تسلسل فاري

رسم البسط مقابل المقامات لمتتالية فاري يعطي شكلاً مثل الشكل الموجود على اليمين، كما هو موضح لـ F ₆ .

يؤدي عكس هذا الشكل حول المحورين القطري والرئيسي إلى توليد شكل شعاع الشمس لفاري ، الموضح أدناه. يربط شكل شعاع الشمس لفاري من الرتبة n نقاط الشبكة الصحيحة المرئية من نقطة الأصل في مربع طول ضلعه 2n ، ومركزه نقطة الأصل. باستخدام نظرية بيك _، تكون مساحة شعاع الشمس 4( | Fn _| - 1 ) ، حيث | Fn | هو عدد الكسور في Fn _.

تحتوي متتالية فاري من الرتبة n على جميع عناصر متتاليات فاري من الرتب الأدنى. وعلى وجه الخصوص، تحتوي F _{_n} على جميع عناصر F _{_{n - 1}}، بالإضافة إلى كسر إضافي لكل عدد أقل من n وأولي نسبيًا مع n . وهكذا، تتكون F ₆ من F _₅ بالإضافة إلى الكسرين 1/6 و 5 / 6 .

الحد الأوسط لمتتالية فاري F _{_n} هو دائمًا 1/2 ، عندما يكون n > 1. ومن هذا، يمكننا ربط أطوال F _{_n} و F _{_{n - 1}} باستخدام دالة أويلر φ ( n ) :

$${\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).}$$

باستخدام حقيقة أن | F ₁ | = 2 ، يمكننا اشتقاق تعبير لطول F _n : ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n),}$$ حيث Φ ( n ) هو دالة الجمع .

لدينا أيضًا  : $${\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right),}$$ وباستخدام صيغة انعكاس موبيوس  : $${\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,}$$ حيث μ ( d ) هي دالة موبيوس في نظرية الأعداد ، و ${\displaystyle \lfloor n/d\rfloor }$هي دالة الأرضية .

السلوك التقاربي لـ | F _n | هو  : $${\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.}$$

عدد كسور فاري ذات المقامات التي تساوي k في F _n يُعطى بالدالة φ ( k ) عندما k ≤ n، وصفر فيما عدا ذلك. أما بالنسبة للبسط، فيمكن تعريف الدالة${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(h)}$تُعيد هذه الدالة عدد كسور فاري التي تساوي بسطها h في F _n . وتتمتع هذه الدالة ببعض الخصائص المثيرة للاهتمام كما هو موضح في ^{[ 7 ].}

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(1)=n}$،

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(p^{m})=\left\lceil (np^{m})\left(1-1/p\right)\right\rceil }$لأي عدد أولي${\displaystyle p}$،

${\displaystyle {\mathcal {N}} _ {n+mh}(h)={\mathcal {N}}_{n}(h)+m\varphi (h)}$ لأي عدد صحيح m ≥ 0 ،

${\displaystyle {\mathcal {N}} _ {n}(4h)={\mathcal {N}} _ {n}(2h)-\varphi (2h).}$

وبالتحديد، فإن الخاصية الواردة في السطر الثالث أعلاه تعني${\displaystyle {\mathcal {N}} _ {mh}(h)=(m-1)\varphi (h)}$وعلاوة على ذلك،${\displaystyle {\mathcal {N}} _ {2h}(h)=\varphi (h).}$وهذا يعني أنه بالنسبة لمتتاليات فاري ذات الرتبة الزوجية n ، فإن عدد الكسور التي يكون بسطها مساوياً لـ n / 2 يساوي عدد الكسور التي يكون مقامها مساوياً لـ n / 2 ، أي${\displaystyle {\mathcal {N}} _ {n}(n/2)=\varphi (n/2)}$.

المؤشر${\displaystyle I_{n}(a_{k,n})=k}$جزء من${\displaystyle a_{k,n}}$في سلسلة فاري${\displaystyle F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}$هو ببساطة الموقف الذي${\displaystyle a_{k,n}}$ يشغل هذا الموضع في المتتالية. وهذا ذو أهمية خاصة لأنه يُستخدم في صياغة بديلة لفرضية ريمان ، انظر أدناه . وتترتب على ذلك خصائص مفيدة عديدة: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}(0/1)&=0,\\[6pt]I_{n}(1/n)&=1,\\[2pt]I_{n}(1/2)&={\frac {|F_{n}|-1}{2}},\\[2pt]I_{n}(1/1)&=|F_{n}|-1,\\[2pt]I_{n}(h/k)&=|F_{n}|-1-I_{n}\left({\frac {kh}{k}}\right).\end{aligned}}}$$

يُعطى دليل 1 / k حيث n / i +1 < k ≤ n / i و n هو المضاعف المشترك الأصغر للأعداد i الأولى ، n = lcm([ 2 , i ] ⁾ ، بواسطة : [ ^{8 ]}$${\displaystyle I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).}$$

تم استخدام تعبير مشابه كتقريب لـ${\displaystyle I_{n}(x)}$بالنسبة للقيم المنخفضة لـ${\displaystyle x}$في الورقة البحثية الكلاسيكية لـ ف. دريس. ^{[ 9 ]} تعبير عام لـ${\displaystyle I_{n}(h/k)}$لأي كسر فاري${\displaystyle h/k}$^{[ 10 ]}​

الكسور التي تمثل حدودًا متجاورة في أي متتالية فاري تُعرف باسم زوج فاري ولها الخصائص التالية.

