مضروب

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 99 صور
الموسوعة الحرة

العوامل المختارة؛ القيم المكتوبة بالتدوين العلمي مقربة
ن{\displaystyle n}ن!{\displaystyle n!}
01
11
22
36
424
5120
6720
75040​
840 320
9362880​
103,628,800​​
1139916800​​
12479 001 600
136 227 020 800
1487 178 291 200
151 307 674 368 000
1620 922 789 888 000
17355 687 428 096 000
186 402 373 705 728 000
19121 645 100 408 832 000
202 432 902 008 176 640 000
251.551 121 004 × 10 25
503.041 409 320 × 10 64
528.065817517 × 1067​​​
701.197857167 × 10100​​​
1009.332621544 × 10157​​​
4501.733368733 × 101000​​​​
1000​4.023872601 × 102567​​​​
3249​6.412 337 688 × 10 10 000
10000​2.846 259 681 × 10 35 659
25 2061.205703438 × 10100000​​​​
100000​2.824 229 408 × 10 456 573
205 0232.503898932 × 101000004​​​​​
1,000,000 =​​10 68.263931688 × 10⁵565708 ≈ 10​​​​​5.565 708 9172 × 10 6
10 10109.565 705 5186 × 10 10
10 201019.565 705 5181 × 10 20
10 501049.565 705 5181 × 10 50
10 1001099.565 705 5181 × 10 100
10 100010999.565 705 5181 × 10 1000

في الرياضيات ، مضروب عدد صحيح غير سالبن{\displaystyle n}، ويرمز إليه بـن!{\displaystyle n!}، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوين{\displaystyle n}مضروب العدد​ن{\displaystyle n}يساوي أيضًا حاصل ضربن{\displaystyle n}مع المضروب الأصغر التالي: ن!=ن×(ن-1)×(ن-2)×(ن-3)×⋯×3×2×1={1،لو ن=0ن×(ن-1)!،لو ن≥1.{\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=0\\n\times (n-1)!,&{\text{if }}n\geq 1.\end{cases}}\\\end{aligned}}} على سبيل المثال، 5!=5×4!=5×4×3×2×1=120.{\displaystyle 5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.} قيمة 0! هي 1، وفقًا للاتفاقية الخاصة بالضرب الفارغ . [ 1 ]

تم اكتشاف المضروب في العديد من الحضارات القديمة، ولا سيما في الرياضيات الهندية في الأعمال الكلاسيكية للأدب الجيني ، ومن قبل المتصوفين اليهود في كتاب سفر يتزيرا التلمودي . وتُصادف عملية المضروب في العديد من مجالات الرياضيات، وخاصة في التوافقية ، حيث يتمثل استخدامها الأساسي في حساب التسلسلات المتميزة الممكنة - التباديل - لـن{\displaystyle n}أشياء مميزة: هناكن!{\displaystyle n!}في التحليل الرياضي ، تُستخدم المضروبات في متسلسلات القوى للدالة الأسية وغيرها من الدوال، ولها أيضًا تطبيقات في الجبر ونظرية الأعداد ونظرية الاحتمالات وعلوم الحاسوب .

بدأ تطوير معظم الرياضيات المتعلقة بدالة المضروب في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر. يوفر تقريب ستيرلنغ تقريبًا دقيقًا لمضروب الأعداد الكبيرة، موضحًا أنه ينمو أسرع من النمو الأسي . تصف صيغة ليجندر أسس الأعداد الأولية في تحليل المضروب إلى عوامله الأولية ، ويمكن استخدامها لحساب الأصفار اللاحقة للمضروب. قام دانيال برنولي وليونهارد أويلر بتحويل دالة المضروب إلى دالة متصلة للأعداد المركبة ، باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة، وهي دالة غاما (المُزاحة) .

ترتبط العديد من الدوال والمتتاليات العددية البارزة الأخرى ارتباطًا وثيقًا بالمضروب، بما في ذلك معاملات ذات الحدين ، والمضروب المزدوج ، والمضروب المتناقص ، والأعداد الأولية ، والمضروب الجزئي . تُستخدم تطبيقات دالة المضروب عادةً كمثال على أنماط برمجة الحاسوب المختلفة ، وهي مُضمنة في الآلات الحاسبة العلمية ومكتبات برامج الحوسبة العلمية. على الرغم من أن حساب المضروب الكبير مباشرةً باستخدام صيغة الضرب أو التكرار ليس فعالًا، إلا أن هناك خوارزميات أسرع معروفة، تُضاهي في زمنها، ضمن عامل ثابت، زمن خوارزميات الضرب السريع للأعداد التي لها نفس عدد الأرقام.

تاريخ

لقد نشأ مفهوم المضروب بشكل مستقل في العديد من الثقافات:

منذ أواخر القرن الخامس عشر فصاعدًا، أصبحت المضروبات موضوعًا للدراسة من قبل علماء الرياضيات الغربيين. في رسالة عام 1494، حسب عالم الرياضيات الإيطالي لوكا باتشولي المضروبات حتى 11!، وذلك في سياق مسألة ترتيب طاولات الطعام. [ 12 ] ناقش كريستوفر كلافيوس المضروبات في تعليق عام 1603 على عمل يوهانس دي ساكروبوسكو ، وفي أربعينيات القرن السابع عشر، نشر العالم الفرنسي الموسوعي مارين ميرسين جداول كبيرة (وإن لم تكن دقيقة تمامًا) للمضروبات، حتى 64!، استنادًا إلى عمل كلافيوس. [ 13 ] صاغ إسحاق نيوتن متسلسلة القوى للدالة الأسية ، مع مقلوبات المضروبات كمعاملات لها، لأول مرة عام 1676 في رسالة إلى جوتفريد فيلهلم لايبنتز . [ 14 ] تشمل الأعمال المهمة الأخرى في الرياضيات الأوروبية المبكرة حول المضروب تغطية شاملة في رسالة جون واليس عام 1685 ، ودراسة لقيمها التقريبية للقيم الكبيرة لـن{\displaystyle n}في عام 1721، نشر أبراهام دي مويفر رسالةً من جيمس ستيرلنغ إلى دي مويفر عام 1729، أوضح فيها ما عُرف لاحقًا بتقريب ستيرلنغ ، بالتزامن مع عمل دانيال برنولي وليونهارد أويلر اللذين صاغا الامتداد المتصل لدالة المضروب إلى دالة غاما . [ 15 ] وفي عام 1808، أدرج أدريان ماري ليجندر صيغة ليجندر ، التي تصف الأسس في تحليل المضروب إلى قوى أولية ، في كتابٍ له عن نظرية الأعداد . [ 16 ]

الترميزن!{\displaystyle n!}تم تقديم رمز المضروب من قبل عالم الرياضيات الفرنسي كريستيان كرامب عام 1808. [ 17 ] كما تم استخدام العديد من الرموز الأخرى. وهناك رمز آخر لاحق|ن_{\displaystyle \vert \!{\underline {\,n}}}كانت صيغة المضروب، التي يُحاط فيها وسيط المضروب بنصف مربع من الجانبين الأيسر والسفلي، شائعةً لفترة من الزمن في بريطانيا وأمريكا، لكنها تراجعت شعبيتها، ربما لصعوبة طباعتها. [ 17 ] استُخدم مصطلح "المضروب" (أصله من الفرنسية: factorielle ) لأول مرة عام 1800 من قِبل لويس فرانسوا أنطوان أربوغاست ، [ 18 ] في أول عمل له على صيغة فا دي برونو ، [ 19 ] لكنه كان يشير إلى مفهوم أعمّ لحاصل ضرب المتتابعات الحسابية . و"العوامل" التي يشير إليها هذا الاسم هي حدود صيغة ضرب المضروب. [ 20 ]

تعريف

دالة المضروب لعدد صحيح موجبن{\displaystyle n}يُعرَّف بأنه حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تزيد عنن{\displaystyle n}: [ 1 ]ن!=1⋅2⋅3⋯(ن-2)⋅(ن-1)⋅ن.{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n.} يمكن كتابة هذا بشكل أكثر إيجازًا باستخدام تدوين المنتج على النحو التالي: [ 1 ]ن!=∏أنا=1نأنا.{\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i.}

إذا تم تغيير صيغة هذا المنتج بحيث تبقى جميع الحدود باستثناء الحد الأخير، فسيتم تعريف منتج من نفس الشكل، ولكن بقيمة مضروب أصغر. وهذا يؤدي إلى علاقة تكرارية ، يمكن بموجبها الحصول على كل قيمة من دالة المضروب بضرب القيمة السابقة فين{\displaystyle n}[ 21 ]​ن!=ن⋅(ن-1)!.{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!.} على سبيل المثال،5!=5⋅4!=5⋅24=120{\displaystyle 5!=5\cdot 4!=5\cdot 24=120}.

