عدد عشري دوري

العدد العشري الدوري أو المتكرر هو تمثيل عشري لعدد تكون أرقامه دورية في النهاية (أي بعد مكان ما، تتكرر نفس سلسلة الأرقام إلى الأبد)؛ إذا كانت هذه السلسلة تتكون فقط من أصفار (أي إذا كان هناك عدد محدود فقط من الأرقام غير الصفرية)، يُقال إن العدد العشري منتهٍ ، ولا يُعتبر دوريًا.

يمكن إثبات أن العدد نسبي إذا وفقط إذا كان تمثيله العشري دوريًا أو منتهيًا. على سبيل المثال، يصبح التمثيل العشري للعدد ١/٣ دوريًا بعد الفاصلة العشرية مباشرةً ، حيث يتكرر الرقم "٣" إلى ما لا نهاية، أي ٠٫٣٣٣... مثال أكثر تعقيدًا هو ٣٢٢٧/٥٥٥ ، حيث يصبح تمثيله العشري دوريًا عند الرقم الثاني بعد الفاصلة العشرية، ثم يتكرر التسلسل "١٤٤" إلى ما لا نهاية، أي ٥٫٨١٤٤١٤٤١٤٤... مثال آخر هو ٥٩٣/٥٣ ، الذي يصبح دوريًا بعد الفاصلة العشرية ، حيث يتكرر النمط المكون من ١٣ رقمًا "١٨٨٦٧٩٢٤٥٢٨٣٠" إلى ما لا نهاية، أي ١١٫١٨٨٦٧٩٢٤٥٢٨٣٠١٨٨٦٧٩٢٤٥٢٨٣٠...

يُطلق على سلسلة الأرقام المحدودة التي تتكرر بلا نهاية اسم العدد المتكرر . إذا كان العدد المتكرر هو الصفر، يُسمى هذا التمثيل العشري عددًا عشريًا منتهيًا بدلًا من عدد عشري دوري، حيث يمكن حذف الأصفار وينتهي العدد العشري قبلها. ^[¹^] يمكن كتابة كل تمثيل عشري منتهٍ على شكل كسر عشري ، وهو كسر مقامه قوة من قوى العدد 10 (مثلًا 1.585 = 1585 / 1000)؛ ويمكن كتابته أيضًا على شكل نسبة من الشكل k / 2n · 5m (مثلًا 1.585 = 317 / 23 · 52 ) . مع ذلك ، لكل عدد تمثيل عشري ^منتهٍ تمثيل بديل آخر على شكل عدد ^عشري^دوري يكون عدده المتكرر هو الرقم "9 " ^. يُحصل على هذا النوع من الأعداد العشرية الدورية عن طريق إنقاص الرقم الأخير (الأيمن) غير الصفري بمقدار واحد وإضافة رقم دوري مقداره 9. ومن الأمثلة على ذلك: 1.000... = 0.999... و 1.585000... = 1.584999... . (يمكن الحصول على هذا النوع من الأعداد العشرية الدورية عن طريق القسمة المطولة باستخدام صيغة معدلة من خوارزمية القسمة المعتادة . ^[²^] )

أي عدد لا يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين يُقال عنه عدد غير نسبي . تمثيله العشري لا ينتهي ولا يتكرر إلى ما لا نهاية، بل يمتد إلى ما لا نهاية دون تكرار (انظر § كل عدد نسبي هو إما عدد عشري منتهٍ أو عدد عشري دوري ). من أمثلة هذه الأعداد غير النسبية $\sqrt2 و$ $π$ . ^{[ 3 ]}

خلفية

الترميز

أي تمثيل نصي يكون بالضرورة محدودًا، ولهذا السبب يلزم استخدام رموز خاصة غير عشرية لتمثيل الأعداد العشرية المتكررة. فيما يلي بعض اصطلاحات الترميز، مع العلم أنه لا يوجد أي منها مقبول عالميًا.

رموز مختلفة مع أمثلة
جزء		فينكيلوم	نقاط	الأقواس	قوس	الحذف
1 / 9		0.1	0. . 1	0.(1)	0.1	0.111...
١/٣	= 3 / 9	0.3	0. . 3	0.(3)	0.3	0.333...
2 / 3	= 6 / 9	0.6	0. . 6	0.(6)	0.6	0.666...
9 / 11	= 81 / 99	0.81	0. . 8 . 1	0.(81)	0.81	0.8181...
7 / 12	= 525 / 900	0.58 3	0.58 . 3	0.58(3)	0.58 3	0.58 333 ...
1 / 7	= 142857 / 999999	0.142857	0. . 1 4285 . 7	0.(142857)	0.142857	0.142857 142857 ...
1 / 81	= 12345679 / 999999999	0.012345679	0. . 0 1234567 . 9	0.(012345679)	0.012345679	0.012345679 012345679 ...
22 / 7	= 3142854 / 999999	3. 142857	3. . 1 4285 . 7	3.(142857)	3. 142857	3.142857 142857 ...
593 / 53	= 111886792452819 / 9999999999999	11. 1886792452830	11. . 1 88679245283 . 0	11.(1886792452830)	11. 1886792452830	11.1886792452830 1886792452830 ...

الخط الفاصل : في الولايات المتحدة وكندا والهند وفرنسا وألمانيا والدنمارك وهولندا وإيطاليا وسويسرا وجمهورية التشيك وسلوفاكيا وسلوفينيا وتشيلي وتايوان وتركيا ، جرت العادة على رسم خط أفقي ( خط فاصل ) فوق ^الجزء المتكرر ^. [ 4 ^]
النقاط : في بعض الدول الإسلامية ، مثل بنغلاديش وماليزيا والمغرب وباكستان وتونس وإيران والجزائر ومصر ، وكذلك المملكة المتحدة ونيوزيلندا وأستراليا وجنوب إفريقيا واليابان وتايلاند والهند وكوريا الجنوبية وسنغافورة وجمهورية الصين الشعبية ، فإن العرف هو وضع النقاط فوق الأرقام الخارجية للتكرار.
الأقواس : في أجزاء من أوروبا ، بما في ذلك النمسا وفنلندا والنرويج وبولندا وروسيا وأوكرانيا ، بالإضافة إلى فيتنام وإسرائيل ، جرت العادة على وضع العدد المتكرر بين قوسين. قد يُسبب هذا التباسًا مع رموز عدم اليقين القياسي أو الضرب .
القوس : في إسبانيا وبعض دول أمريكا اللاتينية ، مثل الأرجنتين والبرازيل والمكسيك ، يتم استخدام رمز القوس فوق الجزء المتكرر كبديل لرمز الرباط والنقاط.
الحذف : تُستخدم علامة الحذف (ثلاث نقاط، 0.333، إلخ) بشكل غير رسمي لتمثيل الأعداد العشرية الدورية، خاصةً عند تدريس اصطلاحات الترميز السابقة في المدرسة. يُسبب هذا الترميز بعض الالتباس حول الأرقام التي يجب تكرارها، وحتى حول ما إذا كان التكرار يحدث أصلاً، لأن علامات الحذف تُستخدم أيضاً للأعداد غير النسبية ؛ على سبيل المثال، يمكن تمثيل $π على النحو التالي: 3.14159...$

