دالة تشيبيشيف

في الرياضيات ، تُعرف دالة تشيبيشيف إما بدالة قياسية ( دالة تشيبيشيف ) أو بإحدى دالتين مرتبطتين بها. تُعطى دالة تشيبيشيف الأولى ϑ ( x ) أو θ ( x ) بالصيغة التالية:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

أين${\displaystyle \log }$يشير إلى اللوغاريتم الطبيعي ، مع امتداد المجموع على جميع الأعداد الأولية p التي تقل عن أو تساوي x .

تُعرَّف دالة تشيبيشيف الثانية ψ ( x ) بشكل مماثل، حيث يمتد المجموع على جميع القوى الأولية التي لا تتجاوز x 

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

حيث Λ هي دالة فون مانغولد . تُستخدم دوال تشيبيشيف، وخاصة الثانية منها ψ ( x ) ، غالبًا في البراهين المتعلقة بالأعداد الأولية ، لأنه من الأسهل عادةً التعامل معها مقارنةً بدالة عد الأعداد الأولية π ( x ) (انظر الصيغة الدقيقة أدناه ) . كلتا دالتي تشيبيشيف مقاربتان لـ x ، وهو ما يُكافئ نظرية الأعداد الأولية . 

تُستخدم دالة تشيبيشيف ، أو دالة تشيبيشيف للمنفعة ، أو دالة تشيبيشيف الموزونة للقياس عندما يكون لدى المرء عدة دوال يجب تقليلها ويريد "قياسها" إلى دالة واحدة:

${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}$^{[ 1 ]}

عن طريق تقليل هذه الدالة لقيم مختلفة من${\displaystyle w}$^{[ 1 ]} غالبًا ما تكون الدوال المراد تصغيرها غير محدبة.${\displaystyle f_{i}}$لكن${\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}$بالنسبة لبعض الكميات القياسية${\displaystyle z_{i}^{*}}$. ثم${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}$^{[ 2 ]}

جميع الوظائف الثلاث سميت تكريماً لبافنوتي تشيبيشيف .

يمكن ملاحظة أن دالة تشيبيشيف الثانية مرتبطة بالأولى من خلال كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

حيث k هو العدد الصحيح الوحيد الذي يحقق الشرطين p k ≤ x و x < p  k  + 1. تُعطى قيم k في OEIS : A206722  . وتُعطى علاقة أكثر مباشرة من خلال

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

يحتوي هذا المجموع الأخير على عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية، كما

${\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

الدالة الثانية لتشيبشيف هي لوغاريتم المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة من 1 إلى n . 

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

يتم إعطاء قيم lcm(1, 2, ..., n ) للمتغير الصحيح n في OEIS : A003418  .

تربط النظرية التالية بين ناتجي القسمة${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}$و${\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}$[ ^{3 ]​}

نظرية: لـ${\displaystyle x>0}$لدينا

${\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

هذا التفاوت يعني أن

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}$

بمعنى آخر، إذا كان أحد${\displaystyle \psi (x)/x}$أو${\displaystyle \vartheta (x)/x}$إذا اقتربت من حد معين، فإن الحد الآخر يقترب منه أيضاً، ويكون الحدان متساويين.

الدليل: بما أن${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}$، نجد أن

${\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}$

لكن من تعريف${\displaystyle \vartheta (x)}$لدينا المتباينة التافهة

${\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}$

لذا

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}$

وأخيرًا، اقسم على${\displaystyle x}$للحصول على المتباينة في النظرية.

الحدود التالية معروفة لدوال تشيبيشيف:(في هذه الصيغ ، p _k هو العدد الأولي رقم k ؛ p ₁ = 2 ، p ₂ = 3 ، إلخ.)

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، في ظل فرضية ريمان ،

${\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}$

لأي قيمة ε > 0 .

توجد حدود عليا لكل من ϑ ( x ) و ψ ( x ) بحيث ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}$

لأي قيمة x > 0 .

تم تقديم شرح للثابت 1.03883 في OEIS : A206431  .