مضروب الصفر

مضروب العدد0{\displaystyle 0}يكون1{\displaystyle 1}أو بالرموز،0!=1{\displaystyle 0!=1}هناك عدة دوافع وراء هذا التعريف :

  • لن=0{\displaystyle n=0}تعريف​ن!{\displaystyle n!}بما أن الناتج يتضمن ضرب لا أعداد على الإطلاق، فهو مثال على الاتفاقية الأوسع التي تنص على أن الناتج الفارغ ، وهو ناتج لا يحتوي على عوامل، يساوي العنصر المحايد للضرب. [ 22 ]
  • يوجد تبديل واحد فقط لصفر من العناصر: عندما لا يكون هناك شيء لتبديله، فإن إعادة الترتيب الوحيدة هي عدم القيام بأي شيء. [ 21 ]
  • يجعل هذا الاتفاق العديد من المتطابقات في علم التوافيق صالحة لجميع الخيارات الصحيحة لمعاملاتها. على سبيل المثال، عدد طرق اختيار جميعن{\displaystyle n}عناصر من مجموعةن{\displaystyle n}يكون(نن)=ن!ن!0!=1،{\textstyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1,}هوية معامل ذات الحدين التي لا تكون صالحة إلا مع0!=1{\displaystyle 0!=1}[ 23 ]​
  • مع0!=1{\displaystyle 0!=1}تظل علاقة التكرار للعامل صالحة عندن=1{\displaystyle n=1}لذلك ، وفقًا لهذا الاصطلاح، فإن الحساب التكراري للمضروب لا يحتاج إلا إلى قيمة الصفر كحالة أساسية ، مما يبسط الحساب ويتجنب الحاجة إلى حالات خاصة إضافية. [ 24 ]
  • جلسة0!=1{\displaystyle 0!=1}يسمح بالتعبير المختصر عن العديد من الصيغ، مثل الدالة الأسية ، على شكل متسلسلة قوى :هـx=∑ن=0∞xنن!.{\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}[ 14 ]
  • يتوافق هذا الخيار مع دالة جاما0!=Γ(0+1)=1{\displaystyle 0!=\جاما (0+1)=1}وتُعرَّف دالة غاما بأنها دالة متصلة للأعداد المركبة لا تتضمن اختيارًا منفصلاً عند هذه القيمة. [ 25 ]

التطبيقات

تتضمن أقدم استخدامات دالة المضروب حساب التباديل : هناكن!{\displaystyle n!}طرق مختلفة للترتيبن{\displaystyle n}[ 26 ] تظهر المضروبات على نطاق أوسع في العديد من صيغ التوافقية ، لمراعاة الترتيبات المختلفة للأشياء. على سبيل المثال، معاملات ذات الحدين .(نك){\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}عدك{\displaystyle k}مجموعات العناصر (مجموعات فرعية منك{\displaystyle k}عناصر) من مجموعة تحتوي علىن{\displaystyle n}العناصر، ويمكن حسابها من المضروب باستخدام الصيغة [ 27 ](نك)=ن!ك!(ن-ك)!.{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.}مجموع أعداد ستيرلينغ من النوع الأول يساوي مضروب العدد، ويتم حساب تباديلن{\displaystyle n}تُجمّع في مجموعات فرعية لها نفس عدد الدورات. [ 28 ] تطبيق توافقي آخر هو في حساب التبديلات غير المرتبة ، وهي التبديلات التي لا تُبقي أي عنصر في موضعه الأصلي؛ عدد التبديلات غير المرتبة لـن{\displaystyle n}العنصر هو أقرب عدد صحيح إلىن!/هـ{\displaystyle n!/e}[ 29 ]​

في الجبر ، تنشأ المضروبات من خلال نظرية ذات الحدين ، التي تستخدم معاملات ذات الحدين لتوسيع قوى المجاميع. [ 30 ] كما تظهر في المعاملات المستخدمة لربط عائلات معينة من كثيرات الحدود ببعضها البعض، على سبيل المثال في متطابقات نيوتن لكثيرات الحدود المتناظرة . [ 31 ] ويمكن إعادة صياغة استخدامها في حساب التباديل جبريًا: المضروبات هي رتب المجموعات المتناظرة المنتهية . [ 32 ] في حساب التفاضل والتكامل ، تظهر المضروبات في صيغة فا دي برونو لتسلسل المشتقات العليا. [ 19 ] في التحليل الرياضي ، تظهر المضروبات بشكل متكرر في مقامات متسلسلات القوى ، وخاصة في متسلسلة الدالة الأسية . [ 14 ]هـx=1+x1+x22+x36+⋯=∑ك=0∞xكك!،{\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},} وفي معاملات متسلسلات تايلور الأخرى (وخاصة معاملات الدوال المثلثية والزائدية ) ، حيث تلغي عوامل منن!{\displaystyle n!}قادمًا منن{\displaystyle n}المشتقة منxن{\displaystyle x^{n}}[ 33 ] يرتبط استخدام المضروب في متسلسلات القوى بالتوافقية التحليلية من خلال الدالة المولدة الأسية ، والتي بالنسبة لفئة توافقية معنأنا{\displaystyle n_{i}}عناصر الحجمأنا{\displaystyle i}يتم تعريفها على أنها متسلسلة القوى [ 34 ]∑ك=0∞xكنكك!.{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}n_{k}}{k!}}.}

في نظرية الأعداد ، الخاصية الأبرز للمضروب هي قابلية القسمةن!{\displaystyle n!}بواسطة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتىن{\displaystyle n}، وهو ما يُوصف بدقة أكبر بالنسبة للعوامل الأولية بواسطة صيغة ليجندر . ويترتب على ذلك أنه يمكن إيجاد أعداد أولية كبيرة كيفما كانت كعوامل أولية للأعداد ن!±1{\displaystyle n!\pm 1}مما يؤدي إلى إثبات نظرية إقليدس التي تنص على أن عدد الأعداد الأولية لا نهائي. [ 35 ] عندمان!±1{\displaystyle n!\pm 1}إذا كان العدد أوليًا، يُسمى عددًا أوليًا مضروبًا ؛ [ 36 ] وبالمثل، تتعلق مسألة بروكارد ، التي طرحها أيضًا سرينيفاسا رامانوجان ، بوجود أعداد مربعة من الشكلن!+1{\displaystyle n!+1}[ 37 ] في المقابل ، الأرقامن!+2،ن!+3،...ن!+ن{\displaystyle n!+2,n!+3,\dots n!+n}يجب أن تكون جميعها أعدادًا مركبة، مما يثبت وجود فجوات أولية كبيرة كيفما شاءت . [ 38 ] برهان أولي لمسلمة برتراند حول وجود عدد أولي في أي فترة من الشكل[ن،2ن]{\displaystyle [n,2n]}استندت إحدى أولى نتائج بول إردوش إلى خصائص قابلية قسمة المضروب. [ 39 ] [ 40 ] نظام المضروب هو نظام تدوين عدّي مختلط للأعداد، حيث تمثل القيم المكانية لكل رقم مضروبًا. [ 41 ]

تُستخدم المضروبات على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات ، على سبيل المثال في توزيع بواسون [ 42 ] وفي احتمالات التباديل العشوائية [ 43 ] . في علوم الحاسوب ، بالإضافة إلى ظهورها في تحليل عمليات البحث الشامل على التباديل [ 44 ] ، تظهر المضروبات في الحد الأدنى لـسجل2⁡ن!=نسجل2⁡ن-يا(ن){\displaystyle \log _{2}n!=n\log _{2}nO(n)}عدد المقارنات اللازمة لترتيب مجموعة منن{\displaystyle n}[ 45 ] وفي تحليل جداول التجزئة المتسلسلة ، حيث يمكن تقريب توزيع المفاتيح لكل خلية بدقة باستخدام توزيع بواسون. [ 46 ] علاوة على ذلك، تظهر المضروبات بشكل طبيعي في صيغ الفيزياء الكمية والإحصائية ، حيث يُؤخذ في الاعتبار عادةً جميع التباديل الممكنة لمجموعة من الجسيمات. في الميكانيكا الإحصائية ، يجب أن تُصحح حسابات الإنتروبيا ، مثل صيغة إنتروبيا بولتزمان أو معادلة ساكور-تترود، عدد الحالات المجهرية عن طريق القسمة على مضروبات أعداد كل نوع من الجسيمات غير القابلة للتمييز لتجنب مفارقة جيبس . تُقدم الفيزياء الكمية السبب الكامن وراء ضرورة هذه التصحيحات. [ 47 ]

ملكيات

مقارنة بين المضروب، وتقريب ستيرلينغ، والتقريب الأبسط(ن/هـ)ن{\displaystyle (n/e)^{n}}، على مقياس لوغاريتمي مزدوج
الخطأ النسبي في متسلسلة ستيرلينغ المقتطعة مقابل عدد الحدود