في اللغة الإنجليزية، توجد طرقٌ عديدة لقراءة الأعداد العشرية الدورية بصوتٍ عالٍ. على سبيل المثال، يمكن قراءة 1.234 على النحو التالي: "واحد فاصلة اثنان ثلاثة أربعة دورية"، أو "واحد فاصلة اثنان مكرر ثلاثة أربعة"، أو "واحد فاصلة اثنان دوري ثلاثة أربعة"، أو "واحد فاصلة اثنان مكرر ثلاثة أربعة"، أو "واحد فاصلة اثنان إلى ما لا نهاية ثلاثة أربعة". وبالمثل، يمكن قراءة 11.1886792452830 على النحو التالي: "أحد عشر فاصلة واحد دورية ثمانية ستة سبعة تسعة اثنان أربعة خمسة اثنان ثمانية ثلاثة صفر"، أو "أحد عشر فاصلة واحد دورية ثمانية ستة سبعة تسعة اثنان أربعة خمسة اثنان ثمانية ثلاثة صفر"، أو "أحد عشر فاصلة واحد مكرر ثمانية ستة سبعة تسعة اثنان أربعة خمسة اثنان ثمانية ثلاثة صفر"، أو "أحد عشر فاصلة إلى ما لا نهاية واحد دورية ثمانية ستة سبعة تسعة اثنان أربعة خمسة اثنان ثمانية ثلاثة صفر".

توسيع النظام العشري وتسلسل التكرار

لتحويل عدد نسبي ممثل بكسر إلى صورة عشرية، يمكن استخدام القسمة المطولة . على سبيل المثال ، لنأخذ العدد النسبي 5/74 :

 0.0 675 74) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

إلخ. لاحظ أنه في كل خطوة يوجد باقي قسمة؛ البواقي المتتالية الموضحة أعلاه هي 56، 42، 50. عندما نصل إلى 50 كباقي قسمة، ونُنزل الصفر، نجد أنفسنا نقسم 500 على 74، وهي نفس المسألة التي بدأنا بها. لذلك، يتكرر العدد العشري: 0.0675 675 675 ....

بالنسبة لأي كسر صحيح ⁠ A / B ⁠ ، يكون الباقي في الخطوة k ، لأي عدد صحيح موجب k ، هو A × 10 ^k (modulo B ).

كل عدد نسبي إما أن يكون عددًا عشريًا منتهيًا أو عددًا عشريًا دوريًا

لأي قاسم، لا يمكن أن يظهر إلا عدد محدود من البواقي المختلفة. في المثال أعلاه، البواقي الممكنة البالغ عددها 74 هي: 0، 1، 2، ...، 73. إذا كان باقي القسمة صفرًا في أي نقطة، فإن عملية التوسيع تنتهي عند تلك النقطة. عندئذٍ، يُعرَّف طول الجزء المتكرر، والذي يُسمى أيضًا "الدورة"، بأنه صفر.

إذا لم يظهر الصفر كباقٍ، فإن عملية القسمة تستمر إلى ما لا نهاية، وفي النهاية، لا بد من ظهور باقٍ سبق ظهوره. ستُنتج الخطوة التالية في القسمة نفس الرقم الجديد في الناتج، ونفس الباقي الجديد، كما في المرة السابقة التي كان فيها الباقي متطابقًا. لذلك، ستُكرر عملية القسمة التالية نفس النتائج. يُطلق على التسلسل المتكرر للأرقام اسم "الرقم المتكرر"، والذي له طول معين أكبر من الصفر، ويُسمى أيضًا "الفترة". ^{[ 5 ]}

في النظام العشري، يكون للكسر عدد عشري دوري إذا وفقط إذا كان مقامه في أبسط صورة يحتوي على عامل أولي واحد على الأقل يختلف عن 2 و 5 (يعتبر المقام الأولي عاملاً أولياً لنفسه)، أو بعبارة أخرى، لا يمكن التعبير عن المقام على الصورة 2 ^م 5 ^ن ، حيث م و ن عددان صحيحان غير سالبين.

كل عدد عشري دوري أو منتهٍ هو عدد نسبي

كل عدد عشري دوري يحقق معادلة خطية بمعاملات صحيحة، وحلها الوحيد هو عدد نسبي. في المثال أعلاه، α = 5.8144144144... يحقق المعادلة

10000 α − 10 α	= 58144.144144... − 58.144144...
9990 α	= 58086
لذلك، α	= 58086 / 9990 = 3227 / 555

يتم وصف عملية إيجاد هذه المعاملات الصحيحة أدناه .

إثبات رسمي

بافتراض وجود عدد عشري دوري $x=ab{\overline {c}}$ أين $a$ ، $b$ ، و $c$ هي مجموعات من الأرقام، لنفترض $n=\lceil {\log _{10}b}\rceil$ عدد أرقام $b$ الضرب في $10^{n}$ يفصل بين المجموعات المتكررة والمجموعات المنتهية:

$10^{n}x=ab.{\bar {c}}.$

إذا انتهت الأرقام العشرية ( $c=0$ وبذلك يكتمل البرهان. ^{[ 6 ]} لـ $c\neq 0$ مع $k\in \mathbb {N}$ الأرقام، دع $x=y.{\bar {c}}$ أين $y\in \mathbb {Z}$ هي مجموعة أرقام نهائية. ثم،

$c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}$

أين $d_{i}$ يشير إلى الرقم i ، و

$x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.$

منذ $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}$ , ^{[ 7 ]}

$x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.$

منذ $x$ هو مجموع عدد صحيح ( $y-c$ ) وعدد نسبي ( ${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$ ) $x$ وهو عقلاني أيضاً. ^{[ 8 ]}

الكسور ذات المقامات الأولية

أي كسر في أبسط صورة بمقام أولي غير 2 أو 5 (أي أولي نسبيًا مع 10) ينتج عنه دائمًا عدد عشري دوري. طول الجزء الدوري (دورة الجزء العشري الدوري) من 1/ p يساوي رتبة 10 بتردد p . إذا كان 10 جذرًا أوليًا بتردد p ، فإن طول الجزء الدوري يساوي p - 1؛ وإذا لم يكن كذلك، فإن طول الجزء الدوري يكون أحد عوامل p - 1. يمكن استنتاج هذه النتيجة من نظرية فيرما الصغرى ، التي تنص على أن 10p ^-¹ ≡ 1 (mod p ) .