في عام 1895، أثبت هانز كارل فريدريش فون مانغولدتعبير صريح لـ ψ ( x ) كمجموع على الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(القيمة العددية لـ ⁠ ζ ′ (0) / ζ (0) ⁠ هي log(2π) .) هنا ρ يمر عبر الأصفار غير التافهة لدالة زيتا، و ψ ₀ هي نفسها ψ ، باستثناء أنها عند انقطاعات القفز (القوى الأولية) تأخذ القيمة في منتصف المسافة بين القيم الموجودة على اليسار واليمين:

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\,\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

من متسلسلة تايلور للوغاريتم ، يمكن فهم الحد الأخير في الصيغة الصريحة على أنه مجموع ⁠ x ^ω / ω ⁠ على الأصفار التافهة لدالة زيتا، ω = −2، −4، −6، ... ، أي

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}$

وبالمثل، فإن الحد الأول، x = ⁠ x ¹ / 1 ⁠ ، يتوافق مع القطب البسيط لدالة زيتا عند 1. وكونه قطبًا بدلاً من الصفر يفسر الإشارة المعاكسة للحد.

تنص نظرية إرهارد شميدت على أنه، بالنسبة لثابت موجب صريح K ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية x بحيث

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

وعدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية x بحيث

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$

باستخدام رمز الحرف الصغير (θ) ، يمكن كتابة ما سبق على النحو التالي:

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

هاردي وليتلوود​أثبت النتيجة الأقوى، وهي

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}$

الدالة الأولى لتشيبشيف هي لوغاريتم العدد الأولي لـ x ، ويرمز لها بـ x # ، كما هو موضح لدينا

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

تُكافئ نظرية الأعداد الأولية ما يلي :${\displaystyle \lim _{x\to \infty }({\vartheta (x)}/x)=1}$من الشكل المكافئ${\displaystyle \vartheta (x)=x(1+o(1))}$مثل${\displaystyle x\rightarrow \infty }$، أين${\displaystyle o}$هو الصغير-${\displaystyle o}$وبالتالي، فإن الترميز يترتب عليه مباشرة أن لدينا

${\displaystyle x\#=e^{(1+o(1))x}.}$

يمكن ربط دالة تشيبيشيف بدالة عد الأعداد الأولية كما يلي. عرّف

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

ثم

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

يتم الانتقال من Π إلى دالة عد الأعداد الأولية ، π ، من خلال المعادلة

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }$

بالتأكيد π ( x ) ≤ x ، لذا، ولغرض التقريب، يمكن إعادة صياغة هذه العلاقة الأخيرة بالشكل التالي:

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

تنص فرضية ريمان على أن جميع الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لها جزء حقيقي يساوي 1/2 . في هذه الحالة، يكون | xρ | = ^√x ، ويمكن إثبات ذلك .

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}$

وبناءً على ما سبق، فإن هذا يعني

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}$

تُعرَّف دالة التنعيم على النحو التالي :

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

يمكن إثبات ذلك بسهولة.${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

• ^ بيير دوسارت، "تقديرات لبعض الدوال على الأعداد الأولية بدون فرضية RH".arXiv: 1002.0442
• ^ بيير دوسارت، "حدود أدق لـψ،θ،π، p _k "، تقرير بحثي رقم 1998-06، جامعة ليموج. نُشرت نسخة مختصرة بعنوان "العدد الأولي k أكبر من k (log k + log log k − 1)لـ k ≥ 2"،مجلة الرياضيات الحسابية، المجلد 68، العدد 225 (1999)،الصفحات 411-415.
• ^ إيرهارد شميدت، “Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze”،Mathematische Annalen،57(1903)، الصفحات من 195إلى204.
• ^ G .H. Hardy and JE Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes",Acta Mathematica,41(1916) pp. 119–196.
• ^ دافنبورت، هارولد(2000). في نظرية الأعداد الضربية . سبرينغر. ص 104.ISBN 0-387-95097-4بحث جوجل عن الكتب.

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  

• وايسشتاين، إريك دبليو. "دوال تشيبيشيف" . عالم الرياضيات .
• "دالة مانغولد التجميعية" . PlanetMath .
• "دوال تشيبيشيف" . بلانيت ماث .
• صيغة ريمان الصريحة ، مع صور وأفلام