إذا كان ⁠ a / b ⁠ و ⁠ c / d ⁠ متجاورين في متتالية فاري، حيث ⁠ a / b ⁠ < ⁠ c / d ⁠ ، فإن الفرق بينهما ⁠ c / d ⁠ − ⁠ a / b ⁠ يساوي ⁠ 1 / bd ⁠ . $${\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}},}$$

هذا يعادل قول أن $${\displaystyle bc-ad=1.}$$

وبالتالي فإن 1 / 3 و 2 / 5 هما جيران في F ₅ ، والفرق بينهما هو 1 / 15 .

والعكس صحيح أيضاً. إذا $${\displaystyle bc-ad=1}$$

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة a و b و c و d حيث a < b و c < d ، فإن a / b و c / d سيكونان متجاورين في متتالية فاري من الرتبة max( b, d ) .

إذا كان للعدد p / q جيران هما a / b و c / d في متتالية فاري ، حيث a / b < p / q < c / d ، فإن p / q هو الوسيط لـ a / b و c / d – بعبارة أخرى ،​​​​​​​​$${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}.}$$

وهذا يتبع بسهولة من الخاصية السابقة، لأنه إذا $${\displaystyle {\begin{aligned}&&bp-aq&=qc-pd=1,\\[4pt]\implies &&bp+pd&=qc+aq,\\[4pt]\implies &&p(b+d)&=q(a+c),\\\implies &&{\frac {p}{q}}&={\frac {a+c}{b+d}}.\end{aligned}}}$$

يترتب على ذلك أنه إذا كان ⁠ a / b ⁠ و ⁠ c / d ⁠ متجاورين في متتالية فاري، فإن الحد الأول الذي يظهر بينهما عند زيادة رتبة متتالية فاري هو $${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}},}$$

والتي تظهر لأول مرة في متتالية فاري من الرتبة b + d .

وبالتالي فإن أول حد يظهر بين 1 / 3 و 2 / 5 هو 3 / 8 ، والذي يظهر في F ₈ .

العدد الإجمالي لأزواج الجوار في فاري في F _n هو 2 | F _n | − 3 .

شجرة ستيرن - بروكوت هي بنية بيانات توضح كيفية بناء المتتالية من 0 ( أي 0/1 ) و1 ( أي 1/1 ) ، وذلك بأخذ الوسائط المتتالية. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في الخطوة n من بناء شجرة ستيرن-بروكوت ، تُضمَّن جميع الوسائط، وليس فقط تلك التي يكون مقامها مساويًا لـ n .

الكسور التي تظهر متجاورة في متتالية فاري لها متسلسلات كسور مستمرة مترابطة ارتباطًا وثيقًا . لكل كسر متسلسلتان كسور مستمرة - في إحداهما يكون الحد الأخير 1؛ وفي الأخرى يكون الحد الأخير أكبر بمقدار 1. إذا كان الكسر p / q ، الذي يظهر لأول مرة في متتالية فاري Fq _، له متسلسلات كسور مستمرة$${\displaystyle {\begin{aligned}&[0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n},\ 1]\\{}&[0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n}+1]\end{aligned}}}$$

ثم يكون لأقرب جار لـ p / q في F q ₍ والذي سيكون جاره ذو المقام الأكبر) مفكوك كسر مستمر $${\displaystyle [0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n}]}$$

وجارتها الأخرى لديها تمدد كسري مستمر $${\displaystyle [0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1}]}$$

على سبيل المثال، ⁠ 3 / 8 ⁠ له توسعان للكسر المستمر [0؛ 2، 1، 1، 1] و [0؛ 2، 1، 2] ، وجيرانه في F ₈ هم ⁠ 2 / 5 ⁠ ، والذي يمكن توسيعه على النحو [0؛ 2، 1، 1] ؛ و⁠ 1 / 3 ⁠ ، والذي يمكن توسيعه على النحو [0؛ 2، 1] .