الجذر الرقمي ذو الأساس 10 للعدد المتكرر لمقلوب أي عدد أولي أكبر من 5 هو 9. ^{[ 9 ]}

إذا كان طول الجزء المتكرر 1 / p للعدد الأولي p يساوي p - 1 فإن الجزء المتكرر، المعبر عنه كعدد صحيح، يسمى عددًا دوريًا .

الأرقام الدورية

أمثلة على الكسور التي تنتمي إلى هذه المجموعة هي:

١ / ٧ = ٠٫ ١٤٢٨٥٧ ، ٦ أرقام متكررة
١ / ١٧ = ٠٫ ٠٥٨٨٢٣٥٢٩٤١١٧٦٤٧ ، ١٦ رقمًا متكررًا
١ / ١٩ = ٠٫ ٠٥٢٦٣١٥٧٨٩٤٧٣٦٨٤٢١ ، ١٨ رقمًا متكررًا
١ / ٢٣ = ٠٫ ٠٤٣٤٧٨٢٦٠٨٦٩٥٦٥٢١٧٣٩١٣ ، ٢٢ رقمًا متكررًا
١ / ٢٩ = ٠٫ ٠٣٤٤٨٢٧٥٨٦٢٠٦٨٩٦٥٥١٧٢٤١٣٧٩٣١ ، ٢٨ رقمًا متكررًا
١ / ٤٧ = ٠٫ ٠٢١٢٧٦٥٩٥٧٤٤٦٨٠٨٥١٠٦٣٨٢٩٧٨٧٢٣٤٠٤٢٥٥٣١٩١٤٨٩٣٦١٧ ، ٤٦ رقمًا متكررًا
١ / ٥٩ = ٠٫ ٠١٦٩٤٩١٥٢٥٤٢٣٧٢٨٨١٣٥٥٩٣٢٢٠٣٣٨٩٨٣٠٥٠٨٤٧٤٥٧٦٢٧١١٨٦٤٤٠٦٧٧٩٦٦١ ، ٥٨ رقمًا متكررًا
١ / ٦١ = ٠٫ ٠١٦٣٩٣٤٤٢٦٢٢٩٥٠٨١٩٦٧٢١٣١١٤٧٥٤٠٩٨٣٦٠٦٥٥٧٣٧٧٠٤٩١٨٠٣٢٧٨٦٨٨٥٢٤٥٩ ، ٦٠ رقمًا متكررًا
١ / ٩٧ = ٠٫ ٠١٠٣٠٩٢٧٨٣٥٠٥١٥٤٦٣٩١٧٥٢٥٧٧٣١٩٥٨٧٦٢٨٨٦٥٩٧٩٣٨١٤٤٣٢٩٨٩٦٩٠٧٢١٦٤٩٤٨٤٥٣٦٠٨٢٤٧٤٢٢٦٨٠٤١٢٣٧١١٣٤٠٢٠٦١٨٥٥٦٧ ، ٩٦ رقمًا متكررًا

ويمكن أن تستمر القائمة لتشمل الكسور 1 / 109 ، 1 / 113 ، 1 / 131 ، 1 / 149 ، 1 / 167 ، 1 / 179 ، 1 / 181 ، 1 / 193 ، 1 / 223 ، 1 / 229 ، إلخ . ( التسلسل A001913 في OEIS ) .

كل مضاعف صحيح لعدد دوري (أي مضاعف له نفس عدد الأرقام) هو دوران:

١ / ٧ = ١ × ٠٫ ١٤٢٨٥٧ = ٠٫ ١٤٢٨٥٧
٢ / ٧ = ٢ × ٠٫ ١٤٢٨٥٧ = ٠٫ ٢٨٥٧١٤
٣ / ٧ = ٣ × ٠٫ ١٤٢٨٥٧ = ٠٫ ٤٢٨٥٧١
٤ / ٧ = ٤ × ٠٫ ١٤٢٨٥٧ = ٠٫ ٥٧١٤٢٨
٥ / ٧ = ٥ × ٠٫ ١٤٢٨٥٧ = ٠٫ ٧١٤٢٨٥
٦ / ٧ = ٦ × ٠٫ ١٤٢٨٥٧ = ٠٫ ٨٥٧١٤٢

يتضح سبب السلوك الدوري من خلال عملية حسابية للقسمة المطولة لـ 1/7 : فالبقايا المتسلسلة هي المتتابعة الدورية {1، 3، 2، 6، 4، 5} . انظر أيضًا المقالة 142857 لمزيد من خصائص هذا العدد الدوري.

الكسر الدوري هو كسر عشري دوري ذو طول زوجي ينقسم إلى سلسلتين بصيغة المتمم التساعي . على سبيل المثال ، يبدأ الكسر 1/7 بالعدد 142 ويتبعه العدد 857، بينما يبدأ الكسر 6/7 (بالتدوير) بالعدد 857 ويتبعه متممه التساعي 142 .

يحدث دوران الجزء المتكرر من العدد الدوري دائمًا بحيث يكون كل جزء متكرر لاحق أكبر من سابقه. في التسلسل أعلاه، على سبيل المثال، نرى أن 0.142857... < 0.285714... < 0.428571... < 0.571428... < 0.714285... < 0.857142.... وهذا، بالنسبة للكسور الدورية ذات الأجزاء المتكررة الطويلة، يسمح لنا بتوقع نتيجة ضرب الكسر بأي عدد طبيعي n بسهولة، طالما أن الجزء المتكرر معروف.

العدد الأولي الحقيقي هو عدد أولي p ينتهي بالرقم 1 في النظام العشري، ويكون مقلوبه في النظام العشري ذا تكرار طوله p - 1. في هذه الأعداد الأولية، يظهر كل رقم 0، 1، ...، 9 في التسلسل المتكرر بنفس عدد مرات ظهور كل رقم آخر (أي p - 1 / 10 مرات ⁾ . وهي: [ ¹⁰^]^:¹⁶⁶

61، 131، 181، 461، 491، 541، 571، 701، 811، 821، 941، 971، 1021، 1051، 1091، 1171، 1181، 1291، 1301، 1349، 1381، 1531، 1571، 1621، 1741، 1811، 1829، 1861،... (التسلسل A073761 في OEIS ) .

