في بيانات الاختبار لتحديد المطابقة مع المواصفات . الجمعية الأمريكية لاختبار المواد (ASTM). 2013 [1940]. doi : 10.1520/E0029-13 . E-29.

[45] وودوارد، روبرت س. (1906). الاحتمالات ونظرية الأخطاء . دراسات رياضية. المجلد 7. نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص 42. من الحقائق المهمة المتعلقة بالخطأ 1/2 عندما يكون $n$ زوجيًا أن إشارته اعتباطية، أو غير محددة مسبقًا في الحساب كما هو الحال مع جميع الأخطاء الأخرى. ومع ذلك، فإن قاعدة الحاسوب، التي تجعل الرقم الأخير المقرب من القيمة المُستكملة زوجيًا عند التخلص من نصف وحدة، ستجعل هذا الخطأ، على المدى الطويل، موجبًا بقدر ما هو سالب.

[46] نيوكومب، سيمون (1882). جداول اللوغاريتمات وغيرها من الجداول الرياضية مع أمثلة على استخدامها وتلميحات حول فن الحساب . نيويورك: هنري هولت. الصفحات 14-15 . هنا لدينا حالة نحتاج فيها إلى نصف عدد فردي. [...] من القواعد الجيدة التي يُنصح باتباعها في مثل هذه الحالة كتابة أقرب عدد زوجي .

[47] تاتل، لوسيوس (1916). نظرية القياسات . فيلادلفيا: مختبر جيفرسون للفيزياء. ص 29. يجب استبعاد أي كسر أقل من النصف بشكل ملحوظ، ويجب اعتبار أي كسر يزيد عن النصف وحدة إضافية. ولكن عندما يكون من غير المؤكد أي الرقمين أقرب، فإن القاعدة المتبعة عالميًا هي تسجيل أقرب عدد زوجي بدلاً من العدد الفردي الأقرب منه. والسبب في ذلك هو أنه في سلسلة من القياسات المتعددة لنفس الكمية، سيكون من المحتمل أن يكون التسجيل أكبر من القيمة الحقيقية كما هو الحال في التسجيل أصغر من القيمة الحقيقية، وبالتالي فإن متوسط عدة قيم من هذا القبيل لن يتسبب إلا في خطأ طفيف، إن وجد.

[48] تشرشل أيزنهارت (1947). "آثار تقريب البيانات أو تجميعها" . في: أيزنهارت؛ هاستاي؛ واليس (محررون). تقنيات مختارة للتحليل الإحصائي للبحث العلمي والصناعي، وهندسة الإنتاج والإدارة . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 187-223 . تاريخ الاسترجاع: 30 يناير 2014 .

[49] "إدخال اليورو وتقريب المبالغ النقدية" (ملف PDF) . مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2010. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أغسطس 2011 .

[50] باتن، يورغ (2009). "قياس المعرفة الكمية: تراكم الأعمار وتاريخ رأس المال البشري". مجلة التاريخ الاقتصادي . 69 (3): 783-808 . doi : 10.1017/S0022050709001120 . hdl : 10230/481 .

[51] "مواصفات لغة ECMAScript ECMA-262" (ملف PDF) . ecma-international.org .

[52] OFCM، 2005: الدليل الفيدرالي للأرصاد الجوية رقم 1 مؤرشف في 1999-04-20 في Wayback Machine ، واشنطن العاصمة، 104 صفحة.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ nb 1 ]

[ ٣ ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ] ).

[ 50 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