المقسوم عليه

في الرياضيات ، قاسم العدد الصحيح${\displaystyle n,}$ويسمى أيضًا عامل من عوامل${\displaystyle n,}$هو عدد صحيح${\displaystyle m}$يمكن ضرب ذلك في عدد صحيح ما لإنتاج${\displaystyle n.}$^{[ 1 ]} في هذه الحالة، يقول المرء أيضًا أن${\displaystyle n}$هو مضاعف لـ${\displaystyle m.}$عدد صحيح${\displaystyle n}$يقبل القسمة أو يقبل القسمة بالتساوي على عدد صحيح آخر${\displaystyle m}$لو${\displaystyle m}$هو قاسم لـ${\displaystyle n}$وهذا يعني التقسيم${\displaystyle n}$بواسطة${\displaystyle m}$لا يترك أي بقايا.

يتم توسيع مفهوم القاسم، بنفس التعريف، ليشمل عناصر أي حلقة ؛ انظر قابلية القسمة (نظرية الحلقة) .

عدد صحيح${\displaystyle n}$يقبل القسمة على عدد صحيح غير صفري${\displaystyle m}$إذا كان هناك عدد صحيح${\displaystyle k}$بحيث${\displaystyle n=km.}$هذا مكتوب على النحو التالي:

${\displaystyle m\mid n.}$

يمكن قراءة هذا على أنه ذلك${\displaystyle m}$يقسم${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$هو قاسم لـ${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$هو عامل من عوامل${\displaystyle n,}$أو${\displaystyle n}$هو مضاعف لـ${\displaystyle m.}$لو${\displaystyle m}$لم ينقسم${\displaystyle n,}$ثم يكون الترميز${\displaystyle m\not \mid n.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

هناك اتفاقيتان، يتم التمييز بينهما بناءً على ما إذا كانتا${\displaystyle m}$يُسمح بأن تكون القيمة صفرًا:

• مع الاتفاقية دون قيد إضافي على${\displaystyle m,}$${\displaystyle m\mid 0}$لكل عدد صحيح${\displaystyle m.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}
• مع الاتفاق على أن${\displaystyle m}$أن يكون غير صفري،${\displaystyle m\mid 0}$لكل عدد صحيح غير صفري${\displaystyle m.}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

يمكن أن تكون القواسم سالبة أو موجبة، مع أن المصطلح يُستخدم غالبًا للإشارة إلى القواسم الموجبة فقط. على سبيل المثال، هناك ستة قواسم للعدد 4؛ وهي: 1، 2، 4، -1، -2، و-4، ولكن عادةً ما تُذكر القواسم الموجبة فقط (1، 2، و4).

العددان 1 و -1 يقسمان كل عدد صحيح. كل عدد صحيح (ونفيه) قاسم لنفسه. الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على 2 تُسمى أعدادًا زوجية ، والأعداد الصحيحة التي لا تقبل القسمة على 2 تُسمى أعدادًا فردية .

1، -1،${\displaystyle n}$و${\displaystyle -n}$تُعرف باسم القواسم التافهة لـ${\displaystyle n.}$قاسم لـ${\displaystyle n}$يُعرف العدد الذي ليس قاسمًا تافهًا بالقاسم غير التافه (أو القاسم الصارم ^{[ 6 ]} ). يُعرف العدد الصحيح غير الصفري الذي له قاسم واحد على الأقل غير تافه بالعدد المركب ، بينما لا تحتوي الآحاد -1 و1 والأعداد الأولية على أي قواسم غير تافهة.

توجد قواعد قابلية القسمة التي تسمح للمرء بالتعرف على قواسم معينة لعدد ما من خلال أرقام ذلك العدد.

• 7 قاسم للعدد 42 لأن${\displaystyle 7\times 6=42,}$لذا يمكننا أن نقول${\displaystyle 7\mid 42.}$ويمكن القول أيضاً أن 42 يقبل القسمة على 7، أو أن 42 من مضاعفات 7، أو أن 7 يقسم 42، أو أن 7 عامل من عوامل 42.
• القواسم غير التافهة للعدد 6 هي 2، -2 ، 3 ، -3.
• القواسم الموجبة للعدد 42 هي 1، 2، 3، 6، 7، 14، 21، 42.
• مجموعة جميع القواسم الموجبة للعدد 60 ،${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$مرتبة جزئياً حسب قابلية القسمة، ولها مخطط هاس :

هناك بعض القواعد الأساسية:

• لو${\displaystyle a\mid b}$و${\displaystyle b\mid c,}$ثم${\displaystyle a\mid c;}$أي أن قابلية القسمة هي علاقة متعدية .
• لو${\displaystyle a\mid b}$و${\displaystyle b\mid a,}$ثم${\displaystyle a=b}$أو${\displaystyle a=-b.}$(إنه،${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هم شركاء .
• لو${\displaystyle a\mid b}$و${\displaystyle a\mid c,}$ثم${\displaystyle a\mid (b+c)}$ينطبق، كما هو الحال${\displaystyle a\mid (bc).}$^{[ أ ]} ومع ذلك، إذا${\displaystyle a\mid b}$و${\displaystyle c\mid b,}$ثم${\displaystyle (a+c)\mid b}$لا ينطبق هذا دائماً (على سبيل المثال،${\displaystyle 2\mid 6}$و${\displaystyle 3\mid 6}$لكن 5 لا يقسم 6).
• ${\displaystyle a\mid b\iff ac\mid bc}$لغير الصفر${\displaystyle c}$وهذا يتبع مباشرة من الكتابة${\displaystyle ka=b\iff kac=bc}$.