يكون العدد الأولي عددًا أوليًا صحيحًا إذا وفقط إذا كان عددًا أوليًا كاملًا متكررًا ومتطابقًا مع 1 mod 10.

إذا كان العدد الأولي p عددًا أوليًا كامل التكرار وعددًا أوليًا آمنًا ، فإن 1 / p سينتج سلسلة من p - 1 رقمًا شبه عشوائي . هذه الأعداد الأولية هي

7، 23، 47، 59، 167، 179، 263، 383، 503، 863، 887، 983، 1019، 1367، 1487، 1619، 1823، 2063... (التسلسل A000353 في OEIS ) .

مقلوبات أخرى للأعداد الأولية

بعض مقلوبات الأعداد الأولية التي لا تولد أعدادًا دورية هي:

1 / 3 = 0. 3 ، والتي لها دورة (طول التكرار) 1.
1 / 11 = 0. 09 ، والتي لها دورة من اثنين.
1 / 13 = 0. 076923 ،والتي لها دورة ستة.
1 / 31 = 0.032258064516129 ، والتي لها دورة مقدارها 15 .
1 / 37 = 0. 027 ،والتي لها دورة من ثلاثة.
1 / 41 = 0. 02439 ،والتي لها دورة من خمسة.
1 / 43 = 0.023255813953488372093 ، والتي لها دورة 21.
1 / 53 = 0.0188679245283 ، والتي لها دورة مقدارها 13 .
1 / 67 = 0.014925373134328358208955223880597 ، والتي لها دورة 33 .
1 / 71 = 0.01408450704225352112676058338028169 ، والتي لها دورة 35 .
1 / 73 = 0.01369863 ، والتي لها دورة ثمانية .
1 / 79 = 0.0126582278481 ، والتي لها دورة 13 .
1 / 83 = 0. 01204819277108433734939759036144578313253 ، والتي لها دورة 41.
1 / 89 = 0.01123595505617977528089887640449438202247191 ، والتي لها دورة 44 .

(التسلسل A006559 في OEIS )

السبب هو أن 3 قاسم للعدد 9، و11 قاسم للعدد 99، و41 قاسم للعدد 99999، وهكذا. لإيجاد دورة 1/ p ، يمكننا التحقق مما إذا كان العدد الأولي p يقسم عددًا ما من 999 إلى 999 بحيث يكون عدد أرقامه p - 1. بما أن الدورة لا تتجاوز p - 1 أبدًا، يمكننا الحصول على ذلك بحساب 10p - ¹^- 1 / p . على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 11 نحصل على

{\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909

ثم عن طريق الفحص، ابحث عن التكرار 09 والفترة 2.

يمكن ربط مقلوبات الأعداد الأولية بعدة سلاسل من الأعداد العشرية المتكررة. على سبيل المثال، يمكن تقسيم مضاعفات 1/13 إلى مجموعتين ، لكل منهما عدد تكرار مختلف. المجموعة الأولى هي :

١ / ١٣ = ٠ ٫ ٠٧٦٩٢٣
10 / 13 = 0.769230
9 / 13 = 0.692307
12 / 13 = 0.923076
3 / 13 = 0.230769
٤ / ١٣ = ٠ ٫ ٣٠٧٦٩٢

حيث يكون الجزء المتكرر من كل كسر عبارة عن إعادة ترتيب دورية للعدد 076923. المجموعة الثانية هي:

2 / 13 = 0.153846
7 / 13 = 0.538461
٥ / ١٣ = ٠ ٫ ٣٨٤٦١٥
11 / 13 = 0.846153
٦ / ١٣ = ٠ ٫ ٤٦١٥٣٨
٨ / ١٣ = ٠ ٫ ٦١٥٣٨٤

حيث يكون الجزء المتكرر من كل كسر عبارة عن إعادة ترتيب دورية للعدد 153846.

بشكل عام، تتكون مجموعة المضاعفات الصحيحة لمقلوبات العدد الأولي p من n مجموعة فرعية، كل منها بطول تكرار k ، حيث nk = p − 1.

قاعدة توتين

لأي عدد صحيح n ، فإن طول الجزء العشري المتكرر L ( n ) للعدد 1 / n يقسم φ ( n )، حيث φ هي دالة الوتر . ويكون الطول مساويًا لـ φ ( n ) إذا وفقط إذا كان 10 جذرًا أوليًا بتردد n . ^[¹¹^]

وبناءً على ذلك، فإن L ( p ) = p - 1 إذا وفقط إذا كان p عددًا أوليًا و10 جذرًا أوليًا بتردد p . وبالتالي، فإن المتسلسلات العشرية لـ n / p ، حيث n = 1، 2، ...، p - 1، جميعها لها دورة p - 1 وتختلف فقط بتبديل دوري. تُسمى هذه الأعداد p بالأعداد الأولية المتكررة الكاملة .

مقلوب الأعداد الصحيحة المركبة التي تكون أولية فيما بينها مع العدد 10

إذا كان p عددًا أوليًا غير 2 أو 5، فإن التمثيل العشري للكسر 1 / p ² يتكرر :

1 49 = 0.020408163265306122448979591836734693877551

يجب أن تكون الدورة (طول الجزء المتكرر) L (49) عاملاً من عوامل λ (49) = 42، حيث تُعرف λ ( n ) بدالة كارمايكل . وينتج هذا من نظرية كارمايكل التي تنص على أنه إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا، فإن λ ( n ) هي أصغر عدد صحيح m بحيث

a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}

لكل عدد صحيح a يكون أوليًا نسبيًا مع n .

عادةً ما تكون دورة 1 / p² هي ^pTp_، حيث Tp هي دورة 1 / p . هناك ثلاثة أعداد أولية معروفة لا ينطبق عليها هذا، وفي هذه الحالة تكون دورة 1 _/p² هي نفسها دورة 1 / p لأن p² يقسم 10p⁻¹⁻¹ ^. هذه ^{الأعداد} الأولية ^{الثلاثة} هي ³ و 487 و ^56598313 ( المتتالية A045616 في OEIS ⁾. ^[¹² ]

وبالمثل ، فإن دورة 1 / p ^k عادة ما تكون p ^k^–1T _p

إذا كان p و q عددين أوليين غير 2 أو 5، فإن التمثيل العشري للكسر 1 / pq يتكرر . مثال على ذلك : 1/119

119 = 7 × 17

lect (7 × 17) = المضاعف المشترك الأصغر ( lect (7)، lect (17)) = المضاعف المشترك الأصغر (6، 16) = 48،

حيث يرمز LCM إلى المضاعف المشترك الأصغر .

