الحساب

الأنواع الرئيسية للأعداد المستخدمة في الحساب هي الأعداد الطبيعية ، والأعداد الكلية، والأعداد الصحيحة ، والأعداد النسبية ، والأعداد الحقيقية . ^{[ 12 ]} الأعداد الطبيعية هي الأعداد الكلية التي تبدأ من 1 وتنتهي عند اللانهاية، باستثناء الصفر والأعداد السالبة. تُعرف أيضًا بأعداد العد، ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$رمز الأعداد الطبيعية هو${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^{أ ] الأعداد الصحيحة هي نفسها الأعداد الطبيعية ،} والفرق الوحيد هو أنها تشمل الصفر. ويمكن تمثيلها على النحو التالي:${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$ويحمل الرمز${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$[ ^{14 ] [ ب ]} لا يُميّز بعض علماء الرياضيات بين الأعداد الطبيعية والأعداد الكلية بإدراج الصفر ضمن مجموعة الأعداد الطبيعية. ^{[ 16 ]} تشمل مجموعة الأعداد الصحيحة الأعداد الكلية الموجبة والسالبة. ويُرمز لها بالرمز √(1/√ ^...${\displaystyle \mathbb {Z} }$ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$[ ^{17 ]​}

بناءً على كيفية استخدام الأعداد الطبيعية والصحيحية، يمكن التمييز بينها إلى أعداد أصلية وأعداد ترتيبية . الأعداد الأصلية، مثل واحد واثنين وثلاثة، تعبر عن كمية الأشياء، وتجيب على السؤال "كم عددها؟". أما الأعداد الترتيبية، مثل الأول والثاني والثالث، فتشير إلى الترتيب أو الموقع في سلسلة، وتجيب على السؤال "ما موقعها؟". ^{[ 18 ]}

يكون العدد نسبيًا إذا أمكن تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين. على سبيل المثال، العدد النسبي${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$يُحسب العدد بقسمة العدد الصحيح 1، المسمى البسط، على العدد الصحيح 2، المسمى المقام. ومن الأمثلة الأخرى:${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$و${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$تتضمن مجموعة الأعداد النسبية جميع الأعداد الصحيحة، وهي عبارة عن كسور مقامها 1. رمز الأعداد النسبية هو${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{19 ]} الكسور العشرية مثل 0.3 و25.12 هي نوع خاص من الأعداد النسبية لأن مقامها قوة من قوى ^العدد 10. على سبيل المثال، 0.3 يساوي${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$، و 25.12 يساوي${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$[ ^{20 ] كل} عدد نسبي يقابله عدد عشري منتهٍ أو دوري . ^{[ 21 ] [ ج ]}

الأعداد غير النسبية هي أعداد لا يمكن التعبير عنها كنسبة بين عددين صحيحين. وغالبًا ما تُستخدم لوصف المقادير الهندسية. على سبيل المثال، إذا كان طول ضلعَي المثلث القائم الزاوية يساوي 1، فإن طول وتره يُعطى بالعدد غير النسبي 1.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$π هو عدد غير نسبي آخر، ويصف نسبة محيط الدائرة إلى قطرها . ^{[ 22 ]} التمثيل العشري للعدد غير النسبي لانهائي بدون كسور عشرية متكررة. ^{[ 23 ]} مجموعة الأعداد النسبية مع مجموعة الأعداد غير النسبية تُشكل مجموعة الأعداد الحقيقية. رمز الأعداد الحقيقية هو π .${\displaystyle \mathbb {R} }$[ ^{24 ]} وتشمل فئات الأعداد ^{الأعداد} المركبة والأعداد الرباعية . ^{[ 25 ]}

الرقم هو رمز لتمثيل عدد ، وأنظمة الأرقام هي أطر تمثيلية. ^{[ 26 ]} عادةً ما تحتوي على عدد محدود من الأرقام الأساسية، التي تشير مباشرةً إلى أعداد معينة. ويحدد النظام كيفية دمج هذه الأرقام الأساسية للتعبير عن أي عدد. ^{[ 27 ]} أنظمة الأرقام إما موضعية أو غير موضعية. جميع أنظمة الأرقام المبكرة كانت غير موضعية. ^{[ 28 ]} في أنظمة الأرقام غير الموضعية، لا تعتمد قيمة الرقم على موقعه في الرقم. ^{[ 29 ]}

تستخدم علامات العد وبعض عصي العد نظام الأرقام الأحادية غير الموضعية .

أبسط نظام عد غير موضعي هو النظام العددي الأحادي . يعتمد هذا النظام على رمز واحد للعدد 1، وتُكتب جميع الأعداد الأكبر بتكرار هذا الرمز. على سبيل المثال، يمكن تمثيل العدد 7 بتكرار رمز 1 سبع مرات. يجعل هذا النظام كتابة الأعداد الكبيرة أمرًا شاقًا، ولذلك تتضمن العديد من الأنظمة غير الموضعية رموزًا إضافية لتمثيل الأعداد الكبيرة مباشرةً. ^{[ 30 ]} تُستخدم أشكال مختلفة من النظام العددي الأحادي في عصي العد باستخدام علامات العدّ وفي علامات العد . ^{[ 31 ]}

كانت الكتابة الهيروغليفية المصرية تمتلك نظامًا عدديًا غير موضعي أكثر تعقيدًا . إذ تحتوي على رموز إضافية لأعداد مثل 10 و100 و1000 و10000. ويمكن دمج هذه الرموز في مجموع واحد للتعبير عن الأعداد الكبيرة بسهولة أكبر. على سبيل المثال، يستخدم العدد 10405 رمز 10000 مرة واحدة، ورمز 100 أربع مرات، ورمز 1 خمس مرات. ويُعدّ نظام الأرقام الرومانية نظامًا مشابهًا ومعروفًا ، إذ يستخدم الرموز I وV وX وL وC وD وM كأرقام أساسية لتمثيل الأعداد 1 و5 و10 و50 و100 و500 و1000. ^{[ 33 ]}