لو${\displaystyle a\mid bc,}$و${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$ثم${\displaystyle a\mid c.}$^{[ ب ]} هذا ما يسمى بـ"معضلة إقليدس".

لو${\displaystyle p}$هو عدد أولي و${\displaystyle p\mid ab}$ثم${\displaystyle p\mid a}$أو${\displaystyle p\mid b.}$

قاسم موجب لـ${\displaystyle n}$وهذا يختلف عن${\displaystyle n}$يُطلق عليه اسمقاسم مناسب أوجزء من${\displaystyle n}$(على سبيل المثال، القواسم الصحيحة للعدد 6 هي 1 و2 و3). العدد الذي لا يقسم بالتساوي${\displaystyle n}$لكن يترك باقياً يُطلق عليه أحياناً اسمجزء جانبي من${\displaystyle n.}$

عدد صحيح${\displaystyle n>1}$العدد الذي قاسمه الوحيد هو 1 يُسمى عددًا أوليًا . وبصورة مكافئة، العدد الأولي هو عدد صحيح موجب له عاملان موجبان فقط: 1 ونفسه.

أي قاسم موجب لـ${\displaystyle n}$هو ناتج قسمة قواسم أولية لـ${\displaystyle n}$، كل منها مرفوع إلى قوة معينة. هذه نتيجة لنظرية الحساب الأساسية .

رقم${\displaystyle n}$يُقال إن العدد كامل إذا كان يساوي مجموع قواسمه الحقيقية، وناقص إذا كان مجموع قواسمه الحقيقية أقل من${\displaystyle n,}$ويكون وفيراً إذا تجاوز هذا المجموع${\displaystyle n.}$

إجمالي عدد القواسم الموجبة لـ${\displaystyle n}$هي دالة ضربية${\displaystyle d(n),}$بمعنى أنه عندما يكون عددان${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$إذا كانت أعدادًا أولية نسبيًا ، فإن${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$على سبيل المثال،${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$القواسم الثمانية للعدد 42 هي 1، 2، 3، 6، 7، 14، 21، و42. مع ذلك، فإن عدد القواسم الموجبة ليس دالة ضربية بحتة: إذا كان العددان${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$إذا كان لكل منهما قاسم مشترك، فقد لا يكون صحيحًا أن${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$مجموع القواسم الموجبة لـ${\displaystyle n}$هي دالة ضربية أخرى${\displaystyle \sigma (n)}$(على سبيل المثال،${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$). كلتا هاتين الدالتين مثالان على دوال القسمة .

إذا كان التحليل إلى العوامل الأولية لـ${\displaystyle n}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

ثم عدد القواسم الموجبة لـ${\displaystyle n}$يكون

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

ولكل قاسم شكل

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

أين${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$لكل${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

لكل طبيعي${\displaystyle n,}$${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

أيضًا، ^{[ 7 ]}

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني . أحد تفسيرات هذه النتيجة هو أن العدد الصحيح الموجب n المختار عشوائيًا له متوسط ​​عدد من القواسم يبلغ حوالي${\displaystyle \ln n.}$ومع ذلك، فإن هذه نتيجة لمساهمات الأعداد ذات القواسم "العديدة بشكل غير طبيعي" .

في التعريفات التي تسمح بأن يكون المقسوم عليه صفرًا، فإن علاقة قابلية القسمة تحول المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$يُقسّم هذا النموذج الأعداد الصحيحة غير السالبة إلى مجموعة مرتبة جزئيًا تُشكّل شبكة توزيعية كاملة . أكبر عنصر في هذه الشبكة هو 0 وأصغرها هو 1. تُعطى عملية التقاطع ∧ بالقاسم المشترك الأكبر، وعملية الربط ∨ بالمضاعف المشترك الأصغر . هذه الشبكة متماثلة مع الشبكة الثنائية لشبكة الزمر الجزئية للمجموعة الدورية اللانهائية Z.

• الدوال الحسابية
• خوارزمية إقليدية
• الكسور (الرياضيات)
• تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية
• جدول القواسم – جدول القواسم الأولية وغير الأولية للأعداد من 1 إلى 1000
• جدول العوامل الأولية – جدول العوامل الأولية للأعداد من 1 إلى 1000
• قاسم الوحدة