الدورة T لـ 1 / pq هي عامل من عوامل λ ( pq ) وهي تساوي 48 في هذه الحالة :

1 119 = 0.008403361344537815126050420168067226890756302521

الدورة T لـ 1 / pq هي LCM ( T _p, T _q) ، حيث T _p هي دورة 1 / p و T _qهي دورة 1 / q .

إذا كانت p و q و r وما إلى ذلك أعدادًا أولية غير 2 أو 5، وكانت k و ℓ و m وما إلى ذلك أعدادًا صحيحة موجبة، فإن

{\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}

هو عدد عشري دوري ذو دورة من

\operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )

حيث أن T _{p ^k} ، T _{q ^ℓ} ، T _{r ^m} ،... هي على التوالي فترة الأعداد العشرية المتكررة ⁠ 1 / p ^k ⁠ ، ⁠ 1 / q ^ℓ ⁠ ، ⁠ 1 / r ^m ⁠ ،... كما هو محدد أعلاه.

مقلوب الأعداد الصحيحة غير الأولية فيما بينها مع 10

العدد الصحيح الذي ليس أوليًا نسبيًا مع 10، ولكن له عامل أولي غير 2 أو 5، يكون مقلوبه دوريًا في النهاية، ولكن بتسلسل أرقام غير متكرر يسبق الجزء المتكرر. ويمكن التعبير عن المقلوب كما يلي:

{\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,

حيث لا يكون كل من a و b صفراً.

يمكن التعبير عن هذا الكسر أيضاً على النحو التالي:

{\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,

إذا كان أ > ب ، أو كما

{\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,

إذا كان b > a ، أو كما

{\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,

إذا كان a = b .

يحتوي العدد العشري على:

عدد أولي عابر يتكون من أقصى عدد من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ( a , b ). قد تكون بعض أو كل الأرقام في هذا العدد العابر أصفارًا.
التكرار اللاحق هو نفسه الموجود في الكسر ⁠ 1 / p ^k q ^ℓ ⋯ ⁠ .

على سبيل المثال 1 / 28 = 0.03 571428 :

a = 2، b = 0، والعوامل الأخرى p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
يوجد رقمان أوليان غير متكررين، وهما 03؛ و
يوجد 6 أرقام متكررة، 571428، وهو نفس العدد الموجود في 1 / 7 .

تحويل الأعداد العشرية الدورية إلى كسور

بمعرفة عدد عشري دوري، يمكن حساب الكسر الذي ينتجه. على سبيل المثال:

$x$	$=0.333333\ldots$
$10x$	$=3.333333\ldots$	(اضرب كل جانب من السطر أعلاه في 10)
$9x$	$=3$	(اطرح السطر الأول من السطر الثاني)
$x$	$={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}$	(اختزال إلى أبسط صورة)

مثال آخر:

$x$	$=\ \ \ \ 0.836363636\ldots$
$10x$	$=\ \ \ \ 8.36363636\ldots$	(تحريك الفاصلة العشرية إلى بداية التكرار = تحريك بمقدار خانة واحدة = الضرب في 10)
$1000x$	$=836.36363636\ldots$	(دمج التكرار الثاني هنا مع التكرار الأول أعلاه = التحرك بمقدار خانتين = الضرب في 100)
$990x$	$=828$	(اطرح للتخلص من الأرقام العشرية)
$x$	$={\frac {828}{990}}={\frac {18\cdot 46}{18\cdot 55}}={\frac {46}{55}}$	(اختزال إلى أبسط صورة)

اختصار

يمكن تطبيق الإجراء التالي على وجه الخصوص إذا كان العدد المتكرر يتكون من n رقمًا، جميعها تساوي 0 باستثناء الرقم الأخير الذي يساوي 1. على سبيل المثال، إذا كان n = 7:

{\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}

إذن ، هذا العدد العشري الدوري بالتحديد يُقابل الكسر 1 / 10n ^- 1 ، حيث المقام هو العدد المكتوب على الصورة n 9s . بمعرفة ذلك فقط، يمكن التعبير عن أي عدد عشري دوري عام على شكل كسر دون الحاجة إلى حل معادلة. على سبيل المثال، يمكن الاستدلال على ما يلي:

{\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}

أو

{\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}

من الممكن الحصول على صيغة عامة تعبر عن عدد عشري دوري ذي فترة مكونة من n رقم (طول الجزء المتكرر)، يبدأ مباشرة بعد الفاصلة العشرية، على شكل كسر:

{\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}

وبشكل أكثر وضوحاً، نحصل على الحالات التالية:

إذا كان العدد العشري الدوري بين 0 و1، وكان طول الجزء الدوري n خانة، ويظهر أولًا مباشرةً بعد الفاصلة العشرية، فإن الكسر (ليس بالضرورة مُختزلًا) سيكون العدد الصحيح الذي يمثله الجزء المكون من n خانة مقسومًا على العدد الذي يمثله n من 9. على سبيل المثال،

0.444444... = 4 / 9 بما أن الكتلة المتكررة هي 4 (كتلة مكونة من رقم واحد) ،
0.565656... = 56 / 99 بما أن الجزء المتكرر هو 56 (جزء مكون من رقمين)،
0.012012... = 12 / 999 لأن الكتلة المتكررة هي 012 (كتلة مكونة من 3 أرقام) ؛ وهذا يقلل إلى 4 / 333 .
0.999999... = 9 / 9 = 1، لأن الكتلة المتكررة هي 9 (وهي أيضًا كتلة مكونة من رقم واحد) .

إذا كان العدد العشري الدوري كما هو موضح أعلاه، باستثناء وجود k خانة (إضافية) بين الفاصلة العشرية وكتلة الأرقام n الدورية ، فيمكن ببساطة إضافة k خانة بعد الأرقام n من المقام (وكما في السابق، يمكن تبسيط الكسر لاحقًا). على سبيل المثال،

0.000444... = 4 / 9000 بما أن الكتلة المتكررة هي 4 وهذه الكتلة مسبوقة بثلاثة أصفار،
0.005656... = 56 / 9900 بما أن الكتلة المتكررة هي 56 ويسبقها صفران،
0.00012012... = 12 / 99900 = 1 / 8325 لأن الكتلة المتكررة هي 012 ويسبقها صفران .

