القيمة المطلقة

لأي عدد حقيقي${\displaystyle x}$، القيمة المطلقة أو معيار${\displaystyle x}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle |x|}$، مع وجود شريط عمودي على كل جانب من جوانب الكمية، ويتم تعريفها على النحو التالي ^{[ 12 ]}$${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

القيمة المطلقة لـ${\displaystyle x}$وبالتالي، يكون العدد دائمًا إما موجبًا أو صفرًا ، ولكنه لا يكون سالبًا أبدًا .${\displaystyle x}$هو نفسه سلبي (${\displaystyle x<0}$)، عندئذٍ تكون قيمته المطلقة موجبة بالضرورة (${\displaystyle |x|=-x>0}$). ^{[ 13 ]}

من وجهة نظر الهندسة التحليلية ، تُعرَّف القيمة المطلقة لعدد حقيقي بأنها بُعد ذلك العدد عن الصفر على خط الأعداد الحقيقية ، وبشكل أعم، فإن القيمة المطلقة لفرق عددين حقيقيين ( فرقهما المطلق ) هي المسافة بينهما. ^{[ 13 ]} ويمكن اعتبار مفهوم دالة المسافة المجردة في الرياضيات تعميمًا للقيمة المطلقة للفرق. ^{[ 14 ]} انظر قسم  المسافة أدناه.

بما أن رمز الجذر التربيعي يمثل الجذر التربيعي الموجب الوحيد ، فعند تطبيقه على عدد موجب، فإنه يترتب على ذلك ^{[ 15 ]}$${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.}$$ هذا يعادل التعريف أعلاه، ويمكن استخدامه كتعريف بديل للقيمة المطلقة للأعداد الحقيقية. ^{[ 16 ]}

للقيمة المطلقة الخصائص الأساسية الأربع التالية (${\textstyle a}$،${\textstyle b}$(أعداد حقيقية)، والتي تستخدم لتعميم هذا المفهوم على مجالات أخرى: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle |a|\geq 0}$	عدم السلبية [ 17 ]
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	الإيجابية المحددة [ 17 ]
${\displaystyle |ab|=\left|a\right|\left|b\right|}$	خاصية التضاعف [ 17 ]
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	خاصية الجمع الجزئي ، وتحديداً متباينة المثلث [ 17 ]

تتضح خصائص عدم السلبية، والتحديد الإيجابي، والضربية بسهولة من التعريف. ولإثبات صحة خاصية الجمع الجزئي، لاحظ أولاً أن${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$أين${\displaystyle s=\pm 1}$، مع اختيار إشارتها لجعل النتيجة موجبة. الآن، بما أن${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$و${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$وبناءً على ذلك، أياً كان${\displaystyle \pm 1}$قيمة​${\displaystyle s}$، لدى المرء${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$لكل حقيقي${\displaystyle x}$. بالتالي،${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$، حسب الرغبة.

ترد أدناه بعض الخصائص المفيدة الإضافية. وهذه إما نتائج مباشرة للتعريف أو مستنتجة ضمنيًا من الخصائص الأساسية الأربع المذكورة أعلاه.

${\displaystyle {\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|}$	خاصية التكرار (القيمة المطلقة للقيمة المطلقة هي القيمة المطلقة)
${\displaystyle \left|-a\right|=|a|}$	التساوي ( التناظر الانعكاسي للرسم البياني) [ 18 ]
${\displaystyle |ab|=0\iff a=b}$	هوية الأشياء غير القابلة للتمييز (مكافئ للتحديد الإيجابي)
${\displaystyle |ab|\leq |ac|+|cb|}$	متباينة المثلث (مكافئة لخاصية الجمع الجزئي)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ }$(لو${\displaystyle b\neq 0}$)	الحفاظ على القسمة - يعادل الضرب [ 19 ]
${\displaystyle |ab|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}}$	متباينة المثلث المعكوسة - مكافئة للجمع الجزئي [ 19 ]

هناك خاصيتان مفيدتان أخريان تتعلقان بالمتباينات وهما: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ }$أو${\displaystyle a\geq b}$

يمكن استخدام هذه العلاقات لحل المتباينات التي تتضمن قيمًا مطلقة. على سبيل المثال:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

تُستخدم القيمة المطلقة، باعتبارها "المسافة من الصفر"، لتحديد الفرق المطلق بين الأعداد الحقيقية العشوائية، وهو المقياس القياسي للأعداد الحقيقية.

