دالة القاسم

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الأعداد ، دالة القواسم هي دالة حسابية تتعلق بقواسم عدد صحيح . فعند الإشارة إليها بدالة القواسم، فإنها تحسب عدد قواسم العدد الصحيح (بما في ذلك 1 والعدد نفسه). وتظهر هذه الدالة في عدد من المتطابقات المهمة، بما في ذلك العلاقات المتعلقة بدالة زيتا لريمان ومتسلسلة أيزنشتاين للأشكال النمطية . وقد درس رامانوجان دوال القواسم ، وقدم عددًا من التطابقات والمتطابقات الهامة ؛ والتي تُناقش بشكل منفصل في مقال " مجموع رامانوجان" .

ومن الدوال ذات الصلة دالة جمع القواسم ، والتي، كما يوحي الاسم، هي عبارة عن مجموع على دالة القواسم.

دالة مجموع القواسم الموجبة σ _z ( n )، لعدد حقيقي أو مركب z ، تُعرَّف بأنها مجموع القوى z للقواسم الموجبة للعدد n . ويمكن التعبير عنها باستخدام رمز سيجما كما يلي :

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

أين${\displaystyle {d\mid n}}$يُستخدم اختصارًا لعبارة " d يقسم n ". كما تُستخدم الرموز d ( n ) و ν ( n ) و τ ( n ) (اختصارًا للكلمة الألمانية Teiler التي تعني القواسم) للدلالة على σ₀ ₍ n )، أو دالة عدد القواسم ^{[ 1 ] [ 2 ]} ( OEIS : A000005  ). عندما تكون قيمة z تساوي 1، تُسمى الدالة دالة سيجما أو دالة مجموع القواسم ^{[ 1 ] [ 3 ]} ، وغالبًا ما يُحذف الرمز السفلي، لذا فإن σ ( n ) هي نفسها σ₁ ₍ n ) ( OEIS : A000203  ).

مجموع الأجزاء s ( n ) من n هو مجموع القواسم المناسبة (أي القواسم باستثناء n نفسه، OEIS : A001065  )، ويساوي σ ₁ ( n ) − n ؛ يتم تشكيل تسلسل الأجزاء من n عن طريق تطبيق دالة مجموع الأجزاء بشكل متكرر.  

على سبيل المثال، σ ₀ (12) هو عدد قواسم العدد 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

بينما σ ₁ (12) هو مجموع جميع القواسم:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

ومجموع الأجزاء s(12) للقواسم الصحيحة هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

يُطلق على σ ₋₁ ( n ) أحيانًا اسم مؤشر وفرة n ، ولدينا:

$\displaystyle \begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\[6pt]&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$

تم إدراج الحالات x = 2 إلى 5 في OEIS : A001157  إلى OEIS : A001160  ، وتم إدراج الحالات x = 6 إلى 24 في OEIS : A013954  إلى OEIS : A013972  .

متسلسلتان من متسلسلات ديريشليه تتضمنان دالة القاسم هما: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1+\max\{\Re (a),0\},}$

أين${\displaystyle \zeta }$هي دالة زيتا لريمان . وتعطي المتسلسلة الخاصة بـ d ( n )  = σ₀ ( n ) ما يلي _: ^{[ 9 ]} 

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1,}$

وهوية رامانوجان ^{[ 10 ]}​

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

وهو حالة خاصة من عملية الالتفاف رانكين-سيلبرغ .

متسلسلة لامبرت التي تتضمن دالة القاسم هي: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Li} _{-a}(q^{n})}$

لأي عدد مركب | q |  ≤  1 و a ( ${\displaystyle \operatorname {Li} }$(اللوغاريتم المتعدد ). يظهر هذا المجموع أيضًا على شكل متسلسلة فورييه لمتسلسلة أيزنشتاين وثوابت دوال فايرشتراس الإهليلجية .