يمكن كتابة أي عدد عشري دوري ليس من الشكل الموصوف أعلاه كمجموع عدد عشري منتهٍ وعدد عشري دوري من أحد النوعين المذكورين أعلاه (في الواقع، يكفي النوع الأول، ولكن قد يتطلب ذلك أن يكون العدد العشري المنتهي سالبًا). على سبيل المثال،

1.23444 ... = 1.23 + 0.00444 ... = 123 / 100 + 4 / 900 = 1107 / 900 + 4 / 900 = 1111 / 900
- أو بدلاً من ذلك ، 1.23444 ... = 0.79 + 0.44444 ... = 79 / 100 + 4 / 9 = 711 / 900 + 400 / 900 = 1111 / 900
0.3789789 ... = 0.3 + 0.0789789 ... = 3 / 10 + 789 / 9990 = 2997 / 9990 + 789 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665
- أو بدلاً من ذلك، 0.3789789... = −0.6 + 0.9789789 ... = − 6 / 10 + 978/999 = − 5994 / 9990 + 9780 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665

ثمة طريقة أسرع تتمثل في تجاهل الفاصلة العشرية تمامًا والبدء على النحو التالي

1.23444... = 1234 - 123 / 900 = 1111 / 900 ( يحتوي المقام على 9 واحد وصفرين لأن أحد الأرقام يتكرر وهناك رقمان غير متكررين بعد الفاصلة العشرية)
0.3789789... = 3789 - 3 / 9990 = 3786 / 9990 ( يحتوي المقام على ثلاثة أرقام 9 ورقم 0 واحد لأن ثلاثة أرقام تتكرر ويوجد رقم واحد غير متكرر بعد الفاصلة العشرية)

ويترتب على ذلك أن أي عدد عشري دوري ذو دورة n ، وعدد k من الأرقام بعد الفاصلة العشرية التي لا تنتمي إلى الجزء الدوري، يمكن كتابته على شكل كسر (ليس بالضرورة مختزل) مقامه (10 ⁿ − 1)10 ^k .

وعلى العكس من ذلك ، فإن دورة الكسر العشري الدوري c / d ستكون (على الأكثر) أصغر عدد n بحيث يكون 10 ⁿ − 1 قابلاً للقسمة على d .

على سبيل المثال، الكسر 2/7 له دورة d = 7 ، وأصغر قيمة لـ k تجعل ^10k - 1 قابلاً للقسمة على 7 هي k = 6، لأن 999999 = 7 × 142857. وبالتالي، فإن دورة الكسر 2/7 هي 6 .

في شكل مضغوط

توضح الصورة التالية نوعاً من ضغط الاختصار المذكور أعلاه. $\mathbf {I}$ يمثل أرقام الجزء الصحيح من العدد العشري (إلى يسار الفاصلة العشرية)، $\mathbf {A}$ يشكل سلسلة الأرقام الخاصة بالفترة السابقة و $\#\mathbf {A}$ طوله، و $\mathbf {P}$ كونها سلسلة من الأرقام المتكررة (النقطة) بطول $\#\mathbf {P}$ وهو ليس صفراً.

قاعدة التكوين

في الكسر الناتج، الرقم $9$ سيتم تكرار ذلك $\#\mathbf {P}$ مرات، والرقم $0$ سيتم تكرار ذلك $\#\mathbf {A}$ مرات.

لاحظ أنه في حالة عدم وجود جزء صحيح في العدد العشري، $\mathbf {I}$ سيتم تمثيلها بالصفر، وبما أنها تقع على يسار الأرقام الأخرى، فلن تؤثر على النتيجة النهائية، ويمكن حذفها في حساب الدالة المولدة .

أمثلة:

${\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}$

الرمز $\emptyset$ في الأمثلة أعلاه، يشير الرمز إلى غياب أرقام الجزء $\mathbf {A}$ بالنظام العشري، وبالتالي $\#\mathbf {A} =0$ وغياب مماثل في الجزء الناتج.

الأعداد العشرية الدورية كمتسلسلات لانهائية

يمكن التعبير عن العدد العشري الدوري أيضًا على شكل متسلسلة لانهائية . أي أن العدد العشري الدوري يُمكن اعتباره مجموع عدد لا نهائي من الأعداد النسبية. ولنأخذ أبسط مثال،

0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}

المتسلسلة المذكورة أعلاه هي متسلسلة هندسية حدها الأول هو 1/10 وعاملها المشترك هو 1/10 . ولأن القيمة المطلقة للعامل المشترك أقل من 1، يمكننا القول إن المتسلسلة الهندسية متقاربة ، ويمكننا إيجاد قيمتها الدقيقة على شكل كسر باستخدام الصيغة التالية، حيث a هو الحد الأول للمتسلسلة و r هو العامل المشترك.

{\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}

بصورة مماثلة،

{\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}

الضرب والتباديل الدورية

يؤدي السلوك الدوري للأعداد العشرية المتكررة في عملية الضرب إلى تكوين أعداد صحيحة يتم تبديل ترتيبها دوريًا عند ضربها بأعداد معينة. على سبيل المثال، 102564 × 4 = 410256. العدد 102564 هو الجزء المتكرر من عملية 4/39 ، والعدد 410256 هو الجزء المتكرر من عملية 16/39 .

خصائص أخرى لأطوال التكرار

تم تقديم خصائص مختلفة لأطوال التكرار (الفترات) بواسطة ميتشل ^{[ 13 ]} وديكسون ^{[ 14 ] .}

دورة 1 / k للعدد الصحيح k تكون دائمًا ≤ k − 1.
إذا كان p عددًا أوليًا، فإن دورة 1 / p تقسم بالتساوي على p − 1.
إذا كان k عددًا مركبًا، فإن دورة 1 / k تكون أقل تمامًا من k − 1 .
دورة ⁠ c / k ⁠ ، عندما يكون c أوليًا نسبيًا مع k ، تساوي دورة ⁠ 1 / k ⁠ .
إذا كان k = 2 ^a ·5 ^b n حيث n > 1 و n لا يقبل القسمة على 2 أو 5، فإن طول الفترة الانتقالية لـ 1 / k هو max ( a , b ) ، والفترة تساوي r ، حيث r هو الترتيب الضربي لـ 10 mod n، أي أصغر عدد صحيح بحيث يكون 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
إذا كانت p و p′ و p″ و... أعدادًا أولية مختلفة، فإن دورة 1 / p p ′ p″ ⋯ تساوي المضاعف المشترك الأصغر لدورات 1 / p و 1 / p ′ و 1 / p ″ و ....
إذا لم يكن للعددين k و k′ عوامل أولية مشتركة غير 2 أو 5، فإن دورة 1 / kk ′ تساوي المضاعف المشترك الأصغر لدورات 1 / k و 1 / k ′ .
بالنسبة لعدد أولي p ، إذا

{\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)

لبعض قيم m ، ولكن

{\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),

إذن، بالنسبة لـ c ≥ 0 لدينا

{\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).