بما أن الأعداد المركبة غير مرتبة ، فإن التعريف الوارد في الأعلى للقيمة المطلقة الحقيقية لا يمكن تطبيقه مباشرةً على الأعداد المركبة. مع ذلك، يمكن تعميم التفسير الهندسي للقيمة المطلقة لعدد حقيقي باعتباره بُعده عن الصفر. تُعرَّف القيمة المطلقة لعدد مركب بالمسافة الإقليدية بين نقطته المناظرة في المستوى المركب ونقطة الأصل . ويمكن حساب هذه المسافة باستخدام نظرية فيثاغورس : لأي عدد مركب $${\displaystyle z=x+iy,}$$ أين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي أعداد حقيقية، والقيمة المطلقة أو معيارها${\displaystyle z}$يُشار إليه بـ${\displaystyle |z|}$ويتم تعريفها بواسطة ^{[ 20 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$إضافة فيثاغورس لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، أين${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$و${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$تشير إلى الأجزاء الحقيقية والخيالية من${\displaystyle z}$على التوالي. عندما يكون الجزء التخيلي${\displaystyle y}$إذا كانت القيمة صفرًا، فإن هذا يتطابق مع تعريف القيمة المطلقة للعدد الحقيقي${\displaystyle x}$[ ^{20 ]​}

عندما يكون العدد المركب${\displaystyle z}$يُعبَّر عنه بصيغته القطبية كما يلي:${\displaystyle z=re^{i\theta },}$قيمتها المطلقة هي${\displaystyle |z|=r.}$

بما أن حاصل ضرب أي عدد مركب${\displaystyle z}$ومركبه المعقد${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$العدد الحقيقي الذي له نفس القيمة المطلقة هو دائمًا عدد حقيقي غير سالب${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$، القيمة المطلقة للعدد المركب${\displaystyle z}$هو الجذر التربيعي لـ ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$والذي يُطلق عليه بالتالي اسم التربيع المطلق أو معامل التربيع لـ${\displaystyle z}$[ ^{20 ]​}$${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$$ وهذا يعمم التعريف البديل للأعداد الحقيقية:${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$.

تشترك القيمة المطلقة المركبة في الخصائص الأساسية الأربع المذكورة أعلاه للقيمة المطلقة الحقيقية. وهي خاصية الهوية.${\displaystyle |z|^{n}=|z^{n}|}$^{[ 20 ]} هي حالة خاصة من الضربية، وغالبًا ما تكون مفيدة في حد ذاتها.

تُعيد دالة القيمة المطلقة لعدد حقيقي قيمته بغض النظر عن إشارته، بينما تُعيد دالة الإشارة (أو دالة الإشارة) إشارة العدد بغض النظر عن قيمته. توضح المعادلات التالية العلاقة بين هاتين الدالتين:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

أو

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

وبالنسبة لـ x ≠ 0 ،

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

يترك${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$إذاً، فإن العلاقة التالية تنطبق على دالتي الحد الأدنى والحد الأقصى :

${\displaystyle |ts|=-2\min(s,t)+s+t}$

و

${\displaystyle |ts|=2\max(s,t)-st.}$

يمكن اشتقاق الصيغ من خلال النظر في كل حالة على حدة${\displaystyle s>t}$و${\displaystyle t>s}$بشكل منفصل.

يمكن استنتاج الصيغة الأخيرة أيضًا${\displaystyle |t|=\max(t,-t)}$.