يُسمى النظام العددي نظامًا موضعيًا إذا كان موقع الرقم الأساسي في التعبير المركب هو ما يحدد قيمته. تعتمد الأنظمة العددية الموضعية على أساس يعمل كمضروب في المواقع المختلفة. في كل موقع لاحق، يُرفع الأساس إلى قوة أعلى. في النظام العشري الشائع، والذي يُسمى أيضًا النظام العددي الهندي العربي ، يكون الأساس 10. وهذا يعني أن الرقم الأول يُضرب في${\displaystyle 10^{0}}$، ثم يُضرب الرقم التالي في${\displaystyle 10^{1}}$وهكذا. على سبيل المثال، يمثل الرقم العشري 532 ما يلي:${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$بسبب تأثير مواقع الأرقام، يختلف الرقم 532 عن الرقمين 325 و253 على الرغم من أنهما يتكونان من نفس الأرقام. ^{[ 34 ]}

يُعد النظام الثنائي نظامًا عدديًا موضعيًا آخر يُستخدم على نطاق واسع في الحساب الحاسوبي ، وهو نظام أساسه 2. وهذا يعني أن الرقم الأول يُضرب في${\displaystyle 2^{0}}$، الرقم التالي بواسطة${\displaystyle 2^{1}}$وهكذا. على سبيل المثال، يُكتب العدد 13 على النحو التالي 1101 في النظام الثنائي، والذي يرمز إلى${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$في الحوسبة، يتوافق كل رقم في الترميز الثنائي مع بت واحد . ^{[ 35 ]} تم تطوير أول نظام موضعي من قبل البابليين القدماء وكان أساسه 60. ^{[ 36 ]}

الجمع والطرح

الجمع هو عملية حسابية يتم فيها دمج عددين، يُطلق عليهما العددان المضافان، في عدد واحد يُسمى المجموع. رمز الجمع هو${\displaystyle +}$ومن الأمثلة على ذلك${\displaystyle 2+2=4}$و${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$[ ^{44 ]} يُستخدم مصطلح الجمع عند إجراء عدة عمليات جمع متتالية. ^{[ 45 ] العد هو نوع من أنواع} الجمع المتكرر حيث يُضاف العدد 1 باستمرار. ^{[ 46 ]}

الطرح هو عكس الجمع. في هذه العملية، يُطرح عددٌ، يُعرف بالمطروح، من عددٍ آخر، يُعرف بالمطروح منه. وتُسمى نتيجة هذه العملية بالفرق. رمز الطرح هو${\displaystyle -}$[ ^{47 ]} ومن الأمثلة على ^ذلك${\displaystyle 14-8=6}$و${\displaystyle 45-1.7=43.3}$غالباً ما يُعامل الطرح كحالة خاصة من الجمع: فبدلاً من طرح عدد موجب، من الممكن أيضاً إضافة عدد سالب. على سبيل المثال${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$يساعد هذا في تبسيط العمليات الحسابية عن طريق تقليل عدد العمليات الحسابية الأساسية اللازمة لإجراء العمليات الحسابية. ^{[ 48 ]}

العنصر المحايد الجمعي هو صفر، والمعكوس الجمعي لأي عدد هو معكوس ذلك العدد. على سبيل المثال،${\displaystyle 13+0=13}$و${\displaystyle 13+(-13)=0}$. عملية الجمع تبادلية وتجميعية في آن واحد. ^{[ 49 ]}

الضرب والقسمة

الضرب عملية حسابية يتم فيها دمج عددين، يُسميان المضروب والمضروب فيه، في عدد واحد يُسمى الناتج . [ ^{50 ] [ د ] رموز} الضرب هي${\displaystyle \times }$،${\displaystyle \cdot }$و*. ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle 2\times 3=6}$و${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$إذا كان المضروب عددًا طبيعيًا، فإن الضرب يكون مماثلاً للجمع المتكرر، كما في${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$[ ^{52 ]​}

القسمة هي عكس الضرب. في القسمة، يُقسّم عددٌ ما، يُعرف بالمقسوم، إلى عدة أجزاء متساوية بواسطة عدد آخر، يُعرف بالمقسوم عليه. تُسمى نتيجة هذه العملية خارج القسمة . رموز القسمة هي:${\displaystyle \div }$و${\displaystyle /}$ومن الأمثلة على ذلك${\displaystyle 48\div 8=6}$و${\displaystyle 29.4/1.4=21}$^{[ 53 ]} غالبًا ما تُعامل القسمة كحالة خاصة من الضرب: فبدلاً من القسمة على عدد، من الممكن أيضًا الضرب في مقلوبه . مقلوب العدد هو 1 مقسومًا على ذلك العدد. على سبيل المثال ،${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$[ ^{54 ]​}

العنصر المحايد في عملية الضرب هو 1، والمعكوس الضربي لأي عدد هو مقلوب ذلك العدد. على سبيل المثال،${\displaystyle 13\times 1=13}$و${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$الضرب عملية تبديلية وتجميعية في آن واحد. ^{[ 55 ]}

الأس واللوغاريتم

الأس هو عملية حسابية يتم فيها رفع عدد، يُعرف بالأساس، إلى قوة عدد آخر، يُعرف بالأس. وتُسمى نتيجة هذه العملية بالقوة. يُعبَّر عن الأس أحيانًا باستخدام الرمز ^، ولكن الطريقة الأكثر شيوعًا هي كتابة الأس كرقم مرفوع مباشرةً بعد الأساس. ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle 2^{4}=16}$و${\displaystyle 3}$^${\displaystyle 3=27}$إذا كان الأس عددًا طبيعيًا، فإن عملية الرفع إلى الأس تُصبح مماثلة لعملية الضرب المتكرر، كما في${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$[ ^{56 ] [ هـ ]​}

الجذور هي نوع خاص من الأسس باستخدام أس كسري. على سبيل المثال، الجذر التربيعي لعدد ما هو نفسه رفع ذلك العدد إلى قوة كسرية.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$والجذر التكعيبي لعدد ما هو نفسه رفع العدد إلى قوة معينة.${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ومن الأمثلة على ذلك${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$و${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$[ ^{58 ]​}