النمو والتقريب

كوظيفة منن{\displaystyle n}يتميز العامل المضروب بنمو أسرع من النمو الأسي ، ولكنه ينمو ببطء أكبر من الدالة الأسية المزدوجة . [ 48 ] معدل نموه مشابه لـنن{\displaystyle n^{n}}لكن أبطأ بمعامل أُسّي. إحدى طرق الوصول إلى هذه النتيجة هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي للمضروب، مما يحوّل صيغة الضرب إلى مجموع، ثم تقدير المجموع بالتكامل: ln⁡ن!=∑x=1نln⁡x≈∫1نln⁡xدx=نln⁡ن-ن+1.{\displaystyle \ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x\approx \int _{1}^{n}\ln x\,dx=n\ln n-n+1.} برفع النتيجة إلى الأس (وتجاهل الجزء الضئيل+1{\displaystyle +1}المصطلح) يقاربن!{\displaystyle n!}مثل(ن/هـ)ن{\displaystyle (n/e)^{n}}[ 49 ] إن تحديد المجموع من الأعلى والأسفل بدقة أكبر باستخدام التكامل، وفقًا لقاعدة شبه المنحرف ، يُظهر أن هذا التقدير يحتاج إلى عامل تصحيح يتناسب معن{\displaystyle {\sqrt {n}}}يمكن إيجاد ثابت التناسب لهذا التصحيح من خلال حاصل ضرب واليس ، الذي يعبر عنπ{\displaystyle \pi }كنسبة حدية للمضروب وقوى العدد اثنين. نتيجة هذه التصحيحات هي تقريب ستيرلينغ : [ 50 ]ن!∼2πن(نهـ)ن.{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\,.} هنا،∼{\displaystyle \sim }يعني الرمز ذلك، كمان{\displaystyle n}عندما تؤول إلى اللانهاية، تقترب النسبة بين الجانبين الأيسر والأيمن من1{\displaystyle 1}في النهاية . توفر صيغة ستيرلينغ الحد الأول في سلسلة تقاربية تصبح أكثر دقة عند أخذها إلى عدد أكبر من الحدود: [ 51 ]ن!∼2πن(نهـ)ن(1+112ن+1288ن2-13951840ن3-5712488320ن4+⋯).{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).} هناك نسخة بديلة (التقريب المشتق مباشرة من صيغة أويلر-ماكلورين ) تتقارب بشكل أسرع لأنها لا تتطلب سوى أسس فردية في حدود التصحيح: [ 51 ]ن!∼2πن(نهـ)نخبرة⁡(112ن-1360ن3+11260ن5-11680ن7+⋯).{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots \right).} وقد تم تطوير العديد من الاختلافات الأخرى لهذه الصيغ، من قبل سرينيفاسا رامانوجان ، وبيل جوسبر ، وآخرين. [ 51 ]

يمكن تقدير اللوغاريتم الثنائي للمضروب، المستخدم في تحليل فرز المقارنة ، بدقة عالية باستخدام تقريب ستيرلينغ. في الصيغة أدناه،يا(1){\displaystyle O(1)}يستخدم المصطلح ترميز Big O. [ 45 ]سجل2⁡ن!=نسجل2⁡ن-نسجل2⁡هـ+12سجل2⁡ن+يا(1).{\displaystyle \log _{2}n!=n\log _{2}nn\log _{2}e+{\frac {1}{2}}\log _{2}n+O(1).}

قابلية القسمة والأرقام

صيغة حساب المضروب تشير إلى أنن!{\displaystyle n!}يقبل القسمة على جميع الأعداد الأولية التي لا تتجاوزن{\displaystyle n}ولا يقبل القسمة على أعداد أولية أكبر منه. [ 52 ] تُقدم صيغة ليجاندر معلومات أكثر دقة حول قابلية القسمة ، والتي تُعطي أس كل عدد أولي.ص{\displaystyle p}في التحليل إلى العوامل الأولية لـن!{\displaystyle n!}كما [ 53 ] [ 54 ]∑أنا=1∞⌊نصأنا⌋=ن-sص(ن)ص-1.{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.} هناsص(ن){\displaystyle s_{p}(n)}يرمز إلى مجموع الأساس -ص{\displaystyle p}أرقام​ن{\displaystyle n}يمكن تسمية الأس المُعطى بهذه الصيغة، من الناحية التقنية، بالتقييم p-adic للمضروب . [ 54 ] بتطبيق صيغة ليجندر على صيغة ضرب معاملات ذات الحدين ، نحصل على نظرية كومر ، وهي نتيجة مماثلة تتعلق بأس كل عدد أولي في تحليل معامل ذات الحدين. [ 55 ] بتجميع العوامل الأولية للمضروب في قوى أولية بطرق مختلفة، نحصل على التقسيمات الضربية للمضروب . [ 56 ]

الحالة الخاصة لصيغة ليجندر لـص=5{\displaystyle p=5}يُعطي عدد الأصفار اللاحقة في التمثيل العشري للمضروب. [ 57 ] وفقًا لهذه الصيغة، يمكن الحصول على عدد الأصفار عن طريق طرح أرقام الأساس 5 منن{\displaystyle n}منن{\displaystyle n}ثم قسمة الناتج على أربعة. [ 58 ] تشير صيغة ليجاندر إلى أن أس العدد الأوليص=2{\displaystyle p=2}يكون دائمًا أكبر من الأس لـص=5{\displaystyle p=5}لذا ، يمكن إقران كل عامل من عوامل العدد خمسة بعامل من عوامل العدد اثنين لإنتاج أحد هذه الأصفار اللاحقة. [ 57 ] تتوزع الأرقام الأولى للمضروب وفقًا لقانون بنفورد . [ 59 ] كل تسلسل من الأرقام، في أي أساس، هو تسلسل الأرقام الأولية لعدد مضروب ما في ذلك الأساس. [ 60 ]

وتنص نتيجة أخرى تتعلق بقابلية قسمة المضروب، وهي نظرية ويلسون ، على أن(ن-1)!+1{\displaystyle (n-1)!+1}يقبل القسمة علىن{\displaystyle n}إذا وفقط إذان{\displaystyle n}هو عدد أولي . [ 52 ] لأي عدد صحيح معطىx{\displaystyle x}، دالة كمبنر لـx{\displaystyle x}يُعطى بأصغرن{\displaystyle n}والتيx{\displaystyle x}يقسمن!{\displaystyle n!}[ 61 ] بالنسبة لجميع الأعداد تقريبًا ( باستثناء مجموعة فرعية من الاستثناءات ذات الكثافة التقاربية الصفرية)، يتطابق مع أكبر عامل أولي لـx{\displaystyle x}[ 62 ]​

حاصل ضرب مضروبين،م!⋅ن!{\displaystyle m!\cdot n!}يقسم دائمًا بالتساوي(م+ن)!{\displaystyle (m+n)!}[ 63 ] يوجد عدد لا نهائي من المضروبات التي تساوي حاصل ضرب مضروبات أخرى: إذان{\displaystyle n}إذا كان أي ناتج من عوامل المضروب هو نفسه،ن!{\displaystyle n!}يساوي نفس الناتج مضروبًا في مضروب إضافي واحد،(ن-1)!{\displaystyle (n-1)!}الأمثلة الوحيدة المعروفة للمضروب التي هي نواتج مضروبات أخرى ولكنها ليست من هذا الشكل "التافه" هي9!=7!⋅3!⋅3!⋅2!{\displaystyle 9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!}،10!=7!⋅6!=7!⋅5!⋅3!{\displaystyle 10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!}، و16!=14!⋅5!⋅2!{\displaystyle 16!=14!\cdot 5!\cdot 2!}[ 64 ] ويترتب على حدسية abc أن هناك عددًا محدودًا فقط من الأمثلة غير التافهة . [ 65 ]

القاسم المشترك الأكبر لقيم متعددة حدود أولية من الدرجةد{\displaystyle d}يقسم على الأعداد الصحيحة بالتساويد!{\displaystyle d!}[ 63 ]​

الاستيفاء المستمر والتعميم غير الصحيح

تقوم دالة جاما (المزاحة وحدة واحدة إلى اليسار لمطابقة المضروب ) باستمرار باستيفاء المضروب إلى قيم غير صحيحة
القيم المطلقة لدالة غاما المركبة، مع إظهار الأقطاب عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة.

