دالة جمع القواسم

في نظرية الأعداد ، دالة جمع القواسم هي دالة تمثل مجموع دالة القواسم . وتظهر هذه الدالة بكثرة في دراسة السلوك التقاربي لدالة زيتا لريمان . وتُسمى الدراسات المختلفة لسلوك دالة القواسم أحيانًا بمسائل القواسم .

تُعرَّف دالة جمع القواسم على النحو التالي:

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$

أين

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1}$

دالة القسمة هي دالة حساب عدد الطرق التي يمكن بها كتابة العدد الصحيح n كحاصل ضرب عددين صحيحين. وبشكل أعم، تُعرَّف دالة القسمة على النحو التالي:

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$

حيث يُمثل dk ₍ n ) عدد الطرق التي يمكن بها كتابة n كحاصل ضرب k عددًا. يمكن تصور هذه الكمية على أنها عدد نقاط الشبكة المحاطة بسطح زائدي في k بُعد. بالتالي، بالنسبة لـ k = 2، فإن D ( x ) = D2 ( x ) يُمثل عدد النقاط على شبكة مربعة محددة من اليسار بالمحور الرأسي، ومن الأسفل بالمحور الأفقي، ومن الأعلى إلى اليمين بالقطع الزائد jk = x _. تقريبًا، يمكن تصور هذا الشكل على أنه مُبسط زائدي . هذا يسمح لنا بتقديم تعبير بديل لـ D ( x )، وطريقة بسيطة لحسابه في  ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$وقت:

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}$، أين${\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }$

إذا تم استبدال القطع الزائد في هذا السياق بدائرة، فإن تحديد قيمة الدالة الناتجة يُعرف باسم مشكلة دائرة جاوس .

متتالية D ( n ) (المتتالية A006218 في OEIS ) : 0، 1، 3، 5، 8، 10، 14، 16، 20، 23، 27، 29، 35، 37، 41، 45، 50، 52، 58، 60، 66، 70، 74، 76، 84، 87، 91، 95، 101، 103، 111، ...

يبدو أن إيجاد صيغة مغلقة لهذا التعبير المجموع يتجاوز التقنيات المتاحة، ولكن من الممكن تقديم تقريبات. ويُعطى السلوك الرئيسي للمتسلسلة بواسطة

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني ، وحد الخطأ هو

${\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).}$

هنا،${\displaystyle O}$يشير إلى ترميز Big-O . يمكن إثبات هذا التقدير باستخدام طريقة القطع الزائد لـ Dirichlet ، وقد تم إثباته لأول مرة بواسطة Dirichlet في عام 1849. ^{[ 1 ] : 37-38، 69.} تتمثل مشكلة قاسم Dirichlet ، بتعبير أدق، في تحسين حد الخطأ هذا عن طريق إيجاد أصغر قيمة لـ${\displaystyle \theta }$والتي

${\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

ينطبق هذا على الجميع${\displaystyle \epsilon >0}$لا تزال هذه المشكلة دون حل حتى اليوم، وقد كان التقدم بطيئًا. تُجدي العديد من الطرق نفسها في حل هذه المشكلة وفي حل مشكلة دائرة غاوس ، وهي مشكلة أخرى تتعلق بعدّ نقاط الشبكة . يستعرض القسم F1 من كتاب " المشكلات غير المحلولة في نظرية الأعداد" ^{[ 2 ]} ما هو معروف وما هو غير معروف حول هذه المشكلات.