اللوغاريتم هو عكس الأس. لوغاريتم عدد ما${\displaystyle x}$إلى القاعدة${\displaystyle b}$هو الأس الذي${\displaystyle b}$يجب تربيتها لإنتاج${\displaystyle x}$على سبيل المثال، بما أن${\displaystyle 1000=10^{3}}$اللوغاريتم العشري للعدد 1000 هو 3. لوغاريتم${\displaystyle x}$إلى القاعدة${\displaystyle b}$يُشار إليه بـ${\displaystyle \log _{b}(x)}$أو بدون أقواس،${\displaystyle \log _{b}x}$أو حتى بدون الأساس الصريح،${\displaystyle \log x}$عندما يمكن فهم الأساس من السياق. لذا، يمكن كتابة المثال السابق على النحو التالي${\displaystyle \log _{10}1000=3}$[ ^{59 ]​}

لا تحتوي عمليتا الأسس واللوغاريتمات على عناصر محايدة وعناصر معكوسة عامة مثل الجمع والضرب. العنصر المحايد في عملية الأسس بالنسبة للأس هو 1، كما في${\displaystyle 14^{1}=14}$ومع ذلك، لا يمتلك الأس عنصرًا محايدًا عامًا لأن 1 ليس العنصر المحايد للأساس. ^{[ 60 ]} الأس واللوغاريتم ليسا عمليتين تبديليتين ولا تجميعيتين. ^{[ 61 ]}

الحساب الصحيح هو فرع من فروع الحساب يُعنى بمعالجة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. ^{[ 63 ]} يمكن إجراء عمليات حسابية بسيطة على رقم واحد باتباع أو حفظ جدول يعرض نتائج جميع التوليفات الممكنة، مثل جدول الجمع أو جدول الضرب . ومن الطرق الشائعة الأخرى العد اللفظي والعد بالأصابع . ^{[ 64 ]}

مثال على الجمع مع الترحيل . الأرقام السوداء هي الأعداد المضافة، والرقم الأخضر هو الترحيل، والرقم الأزرق هو المجموع.

مثال على الضرب المطوّل. الأرقام السوداء تمثل المضاعف والمضروب. الأرقام الخضراء تمثل نواتج الضرب الوسيطة الناتجة عن ضرب المضاعف في رقم واحد فقط من المضروب. الرقم الأزرق يمثل الناتج الكلي المحسوب بجمع نواتج الضرب الوسيطة.

لإجراء العمليات على الأعداد المكونة من أكثر من رقم، يمكن استخدام تقنيات مختلفة لحساب النتيجة من خلال إجراء عدة عمليات على رقم واحد متتالية. على سبيل المثال، في طريقة الجمع مع الترحيل ، يُكتب العددان فوق بعضهما. بدءًا من الرقم الموجود في أقصى اليمين، يُجمع كل زوج من الأرقام. يُكتب الرقم الموجود في أقصى يمين المجموع أسفلهما. إذا كان المجموع عددًا مكونًا من رقمين، يُضاف الرقم الموجود في أقصى اليسار، والذي يُسمى "الترحيل"، إلى زوج الأرقام التالي إلى اليسار. تُكرر هذه العملية حتى يتم جمع جميع الأرقام. ^{[ 65 ]} من الطرق الأخرى المستخدمة لجمع الأعداد الصحيحة: طريقة خط الأعداد ، وطريقة المجموع الجزئي، وطريقة التعويض. ^{[ 66 ]} تُستخدم تقنية مماثلة للطرح: تبدأ أيضًا من الرقم الموجود في أقصى اليمين، وتستخدم "استلافًا" أو ترحيلًا سالبًا للعمود الموجود على اليسار إذا كانت نتيجة طرح رقم واحد سالبة. ^{[ 67 ]}

تعتمد إحدى التقنيات الأساسية لضرب الأعداد الصحيحة على الجمع المتكرر. على سبيل المثال، ناتج ضرب${\displaystyle 3\times 4}$يمكن حسابها على النحو التالي${\displaystyle 3+3+3+3}$[ ^{68 ]} تُعرف إحدى التقنيات الشائعة لضرب الأعداد الكبيرة بالضرب المطوّل . تبدأ هذه الطريقة بكتابة المضاعف فوق المضروب. ^ثم تبدأ العملية الحسابية بضرب المضاعف في الرقم الأيمن من المضروب فقط، وكتابة الناتج أسفله بدءًا من العمود الأيمن. تُكرر العملية نفسها لكل رقم من أرقام المضروب، ويُزاح الناتج في كل حالة خانة واحدة إلى اليسار. في الخطوة الأخيرة، تُجمع جميع نواتج الضرب الفردية للوصول إلى الناتج الكلي للعددين متعددي الأرقام. ^{[ 69 ]} من التقنيات الأخرى المستخدمة في الضرب طريقة الشبكة وطريقة الشبكة الشبكية . ^{[ 70 ]} يهتم علم الحاسوب بخوارزميات الضرب ذات التعقيد الحسابي المنخفض لضرب الأعداد الصحيحة الكبيرة جدًا بكفاءة، مثل خوارزمية كاراتسوبا ، وخوارزمية شونهاج-ستراسن ، وخوارزمية توم-كوك . ^{[ 71 ]} تُعرف إحدى التقنيات الشائعة المستخدمة في القسمة بالقسمة المطوّلة . وتشمل الطرق الأخرى القسمة القصيرة والتجميع . ^{[ 72 ]}