إذا كان p عددًا أوليًا صحيحًا ينتهي بـ 1، أي إذا كان الجزء المتكرر من 1 / p عددًا دوريًا بطول p − 1 و p = 10 h + 1 لبعض h ، فإن كل رقم 0، 1، ...، 9 يظهر في الجزء المتكرر بالضبط h = ⁠ p − 1 / 10 ⁠ مرات.

للاطلاع على بعض الخصائص الأخرى للتكرارات، انظر أيضًا. ^{[ 15 ]}

التوسع ليشمل قواعد أخرى

تمتد خصائص الأعداد العشرية المتكررة المختلفة إلى تمثيل الأرقام في جميع أنظمة العد الصحيحة الأخرى، وليس فقط النظام العشري:

يمكن تمثيل كل عدد حقيقي بجزء صحيح متبوعًا بنقطة أساسية (تعميم النقطة العشرية للأنظمة غير العشرية) متبوعًا بعدد محدود أو غير محدود من الأرقام .
إذا كان الأساس عددًا صحيحًا، فإن التسلسل المنتهي يمثل عددًا نسبيًا بشكل واضح.
يكون للعدد النسبي متتالية منتهية إذا كانت جميع العوامل الأولية لمقام الصورة الكسرية المختزلة بالكامل عوامل للأساس أيضًا. تشكل هذه الأعداد مجموعة كثيفة في $Q$ و $R.$
إذا كان نظام الأرقام الموضعية نظامًا قياسيًا، أي أنه يتكون من أساس

b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}

بالإضافة إلى مجموعة متتالية من الأرقام

D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}

إذا كان

r := | b |

،

و dr := d1 + r - 1

، و

0 \in D

، فإن المتتالية المنتهية تُكافئ بوضوح المتتالية نفسها مع جزء متكرر غير منتهٍ يتكون من الرقم 0. إذا كان الأساس موجبًا، فإنه يوجد تشاكل ترتيبي من الترتيب المعجمي للسلاسل اللانهائية ذات الجانب الأيمن على الأبجدية

D

إلى فترة مغلقة من الأعداد الحقيقية، والذي يُسقط السلاسل

0.A1A2 ... An db و 0.A1A2

...(

An

+

1 ) d1

حيث

Ai

\in

D

و

An

\neq

db

إلى نفس العدد الحقيقي - ولا

توجد صور

مكررة

أخرى .

في

النظام العشري

،

على

سبيل

المثال

، يوجد 0.9 = 1.0

=

1

.

في النظام الثلاثي المتوازن، يكون 0. 1 = 1. T = 1 2 .

يكون للعدد النسبي متتالية متكررة بلا حدود ذات طول محدود $l$ ، إذا كان مقام الكسر المختزل يحتوي على عامل أولي ليس عاملاً للأساس. إذا كان $q$ هو العامل الأكبر للمقام المختزل الذي يكون أوليًا نسبيًا مع الأساس، فإن $l$ هو أصغر أس بحيث يقسم $q$ $الكسر$ $bℓ -1$ . وهو الرتبة الضربية $ord q (b)$ لفئة البواقي $b mod q$ التي تقسم دالة كارمايكل $λ (q)$ التي بدورها أصغر من $q$ . تسبق المتتالية المتكررة فترة عابرة ذات طول محدود إذا كان الكسر المختزل يشترك أيضًا في عامل أولي مع الأساس.

\left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}

يمثل الكسر

{\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.

العدد غير النسبي له تمثيل ذو طول لانهائي لا يكون، من أي نقطة، سلسلة متكررة إلى ما لا نهاية ذات طول محدود.

على سبيل المثال، في النظام الاثني عشري ، تنتهي جميع القيم التالية: 1/2 = 0.6، 1/3 = 0.4، 1/4 = 0.3، و1 / 6 = 0.2؛ أما 1/5 = 0.2497 فيتكرر بدورة طولها 4 ، على عكس التمدد العشري المكافئ الذي يبلغ 0.2 ؛ بينما 1/7 = 0.186A35 له دورة طولها 6 في النظام الاثني عشري ، تمامًا كما هو الحال في النظام العشري.

إذا كان $b$ أساسًا صحيحًا و $k$ عددًا صحيحًا، فإن

{\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(bk)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(bk)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(bk)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(bk)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {bk}{b}}}}.

على سبيل المثال، 1/7 بالنظام الاثني عشري: ${\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}$

وهو يساوي 0.186A35 _{بالأساس 12.} 10 _{بالأساس 12} هو 12 _{بالأساس} 10 ، و10² _{بالأساس}¹² هو 144 _{بالأساس 10} ، و21 _{بالأساس 12} هو 25 _{بالأساس 10} ، وA5 _{بالأساس 12} هو 125 _{بالأساس 10} .

خوارزمية للقواعد الموجبة

بالنسبة لعدد نسبي $0 < ⁠ p / q ⁠ < 1$ (والأساس $b \in N >1$ ) توجد الخوارزمية التالية التي تنتج الجزء المتكرر مع طوله:

دالة b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q digits = "0123..." ; // حتى الرقم ذي القيمة b–1 begin s = "" ; // سلسلة الأرقام pos = 0 ; // جميع المنازل على يمين الفاصلة العشرية while not defined ( occurs [ p ]) do occurs [ p ] = pos ; // موضع المنزلة التي تحتوي على الباقي p bp = b * p ; z = floor ( bp / q ) ; // فهرس z للرقم ضمن: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q if p = 0 then L = 0 ; if not z = 0 then s = s . substring ( digits , z , 1 ) end if return ( s ) ; end if s = s.substring ( digits , z , 1 ) ; // أضف حرف الرقم pos += 1 ; end while L = pos - occurs [ p ] ; // طول الجزء المتكرر (يكون < q) // ضع علامة على أرقام الجزء المتكرر باستخدام خط فاصل: for i from occurs [ p ] to pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , i , 1 ) ) ; end for return ( s ) ; endوظيفة

يحسب السطر الأول المميز الرقم $z$ .

يحسب السطر التالي الباقي الجديد $p'$ للقسمة بتردد المقام $q$ . ونتيجةً لدالة الجزء الصحيح،floor لدينا

{\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},

هكذا

bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q

و

zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.

بما أن جميع البواقي $p$ أعداد صحيحة غير سالبة أصغر من $q$ ، فلا يمكن أن يكون عددها إلا محدودًا، مما يعني بالضرورة تكرارها في whileالحلقة. يتم الكشف عن هذا التكرار بواسطة المصفوفة الترابطية . يُشكّل occursالرقم الجديد $z في السطر الأصفر، حيث$ $p$ هو العدد غير الثابت الوحيد. طول $L$ للعدد المتكرر يساوي عدد البواقي (انظر أيضًا القسم: كل عدد نسبي إما عدد عشري منتهٍ أو عدد عشري دوري ).