دالة القيمة المطلقة الحقيقية لها مشتقة لكل x ≠ 0 ، معطاة بدالة خطوة تساوي دالة الإشارة باستثناء x = 0 حيث تكون دالة القيمة المطلقة غير قابلة للتفاضل : ^{[ 23 ] [ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\left|x\right|}{dx}}&={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}\\[7mu]&=\operatorname {sgn} x\quad {\text{لـ }}x\neq 0.\end{aligned}}}$$

تُعد دالة القيمة المطلقة الحقيقية مثالاً على دالة متصلة تحقق قيمة دنيا عالمية حيث لا توجد مشتقة.

التفاضل الجزئي لـ | x | عند x = 0 هو الفترة [ −1, 1 ] . ^{[ 25 ]}   

دالة القيمة المطلقة المركبة متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان لأنها تنتهك معادلات كوشي-ريمان . ^{[ 23 ]}

المشتقة الثانية لـ | x | بالنسبة إلى x تساوي صفرًا في كل مكان ما عدا الصفر، حيث لا وجود لها. وباعتبارها دالة معممة ، يمكن اعتبار المشتقة الثانية ضعف دالة ديراك دلتا .  

الدالة الأصلية ( التكامل غير المحدد ) لدالة القيمة المطلقة الحقيقية هي

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

حيث C ثابت تكامل اختياري . هذه ليست دالة أصلية مركبة لأن الدوال الأصلية المركبة لا يمكن أن توجد إلا للدوال القابلة للتفاضل المركب ( الهولومورفية )، وهو ما لا ينطبق على دالة القيمة المطلقة المركبة.

الصيغ الثلاث التالية هي حالات خاصة من قاعدة السلسلة :

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}f(|x|)=(\operatorname {sgn} x)^{n}f^{(n)}(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0\,,}$

إذا كانت القيمة المطلقة داخل دالة، و

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}|f(x)|=\operatorname {sgn}(f(x))f^{(n)}(x)\quad {\text{for }}f(x)\neq 0\,,}$

إذا كانت دالة أخرى داخل القيمة المطلقة. بدمج كلتيهما، تكون النتيجة كالتالي:

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}|f(|x|)|=(\operatorname {sgn} x)^{n}\operatorname {sgn}(f(|x|))f^{(n)}(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0,f(|x|)\neq 0\,.}$

ومن هذه الصيغ وباستخدام التكامل بالتجزئة ، يمكن أيضاً الحصول على الدوال الأصلية:

${\displaystyle \int {f(|x|){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0\,,}$

${\displaystyle \int {|f(x)|{\text{d}}x}=\int {{|f(x)| \over f(x)}f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(f(x))F(x)\quad {\text{for }}f(x)\neq 0\,,}$

${\displaystyle \int {|f(|x|)|{\text{d}}x}=\int {{|f(|x|)| \over f(|x|)}f(|x|){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)\operatorname {sgn}(f(|x|))F(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0,f(|x|)\neq 0\,,}$

بافتراض أن مشتقة دالة الإشارة تساوي صفرًا.

باستخدام قواعد السلسلة والضرب ، قاعدة القوة للتعبيرات من النوع${\displaystyle x^{n}|x|^{m}}$يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}x}x^{n}|x|^{m}=(n+m)x^{n-1}|x|^{m}\,.}$

وينطبق هذا حتى على${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}x}|x|^{m}=mx^{-1}|x|^{m}\,.}$

يمكن تعميم تعريف القيمة المطلقة المذكور أعلاه للأعداد الحقيقية على أي حلقة مرتبة . أي، إذا كان a عنصرًا في حلقة مرتبة R ، فإن القيمة المطلقة لـ a ، والتي يُرمز لها بـ | a | ، تُعرَّف على النحو التالي:    $${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$$ حيث − a هو المعكوس الجمعي لـ a ، و 0 هو العنصر المحايد الجمعي ، و < و ≥ لهما المعنى المعتاد فيما يتعلق بالترتيب في الحلقة. ^{[ 26 ]} 

يمكن استخدام الخصائص الأساسية الأربعة للقيمة المطلقة للأعداد الحقيقية لتعميم مفهوم القيمة المطلقة على حقل عشوائي، كما يلي.