توجد طرق لا حصر لها لتوسيع المضروب إلى دالة متصلة . [ 66 ] وأكثر هذه الطرق استخدامًا [ 67 ] هي استخدام دالة غاما ، والتي يمكن تعريفها للأعداد الحقيقية الموجبة على أنها التكاملΓ(z)=∫0∞xz-1هـ-xدx.{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx.} ترتبط الدالة الناتجة بعامل عدد صحيح غير سالبن{\displaystyle n}بحسب المعادلة ن!=Γ(ن+1)،{\displaystyle n!=\Gamma (n+1),} والتي يمكن استخدامها كتعريف للمضروب للوسائط غير الصحيحة. عند جميع القيمx{\displaystyle x}والتي من أجلها كلاهماΓ(x){\displaystyle \Gamma (x)}وΓ(x-1){\displaystyle \Gamma (x-1)}إذا تم تعريفها، فإن دالة غاما تخضع للمعادلة الوظيفيةΓ(ن)=(ن-1)Γ(ن-1)،{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1),} تعميم العلاقة التكرارية للمضروب. [ 66 ]

يتقارب التكامل نفسه بشكل أعم لأي عدد مركبz{\displaystyle z}والتي يكون جزءها الحقيقي موجبًا. ويمكن تعميمها على النقاط غير الصحيحة في بقية المستوى المركب عن طريق حل صيغة انعكاس أويلر.Γ(z)Γ(1-z)=πالخطيئة⁡πz.{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}.} لكن لا يمكن استخدام هذه الصيغة مع الأعداد الصحيحة لأنها، بالنسبة لها،الخطيئة⁡πz{\displaystyle \sin \pi z}ينتج عن هذا الحد قسمة على صفر . وتكون نتيجة عملية التمديد هذه دالة تحليلية (أو تحديدًا دالة ميرومورفية )، وهي الامتداد التحليلي للصيغة التكاملية لدالة غاما. ولها قيمة غير صفرية عند جميع الأعداد المركبة، باستثناء الأعداد الصحيحة غير الموجبة حيث يكون لها أقطاب بسيطة . وبناءً على ذلك، يوفر هذا تعريفًا للمضروب عند جميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة. [ 67 ] إحدى خصائص دالة غاما، التي تميزها عن غيرها من الاستيفاءات المستمرة للمضروب، هي ما تنص عليه نظرية بور-موليروب ، التي تنص على أن دالة غاما (المزاحة بمقدار واحد) هي الدالة اللوغاريتمية المحدبة الوحيدة على الأعداد الحقيقية الموجبة التي تستوفي المضروب وتخضع لنفس المعادلة الدالية. تنص نظرية التفرد ذات الصلة لهيلموت ويلاندت على أن دالة غاما المركبة ومضاعفاتها العددية هي الدوال الهولومورفية الوحيدة على نصف المستوى المركب الموجب التي تخضع للمعادلة الوظيفية وتبقى محدودة للأعداد المركبة ذات الجزء الحقيقي بين 1 و 2. [ 68 ]

تتضمن الدوال المركبة الأخرى التي تُستخدم لاستكمال قيم المضروب دالة غاما لهادامارد ، وهي دالة شاملة لجميع الأعداد المركبة، بما في ذلك الأعداد الصحيحة غير الموجبة. [ 69 ] [ 70 ] في الأعداد p -adic ، لا يمكن استكمال دالة المضروب بشكل مباشر ومستمر، لأن مضروب الأعداد الصحيحة الكبيرة (وهي مجموعة فرعية كثيفة من الأعداد p -adic) يتقارب إلى الصفر وفقًا لصيغة ليجندر، مما يجعل أي دالة مستمرة قريبة من قيمها تساوي صفرًا في كل مكان. بدلاً من ذلك، توفر دالة غاما p -adic استكمالًا مستمرًا لشكل مُعدَّل من المضروب، مع حذف العوامل القابلة للقسمة على p . [ 71 ]

دالة ديغاما هي المشتقة اللوغاريتمية لدالة غاما. وكما توفر دالة غاما استيفاءً متصلاً للمضروب، بإزاحة قدرها واحد، فإن دالة ديغاما توفر استيفاءً متصلاً للأعداد التوافقية ، بإزاحة قدرها ثابت أويلر-ماسكيروني . [ 72 ]

حساب

آلة حاسبة TI SR-50A ، من عام 1975، مزودة بمفتاح حساب المضروب (الصف الثالث، وسط اليمين).

تُعدّ دالة المضروب ميزة شائعة في الآلات الحاسبة العلمية . [ 73 ] كما أنها مُضمنة في مكتبات البرمجة العلمية مثل وحدة الدوال الرياضية في بايثون [ 74 ] ومكتبة Boost C++ . [ 75 ]

إذا لم تكن الكفاءة مصدر قلق، فإن حساب المضروب أمر بسيط: ما عليك سوى ضرب متغير مهيأ إلى1{\displaystyle 1}بواسطة الأعداد الصحيحة حتىن{\displaystyle n}إن بساطة هذه العملية الحسابية تجعلها مثالاً شائعاً في استخدام أنماط وأساليب برمجة الحاسوب المختلفة. [ 76 ] حسابن!{\displaystyle n!}يمكن التعبير عنها بلغة شبه رمزية باستخدام التكرار [ 77 ] كما يلي

عرّف دالة حساب المضروب ( n ): f := 1 لكل i := 1, 2, 3, ..., n : f := f * i أرجع f

أو باستخدام التكرار [ 78 ] بناءً على علاقة التكرار الخاصة به كما يلي:

تعريف دالة مضروب العدد ( n ): إذا كان ( n = 0) أرجع 1 أرجع n * مضروب ( n - 1)

تشمل الطرق الأخرى المناسبة لحسابها التخزين المؤقت [ 79 ] ، والبرمجة الديناميكية [ 80 ] ، والبرمجة الوظيفية [ 81 ] . يمكن تحليل التعقيد الحسابي لهذه الخوارزميات باستخدام نموذج آلة الوصول العشوائي ذات التكلفة الموحدة ، حيث تستغرق كل عملية حسابية وقتًا ثابتًا ويستخدم كل رقم مقدارًا ثابتًا من مساحة التخزين. في هذا النموذج، يمكن لهذه الطرق حسابن!{\displaystyle n!}في الوقت المناسبيا(ن){\displaystyle O(n)}وتستخدم النسخة التكرارية مساحةيا(1){\displaystyle O(1)}ما لم يتم تحسينها للاستدعاء الذاتي النهائي ، فإن النسخة الاستدعائية تتطلب مساحة خطية لتخزين مكدس الاستدعاءات الخاص بها . [ 82 ] ومع ذلك، فإن نموذج الحساب هذا مناسب فقط عندمان{\displaystyle n}صغير بما يكفي للسماحن!{\displaystyle n!}ليتناسب مع كلمة الآلة . [ 83 ] القيمتان 12! و20! هما أكبر مضروب يمكن تخزينهما في الأعداد الصحيحة ذات 32 بت [ 84 ] و 64 بت على التوالي . [ 85 ] يمكن للأعداد العشرية تمثيل مضروب أكبر، ولكن بشكل تقريبي وليس دقيقًا، وسيظل هناك تجاوز للسعة بالنسبة للمضروب الأكبر من170!{\displaystyle 170!}[ 84 ]​

يتطلب الحساب الدقيق للمضروب الكبير استخدام عمليات حسابية ذات دقة اختيارية ، نظرًا لنموه السريع واحتمالية تجاوز سعة الأعداد الصحيحة . ويمكن تحليل زمن الحساب كدالة لعدد الأرقام أو البتات في النتيجة. [ 85 ] وفقًا لصيغة ستيرلينغ،ن!{\displaystyle n!}لديهب=يا(نسجل⁡ن){\displaystyle b=O(n\log n)}أجزاء. [ 86 ] يمكن لخوارزمية Schönhage -Strassen إنتاجب{\displaystyle b}المنتج ذو البتات في الزمنيا(بسجل⁡بسجل⁡سجل⁡ب){\displaystyle O(b\log b\log \log b)}وخوارزميات الضرب الأسرع التي تستغرق وقتًايا(بسجل⁡ب){\displaystyle O(b\log b)}معروفة. [ 87 ] ومع ذلك، فإن حساب المضروب يتضمن عمليات ضرب متكررة، وليس عملية ضرب واحدة، لذا فإن هذه الحدود الزمنية لا تنطبق بشكل مباشر. في هذا السياق، حسابن!{\displaystyle n!}عن طريق ضرب الأرقام من 1 إلىن{\displaystyle n}إن استخدامها بالتسلسل غير فعال، لأنه ينطوي علىن{\displaystyle n}عمليات الضرب، التي يستغرق جزء ثابت منها وقتاًيا(نسجل2⁡ن){\displaystyle O(n\log ^{2}n)}كل منها، مما يعطي إجمالي الوقتيا(ن2سجل2⁡ن){\displaystyle O(n^{2}\log ^{2}n)}يتمثل النهج الأفضل في إجراء عمليات الضرب باستخدام خوارزمية فرق تسد، والتي تضرب سلسلة منأنا{\displaystyle i}الأرقام عن طريق تقسيمها إلى سلسلتين فرعيتين منأنا/2{\displaystyle i/2}يقوم هذا الأسلوب لحساب المضروب بضرب كل سلسلة فرعية من الأرقام، ثم يجمع النتائج بعملية ضرب أخيرة. ويستغرق هذا الأسلوب وقتًا إجماليًا قدرهيا(نسجل3⁡ن){\displaystyle O(n\log ^{3}n)}يأتي اللوغاريتم الأول من عدد البتات في المضروب، ويأتي الثاني من خوارزمية الضرب، ويأتي الثالث من خوارزمية فرق تسد. [ 88 ]

يمكن تحقيق كفاءة أفضل بحساب n ! من تحليله إلى عوامله الأولية، استنادًا إلى مبدأ أن الأسس بالتربيع أسرع من تحويل الأس إلى حاصل ضرب. [ 86 ] [ 89 ] تبدأ خوارزمية أرنولد شونهاج لهذا الغرض بإيجاد قائمة الأعداد الأولية حتىن{\displaystyle n}على سبيل المثال ، باستخدام غربال إراتوستينس ، ويستخدم صيغة ليجندر لحساب أس كل عدد أولي. ثم يحسب حاصل ضرب قوى الأعداد الأولية في هذه الأسس، باستخدام خوارزمية تكرارية، كما يلي:

  • استخدم أسلوب فرق تسد لحساب حاصل ضرب الأعداد الأولية التي أسسها أعداد فردية
  • اقسم جميع الأسس على اثنين (مع التقريب إلى أقرب عدد صحيح)، ثم احسب بشكل متكرر حاصل ضرب القوى الأولية في هذه الأسس الأصغر، ثم ربع الناتج.
  • اضرب نتائج الخطوتين السابقتين معًا

حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية حتىن{\displaystyle n}هويا(ن){\displaystyle O(n)}العدد ذو n بت، وفقًا لنظرية الأعداد الأولية ، لذا فإن زمن الخطوة الأولى هويا(نسجل2⁡ن){\displaystyle O(n\log ^{2}n)}، حيث يأتي لوغاريتم واحد من خوارزمية فرق تسد، وآخر من خوارزمية الضرب. في الاستدعاءات المتكررة للخوارزمية، يمكن الاستعانة بنظرية الأعداد الأولية مرة أخرى لإثبات أن عدد البتات في نواتج الضرب المقابلة يتناقص بمعامل ثابت في كل مستوى من مستويات التكرار، وبالتالي فإن إجمالي الوقت اللازم لهذه الخطوات في جميع مستويات التكرار يُضاف في متسلسلة هندسية إلىيا(نسجل2⁡ن){\displaystyle O(n\log ^{2}n)}. الوقت اللازم للتربيع في الخطوة الثانية والضرب في الخطوة الثالثة هو مرة أخرىيا(نسجل2⁡ن){\displaystyle O(n\log ^{2}n)}لأن كل منها عبارة عن عملية ضرب واحدة لعدد معيا(نسجل⁡ن){\displaystyle O(n\log n)}البتات. مرة أخرى، في كل مستوى من مستويات التكرار، تحتوي الأرقام المعنية على جزء ثابت من عدد البتات (لأن تربيعها بشكل متكرر سينتج عنه نتيجة نهائية كبيرة جدًا)، لذا فإن مقدار الوقت اللازم لهذه الخطوات في الاستدعاءات المتكررة يتجمع في متسلسلة هندسية إلىيا(نسجل2⁡ن){\displaystyle O(n\log ^{2}n)}وبالتالي ، تستغرق الخوارزمية بأكملها وقتًايا(نسجل2⁡ن){\displaystyle O(n\log ^{2}n)}، بما يتناسب مع عملية ضرب واحدة بنفس عدد البتات في نتيجتها. [ 89 ]

توجد عدة متواليات عددية صحيحة أخرى مشابهة أو مرتبطة بمتوالية المضروب:

العاملي المتناوب
المضروب المتناوب هو القيمة المطلقة للمجموع المتناوب للأولن{\displaystyle n}المضروب،∑أنا=1ن(-1)ن-أناأنا!{\textstyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!}وقد دُرست هذه الأعداد بشكل رئيسي فيما يتعلق بكونها أولية؛ إذ لا يمكن أن يكون عدد محدود منها أوليًا، ولكن القائمة الكاملة للأعداد الأولية من هذا النوع غير معروفة. [ 90 ]
بهارجافا فاكتوريال
مضروب بهارجافا هو عائلة من المتتاليات العددية الصحيحة التي عرّفها مانجول بهارجافا، ولها خصائص نظرية عددية مشابهة للمضروب، بما في ذلك المضروب نفسه كحالة خاصة. [ 63 ]
العامل المزدوج
حاصل ضرب جميع الأعداد الفردية حتى عدد صحيح فردي موجبن{\displaystyle n}يُطلق عليه اسم مضروب العدد المزدوج لـن{\displaystyle n}، ويرمز إليه بـن!!{\displaystyle n!!}[ 91 ] أي ،(2ك-1)!!=∏أنا=1ك(2أنا-1)=(2ك)!2كك!.{\displaystyle (2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}.}على سبيل المثال، 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945. تُستخدم المضروبات المزدوجة في التكاملات المثلثية ، [ 92 ] وفي تعابير دالة غاما عند أنصاف الأعداد الصحيحة وحجوم الكرات الفائقة ، [ 93 ] وفي عدّ الأشجار الثنائية والمطابقات الكاملة . [ 91 ] [ 94 ]
العامل الأسي
تمامًا كما أن الأعداد المثلثية تجمع الأعداد من1{\displaystyle 1}لن{\displaystyle n}وإذا أخذنا المضروب في حاصل ضربه، فإن المضروب الأسي يتضاعف. ويُعرَّف المضروب الأسي بشكل تكراري كما يلي:أ0=1، أن=نأن-1{\displaystyle a_{0}=1,\ a_{n}=n^{a_{n-1}}}على سبيل المثال ، مضروب العدد 4 هو4321=262144.{\displaystyle 4^{3^{2^{1}}}=262144.}تنمو هذه الأرقام بسرعة أكبر بكثير من المضروب العادي. [ 95 ]
العاملي المتساقط
الرموز(x)ن{\displaystyle (x)_{n}}أوxن_{\displaystyle x^{\underline {n}}}تُستخدم أحيانًا لتمثيل ناتج أكبرن{\displaystyle n}الأعداد الصحيحة التي تُحسب حتى وشاملةx{\displaystyle x}، يساويx!/(x-ن)!{\displaystyle x!/(x-n)!}يُعرف هذا أيضًا باسم العاملي الهابط أو العاملي العكسي ، و(x)ن{\displaystyle (x)_{n}}الرمز هو رمز بوخامر. [ 96 ] تحسب المضروبات المتناقصة عدد التسلسلات المختلفة لـن{\displaystyle n}عناصر مميزة يمكن استخلاصها من عالم منx{\displaystyle x}[ 97 ] تظهر هذه العناصر كمعاملات في المشتقات العليا لكثيرات الحدود، [ 98 ] وفي العزوم العاملية للمتغيرات العشوائية . [ 99 ]
العوامل الفائقة
العامل الفائق لـن{\displaystyle n}المنتج11⋅22⋯نن{\displaystyle 1^{1}\cdot 2^{2}\cdots n^{n}}تشكل هذه الأرقام المميزات لكثيرات حدود هيرميت . [ 100 ] ويمكن استكمالها بشكل مستمر باستخدام دالة K ، [ 101 ] وتخضع لنظائر صيغة ستيرلينغ [ 102 ] ونظرية ويلسون. [ 103 ]
أرقام جوردان-بوليا
أعداد جوردان -بوليا هي حاصل ضرب المضروب، مما يسمح بالتكرار. لكل شجرة مجموعة تناظر يكون عدد تناظراتها عددًا من أعداد جوردان-بوليا، وكل عدد من أعداد جوردان-بوليا يحسب تناظرات شجرة ما. [ 104 ]
البدائي
البدائي​ن8{\displaystyle n\#}هو حاصل ضرب الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوين{\displaystyle n}يمنحها هذا التركيب بعض خصائص قابلية القسمة المشابهة للمضروب، [ 36 ] ولكن على عكس المضروب، فهي خالية من المربعات . [ 105 ] كما هو الحال مع الأعداد الأولية المضروبيةن!±1{\displaystyle n!\pm 1}وقد درس الباحثون الأعداد الأولية الأوليةن8±1{\displaystyle n\#\pm 1}[ 36 ]​
العامل الفرعي
يُعطي العامل الفرعي عدد حالات عدم الترتيب لمجموعة منن{\displaystyle n}الأشياء. ويُشار إليها أحيانًا بـ!ن{\displaystyle !n}، ويساوي أقرب عدد صحيح إلىن!/هـ{\displaystyle n!/e}[ 29 ]​
العامل الفائق
العامل الفائق لـن{\displaystyle n}هو نتاج الأولن{\displaystyle n}المضروب. يتم استكمال المضروب الفائق بشكل مستمر بواسطة دالة بارنز G. [ 106 ]
العدد المثلثي
تمامًا كما هو الحالن{\displaystyle n}المضروب النوني هو حاصل ضرب المضروب الأولن{\displaystyle n}الأعداد الصحيحة الموجبة،ن{\displaystyle n}العدد المثلثي رقم هو مجموع العدد المثلثي الأولن{\displaystyle n}الأعداد الصحيحة الموجبة. اقترح دونالد كنوث اسم "العدد النهائي " والرمزن؟{\displaystyle n?}بالنسبة للأعداد المثلثية، مما يجعل التشابه مع المضروب أكثر وضوحًا، ولكن هذه الأعداد ليست شائعة الاستخدام. [ 107 ]