لا تُعتبر العمليات الحسابية للأعداد الصحيحة مغلقة تحت القسمة. هذا يعني أنه عند قسمة عدد صحيح على عدد صحيح آخر، لا تكون النتيجة دائمًا عددًا صحيحًا. على سبيل المثال، 7 مقسومة على 2 لا تُعطي عددًا صحيحًا، بل 3.5. ^{[ 73 ]} إحدى طرق ضمان أن تكون النتيجة عددًا صحيحًا هي تقريبها إلى أقرب عدد صحيح. مع ذلك، تُؤدي هذه الطريقة إلى عدم دقة لأن القيمة الأصلية تتغير. ^{[ 74 ]} طريقة أخرى هي إجراء القسمة جزئيًا فقط والاحتفاظ بالباقي . على سبيل المثال، 7 مقسومة على 2 تُعطي 3 والباقي 1. يتم تجنب هذه الصعوبات باستخدام العمليات الحسابية للأعداد النسبية، والتي تسمح بالتمثيل الدقيق للكسور. ^{[ 75 ]}

إحدى الطرق البسيطة لحساب الأس هي الضرب المتكرر. على سبيل المثال، أس 1/2${\displaystyle 3^{4}}$يمكن حسابها على النحو التالي${\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3}$[ ^{76 ]} هناك تقنية أكثر كفاءة تُستخدم للأسس الكبيرة وهي الرفع الأسي بالتربيع . فهي تُقسّم العملية الحسابية إلى عدد من عمليات التربيع. على سبيل المثال، الرفع ^الأسي${\displaystyle 3^{65}}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$باستخدام عمليات التربيع المتكررة، لا نحتاج إلا إلى 7 عمليات فردية بدلاً من 64 عملية مطلوبة للضرب المتكرر العادي. ^{[ 77 ]} تشمل طرق حساب اللوغاريتمات متسلسلة تايلور والكسور المستمرة . ^{[ 78 ]} لا تُعتبر العمليات الحسابية للأعداد الصحيحة مغلقة تحت اللوغاريتمات وتحت الأسس ذات الأسس السالبة، مما يعني أن نتيجة هذه العمليات ليست دائمًا عددًا صحيحًا. ^{[ 79 ]}

الحساب النسبي هو فرع من فروع الحساب يُعنى بمعالجة الأعداد التي يمكن التعبير عنها كنسبة بين عددين صحيحين. ^{[ 93 ]} يمكن إجراء معظم العمليات الحسابية على الأعداد النسبية بإجراء سلسلة من العمليات الحسابية الصحيحة على بسط ومقام كل عدد. إذا كان لعددين نسبيين نفس المقام، فيمكن جمعهما بجمع بسطيهما مع الاحتفاظ بالمقام المشترك. على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$يُستخدم إجراء مماثل في عملية الطرح. إذا لم يكن للعددين نفس المقام، فيجب تحويلهما لإيجاد مقام مشترك. يمكن تحقيق ذلك بضرب العدد الأول في مقام العدد الثاني، ثم ضرب العدد الثاني في مقام العدد الأول. على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$[ ^{94 ]​}

يتم ضرب عددين نسبيين بضرب بسطيهما ومقاميهما على التوالي، كما في${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$يمكن قسمة عدد نسبي على آخر بضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني. وهذا يعني أن بسط ومقام العدد الثاني يتبادلان موقعهما. على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$[ ^{95 ]} على عكس الحساب الصحيح، فإن الحساب النسبي مغلق تحت القسمة طالما أن المقسوم عليه ليس صفرًا ^{. [ 96 ]}

لا تُعتبر كل من العمليات الحسابية للأعداد الصحيحة والعمليات الحسابية للأعداد النسبية مغلقة تحت عمليتي الأسس واللوغاريتمات. ^{[ 97 ]} إحدى طرق حساب الأسس ذات الأسس الكسرية هي إجراء عمليتين حسابيتين منفصلتين: الأولى هي عملية الأسس باستخدام بسط الأس، تليها عملية إيجاد الجذر النوني للنتيجة بناءً على مقام الأس. على سبيل المثال،${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$يمكن إتمام العملية الأولى باستخدام طرق مثل الضرب المتكرر أو الرفع الأسي بالتربيع. إحدى طرق الحصول على نتيجة تقريبية للعملية الثانية هي استخدام طريقة نيوتن ، التي تعتمد على سلسلة من الخطوات لتحسين القيمة الأولية تدريجيًا حتى تصل إلى مستوى الدقة المطلوب. ^{[ 98 ]} يمكن استخدام متسلسلة تايلور أو طريقة الكسور المستمرة لحساب اللوغاريتمات. ^{[ 99 ]}

يُعدّ تمثيل الكسور العشرية طريقة خاصة لتمثيل الأعداد النسبية التي يكون مقامها قوة من قوى العدد 10. على سبيل المثال، الأعداد النسبية${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$،${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$، و${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$تُكتب الأعداد النسبية على النحو التالي: 0.1، 3.71، و0.0044 في نظام الكسور العشرية. ^{[ 100 ]} يمكن تطبيق نسخ معدلة من طرق حساب الأعداد الصحيحة، مثل الجمع مع الحمل والضرب المطول، على العمليات الحسابية التي تتضمن كسورًا عشرية. ^{[ 101 ]} لا تمتلك جميع الأعداد النسبية تمثيلًا محدودًا في نظام الكسور العشرية. على سبيل المثال، العدد النسبي${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$يُقابل هذا العدد 0.333... مع عدد لا نهائي من الرقم 3. ويُكتب هذا النوع من الأعداد العشرية الدورية اختصارًا على ^النحو التالي : 0.3 . ^[ 102 ^] كل عدد عشري دوري يُعبّر عن عدد نسبي. ^{[ 103 ]}

الحساب الحقيقي هو فرع من فروع الحساب يُعنى بمعالجة الأعداد النسبية وغير النسبية. الأعداد غير النسبية هي أعداد لا يمكن التعبير عنها بالكسور أو الأعداد العشرية المتكررة، مثل جذر العدد 2 و π . ^{[ 104 ]} على عكس الحساب النسبي، فإن الحساب الحقيقي مغلق تحت الأسس طالما أن أساسه عدد موجب. وينطبق الأمر نفسه على لوغاريتم الأعداد الحقيقية الموجبة طالما أن أساس اللوغاريتم موجب وليس 1. ^{[ 105 ]}