يمكن التعبير عن المضاعف المشترك الأصغر كحاصل ضرب كسور فاري كما يلي: $${\displaystyle {\text{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}}$$

حيث ψ ( N ) هي دالة تشيبيشيف الثانية . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

بما أن دالة أويلر للدالة العليا مرتبطة مباشرة بالقاسم المشترك الأكبر، فإن عدد العناصر في F _n مرتبط به أيضاً . $${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.}$$

بالنسبة لأي ثلاثة كسور فاري ⁠ a / b ⁠ ، ⁠ c / d ⁠ ، ⁠ e / f ⁠، فإن المتطابقة التالية بين القاسم المشترك الأكبر لمحددات المصفوفة 2×2 بالقيمة المطلقة صحيحة: ^{[ 14 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle \gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)}$$

تُعد متتابعات فاري مفيدة جدًا لإيجاد تقريبات نسبية للأعداد غير النسبية . ^{[ 15 ]} على سبيل المثال، يستخدم إلياهو ^{[ 16 ]} متتابعات فاري لحساب توسيع الكسر المستمر للعدد log ₂ (3) في بناء حد أدنى لطول الدورات غير التافهة في عملية 3 x +1 .

في الأنظمة الفيزيائية التي تتضمن ظواهر الرنين، توفر متواليات فاري طريقة أنيقة وفعالة للغاية لحساب مواقع الرنين في بُعد واحد ^{[ 17 ]} وبُعدين. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

تُعدّ متواليات فاري بارزة في دراسات تخطيط المسارات بأي زاوية على الشبكات ذات الخلايا المربعة، على سبيل المثال في تحديد تعقيدها الحسابي ^{[ 20 ]} أو مثاليتها. ^{[ 21 ]} يمكن النظر إلى هذا الارتباط من حيث المسارات المقيدة بـ r ، أي المسارات المكونة من قطع مستقيمة يمر كل منها على الأكثر r صفوف و r أعمدة من الخلايا. ليكن Q مجموعة المتجهات ( q , p ) بحيث${\displaystyle 1\leq q\leq r}$،${\displaystyle 0\leq p\leq q}$و p و q عددان أوليان فيما بينهما. ليكن Q* ناتج انعكاس Q حول الخط y = x .${\displaystyle S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}}$عندئذٍ، يمكن وصف أي مسار مقيد بـ r على أنه سلسلة من المتجهات من S. يوجد تقابل بين Q ومتتالية فاري من الرتبة r المعطاة بواسطة ( q , p ) التي تُسقط على${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$.

هناك صلة بين متتاليات فاري ودوائر فورد .

لكل كسر p / q ( في أبسط صورة) توجد دائرة فورد C [ p / q ] ، وهي الدائرة ذات نصف القطر${\displaystyle {\tfrac {1}{2q^{2}}}}$والمركز في${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {p}{q}},{\tfrac {1}{2q^{2}}}{\bigr )}.}$تكون دائرتان فورد لكسور مختلفة إما منفصلتين أو متماستين - لا تتقاطع دائرتان فورد أبدًا. إذا كان 0 < p / q < 1 ، فإن دوائر فورد المماسية لـ C [ p / q ] هي تحديدًا دوائر فورد للكسور المجاورة لـ p / q في متتالية فاري.

وبالتالي فإن C [2/5] مماس لـ C [1/2] ، C [1/3] ، C [3/7] ، C [3/8] ، إلخ.

تظهر دوائر فورد أيضًا في مجموعة أبولو (0,0,1,1) . توضح الصورة أدناه ذلك إلى جانب خطوط رنين فاري. ^{[ 22 ]}

تُستخدم متتابعات فاري في صيغتين متكافئتين لفرضية ريمان . لنفترض أن حدود F _n هي${\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}.}$يُعرِّف${\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-{\tfrac {k}{m_{n}}},}$بعبارة أخرى${\displaystyle d_{k,n}}$هو الفرق بين الحد k من متتالية فاري رقم n ، والعنصر k من مجموعة لها نفس عدد النقاط، موزعة بالتساوي على الفترة [0, 1] . في عام 1924، أثبت جيروم فرانيل ^{[ 23 ]} صحة العبارة.

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1}$$

وهو ما يعادل فرضية ريمان، ثم لاحظ إدموند لانداو ^{[ 24 ]} (مباشرة بعد ورقة فرانيل) أن العبارة $${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>{\frac {1}{2}}}$$

وهو مكافئ أيضًا لفرضية ريمان. ويتم إثبات حد أعلى غير مشروط لهذا المجموع مباشرةً من حقيقة أن${\displaystyle |d_{k,n}|\leq 1/n}$^{[ 9 ]} كما

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|\leq {\frac {3}{\pi ^{2}}}n+O(\log n).}$$

يتم تحديد حد أدنى غير مشروط باستخدام توزيع الفجوة المعروف لتسلسل فاري كما هو ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|\geq {\frac {9}{\pi ^{2}(\pi ^{2}-3)}}\left(\log \left({\frac {3n}{\pi ^{2}}}\right)+\gamma -{\frac {\zeta '(2)}{\zeta (2)}}-{\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\frac {9}{2\pi ^{4}}}\right)+O\!\left({\frac {\log n}{n}}\right),}$$