مراجع

  1. 1 2 3 جراهام، رونالد إل . نوث، دونالد إي . باتاشنيك، أورين (1988). الرياضيات الخرسانية . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون ويسلي. ص.  111. ردمك 0-201-14236-8.
  2. 1 2 داتا، بيبوتي بهوسان ؛ سينغ، أوديش نارايان (2019). "استخدام التباديل والتوافيق في الهند". في: كولاتشانا، أديتيا؛ ماهيش، ك.؛ راماسوبرامانيان، ك. (محررون). دراسات في الرياضيات وعلم الفلك الهندي: مقالات مختارة لكريبا شانكار شوكلا . مصادر ودراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. سبرينغر سنغافورة. ص 356-376 . doi : 10.1007/978-981-13-7326-8_18 . ISBN  978-981-13-7325-1. S2CID 191141516 . تمت مراجعته بواسطة كيه إس شوكلا من ورقة بحثية في المجلة الهندية لتاريخ العلوم 27 (3): 231-249، 1992، MR 1189487. انظر الصفحة 363. 
  3. ↑ جادهاف، ديباك (أغسطس 2021). "أفكار جاينية حول الوحدة باعتبارها ليست مجرد رقم" . تاريخ العلوم في جنوب آسيا . 9. مكتبات جامعة ألبرتا: 209-231 . doi : 10.18732/hssa67 . S2CID 238656716 . انظر مناقشة المواعدة في الصفحة 211.
  4. ↑ بيغز، نورمان ل. (مايو 1979). "جذور التوافقية". هيستوريا ماثيماتيكا . 6 (2): 109-136 . doi : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 . MR 0530622 . 
  5. 1 2 كاتز، فيكتور ج. (يونيو 1994). "الرياضيات الإثنية في الفصل الدراسي". من أجل تعلم الرياضيات . 14 (2): 26-30 . JSTOR 40248112 . 
  6. ↑ سفر يتزيرا في ويكي مصدر ، الفصل الرابع، القسم 4
  7. ↑ راشد، رشدي (1980). "ابن الهيثم ونظرية ويلسون". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة (بالفرنسية). 22 (4 ) : 305-321 . doi : 10.1007/BF00717654 . MR 0595903. S2CID 120885025 .  
  8. ↑ أسيربي، ف. (2003). "على أكتاف هيبارخوس: إعادة تقييم التوافقية اليونانية القديمة". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 57 (6 ) : 465-502 . doi : 10.1007 / s00407-003-0067-0 . JSTOR 41134173. MR 2004966. S2CID 122758966 .   
  9. ↑ كاتز، فيكتور ج. (2013). "الفصل 4: التوافقية اليهودية". في ويلسون، روبن ؛ واتكينز، جون ج. (محرران). التوافقية: القديمة والحديثة . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 109-121 . ISBN  978-0-19-965659-2.انظر الصفحة 111.
  10. ↑ هانت، كاثرين (مايو 2018). "فن التغييرات: قرع الأجراس، والجناس، وثقافة التركيب في إنجلترا في القرن السابع عشر" (ملف PDF) . مجلة الدراسات القروسطية والحديثة المبكرة . 48 (2): 387-412 . doi : 10.1215/10829636-4403136 .
  11. ↑ ستيدمان، فابيان (1677). كامبانالوجيا . لندن. ص 6-9 .  تم ذكر الناشر باسم "WS" والذي ربما كان ويليام سميث، وربما كان يعمل كوكيل لجمعية شباب الكلية ، والتي تم توجيه "الإهداء" إليها.
  12. ↑ كنوبلوخ، إيبرهارد (2013). "الفصل 5: التوافقية في عصر النهضة". في ويلسون، روبن؛ واتكينز، جون جيه (محرران). التوافقية: القديمة والحديثة . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 123-145 . ISBN  978-0-19-965659-2. انظر الصفحة 126.
  13. ^ كنوبلوخ 2013 ، ص 130-133.
  14. 1 2 3 إبنجهاوس، إتش.-د. ; هيرميس، ه . هيرزبروخ، ف . كوشر، م . ماينزر، ك . نيوكيرش، J .؛ بريستل، أ.؛ ريميرت، ر. (1990). أرقام . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد. 123. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص. 131. دوى : 10.1007/978-1-4612-1005-4 . رقم ISBN   0-387-97202-1MR 1066206​​ 
  15. ↑ دوتكا، جاك (1991). " التاريخ المبكر لدالة المضروب". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 43 (3): 225-249 . doi : 10.1007/BF00389433 . JSTOR 41133918. MR 1171521. S2CID 122237769 .   
  16. ↑ ديكسون، ليونارد إي. (1919). "الفصل التاسع: قابلية قسمة المضروب ومعاملات الحدود المتعددة" . تاريخ نظرية الأعداد . المجلد 1. مؤسسة كارنيجي في واشنطن. الصفحات 263-278 .  انظر على وجه الخصوص الصفحة 263.
  17. 1 2 كاجوري، فلوريان (1929). "448-449. مضروب " ن "" تاريخ الرموز الرياضية، المجلد الثاني: الرموز المستخدمة بشكل رئيسي في الرياضيات العليا . شركة أوبن كورت للنشر. الصفحات 71-77 ." 
  18. ↑ ميلر، جيف. "أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض مصطلحات الرياضيات (F)" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . جامعة سانت أندروز.
  19. 1 2 كريك، أليكس د (2005). “ما قبل التاريخ لصيغة Faà di Bruno”. الرياضيات الأمريكية الشهرية . 112 (2): 119– 130. دوى : 10.1080/00029890.2005.11920176 . جستور 30037410 . السيد 2121322 . S2CID 45380805 .   
  20. ^ أربوغاست، لويس فرانسوا أنطوان (1800). Du calcul des dérivations (بالفرنسية). ستراسبورغ: L'imprimerie de Levrault، frères. ص 364 – 365. 
  21. 1 2 هامكينز، جويل ديفيد (2020). البرهان وفن الرياضيات . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 50. ISBN  978-0-262-53979-1MR 4205951​​ 
  22. ↑ دورف، ريتشارد سي. (2003). "العوامل" . دليل سي آر سي لجداول الهندسة . مطبعة سي آر سي. ص 5-5. ISBN  978-0-203-00922-2.
  23. ^ غولدنبرغ، إي بول؛ كارتر، سينثيا ج. (أكتوبر 2017). "طالب يسأل عن ( - 5)!". مدرس الرياضيات . 111 (2): 104-110 . دوى : 10.5951/matheacher.111.2.0104 . جستور 10.5951/matheacher.111.2.0104 . 
  24. ↑ هابرمان، بروريا؛ أفربوخ، حاييم (2002). "حالة الحالات الأساسية: لماذا يصعب التعرف عليها؟ صعوبات الطلاب مع الاستدعاء الذاتي". في: كاسبرسن، مايكل إي؛ جويس، دانيال تي؛ غولمان، دون؛ أوتينغ، إيان (محررون). وقائع المؤتمر السنوي السابع لجمعية SIGCSE حول الابتكار والتكنولوجيا في تعليم علوم الحاسوب، ITiCSE 2002، آرهوس، الدنمارك، 24-28 يونيو 2002. جمعية آلات الحوسبة. الصفحات 84-88 . doi : 10.1145/544414.544441 . 
  25. ↑ فاريل، أورين جيه؛ روس، بيرترام (1971). مسائل محلولة في التحليل: تطبيقاتها على دوال غاما، وبيتا، وليجندر، وبيسل . كتب دوفر في الرياضيات. شركة كورير. ص 10. ISBN  978-0-486-78308-6.
  26. ↑ كونواي، جون هـ .؛ جاي، ريتشارد (1998). "الأعداد العاملية". كتاب الأعداد . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 55-56 . ISBN  978-0-387-97993-9.
  27. ^ جراهام ونوث وباتاشنيك 1988 ، ص. 156.
  28. ↑ ريوردان، جون (1958). مقدمة في التحليل التوافقي . منشورات وايلي في الإحصاء الرياضي. تشابمان وهول. ص 76. MR 0096594 .  أُعيد طبعه ، مكتبة برينستون ليجاسي، مطبعة جامعة برينستون، 2014، رقم ISBN 9781400854332.
  29. 1 2 جراهام، كنوث وباتاشنيك 1988 ، ص. 195.
  30. ^ جراهام ونوث وباتاشنيك 1988 ، ص. 162.
  31. ↑ رانديتش، ميلان (1987). "حول تقييم متعددة الحدود المميزة باستخدام نظرية الدوال المتناظرة". مجلة الكيمياء الرياضية . 1 (1): 145-152 . doi : 10.1007/BF01205340 . MR 0895533. S2CID 121752631 .  
  32. ↑ هيل، فيكتور إي. (2000). "8.1 الاقتراح: المجموعة المتناظرة S n " . المجموعات والخصائص . تشابمان وهول. ص 70. ISBN  978-1-351-44381-4MR 1739394 .​ 
  33. ↑ كريستنسن، كيم؛ مولوني، نيكولاس ر. (2005). "الملحق أ: متسلسلة تايلور" . التعقيد والحرجية . نصوص الفيزياء المتقدمة. المجلد 1. مطبعة إمبريال كوليدج. ص 341. ISBN   978-1-86094-504-5.
  34. ↑ ويلف، هربرت س. (2006). علم وظائف التوليد ( الطبعة الثالثة). ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. ص 22. ISBN   978-1-56881-279-3MR 2172781 .​ 