تتضمن الأعداد غير النسبية سلسلة لا نهائية من الأرقام العشرية غير المتكررة. ولهذا السبب، غالبًا ما لا توجد طريقة بسيطة ودقيقة للتعبير عن نتائج العمليات الحسابية مثل${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$أو${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$[ ^{106 ]} في الحالات التي لا تتطلب دقة مطلقة، تُعالج مشكلة حساب العمليات الحسابية على الأعداد الحقيقية عادةً بالتقريب أو الاقتطاع . في الاقتطاع، يُحتفظ بعدد معين من الأرقام الموجودة في أقصى اليسار ^، وتُحذف الأرقام المتبقية أو تُستبدل بأصفار. على سبيل المثال، العدد π له عدد لا نهائي من الأرقام يبدأ من 3.14159... إذا اقتُطع هذا العدد إلى 4 منازل عشرية، تكون النتيجة 3.141. أما التقريب فهو عملية مشابهة، حيث يُزاد آخر رقم محفوظ بمقدار واحد إذا كان الرقم التالي 5 أو أكبر، ولكنه يبقى كما هو إذا كان الرقم التالي أقل من 5، بحيث يكون العدد المُقرّب هو أفضل تقريب لدقة معينة للعدد الأصلي. على سبيل المثال، إذا تم تقريب العدد π إلى أربعة أرقام عشرية، فإن النتيجة هي 3.142 لأن الرقم التالي هو 5، لذا فإن 3.142 أقرب إلى π من 3.141. ^{[ 107 ]} تُمكّن هذه الطرق أجهزة الكمبيوتر من إجراء عمليات حسابية تقريبية على الأعداد الحقيقية بكفاءة. ^{[ 108 ]}

في العلوم والهندسة، تمثل الأرقام تقديرات للكميات الفيزيائية المستمدة من القياس أو النمذجة. على عكس الأرقام الدقيقة رياضياً مثل π أو ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$البيانات العددية ذات الصلة العلمية غير دقيقة بطبيعتها، إذ تنطوي على قدر منعدم ^اليقين في القياس. [ ^{109 ]} إحدى الطرق الأساسية للتعبير عن درجة اليقين بشأن قيمة كل رقم وتجنبالدقة الزائفةهي تقريب كل قياس إلى عدد معين من الأرقام، يُسمىالأرقام المعنوية، والتي يُفترض أنها دقيقة. على سبيل المثال، قد لا يُعرف طول الشخص المقاس بشريطقياسبدقة إلا لأقرب سنتيمتر، لذا يجب عرضه على أنه 1.62 متر بدلاً من 1.6217 متر. عند تحويله إلى الوحدات الإمبراطورية، يجب تقريب هذه الكمية إلى 64 بوصة أو 63.8 بوصة بدلاً من 63.7795 بوصة، وذلك لتوضيح دقة القياس. عند كتابة رقم باستخدام الترميز العشري العادي، لا تُعتبر الأصفار البادئة معنوية، وتُعتبر الأصفار اللاحقة للأرقام التي لا تُكتب بفاصلة عشرية غير معنوية ضمنيًا. ^{[ 110 ]} على سبيل المثال، يحتوي كل من العددين 0.056 و1200 على رقمين معنويين فقط، بينما يحتوي العدد 40.00 على أربعة أرقام معنوية. يُعدّ تمثيل عدم اليقين باستخدام الأرقام المعنوية فقط طريقةً بدائيةً نسبيًا، مع بعض التعقيدات غير البديهية؛ بينما يُعدّ تتبّع تقدير أو حدّ أعلى لخطأالتقريبنهجًا أكثر تطورًا. ^{[ 111 ]} في المثال، يمكن تمثيل طول الشخص بـ1.62 ± 0.005متر أو63.8 ± 0.2 بوصة. ^{[ 112 ]}

عند إجراء العمليات الحسابية على كميات غير مؤكدة، يجب نقل عدم اليقين إلى الكميات المحسوبة. عند جمع أو طرح كميتين أو أكثر، تُجمع قيم عدم اليقين المطلقة لكل حد من حدود الجمع للحصول على قيمة عدم اليقين المطلق للمجموع. عند ضرب أو قسمة كميتين أو أكثر، تُجمع قيم عدم اليقين النسبية لكل عامل للحصول على قيمة عدم اليقين النسبي للناتج. ^{[ 113 ]} عند تمثيل عدم اليقين بالأرقام المعنوية، يمكن نقله تقريبًا بتقريب نتيجة جمع أو طرح كميتين أو أكثر إلى آخر منزلة عشرية معنوية في أقصى اليسار بين حدود الجمع، وبتقريب نتيجة ضرب أو قسمة كميتين أو أكثر إلى أقل عدد من الأرقام المعنوية بين العوامل. ^{[ 114 ]} (انظر الأرقام المعنوية §  العمليات الحسابية ).

تشمل الطرق الأكثر تطورًا للتعامل مع القيم غير المؤكدة الحساب الفتري والحساب الخطي . يصف الحساب الفتري العمليات التي تُجرى على الفترات . يمكن استخدام الفترات لتمثيل نطاق من القيم إذا لم يكن المرء يعرف المقدار الدقيق، على سبيل المثال، بسبب أخطاء القياس . يتضمن الحساب الفتري عمليات مثل الجمع والضرب على الفترات، كما في${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$و${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$[ ^{115 ]} يرتبط هذا النوع ارتباطًا وثيقًا بالحساب الأفيني، الذي يهدف إلى إعطاء نتائج أكثر دقة من خلال إجراء العمليات الحسابية على الأشكال الأفينية بدلًا من الفترات. الشكل الأفيني هو عدد مصحوب بحدود خطأ تصف كيفية انحراف هذا العدد عن قيمته الفعلية ^{. [ 116 ]}