ل${\displaystyle k>0}$يوجد تمثيل متسلسل صريح باستخدام مجاميع رامانوجان${\displaystyle c_{m}(n)}$كما يلي  : ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

حساب الحدود الأولى من${\displaystyle c_{m}(n)}$يُظهر تذبذباته حول "القيمة المتوسطة".${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$:

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

في تدوين little-o ، تحقق دالة القاسم المتباينة التالية: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

وبشكل أدق، أظهر سيفيرين ويغيرت ما يلي: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2,}$

تم التواصل معه من قبل${\displaystyle n}$أخذ الأعداد الأولية منذ

${\displaystyle p_{k}\#=e^{(1+o(1))k\log k}.}$^{[ 15 ]}

من ناحية أخرى، بما أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية ، ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

في تدوين Big-O ، أظهر بيتر جوستاف ليجون ديريشليت أن متوسط ​​رتبة دالة القاسم يحقق المتباينة التالية: ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت غاما لأويلر . تحسين الحد${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$تُعرف هذه الصيغة باسم مسألة قاسم ديريشليه .

سلوك دالة سيجما غير منتظم. ويمكن التعبير عن معدل النمو التقاربي لدالة سيجما بالمعادلة التالية: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

حيث lim sup هي النهاية العليا . هذه النتيجة هي نظرية غرونوال ، التي نُشرت عام 1913 ( غرونوال 1913 ) . يستخدم برهانه نظرية ميرتنز الثالثة ، التي تنص على ما يلي:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

حيث يرمز p إلى عدد أولي. وقد أثبت غرونوال أيضًا أن

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{a}}}=\zeta (a),\quad a>1,}$

أين${\displaystyle \zeta }$هي دالة زيتا لريمان .

في عام 1915، أثبت رامانوجان أنه في ظل افتراض فرضية ريمان ، فإن متباينة روبن

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$(حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني )

ينطبق هذا على جميع قيم n الكبيرة بما فيه الكفاية ( رامانوجان، 1997 ) . أكبر قيمة معروفة تُخالف هذه المتباينة هي n = 5040. ^{[ 19 ]} في عام 1984، أثبت جاي روبن أن هذه المتباينة صحيحة لجميع قيم n > 5040 إذا وفقط إذا كانت فرضية ريمان صحيحة ( روبن، 1984 ) . تُعرف هذه النظرية باسم نظرية روبن، وقد عُرفت المتباينة باسمه. علاوة على ذلك، بيّن روبن أنه إذا كانت فرضية ريمان خاطئة، فسيكون هناك عدد لا نهائي من قيم n التي تُخالف هذه المتباينة، ومن المعروف أن أصغر قيمة n > 5040 من هذا النوع يجب أن تكون وفيرة للغاية ( أكبري وفريغستاد ، 2009 ) . لقد ثبت أن المتباينة صحيحة للأعداد الفردية الكبيرة والأعداد الصحيحة الخالية من المربعات، وأن فرضية ريمان تعادل المتباينة فقط بالنسبة لـ n القابل للقسمة على القوة الخامسة لعدد أولي ( Choie et al. 2007 ) .

كما أثبت روبن، بشكل قاطع، أن المتباينة:

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

ينطبق هذا على جميع قيم n ≥ 3.

وقدّم جيفري لاغارياس في عام 2002 حداً ذا صلة، حيث أثبت أن فرضية ريمان تعادل العبارة التالية:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

لكل عدد طبيعي n > 1، حيث${\displaystyle H_{n}}$هو العدد التوافقي رقم n ، ( لاغارياس 2002 ) .

• تتضمن قائمة عمليات الالتفاف لمجموع القواسم بعض المتطابقات التي تتضمن دوال القواسم.
• دالة أويلر ، دالة أويلر فاي
• عدد قابل لإعادة الهيكلة
• جدول القواسم
• قاسم الوحدة