  35. ↑ أور، أويستين (1948). نظرية الأعداد وتاريخها . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 66. MR 0026059 .  أُعيد طبعه ، منشورات كوريير دوفر، 1988، رقم ISBN 9780486656205.
  36. 1 2 3 كالدول، كريس ك.؛ غالوت، إيف (2002). "حول أسبقيةن!±1{\displaystyle n!\pm 1}و2×3×5×⋯×ص±1{\displaystyle 2\times 3\times 5\times \dots \times p\pm 1}" . رياضيات الحوسبة . 71 (237): 441– 448. doi : 10.1090/S0025-5718-01-01315-1 . MR 1863013 . 
  37. ↑ جاي، ريتشارد ك. (2004). "D25: المعادلات التي تتضمن المضروبن{\displaystyle n}" مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد . سلسلة كتب المسائل في الرياضيات. المجلد  1 (  الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 301-302 . doi : 10.1007/978-0-387-26677-0 . ISBN  0-387-20860-7MR 2076335​​ 
  38. ↑ نيل، فيكي (2017). سد الفجوة: السعي لفهم الأعداد الأولية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 146-147 . ISBN  978-0-19-878828-7.
  39. ^ إردوس ، بال (1932). "Beweis eines Satzes von Tschebyschef" [ إثبات نظرية تشيبيشيف ] (PDF) . اكتا ليت. الخيال العلمي. سيجد (في المانيا). 5 : 194 – 198. زبل 0004.10103 . 
  40. ↑ تشفاتال، فاشيك (2021). "1.5: برهان إردوش على مسلمة برتراند" . سحر الرياضيات المتقطعة لبول إردوش: مقدمة بسيطة . كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 7-10 . doi : 10.1017/9781108912181 . ISBN  978-1-108-83183-3. MR 4282416 . S2CID 242637862 .  
  41. ↑ فرانكل، أفيزري س. (1985). " أنظمة الترقيم". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 92 (2): 105-114 . doi : 10.1080/00029890.1985.11971550 . JSTOR 2322638. MR 0777556 .  
  42. ↑ بيتمان، جيم (1993). "3.5: توزيع بواسون". الاحتمالات . نيويورك: سبرينغر. ص 222-236 . doi : 10.1007/978-1-4612-4374-8 . ISBN  978-0-387-94594-1.
  43. ↑ بيتمان 1993 ، ص 153.
  44. ^ كلاينبرج، جون ؛ تاردوس، إيفا (2006). تصميم الخوارزمية . أديسون ويسلي. ص. 55. 
  45. 1 2 كنوت، دونالد إي. (1998). فن برمجة الحاسوب، المجلد 3: الفرز والبحث ( الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. ص 182. ISBN   978-0-321-63578-5.
  46. ↑ سيدجويك، روبرت ؛ واين، كيفن (2011). الخوارزميات ( الطبعة الرابعة). أديسون-ويسلي. ص 466. ISBN   978-0-13-276256-4.
  47. ↑ كاردار، مهران (2007). الفيزياء الإحصائية للجسيمات . مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 107-110 ، 181-184 . ISBN  978-0-521-87342-0. OCLC 860391091 . 
  48. ↑ كاميرون، بيتر ج. (1994). "2.4: مراتب الحجم". التوافقية: مواضيع، تقنيات، خوارزميات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 12-14 . ISBN  978-0-521-45133-8.
  49. ↑ ماغنوس، روبرت (2020). "11.10: تقريب ستيرلينغ" . التحليل الرياضي الأساسي . سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية. تشام: سبرينغر. ص 391. doi : 10.1007/978-3-030-46321-2 . ISBN  978-3-030-46321-2. MR 4178171 . S2CID 226465639 .  
  50. ↑ بالمر، إدغار م. (1985). "الملحق الثاني: صيغة ستيرلينغ". التطور البياني: مقدمة لنظرية الرسوم البيانية العشوائية . سلسلة وايلي-إنترساينس في الرياضيات المتقطعة. تشيتشستر: جون وايلي وأولاده. ص 127-128 . ISBN  0-471-81577-2MR 0795795 .​ 
  51. 1 2 3 تشين، تشاو بينغ؛ لين، لونغ (2012). "ملاحظات حول التوسعات التقاربية لدالة غاما" . رسائل الرياضيات التطبيقية . 25 (12): 2322-2326 . doi : 10.1016/j.aml.2012.06.025 . MR 2967837 . 
  52. 1 2 بيلر، ألبرت هـ. (1966). تسليات في نظرية الأعداد: ملكة الرياضيات تُسلّي . سلسلة دوفر للرياضيات الترفيهية ( الطبعة الثانية). مؤسسة كورير. ص 49. ISBN   978-0-486-21096-4.
  53. ↑ شفاتال 2021 . “1.4: صيغة ليجيندر”. ص 6-7.
  54. 1 2 روبرت، آلان م. (2000). "3.1: الـص{\displaystyle p}التقييم الأدي للمضروب. دورة فيص{\displaystyle p}التحليل -adic . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 198. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 241-242 . doi : 10.1007/978-1-4757-3254-2 . ISBN  0-387-98669-3MR 1760253​​ 
  55. ^ بيتجن، هاينز أوتو ؛ الأماكن القريبة : سوبي، ديتمار (2004). “نتيجة كومر وهوية ليجيندر”. الفوضى والفركتلات: حدود جديدة للعلوم . نيويورك: سبرينغر. ص 399 – 400. دوى : 10.1007 / b97624 . رقم ISBN  978-1-4684-9396-2.
  56. ↑ ألادي، كريشناسوامي ؛ غرينستيد، تشارلز (1977). "حول تحليل n! إلى قوى أولية" . مجلة نظرية الأعداد . 9 (4): 452-458 . doi : 10.1016/0022-314x(77)90006-3 .
  57. 1 2 كوشي، توماس (2007). "مثال 3.12" . نظرية الأعداد الأولية مع التطبيقات ( الطبعة الثانية). إلسيفير. ص 178. ISBN   978-0-08-054709-1.
  58. ↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A027868 (عدد الأصفار اللاحقة في n!؛ أعلى قوة للعدد 5 تقسم n!)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.  
  59. ↑ دياكونيس، بيرسي (1977). "توزيع الأرقام الرائدة والتوزيع المنتظم بتردد 1" . حوليات الاحتمالات . 5 (1): 72-81 . doi : 10.1214/aop/1176995891 . MR 0422186 . 
  60. ↑ بيرد، آر إس ( 1972). "الأعداد الصحيحة ذات الأرقام الأولية المعطاة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 79 (4): 367-370 . doi : 10.1080/00029890.1972.11993051 . JSTOR 2978087. MR 0302553 .  
  61. ↑ كيمبنر، أ. ج. (1918). "متفرقات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 25 (5): 201-210 . doi : 10.2307/2972639 . JSTOR 2972639 . 
  62. ↑ إردوش، بول ؛ كستاناس، إلياس (1994). "أصغر مضروب هو من مضاعفات n (حل المسألة 6674)" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 101 : 179. doi : 10.2307/2324376 . JSTOR 2324376 . .
  63. 1 2 3 بهارجافا، مانجول (2000). "دالة المضروب وتعميماتها" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 107 (9): 783-799 . CiteSeerX 10.1.1.585.2265 . doi : 10.2307/2695734 . JSTOR 2695734 .  
  64. ↑ جاي 2004. "B23: نواتج متساوية للمضروب". ص 123.
  65. ↑ لوكا، فلوريان (2007). " حول المضروب الذي هو حاصل ضرب مضروبين". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج الرياضية . 143 (3): 533-542 . Bibcode : 2007MPCPS.143..533L . doi : 10.1017/S0305004107000308 . MR 2373957. S2CID 120875316 .  
  66. 1 2 ديفيس، فيليب ج. (1959). " تكامل ليونارد أويلر: لمحة تاريخية عن دالة غاما" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 66 (10): 849-869 . doi : 10.1080/00029890.1959.11989422 . JSTOR 2309786. MR 0106810. مؤرشف من الأصل في 2023-01-01 . تم الاسترجاع في 2021-12-20 .  
  67. 1 2 بورواين، جوناثان م .؛ كورليس، روبرت م. (2018). "غاما والمضروب في الشهر ". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 125 (5): 400-424 . arXiv : 1703.05349 . doi : 10.1080 / 00029890.2018.1420983 . MR 3785875. S2CID 119324101 .  
  68. ↑ ريمرت، راينهولد (1996). "نظرية ويلاندت حولΓ{\displaystyle \Gamma }-function " . The American Mathematical Monthly . 103 (3): 214–220 . doi : 10.1080/00029890.1996.12004726 . JSTOR 2975370. MR 1376175 .  
  69. ^ هادامارد، ج. (1968) [1894]. "Sur l'expression du produit 1·2·3· · · · ·( n −1) par une fonction entière" (PDF) . Œuvres de Jacques Hadamard (بالفرنسية). باريس: المركز الوطني للبحوث العلمية.
