مسألة دائرة غاوس

في الرياضيات ، تُعرف مسألة دائرة غاوس بأنها مسألة تحديد عدد نقاط الشبكة الصحيحة الموجودة في دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها${\displaystyle r}$يُقارب هذا العدد مساحة الدائرة، لذا تكمن المشكلة الحقيقية في تحديد حد الخطأ بدقة ، والذي يصف الفرق بين عدد النقاط والمساحة. وقد أحرز كارل فريدريش غاوس أول تقدم في هذا المجال ، ومن هنا جاء اسم هذه المسألة.

تخيل دائرة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها${\displaystyle r\geq 0}$تسأل مسألة دائرة جاوس عن عدد النقاط الموجودة داخل هذه الدائرة التي على شكل${\displaystyle (m,n)}$أين${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$كلاهما عددان صحيحان. بما أن معادلة هذه الدائرة معطاة في الإحداثيات الديكارتية بواسطة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$السؤال، بصيغة مكافئة، يسأل عن عدد أزواج الأعداد الصحيحة m و n التي تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

إذا كانت الإجابة لـ${\displaystyle r}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle N(r)}$ثم تعرض القائمة التالية القيم القليلة الأولى من${\displaystyle N(r)}$ل${\displaystyle r}$عدد صحيح بين 0 و12 متبوعًا بقائمة القيم${\displaystyle \pi r^{2}}$مقربة إلى أقرب عدد صحيح:

1، 5، 13، 29، 49، 81، 113، 149، 197، 253، 317، 377، 441 (التسلسل A000328 في OEIS )

0، 3، 13، 28، 50، 79، 113، 154، 201، 254، 314، 380، 452 (التسلسل A075726 في OEIS )

${\displaystyle N(r)}$تقريبًا${\displaystyle \pi r^{2}}$، المساحة داخل دائرة نصف قطرها${\displaystyle r}$وذلك لأن كل مربع وحدة يحتوي في المتوسط ​​على نقطة شبكية واحدة. وبالتالي، فإن العدد الفعلي لنقاط الشبكة في الدائرة يساوي تقريبًا مساحتها.${\displaystyle \pi r^{2}}$لذلك ينبغي أن يكون متوقعاً

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

لبعض حدود الخطأ${\displaystyle E(r)}$ذات قيمة مطلقة صغيرة نسبيًا . إيجاد حد أعلى صحيح لـ${\displaystyle \mid E(r)\mid }$وهكذا يكون شكل المسألة. لاحظ أن${\displaystyle r}$ليس بالضرورة أن يكون عددًا صحيحًا. بعد ${\displaystyle N(4)=49}$يمتلك المرء${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$في هذه الأماكن${\displaystyle E(r)}$زيادة بنسبة${\displaystyle 8,4,8,12}$وبعد ذلك ينخفض ​​(بمعدل${\displaystyle 2\pi r}$) حتى المرة القادمة التي يرتفع فيها.

تمكن غاوس من إثبات ^{[ 1 ]} أنه بالنسبة لـ${\displaystyle r\geq {\sqrt {2}}}$،

${\displaystyle |E(r)-2|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

وجد هاردي ^{[ 2 ]} ، وبشكل مستقل، لاندو، حدًا أدنى من خلال إظهار أن

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

باستخدام رمز o الصغير . يُفترض ^{[ 3 ]} أن الحد الصحيح هو

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

كتابة${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$الحدود الحالية على${\displaystyle t}$نكون

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

مع الحد الأدنى من هاردي ولاندو في عام 1915، والحد الأعلى الذي أثبته مارتن هكسلي في عام 2000. ^{[ 4 ]}

قيمة${\displaystyle N(r)}$يمكن التعبير عنها بعدة متسلسلات. ويمكن التعبير عنها بدلالة مجموع يتضمن دالة الجزء الصحيح كما يلي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

هذا نتيجة لنظرية جاكوبي للمربعين ، والتي تتبع مباشرة تقريبًا من حاصل الضرب الثلاثي لجاكوبي . ^{[ 6 ]}

يظهر مجموع أبسط بكثير إذا كانت دالة مجموع المربعات${\displaystyle r_{2}(n)}$يُعرَّف بأنه عدد طرق كتابة العدد${\displaystyle n}$كمجموع مربعين. ثم ^{[ 7 ]}

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

يعتمد التقدم الأخير على الهوية التالية، والتي اكتشفها هاردي لأول مرة: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

أين${\displaystyle J_{1}}$يرمز إلى دالة بيسل من النوع الأول من الرتبة 1.

على الرغم من أن المسألة الأصلية تطلب إيجاد نقاط شبكية صحيحة داخل دائرة، فلا يوجد ما يمنع النظر في أشكال أخرى، كالأشكال المخروطية مثلاً ؛ بل إن مسألة قاسم ديريشليه هي المسألة المكافئة حيث تُستبدل الدائرة بالقطع الزائد المستطيل . ^{[ 3 ]} وبالمثل، يمكن توسيع نطاق المسألة من بُعدين إلى أبعاد أعلى، وطلب إيجاد نقاط صحيحة داخل كرة أو أشكال أخرى. يوجد العديد من المؤلفات حول هذه المسائل. إذا تجاهلنا الجانب الهندسي واعتبرنا المسألة مسألة جبرية تتعلق بمتباينات ديوفانتية ، فيمكننا حينها زيادة الأسس الظاهرة في المسألة من مربعات إلى مكعبات، أو أكثر.

جهاز قياس المساحة النقطي هو أداة مادية لتقدير مساحة الأشكال بناءً على المبدأ نفسه. يتكون من شبكة مربعة من النقاط، مطبوعة على ورقة شفافة؛ ويمكن تقدير مساحة الشكل بضرب عدد النقاط في الشكل في مساحة مربع الشبكة. ^{[ 9 ]}

• فايستين، إريك دبليو. “مشكلة دائرة غاوس” . عالم الرياضيات .
• ساندرسون، غرانت (19 مايو 2017). "باي مختبئ في انتظام الأعداد الأولية" . 3Blue1Brown .