يمكن التعبير عن دقة الكميات العددية بشكل موحد باستخدام الترميز العلمي المعياري ، وهو مناسب أيضًا لتمثيل الأعداد الأكبر أو الأصغر بكثير من 1 بإيجاز. باستخدام الترميز العلمي، يُحلل العدد إلى حاصل ضرب عدد بين 1 و10، يُسمى الجزء الدال ، و10 مرفوعًا إلى قوة صحيحة ما، تُسمى الأس . يتكون الجزء الدال من الأرقام المعنوية للعدد، ويُكتب كرقم رئيسي من 1 إلى 9 متبوعًا بفاصلة عشرية وسلسلة من الأرقام من 0 إلى 9. على سبيل المثال، الترميز العلمي المعياري للعدد 8276000 هو${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$مع عدد معنوي 8.276 وأس 6، والتدوين العلمي المعياري للعدد 0.00735 هو${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$مع قيمة معنوية 7.35 وأس -3 . ^{[ 117 ]} على عكس الترميز العشري العادي، حيث تُعتبر الأصفار اللاحقة للأعداد الكبيرة ضمنيًا غير معنوية، في الترميز العلمي يُعتبر كل رقم في القيمة المعنوية معنويًا، وإضافة الأصفار اللاحقة تشير إلى دقة أعلى. على سبيل المثال، بينما يحتوي العدد 1200 ضمنيًا على رقمين معنويين فقط، فإن العدد ⁠${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$يحتوي صراحة على 3. ^{[ 118 ]}

تُعرف إحدى الطرق الشائعة التي تستخدمها الحواسيب لتقريب العمليات الحسابية للأعداد الحقيقية باسم الحساب ذي الفاصلة العائمة . وهو يُمثل الأعداد الحقيقية بطريقة مشابهة للتدوين العلمي باستخدام ثلاثة أرقام: المعامل، والأساس، والأس. ^{[ 119 ]} دقة المعامل محدودة بعدد البتات المُخصصة لتمثيله. إذا نتج عن عملية حسابية عدد يتطلب بتات أكثر من المتاحة، يقوم الحاسوب بتقريب النتيجة إلى أقرب عدد قابل للتمثيل. وهذا يؤدي إلى أخطاء في التقريب . ^{[ 120 ]} من نتائج هذا السلوك أن الحساب ذي الفاصلة العائمة يُخالف بعض قوانين الحساب. على سبيل المثال، عملية جمع الأعداد ذات الفاصلة العائمة ليست تجميعية، لأن أخطاء التقريب الناتجة قد تعتمد على ترتيب عمليات الجمع. وهذا يعني أن نتيجة${\displaystyle (a+b)+c}$قد يختلف أحيانًا عن نتيجة${\displaystyle a+(b+c)}$[ ^{121 ]} يُعدّ معيار IEEE 754 المعيار التقني الأكثر شيوعًا المستخدم في الحسابات ذات الفاصلة العائمة . وهو يُحدد، من بين أمور أخرى، كيفية تمثيل الأرقام، وكيفية إجراء العمليات الحسابية والتقريب، وكيفية معالجة الأخطاء والاستثناءات. ^{[ 122 ] في} الحالات التي لا تُمثل فيها سرعة الحساب عاملًا مُحددًا، يُمكن استخدام الحسابات ذات الدقة العشوائية ، حيث لا تُقيّد دقة العمليات الحسابية إلا بسعة ذاكرة الحاسوب. ^{[ 123 ]}

يمكن تمييز أشكال الحساب أيضًا من خلال الأدوات المستخدمة لإجراء العمليات الحسابية، وتشمل العديد من الأساليب إلى جانب الاستخدام المعتاد للقلم والورق. يعتمد الحساب الذهني كليًا على العقل دون أدوات خارجية. وبدلًا من ذلك، يستخدم التصور والحفظ وبعض تقنيات الحساب لحل المسائل الحسابية. ^{[ 124 ]} إحدى هذه التقنيات هي طريقة التعويض، التي تتضمن تغيير الأرقام لتسهيل الحساب ثم تعديل النتيجة لاحقًا. على سبيل المثال، بدلًا من حساب${\displaystyle 85-47}$، يقوم المرء بالحساب${\displaystyle 85-50}$وهو أسهل لأنه يستخدم عددًا صحيحًا. في الخطوة التالية، يتم إضافة${\displaystyle 3}$^{[ 125 ]} غالبًا ما يُدرَّس الحساب الذهني في التعليم الابتدائي لتدريب القدرات العددية للطلاب. ^{[ 126 ]}

يمكن أيضًا استخدام جسم الإنسان كأداة حسابية. غالبًا ما يُعرّف الأطفال الصغار على استخدام اليدين في عدّ الأصابع لتعليمهم الأرقام والحسابات البسيطة. في أبسط صوره، يتوافق عدد الأصابع الممدودة مع الكمية المُمثلة، وتُجرى العمليات الحسابية كالجمع والطرح عن طريق مدّ الأصابع أو ضمّها. يقتصر هذا النظام على الأعداد الصغيرة مقارنةً بالأنظمة الأكثر تطورًا التي تستخدم أساليب مختلفة لتمثيل الكميات الأكبر. ^{[ 127 ]} يُستخدم الصوت البشري كوسيلة مساعدة حسابية في العدّ اللفظي. ^{[ 128 ]}

علامات العد هي نظام بسيط يعتمد على أدوات خارجية غير الجسم. يعتمد هذا النظام على وضع علامات، مثل الخطوط المرسومة على سطح ما أو الشقوق المحفورة في عصا خشبية، لتتبع الكميات. بعض أنواع علامات العد تُرتّب الخطوط في مجموعات من خمسة لتسهيل قراءتها. ^{[ 129 ]}

