صفر متخلف

في الرياضيات ، الأصفار اللاحقة هي تسلسل من 0 في التمثيل العشري (أو بشكل عام، في أي تمثيل موضعي ) لرقم، وبعد ذلك لا تتبعه أي أرقام أخرى .

لا تؤثر الأصفار اللاحقة إلى يمين الفاصلة العشرية ، كما في 12.340، على قيمة الرقم ويمكن حذفها إذا كان كل ما يهم هو قيمته العددية. وهذا صحيح حتى لو تكررت الأصفار إلى ما لا نهاية . على سبيل المثال، في الصيدلة ، يتم حذف الأصفار اللاحقة من قيم الجرعة لمنع القراءة الخاطئة. ومع ذلك، قد تكون الأصفار اللاحقة مفيدة للإشارة إلى عدد الأرقام المهمة ، على سبيل المثال في القياس. في مثل هذا السياق، سيكون "تبسيط" الرقم عن طريق إزالة الأصفار اللاحقة غير صحيح.

عدد الأصفار المتبقية في عدد صحيح غير صفري من النوع b n يساوي أس أعلى قوة لـ b التي تقسم n . على سبيل المثال، يحتوي العدد 14000 على ثلاثة أصفار متأخرة وبالتالي فهو قابل للقسمة على 1000 = 10 ³ ، ولكن ليس على 10 ^4. هذه الخاصية مفيدة عند البحث عن عوامل صغيرة في تحليل الأعداد الصحيحة . تحتوي بعض بنيات الكمبيوتر على عملية عد الأصفار المتأخرة في مجموعة التعليمات الخاصة بها لتحديد عدد بتات الأصفار المتأخرة بكفاءة في كلمة الآلة.

عدد الأصفار المتبقية في التمثيل العشري لـ n !، عامل عدد صحيح غير سالب n ، هو ببساطة مضاعفة العامل الأولي 5 في n !. يمكن تحديد ذلك بهذه الحالة الخاصة من صيغة دي بولينياك : ^[1]

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,}$

حيث يجب اختيار k بحيث

${\displaystyle 5^{k+1}>n,\,}$

بشكل أكثر دقة

${\displaystyle 5^{k}\leq n<5^{k+1},}$

${\displaystyle k=\left\lfloor \log _{5}n\right\rfloor ,}$

ويشير إلى دالة الأرضية المطبقة على أ . بالنسبة إلى n  = 0، 1، 2، ... هذا هو ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$

0، 0، 0، 0، 0، 1، 1، 1، 1، 1، 2، 2، 2، 2، 3، 3، 3، 3، 3، 4، 4، 4، 4، 6، ... (التسلسل A027868 في OEIS ).

على سبيل المثال، 5 ³  > 32، وبالتالي 32! = 263130836933693530167218012160000000 ينتهي بـ

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {32}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {32}{5^{2}}}\right\rfloor =6+1=7\,}$

الأصفار. إذا كان n  < 5، فإن المتباينة تتحقق بـ k  = 0؛ في هذه الحالة يكون المجموع فارغًا ، مما يعطي الإجابة 0.

في الواقع، تحسب الصيغة عدد العوامل 5 في n !، ولكن بما أن هناك على الأقل عددًا مساويًا من العوامل 2، فإن هذا يعادل عدد العوامل 10، حيث يعطي كل منها صفرًا إضافيًا.

تعريف

${\displaystyle q_{i}=\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor ,\,}$

تنطبق علاقة التكرار التالية :

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}\,\,\,\,\,&=\,\,n,\quad \\q_{i+1}&=\left\lfloor {\frac {q_{i}}{5}}\right\rfloor .\,\end{aligned}}}$

يمكن استخدام هذا لتبسيط حساب حدود المجموع، والذي يمكن إيقافه بمجرد وصول q  _i إلى الصفر. الشرط 5 ^{k +1} > n يعادل q _{k +1} = 0. 

• الصفر الرئيسي
• الرقم المتأخر

• لماذا تعتبر الأصفار الكسرية المتأخرة مهمة؟ للحصول على بعض الأمثلة على الحالات التي تكون فيها الأصفار المتأخرة مهمة
• عدد الأصفار المتبقية لأي عامل برنامج بايثون لحساب عدد الأصفار المتبقية لأي عامل محفوظ 2017-02-22 على موقع Wayback Machine