تُسمى الدالة الحقيقية v على حقل F قيمة مطلقة (وتسمى أيضًا معيارًا أو مقدارًا أو قيمة أو تقييمًا ) ^{[ 27 ] [ ج ]} إذا كانت تحقق البديهيات الأربع التالية:  

${\displaystyle v(a)\geq 0}$	عدم السلبية
${\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }$	التأكيد الإيجابي
${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$	خاصية التضاعف
${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$	خاصية الجمع الجزئي أو متباينة المثلث

حيث يرمز الصفر إلى العنصر المحايد الجمعي لـ F. ويترتب على خاصيتي الإيجابية المحددة والضربية أن v ( 1 ) = 1 ، حيث يرمز 1 إلى العنصر المحايد الضربي لـ F. القيم المطلقة الحقيقية والمركبة المعرفة أعلاه هي أمثلة على القيم المطلقة لأي حقل.  

إذا كانت v قيمة مطلقة على F ، فإن الدالة d على F × F ، المعرفة بواسطة d ( a , b ) = v ( a − b ) ، هي مقياس، وما يلي متكافئ:  

• يحقق d المتباينة فوق المترية${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$لكل x و y و z في F.​ 
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$محدودة في R.​​ 
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$للجميع${\displaystyle a\in F}$.
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$للجميع${\displaystyle a,b\in F}$.

يُقال إن القيمة المطلقة التي تحقق أيًا من الشروط المذكورة أعلاه (وبالتالي جميعها) هي قيمة غير أرخميدية ، وإلا يُقال إنها قيمة أرخميدية . ^{[ 28 ]}

مرة أخرى، يمكن استخدام الخصائص الأساسية للقيمة المطلقة للأعداد الحقيقية، مع تعديل طفيف، لتعميم المفهوم على فضاء متجهي عشوائي.

تُسمى الدالة ذات القيم الحقيقية على فضاء متجهي V فوق حقل F ، والممثلة بـ ‖ · ‖ ، قيمة مطلقة ، ولكنها تُسمى عادةً معيارًا ، إذا كانت تحقق البديهيات التالية:    

لكل a في F ، و v و u في V ،   

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|\geq 0}$	عدم السلبية
${\displaystyle \|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0}$	التأكيد الإيجابي
${\displaystyle \|a\mathbf {v} \|=\left|a\right|\left\|\mathbf {v} \right\|}$	التجانس المطلق أو قابلية التوسع الإيجابية
${\displaystyle \|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|}$	خاصية الجمع الجزئي أو متباينة المثلث

يُطلق على معيار المتجه أيضًا اسم طوله أو مقداره .

في حالة الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، الدالة المحددة بواسطة

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

هو معيار يُسمى المعيار الإقليدي. عندما تكون الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$تُعتبر فضاءات متجهة أحادية البعد${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$القيمة المطلقة هي معيار ، وهي المعيار p (انظر فضاء L ^p ) لأي قيمة p . في الواقع، القيمة المطلقة هي المعيار "الوحيد" على ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$، بمعنى أنه لكل معيار ‖ · ‖   على${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$، ‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x | .

القيمة المطلقة المركبة هي حالة خاصة من المعيار في فضاء الضرب الداخلي ، وهو مطابق للمعيار الإقليدي عندما يتم تحديد المستوى المركب على أنه المستوى الإقليدي. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

لكل جبر تركيبي A عملية انعكاس x → x * تُسمى مرافقه . يُكتب حاصل ضرب عنصر x في A ومرافقه x * على النحو التالي: N ( x ) = xx * ويُسمى معيار x .

الأرقام الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$، والرباعيات${\displaystyle \mathbb {H} }$جميعها جبر تركيبي بمعايير معطاة بأشكال تربيعية محددة . القيمة المطلقة في هذه الجبر القسمي تُعطى بالجذر التربيعي لمعيار الجبر التركيبي.

بشكل عام، قد يكون معيار جبر التركيب شكلاً تربيعياً غير محدد وله متجهات صفرية . ومع ذلك، كما هو الحال في جبر القسمة، عندما يكون للعنصر x معيار غير صفري، فإن x له معكوس ضربي يُعطى بالصيغة x */ N ( x ).