المعداد أداة متطورة لتمثيل الأرقام وإجراء العمليات الحسابية. يتكون المعداد عادةً من سلسلة من القضبان، يحمل كل منها عدة خرزات . تمثل كل خرزة كميةً تُحسب عند تحريكها من أحد طرفي القضيب إلى الطرف الآخر. تتم العمليات الحسابية بتغيير مواقع الخرزات حتى يُظهر نمط الخرز النهائي النتيجة. ^{[ 130 ]} تشمل الوسائل المساعدة الأخرى ألواح العد ، التي تستخدم رموزًا تعتمد قيمتها على المساحة التي توضع فيها على اللوحة، ^{[ 131 ]} وقضبان العد ، التي تُرتّب في أنماط أفقية ورأسية لتمثيل أرقام مختلفة. ^{[ 132 ] [ f ]}

تُعدّ القطاعات والمسطرة الحاسبة أدوات حسابية أكثر دقة تعتمد على العلاقات الهندسية بين المقاييس المختلفة لإجراء العمليات الحسابية الأساسية والمتقدمة. ^{[ 134 ] [ g ]} وكانت الجداول المطبوعة ذات أهمية خاصة كوسيلة مساعدة للبحث عن نتائج عمليات مثل اللوغاريتمات والدوال المثلثية . ^{[ 136 ]}

تُسهّل الآلات الحاسبة الميكانيكية عمليات الحساب اليدوية. فهي تُزوّد ​​المستخدم بجهاز إدخال لإدخال الأرقام عن طريق تدوير الأقراص أو الضغط على المفاتيح. وتتضمن آلية داخلية تتكون عادةً من تروس وروافع وعجلات لإجراء العمليات الحسابية وعرض النتائج. ^{[ 137 ]} أما بالنسبة للآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الحاسوب ، فقد تم تحسين هذه العملية بشكل أكبر من خلال استبدال المكونات الميكانيكية بدوائر إلكترونية مثل المعالجات الدقيقة التي تجمع الإشارات الكهربائية وتحولها لإجراء العمليات الحسابية. ^{[ 138 ]}

توجد أنواع أخرى كثيرة من الحساب. يعمل الحساب النمطي على مجموعة محدودة من الأعداد. إذا نتج عن عملية حسابية عدد خارج هذه المجموعة المحدودة، يُعاد إدخال هذا العدد إلى المجموعة، تمامًا كما تبدأ عقارب الساعة من جديد بعد إتمام دورة واحدة. يُسمى العدد الذي يحدث عنده هذا التعديل بالمعامل. على سبيل المثال، معامل الساعة العادية هو ١٢. في حالة جمع ٤ مع ٩، فإن الناتج ليس ١٣ بل ١. ينطبق المبدأ نفسه على عمليات أخرى، مثل الطرح والضرب والقسمة. ^{[ ١٣٩ ]}

تتناول بعض فروع الحساب العمليات التي تُجرى على كائنات رياضية غير الأعداد. يصف حساب الفترات العمليات التي تُجرى على الفترات. ^{[ 140 ]} ويصف حساب المتجهات وحساب المصفوفات العمليات الحسابية على المتجهات والمصفوفات ، مثل جمع المتجهات وضرب المصفوفات . ^{[ 141 ]}

يمكن تصنيف الأنظمة الحسابية بناءً على نظام الأرقام الذي تعتمد عليه. على سبيل المثال، يصف الحساب العشري العمليات الحسابية في النظام العشري. ومن الأمثلة الأخرى الحساب الثنائي ، والحساب الثماني ، والحساب الست عشري . ^{[ 142 ]}

يصف الحساب المركب العمليات الحسابية التي تُجرى على المقادير ذات الوحدات المركبة. ويتضمن عمليات إضافية للتحكم في التحويل بين الكميات ذات الوحدة الواحدة والكميات ذات الوحدات المركبة. على سبيل المثال، تُستخدم عملية الاختزال لتحويل الكمية المركبة 1 ساعة و90 دقيقة إلى الكمية ذات الوحدة الواحدة 150 دقيقة. ^{[ 143 ]}

الحسابات غير الديوفانتية هي أنظمة حسابية تخالف البديهيات الحسابية التقليدية وتتضمن معادلات مثل${\displaystyle 1+1=1}$و${\displaystyle 2+2=5}$^{[ 144 ]} يمكن استخدامها لتمثيل بعض المواقف الواقعية في الفيزياء الحديثة والحياة اليومية. على سبيل المثال، المعادلة${\displaystyle 1+1=1}$يمكن استخدام هذا لوصف الملاحظة التي مفادها أنه إذا أضيفت قطرة مطر إلى قطرة مطر أخرى، فإنهما لا تظلان كيانين منفصلين بل تصبحان كيانًا واحدًا. ^{[ 145 ]}

يُعدّ تعليم الحساب جزءًا من التعليم الابتدائي ، وهو من أوائل أشكال تعليم الرياضيات التي يتعرض لها الأطفال. يهدف الحساب الابتدائي إلى منح الطلاب فهمًا أساسيًا للأعداد وتعريفهم بالعمليات الحسابية الأساسية كالجمع والطرح والضرب والقسمة. ^{[ 185 ]} وعادةً ما يُقدّم الحساب الابتدائي من خلال أمثلة عملية، مثل عدّ الخرز ، وتقسيم الفصل إلى مجموعات متساوية الحجم، وحساب الباقي عند شراء السلع. ومن الأدوات الشائعة في تعليم الحساب الابتدائي: خطوط الأعداد ، وجداول الجمع والضرب، ومكعبات العد ، والمعداد. ^{[ 186 ]}

تركز المراحل اللاحقة على فهم أكثر تجريدًا، وتُعرّف الطلاب بأنواع مختلفة من الأعداد، مثل الأعداد السالبة والكسور والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. كما تتناول عمليات حسابية أكثر تقدمًا، مثل الأسس واستخراج الجذور واللوغاريتمات. ^{[ 187 ]} وتُبيّن أيضًا كيفية استخدام العمليات الحسابية في فروع أخرى من الرياضيات، مثل تطبيقها لوصف الأشكال الهندسية واستخدام المتغيرات في الجبر. ومن الجوانب الأخرى تعليم الطلاب استخدام الخوارزميات والآلات الحاسبة لحل مسائل حسابية معقدة. ^{[ 188 ]}