• أكبري، أمير؛ فريغستاد، زاكاري (2009)، "الأعداد الوفيرة وفرضية ريمان" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 116 (3): 273-275 ، doi : 10.4169/193009709X470128 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 11 أبريل 2014.
• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• باخ، إريك ؛ شاليت، جيفري ، نظرية الأعداد الخوارزمية ، المجلد 1، 1996، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 0-262-02405-5انظر الصفحة 234 في القسم 8.8.
• كافيني، جيفري؛ نيكولاس، جان لويس ؛ سوندو، جوناثان (2011)، "نظرية روبن، والأعداد الأولية، وإعادة صياغة أولية جديدة لفرضية ريمان" (ملف PDF) ، مجلة الأعداد الصحيحة: المجلة الإلكترونية لنظرية الأعداد التوافقية ، 11 : A33، arXiv : 1110.5078 ، Bibcode : 2011arXiv1110.5078C
• الأماكن القريبة : ليتشاردوبول، نيكولاس؛ موري, بيتر ; سولي، باتريك (2007)، “حول معيار روبن لفرضية ريمان”، Journal de théorie des nombres de Bordeaux ، 19 (2): 357–372 ، أرخايف : math.NT/0604314 ، دوى : 10.5802/jtnb.591 ، ISSN 1246-7405 ، MR 2394891 ، S2CID 3207238 ، زبل 1163.11059    
• جويا، أ.أ.؛ فايديا، أ.م. (1967)، "الأعداد الودية ذات التكافؤ المعاكس"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 74 (8): 969-973 ، doi : 10.2307/2315280 ، JSTOR 2315280 ، MR 0220659  
• غرونوال، توماس هاكون (1913)، "بعض التعبيرات التقاربية في نظرية الأعداد"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 14 (1): 113-122 ، doi : 10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
• هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (2008) [1938]، مقدمة في نظرية الأعداد ، مراجعة دي آر هيث براون وجيه إتش سيلفرمان . مقدمة بقلم أندرو وايلز . (  الطبعة السادسة)، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-921986-5، MR 2445243 ، Zbl 1159.11001  
• إيفيتش، ألكسندر (1985)، دالة زيتا لريمان: نظرية دالة زيتا لريمان مع تطبيقاتها ، منشورات وايلي-إنترساينس، نيويورك وغيرها: جون وايلي وأولاده، الصفحات 385-440 ، رقم ISBN  0-471-80634-X، Zbl 0556.10026 
• لاغارياس، جيفري سي. (2002)، "مسألة أولية مكافئة لفرضية ريمان"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 109 (6): 534-543 ، arXiv : math/0008177 ، doi : 10.2307/2695443 ، ISSN 0002-9890 ، JSTOR 2695443 ، MR 1908008 ، S2CID 15884740    
• لونغ، كالفن ت. (1972)، مقدمة تمهيدية لنظرية الأعداد (  الطبعة الثانية)، ليكسينغتون: دي سي هيث وشركاه ، LCCN 77171950 
• بيتوفريزو، أنتوني جيه؛ بيركيت، دونالد آر (1970)، عناصر نظرية الأعداد ، إنجلوود كليفس: برنتيس هول ، LCCN 77081766 
• رامانوجان، سرينيفاسا (1997)، "الأعداد المركبة للغاية، مع تعليقات جان لويس نيكولاس وغاي روبن"، مجلة رامانوجان ، 1 (2): 119-153 ، doi : 10.1023/A:1009764017495 ، ISSN 1382-4090 ، MR 1606180 ، S2CID 115619659   
• Robin، Guy (1984)، “Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et Hypothèse de Riemann”، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ، سلسلة جديدة، 63 (2): 187–213 ، ISSN 0021-7824 ، MR 0774171  
• ويليامز، كينيث س. (2011)، نظرية الأعداد على نهج ليوفيل ، نصوص طلابية من الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  76، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-17562-3، Zbl 1227.11002 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة القاسم" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية روبن" . عالم الرياضيات .
• التقييم الأولي لبعض مجاميع الالتفاف التي تتضمن دوال القواسم (ملف PDF) لورقة بحثية من تأليف هوارد، أو، سبيرمان، وويليامز. يحتوي الملف على براهين أولية (أي لا تعتمد على نظرية الأشكال النمطية) لعمليات الالتفاف لمجاميع القواسم، وصيغ لعدد طرق تمثيل عدد ما كمجموع أعداد مثلثية، ونتائج ذات صلة.