  70. ^ الزر ، هورست (2009). “خاصية فائقة الإضافة لوظيفة جاما لهادامارد”. Abhandlungen aus dem Mathatischen Seminar der Universität هامبورغ . 79 (1): 11– 23. دوى : 10.1007 / s12188-008-0009-5 . السيد 2541340 . S2CID 123691692 .  
  71. ↑ روبرت 2000. "7.1: دالة غاماΓص{\displaystyle \Gamma _{p}}". ص 366–385.
  72. ↑ روس، بيرترام (1978). " دالة بسي". مجلة الرياضيات . 51 (3): 176-179 . doi : 10.1080/0025570X.1978.11976704 . JSTOR 2689999. MR 1572267 .  
  73. ↑ براس، تشارلز هنري؛ براس، كورين بيليلو (2014). إحصاءات مفهومة: مفاهيم وأساليب ( الطبعة الحادية عشرة). سينجايج ليرنينج. ص 182. ISBN   978-1-305-14290-9.
  74. ↑ "الرياضيات - الدوال الرياضية" . وثائق بايثون 3: مكتبة بايثون القياسية . تم الاطلاع بتاريخ 21-12-2021 .
  75. ↑ "العاملي" . توثيق Boost 1.78.0: الدوال الرياضية الخاصة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-12-2021 .
  76. ↑ أديس، توم؛ أديس، جان (2009). برامج الرسم: نظرية وممارسة البرمجة الوظيفية التخطيطية . سبرينغر. ص 149-150 . ISBN  978-1-84882-618-2.
  77. ↑ تشابمان، ستيفن ج. (2019). "مثال 5.2: دالة المضروب" . برمجة MATLAB للمهندسين ( الطبعة السادسة). سينجايج ليرنينج. ص 215. ISBN   978-0-357-03052-3.
  78. ↑ هاي، توني؛ باباي، جيوري (2014). عالم الحوسبة: رحلة عبر ثورة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 64. ISBN  9781316123225.
  79. ↑ بولبواكا، ألكساندرو (2019). البرمجة الوظيفية العملية باستخدام لغة C++: دليل فعال لكتابة كود وظيفي مُسرّع باستخدام C++17 وC++20 . دار نشر Packt. ص 188. ISBN  978-1-78980-921-3.
  80. ↑ غراي، جون دبليو. (2014). إتقان ماثيماتيكا: أساليب البرمجة والتطبيقات . دار النشر الأكاديمية. ص 233-234 . ISBN  978-1-4832-1403-0.
  81. ↑ تورا، فيسينس (2016). سكالا من منظور البرمجة الوظيفية: مقدمة إلى لغة البرمجة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 9980. سبرينغر. ص 96. ISBN   978-3-319-46481-7.
  82. ↑ سوسمان، جيرالد جاي (1982). "ليسب، البرمجة، والتنفيذ". البرمجة الوظيفية وتطبيقاتها: دورة متقدمة . دورات كريست المتقدمة. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 29-72 . ISBN  978-0-521-24503-6.انظر على وجه الخصوص الصفحة 34 .
  83. ↑ تشودري، رانجان (يونيو 2003). "هل تُنفَّذ العمليات الحسابية فعلاً في وقت ثابت؟". نشرة ACM SIGCSE . 35 (2). رابطة آلات الحوسبة: 43-44 . doi : 10.1145/782941.782977 . S2CID 13629142 . 
  84. 1 2 فيتمان، ريتشارد ج. (11 أبريل 2006). "تعليقات على البرامج العاملية" (ملف PDF) . جامعة كاليفورنيا، بيركلي.
  85. 1 2 وينكلر، يورغن إف إتش؛ كاور، ستيفان (مارس 1997). "إثبات الادعاءات مفيد أيضًا" . إشعارات ACM SIGPLAN . 32 (3). رابطة آلات الحوسبة: 38-41 . doi : 10.1145/251634.251638 . S2CID 17347501 . 
  86. 1 2 بورواين، بيتر ب. (1985). "حول تعقيد حساب المضروب". مجلة الخوارزميات . 6 (3): 376-380 . doi : 10.1016/0196-6774(85)90006-9 . MR 0800727 . 
  87. ^ هارفي ، ديفيد. فان دير هوفن، يوريس (2021). "ضرب الأعداد الصحيحة في الوقت المناسبيا(نسجل⁡ن){\displaystyle O(n\log n)}( ملف PDF) . حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 193 (2): 563-617 . doi : 10.4007/annals.2021.193.2.4 . MR 4224716. S2CID 109934776 .  
  88. ↑ أرندت، يورغ (2011). "34.1.1.1: حساب المضروب". مسائل حسابية: أفكار، خوارزميات، شفرة مصدرية (ملف PDF) . سبرينغر. ص 651-652 . انظر أيضًا "34.1.5: الأداء"، الصفحات 655-656.
  89. 1 2 شونهاج، أرنولد (1994). خوارزميات سريعة : تنفيذ آلة تورينج متعددة الأشرطة BI Wissenchaftsverlag. ص. 226. 
  90. ↑ جاي 2004. "B43: المجاميع المتناوبة للمضروب". ص 152-153.
  91. 1 2 كالان، ديفيد (2009). "دراسة توافقية للهويات الخاصة بالعامل المزدوج". arXiv : 0906.1317 [ math.CO ].
  92. ↑ ميسيرف، بي إي (1948). " ملاحظات صفية: المضروب المزدوج". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 55 (7): 425-426 . doi : 10.2307/2306136 . JSTOR 2306136. MR 1527019 .  
  93. ↑ ميزي، بول ج. (2009). "بعض مشاكل الأبعاد في قواعد البيانات الجزيئية". مجلة الكيمياء الرياضية . 45 (1): 1-6 . doi : 10.1007/s10910-008-9365-8 . S2CID 120103389 . .
  94. ↑ ديل، إم آر تي؛ مون، جيه دبليو (1993). "النظائر المتبادلة لثلاث مجموعات كاتالانية". مجلة التخطيط والاستدلال الإحصائي . 34 (1): 75-87 . doi : 10.1016/0378-3758(93)90035-5 . MR 1209991 . .
  95. ^ لوكا، فلوريان ؛ ماركيز، دييغو (2010). "القوى المثالية في الوظيفة التلخيصية لبرج الطاقة" . جورنال دي Théorie des Nombres de Bordeaux . 22 (3): 703-718 . دوى : 10.5802/jtnb.740 . السيد 2769339 . 
  96. ^ جراهام ونوث وباتاشنيك 1988 ، ص. x، 47–48.
  97. ↑ ساغان، بروس إي. (2020). "النظرية 1.2.1" . التوافقية: فن العد . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد 210. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 5. ISBN   978-1-4704-6032-7MR 4249619 .​ 
  98. ↑ هاردي، جي إتش (1921). "أمثلة 45" . دورة في الرياضيات البحتة ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 215.  
  99. ↑ دالي، دي جيه؛ فير-جونز، دي. (1988). "5.2: العزوم العاملية، والتراكمات، وعلاقات الدوال المولدة للتوزيعات المنفصلة" . مقدمة في نظرية العمليات النقطية . سلسلة سبرينغر في الإحصاء. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 112. ISBN  0-387-96666-8MR 0950166 .​ 
  100. ↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A002109 (المضروب الفائق: حاصل ضرب k = 1..n) k^k" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.  
  101. ^ كينكلين، هـ. (1860). "Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechung" [ حول الاختلاف التجاوزي لدالة جاما وتطبيقها على حساب التفاضل والتكامل ] . Journal für die reine und angewandte Mathematik (باللغة الألمانية). 1860 (57): 122–138 . دوى : 10.1515/crll.1860.57.122 . S2CID 120627417 . 
  102. ↑ غليشر، جيه دبليو إل (1877). "حول حاصل ضرب 1 1 .2 2 .3 3 ... n n " . رسول الرياضيات . 7 : 43-47 .
  103. ↑ أيبي، كريستيان؛ كيرنز، غرانت (2015). "تعميمات لنظرية ويلسون للمضروب المزدوج، والمضروب الفائق، والمضروب الفرعي، والمضروب الفائق". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 122 (5): 433-443 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433 . MR 3352802. S2CID 207521192 .   
  104. ↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A001013 (أعداد جوردان-بوليا: نواتج أعداد مضروبة)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.  
  105. ↑ نيلسون، راندولف (2020). رحلة موجزة في الرياضيات المتقطعة . تشام: سبرينغر. ص 127. doi : 10.1007/978-3-030-37861-5 . ISBN  978-3-030-37861-5. MR 4297795 . S2CID 213895324 .  
  106. ↑ بارنز، إي دبليو (1900). "نظرية الدالة G " . المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 31 : 264-314 . JFM 30.0389.02 . 
  107. ↑ كنوت، دونالد (1997). الخوارزميات الأساسية . فن برمجة الحاسوب . المجلد 1 ( الطبعة الثالثة). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي بروفيشنال. ص 48.