يهتم علم نفس الحساب بكيفية تعلم البشر والحيوانات للأعداد، وتمثيلها، واستخدامها في العمليات الحسابية. ويدرس كيفية فهم المسائل الرياضية وحلها، وكيف ترتبط القدرات الحسابية بالإدراك والذاكرة والحكم واتخاذ القرارات . ^{[ 189} ] فعلى سبيل المثال، يبحث في كيفية مواجهة مجموعات من الأشياء الملموسة لأول مرة في الإدراك، ثم ربطها بالأعداد. ^{[ 190 ]} ويتناول مجال بحثي آخر العلاقة بين العمليات الحسابية واستخدام اللغة لتكوين التمثيلات. ^{[ 191 ] كما يستكشف علم النفس الأصل البيولوجي للحساب كقدرة فطرية. ويتعلق هذا بالعمليات المعرفية ما قبل اللفظية وما قبل الرمزية التي تُنفذ عمليات شبيهة بالحساب ،} وهي ضرورية لتمثيل العالم بنجاح وأداء مهام مثل الملاحة المكانية. ^{[ 192 ]}

يُعدّ مفهوم الحساب أحد المفاهيم التي يدرسها علم النفس ، وهو القدرة على فهم المفاهيم العددية، وتطبيقها على مواقف ملموسة، والتحليل المنطقي لها. ويشمل ذلك الإحساس الأساسي بالأعداد، بالإضافة إلى القدرة على تقدير الكميات ومقارنتها. كما يشمل القدرة على تمثيل الأعداد رمزياً في أنظمة الترقيم، وتفسير البيانات العددية ، وتقييم العمليات الحسابية. ^{[ 193 ]} يُعدّ الحساب مهارة أساسية في العديد من المجالات الأكاديمية. ويمكن أن يؤدي نقص الحساب إلى إعاقة النجاح الأكاديمي، وإلى اتخاذ قرارات اقتصادية خاطئة في الحياة اليومية، على سبيل المثال، من خلال سوء فهم خطط الرهن العقاري وبوالص التأمين . ^{[ 194 ]}

تدرس فلسفة الحساب المفاهيم والمبادئ الأساسية التي تقوم عليها الأعداد والعمليات الحسابية. وهي تستكشف طبيعة الأعداد ووضعها الوجودي ، وعلاقة الحساب باللغة والمنطق ، وكيفية اكتساب المعرفة الحسابية . ^{[ 195 ]}

بحسب الأفلاطونية ، تتمتع الأعداد بوجود مستقل عن العقل: فهي موجودة ككائنات مجردة خارج الزمكان وبدون قوى سببية. ^{[ 196 ] [ j ]} يرفض الحدسيون هذا الرأي ، إذ يزعمون أن الكائنات الرياضية هي تركيبات ذهنية. ^{[ 198 ]} ومن النظريات الأخرى المنطق ، الذي يرى أن الحقائق الرياضية قابلة للاختزال إلى حقائق منطقية ، ^{[ 199 ]} والشكلية ، التي تنص على أن المبادئ الرياضية هي قواعد لكيفية التعامل مع الرموز دون الادعاء بأنها تُطابق كيانات خارج النشاط الخاضع للقواعد. ^{[ 200 ]}

الرأي السائد تقليديًا في نظرية المعرفة الحسابية هو أن الحقائق الحسابية قابلة للمعرفة القبلية . وهذا يعني أنه يمكن معرفتها بالتفكير وحده دون الحاجة إلى الاعتماد على التجربة الحسية . ^{[ 201 ]} يرى بعض مؤيدي هذا الرأي أن المعرفة الحسابية فطرية، بينما يزعم آخرون وجود شكل من أشكال الحدس العقلاني الذي يمكن من خلاله إدراك الحقائق الرياضية. ^{[ 202 ]} وقد اقترح فلاسفة طبيعيون ، مثل ويلارد فان أورمان كواين ، رأيًا بديلًا أحدث ، إذ يجادلون بأن المبادئ الرياضية هي تعميمات عالية المستوى تستند في نهاية المطاف إلى العالم الحسي كما تصفه العلوم التجريبية. ^{[ 203 ]}

تُعدّ الحسابات ذات أهمية بالغة في العديد من المجالات. ففي الحياة اليومية ، تُستخدم لحساب الباقي عند التسوق، وإدارة الشؤون المالية الشخصية ، وتعديل وصفات الطبخ لتناسب أعدادًا مختلفة من الأفراد. كما تستخدم الشركات الحسابات لحساب الأرباح والخسائر وتحليل اتجاهات السوق . وفي مجال الهندسة ، تُستخدم لقياس الكميات، وحساب الأحمال والقوى، وتصميم المنشآت. ^{[ 204 ]} ويعتمد علم التشفير على العمليات الحسابية لحماية المعلومات الحساسة من خلال تشفير البيانات والرسائل. ^{[ 205 ]}

يرتبط علم الحساب ارتباطًا وثيقًا بالعديد من فروع الرياضيات التي تعتمد على العمليات الحسابية. يعتمد الجبر على مبادئ الحساب لحل المعادلات باستخدام المتغيرات. كما تلعب هذه المبادئ دورًا محوريًا في حساب التفاضل والتكامل في محاولته تحديد معدلات التغير والمساحات تحت المنحنيات . يستخدم علم الهندسة العمليات الحسابية لقياس خصائص الأشكال، بينما يستخدمها علم الإحصاء لتحليل البيانات العددية. ^{[ 206 ]} نظرًا لأهمية العمليات الحسابية في جميع فروع الرياضيات، يمتد تأثيرها إلى معظم العلوم، مثل الفيزياء وعلوم الحاسوب والاقتصاد . تُستخدم هذه العمليات في الحسابات وحل المشكلات وتحليل البيانات والخوارزميات، مما يجعلها جزءًا لا يتجزأ من البحث العلمي والتطوير التكنولوجي والنمذجة الاقتصادية. ^{[ 207 ]}