• في عام 1904، أثبت جي. فورونوي أنه يمكن تحسين حد الخطأ إلى${\displaystyle O(x^{1/3}\log x).}$^{[ 3 ] : 381}
• في عام 1916، أظهر جي إتش هاردي أن${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$وعلى وجه الخصوص، أثبت أنه بالنسبة لبعض الثوابت${\displaystyle K}$، توجد قيم كبيرة بشكل تعسفي لـ x والتي${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$وقيم كبيرة تعسفية لـ x والتي${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$[ ^{1 ] : 69​}
• في عام 1922، قام ج. فان دير كوربوت بتحسين معادلة ديريشليه لـ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}$[ ^{3 ] : 381​}
• في عام 1928، أثبت فان دير كوربوت أن${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}}$[ ^{3 ] : 381​}
• في عام 1950، أثبت تشيه تسونغ تاو ، وفي عام 1953 أثبت هي ريشرت بشكل مستقل أن${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...}$[ ^{3 ] : 381​}
• وفي عام 1969، أثبت غريغوري كوليسنيك ذلك${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}}$[ ^{3 ] : 381​}
• في عام 1973، أثبت كوليسنيك أن${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...}$[ ^{3 ] : 381​}
• في عام 1982، أثبت كوليسنيك أن${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}}$[ ^{3 ] : 381​}
• في عام 1988، أثبت كل من إتش. إيوانيك وسي جيه موزوتشي أن${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}}$[ ^{4 ]​}
• في عام 2003، قام إم إن هكسلي بتحسين هذا لإظهار أن${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...}$[ ^{5 ]​}

لذا،${\displaystyle \inf \theta }$تقع القيمة في مكان ما بين 1/4 و131/416 (حوالي 0.3149)؛ ويُعتقد على نطاق واسع أنها 1/4. وتُعزز الأدلة النظرية هذا الاعتقاد، حيث${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$له توزيع حدي (غير غاوسي). ^{[ 6 ]} كما أن قيمة 1/4 ستستنتج من فرضية حول أزواج الأسس . ^{[ 7 ]}

في الحالة العامة، يكون لدى المرء

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

أين${\displaystyle P_{k}}$هي متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle k-1}$باستخدام تقديرات بسيطة، يمكن إثبات ذلك بسهولة.

${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

للأعداد الصحيحة${\displaystyle k\geq 2}$كما في${\displaystyle k=2}$في هذه الحالة، لا يُعرف الحد الأدنى للحدود لأي قيمة من قيم${\displaystyle k}$يُعرف حساب هذه الحدود الدنيا بمسألة قاسم بيلتز، نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني أدولف بيلتز (انظر أيضًا صفحته الألمانية). تحديد الترتيب${\displaystyle \alpha _{k}}$باعتبارها أصغر قيمة والتي${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$يحتفظ، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$، نحصل على النتائج التالية (لاحظ أن${\displaystyle \alpha _{2}}$هو${\displaystyle \theta }$(من القسم السابق):

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$^{[ 8 ]} و ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}$

• يتكهن إي سي تيتشمارش بأن${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

يمكن التعبير عن كلا الجزأين بتحويلات ميلين :

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

ل${\displaystyle c>1}$. هنا،${\displaystyle \zeta (s)}$هي دالة زيتا لريمان . وبالمثل، لدينا

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

مع${\displaystyle 0<c^{\prime }<1}$المصطلح الرئيسي لـ${\displaystyle D(x)}$يتم الحصول على ذلك عن طريق تحريك المحيط متجاوزًا القطب المزدوج عند${\displaystyle w=1}$الحد الرئيسي هو ببساطة الباقي ، وفقًا لصيغة كوشي التكاملية . بشكل عام، يكون لدينا

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

وكذلك بالنسبة لـ${\displaystyle \Delta _{k}(x)}$، ل${\displaystyle k\geq 2}$.

• إتش إم إدواردز ، دالة زيتا لريمان ، (1974) منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-41740-9
• إي سي تيتشمارش، نظرية دالة زيتا لريمان ، (1951) مطبعة كلارندون، أكسفورد. (انظر الفصل 12 لمناقشة مسألة القاسم المعمم)
• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  (يقدم بيانًا تمهيديًا لمسألة قاسم ديريشليه.)
• إتش إي روز. دورة في نظرية الأعداد. ، أكسفورد، 1988.
• إم إن هكسلي (2003) "المجاميع الأسية ونقاط الشبكة III"، وقائع جمعية لندن الرياضية (3)87: 591-609