المضاعف المشترك الأصغر

يُرمز إلى المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين a و b بالرمز lcm( a , b ). ^{[ 1 ]} تستخدم بعض الكتب الدراسية القديمة الرمز [ a , b ]. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {lcm} (4,6)}$

مضاعفات العدد 4 هي:

${\displaystyle 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,...}$

مضاعفات العدد 6 هي:

${\displaystyle 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,...}$

المضاعفات المشتركة للعددين 4 و 6 هي الأعداد الموجودة في كلتا القائمتين:

${\displaystyle 12,24,36,48,60,72,...}$

في هذه القائمة، أصغر عدد هو 12. وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو  12.

لنفترض وجود ترسين متشابكين في آلة ، يحتوي كل منهما على m و n سنًا على التوالي، ويتم تمييز الترسين بقطعة مستقيمة مرسومة من مركز الترس الأول إلى مركز الترس الثاني. عندما يبدأ الترسان بالدوران، يمكن حساب عدد الدورات التي يجب أن يكملها الترس الأول لإعادة محاذاة القطعة المستقيمة باستخدام${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)}$يجب أن يكتمل الترس الأول${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}}}$دورات لإعادة المحاذاة. بحلول ذلك الوقت، سيكون الترس الثاني قد قام بـ${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}}$دورات.

لنفترض وجود ثلاثة كواكب تدور حول نجم، وتستغرق مداراتها l و m و n وحدة زمنية على التوالي. افترض أن l و m و n أعداد صحيحة. بافتراض أن الكواكب بدأت حركتها حول النجم بعد اصطفاف خطي أولي، فإنها ستعود جميعها إلى الاصطفاف الخطي مرة أخرى بعد${\displaystyle \operatorname {lcm} (l,m,n)}$وحدات زمنية. في هذا الوقت، ستكون الكواكب الأول والثاني والثالث قد أكملت${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (l,m,n)}{l}}}$،${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (l,m,n)}{m}}}$و${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (l,m,n)}{n}}}$تدور، على التوالي، حول النجم. ^{[ 5 ]}

يمكن حساب المضاعف المشترك الأصغر من القاسم المشترك الأكبر (gcd) باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|ab|}{\gcd(a,b)}}.}$

لتجنب إدخال أعداد صحيحة أكبر من النتيجة، من الملائم استخدام الصيغ المكافئة.

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=|a|\,{\frac {|b|}{\gcd(a,b)}}=|b|\,{\frac {|a|}{\gcd(a,b)}},}$

حيث تكون نتيجة القسمة دائمًا عددًا صحيحًا.

تكون هذه الصيغ صحيحة أيضًا عندما يكون أحد a أو b يساوي صفرًا ، لأن القاسم المشترك الأكبر لـ a و 0 يساوي | a | . ومع ذلك، إذا كان كلا aو b تساوي 0 ، فإن هذه الصيغ ستؤدي إلى القسمة على صفر ؛ لذلك، يجب اعتبار lcm(0, 0) = 0 حالة خاصة.

بالعودة إلى المثال أعلاه،

${\displaystyle \operatorname {lcm} (21,6)=6\times {\frac {21}{\gcd(21,6)}}=6\times {\frac {21}{3}}=6\times 7=42.}$

توجد خوارزميات سريعة ، مثل خوارزمية إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر، لا تتطلب تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية . بالنسبة للأعداد الصحيحة الكبيرة جدًا، توجد خوارزميات أسرع للعمليات الثلاث (الضرب، والقاسم المشترك الأكبر، والقسمة)؛ انظر الضرب السريع . ولأن هذه الخوارزميات أكثر كفاءة مع عوامل متقاربة الحجم، فمن الأفضل قسمة أكبر قيمة في المضاعف المشترك الأصغر على القاسم المشترك الأكبر للقيم، كما في المثال أعلاه.

تنص نظرية التحليل إلى عوامل أولية فريدة على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1 لا يمكن كتابته إلا بطريقة واحدة كحاصل ضرب أعداد أولية . ويمكن اعتبار الأعداد الأولية بمثابة العناصر الأساسية التي تُشكل، عند دمجها، عددًا غير أولي .

على سبيل المثال:

${\displaystyle 90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5.}$

هنا، يتكون العدد المركب 90 من ذرة واحدة من العدد الأولي 2، وذرتين من العدد الأولي 3، وذرة واحدة من العدد الأولي 5.

يمكن استخدام هذه الحقيقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأرقام.

مثال: المضاعف المشترك الأصغر (8، 9، 21)

حلل كل عدد واكتبه كحاصل ضرب قوى الأعداد الأولية .

${\displaystyle {\begin{aligned}8&=2^{3}\\9&=3^{2}\\21&=3^{1}\cdot 7^{1}\end{aligned}}}$

المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب أعلى قوة لكل عدد أولي معًا. أعلى قوة للأعداد الأولية الثلاثة 2 و3 و7 هي 2³ ^و3² و7¹ ^{على التوالي} .

${\displaystyle \operatorname {lcm} (8,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.}$

هذه الطريقة ليست فعالة مثل الاختزال إلى القاسم المشترك الأكبر، لأنه لا توجد خوارزمية عامة فعالة معروفة لتحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية .

يمكن توضيح الطريقة نفسها باستخدام مخطط فين كما يلي، حيث يُظهر كل دائرة التحليل إلى العوامل الأولية للعددين، وتُعرض جميع العوامل المشتركة بينهما في نقطة التقاطع. ويمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بضرب جميع الأعداد الأولية في المخطط.