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ كورانت، ر. وروبنز، هـ. ما هي الرياضيات؟: مدخل تمهيدي للأفكار والأساليب، الطبعة الثانية. أكسفورد، إنجلترا: مطبعة جامعة أكسفورد، 1996: ص 67.
↑ بيسويك، كيم (2004)، "لماذا 0.999... = 1؟: سؤال دائم وحس الأعداد"، معلم الرياضيات الأسترالي ، 60 ( 4): 7-9
↑ "برهان لامبرت الأصلي على أن π عدد غير نسبي" . موقع تبادل المعلومات الرياضية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19-12-2023 .
^ Conférence Intercantonale de l'Instruction Publique de la Suisse Romande et du Tessin (2011). مذكرة مساعدة . الرياضيات 9-10-11. LEP. ص 20-21.
↑ بالنسبة للأساس b والقاسم n ، من منظور نظرية الزمر،يقسم هذا الطول
$\operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\bmod {n}}\}$
(مع الحساب النمطي ≡ 1 mod n ) الذي يقسم دالة كارمايكل
$\lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}$
والذي يقسم بدوره دالة أويلر φ ( n ).
↑ فورينن، آبيلي. "الأعداد المنطقية لها توسعات عشرية متكررة" . ابيلي فورينن . تم الاسترجاع بتاريخ 23-12-2023 .
↑ "مجموعات الأعداد العشرية الدورية" . www.sjsu.edu . مؤرشف من الأصل بتاريخ 23 ديسمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-12-2023 .
↑ رو ري (2016-03-01). "أثبت أن كل عدد عشري دوري يمثل عددًا نسبيًا" . روبوت متعثر . مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2023. تم الاسترجاع في 23 ديسمبر 2023 .
↑ غراي، ألكسندر ج . (مارس 2000). "الجذور الرقمية ومقلوبات الأعداد الأولية". المجلة الرياضية . 84 (499): 86. doi : 10.2307/3621484 . JSTOR 3621484. S2CID 125834304. بالنسبة للأعداد الأولية الأكبر من 5، يبدو أن جميع الجذور الرقمية لها نفس القيمة، وهي 9. يمكننا تأكيد ذلك إذا...
↑ ديكسون، إل إي، تاريخ نظرية الأعداد ، المجلد 1، شركة تشيلسي للنشر، 1952.
↑ ويليام إي. هيل. بعض خصائص الأعداد المتكررة. حوليات الرياضيات، المجلد 3، العدد 4 (أغسطس 1887)، الصفحات 97-103
↑ ألبرت هـ. بيلر، تسليات في نظرية الأعداد ، ص 79
↑ ميتشل، دوغلاس دبليو، "مولد أرقام عشوائية غير خطي ذو طول دورة معروف وطويل"، كريبتولوجيا 17، يناير 1993، ص 55-62 .
↑ ديكسون، ليونارد إي. ، تاريخ نظرية الأعداد ، المجلد الأول ، شركة تشيلسي للنشر، 1952 (الأصل 1918)، ص 164 – 173.
↑ Armstrong, NJ, and Armstrong, RJ, “بعض خصائص التكرارات”، المجلة الرياضية 87، نوفمبر 2003، ص 437-443.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "الأعداد العشرية الدورية" . عالم الرياضيات .

[1] كورانت، ر. وروبنز، هـ. ما هي الرياضيات؟: مدخل تمهيدي للأفكار والأساليب، الطبعة الثانية. أكسفورد، إنجلترا: مطبعة جامعة أكسفورد، 1996: ص 67.

[2] بيسويك، كيم (2004)، "لماذا 0.999... = 1؟: سؤال دائم وحس الأعداد"، معلم الرياضيات الأسترالي ، 60 ( 4): 7-9

[3] "برهان لامبرت الأصلي على أن π عدد غير نسبي" . موقع تبادل المعلومات الرياضية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19-12-2023 .

[4] Conférence Intercantonale de l'Instruction Publique de la Suisse Romande et du Tessin (2011). مذكرة مساعدة . الرياضيات 9-10-11. LEP. ص 20-21.

[5] بالنسبة للأساس b والقاسم n ، من منظور نظرية الزمر،يقسم هذا الطول
$\operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\bmod {n}}\}$
(مع الحساب النمطي ≡ 1 mod n ) الذي يقسم دالة كارمايكل
$\lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}$
والذي يقسم بدوره دالة أويلر φ ( n ).

[6] فورينن، آبيلي. "الأعداد المنطقية لها توسعات عشرية متكررة" . ابيلي فورينن . تم الاسترجاع بتاريخ 23-12-2023 .

[7] "مجموعات الأعداد العشرية الدورية" . www.sjsu.edu . مؤرشف من الأصل بتاريخ 23 ديسمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-12-2023 .

[8] رو ري (2016-03-01). "أثبت أن كل عدد عشري دوري يمثل عددًا نسبيًا" . روبوت متعثر . مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2023. تم الاسترجاع في 23 ديسمبر 2023 .

[9] غراي، ألكسندر ج . (مارس 2000). "الجذور الرقمية ومقلوبات الأعداد الأولية". المجلة الرياضية . 84 (499): 86. doi : 10.2307/3621484 . JSTOR 3621484. S2CID 125834304. بالنسبة للأعداد الأولية الأكبر من 5، يبدو أن جميع الجذور الرقمية لها نفس القيمة، وهي 9. يمكننا تأكيد ذلك إذا...

[10] ديكسون، إل إي، تاريخ نظرية الأعداد ، المجلد 1، شركة تشيلسي للنشر، 1952.

[11] ويليام إي. هيل. بعض خصائص الأعداد المتكررة. حوليات الرياضيات، المجلد 3، العدد 4 (أغسطس 1887)، الصفحات 97-103

[12] ألبرت هـ. بيلر، تسليات في نظرية الأعداد ، ص 79

[13] ميتشل، دوغلاس دبليو، "مولد أرقام عشوائية غير خطي ذو طول دورة معروف وطويل"، كريبتولوجيا 17، يناير 1993، ص 55-62 .

[14] ديكسون، ليونارد إي. ، تاريخ نظرية الأعداد ، المجلد الأول ، شركة تشيلسي للنشر، 1952 (الأصل 1918)، ص 164 – 173.

[15] Armstrong, NJ, and Armstrong, RJ, “بعض خصائص التكرارات”، المجلة الرياضية 87، نوفمبر 2003، ص 437-443.

[

[

[ 3 ]

الجزء

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

)

[

الثلاثة

[ 13 ]

[ 14 ] .

[ 15 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