إليك مثال:

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3،

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5،

يشترك في رقمين "2" ورقم "3":

المضاعف المشترك الأصغر = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 720

القاسم المشترك الأكبر = 2 × 2 × 3 = 12

الناتج = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 8640

ينطبق هذا أيضًا على القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ)، إلا أنه بدلًا من ضرب جميع الأعداد في مخطط فين، يُضرب فقط العوامل الأولية الموجودة في التقاطع. وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و180 هو 2  ×  2  ×  3  =  12.

وفقًا للنظرية الأساسية في الحساب ، يمكن تمثيل كل عدد صحيح أكبر من 1 بشكل فريد كحاصل ضرب أعداد أولية، حتى رتبة العوامل:

${\displaystyle n=2^{n_{2}}3^{n_{3}}5^{n_{5}}7^{n_{7}}\cdots =\prod _{p}p^{n_{p}},}$

^{حيث تكون} الأسس n₂ _، n₃ _، ... ^{أعدادًا} صحيحة غير سالبة ^{؛ على} سبيل المثال ^، 8⁴ = ^{2²³¹⁵⁰⁷¹¹¹⁰¹³⁰} ...

بفرض عددين صحيحين موجبين${\textstyle a=\prod _{p}p^{a_{p}}}$و${\textstyle b=\prod _{p}p^{b_{p}}}$ويتم تحديد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغ التالية:

${\displaystyle \gcd(a,b)=\prod _{p}p^{\min(a_{p},b_{p})}}$

و

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=\prod _{p}p^{\max(a_{p},b_{p})}.}$

منذ

${\displaystyle \min(x,y)+\max(x,y)=x+y,}$

هذا يعطي

${\displaystyle \gcd(a,b)\operatorname {lcm} (a,b)=ab.}$

في الواقع، يمكن كتابة كل عدد نسبي بشكل فريد كحاصل ضرب أعداد أولية، إذا سُمح باستخدام الأسس السالبة. وعندئذٍ، تظل الصيغ المذكورة أعلاه صحيحة. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}4&=2^{2}3^{0},&6&=2^{1}3^{1},&\gcd(4,6)&=2^{1}3^{0}=2,&\operatorname {lcm} (4,6)&=2^{2}3^{1}=12.\\[8pt]{\tfrac {1}{3}}&=2^{0}3^{-1}5^{0},&{\tfrac {2}{5}}&=2^{1}3^{0}5^{-1},&\gcd \left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}}\right)&=2^{0}3^{-1}5^{-1}={\tfrac {1}{15}},&\operatorname {lcm} \left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}}\right)&=2^{1}3^{0}5^{0}=2,\\[8pt]{\tfrac {1}{6}}&=2^{-1}3^{-1},&{\tfrac {3}{4}}&=2^{-2}3^{1},&\gcd \left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {3}{4}}\right)&=2^{-2}3^{-1}={\tfrac {1}{12}},&\operatorname {lcm} \left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {3}{4}}\right)&=2^{-1}3^{1}={\tfrac {3}{2}}.\end{aligned}}}$

يمكن ترتيب الأعداد الصحيحة الموجبة جزئيًا حسب قابلية القسمة: إذا كان العدد a يقسم العدد b (أي إذا كان b مضاعفًا صحيحًا للعدد a )، نكتب a ≤ b (أو بصورة مكافئة، b ≥ a ). (لاحظ أنه لا يُستخدم هنا التعريف المعتاد لـ ≤ بناءً على القيمة المطلقة).

في ظل هذا الترتيب، تُشكّل الأعداد الصحيحة الموجبة شبكةً ، حيث يُحدد القاسم المشترك الأكبر (gcd) نقطة التقاء الأعداد ، بينما يُحدد المضاعف المشترك الأصغر (lcm) نقطة التقاء الأعداد. البرهان مباشر، وإن كان مُملًا بعض الشيء؛ إذ يقتصر على التحقق من أن المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر يُحققان بديهيات التقاء الأعداد ووجودها. يُرسي وضع المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر في هذا السياق الأكثر عمومية ازدواجيةً بينهما.

إذا كانت الصيغة التي تتضمن متغيرات عددية صحيحة، والقاسم المشترك الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر، و ≤ و ≥ صحيحة، فإن الصيغة الناتجة عن تبديل القاسم المشترك الأكبر بالمضاعف المشترك الأصغر وتبديل ≥ بـ ≤ تكون صحيحة أيضاً. (تذكر أن ≤ تُعرَّف بأنها القسمة).

تُعد أزواج الصيغ الثنائية التالية حالات خاصة من الهويات العامة لنظرية الشبكة.

ويمكن أيضًا إثبات ^{[ 6 ]} أن هذه الشبكة توزيعية ؛ أي أن المضاعف المشترك الأصغر يتوزع على القاسم المشترك الأكبر والقاسم المشترك الأكبر يتوزع على المضاعف المشترك الأصغر:

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)),}$

${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c)).}$

هذه الهوية مزدوجة ذاتياً:

${\displaystyle \gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (b,c),\operatorname {lcm} (a,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(b,c),\gcd(a,c)).}$

• ليكن D هو حاصل ضرب ω ( D ) أعداد أولية مميزة (أي أن D خالٍ من المربعات ).

ثم ^{[ 7 ]}

${\displaystyle |\{(x,y)\;:\;\operatorname {lcm} (x,y)=D\}|=3^{\omega (D)},}$

حيث تشير الخطوط المطلقة || إلى عدد عناصر المجموعة.

• إذا لم يكن أي من${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}}$إذا كانت القيمة صفرًا، فإن

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r})=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1}),a_{r}).}$^{[ 8 ] [ 9 ]}