الدوال الزوجية والفردية

تكون الدالة الحقيقية f زوجية إذا كان، لكل x في مجالها، −x أيضًا في مجالها و ^{[ 1 ] : ص 11}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ أو ما يعادل ذلك $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

هندسياً، يكون الرسم البياني للدالة الزوجية متناظراً بالنسبة للمحور y ، مما يعني أن الرسم البياني الخاص بها يظل دون تغيير بعد الانعكاس حول المحور y .

من أمثلة الدوال الزوجية ما يلي:

• القيمة المطلقة${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$لأي عدد صحيح زوجي${\displaystyle n,}$
• جيب التمام${\displaystyle \cos ,}$
• جيب التمام الزائدي${\displaystyle \cosh ,}$
• دالة غاوس${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

تكون الدالة الحقيقية f فردية إذا كان ، لكل x في مجالها، −x أيضًا في مجالها و ^{[ 1 ] : ص 72}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ أو ما يعادل ذلك $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

هندسياً، يكون للرسم البياني للدالة الفردية تناظر دوراني بالنسبة إلى نقطة الأصل ، مما يعني أن الرسم البياني الخاص بها يظل دون تغيير بعد دوران 180 درجة حول نقطة الأصل.

لو${\displaystyle x=0}$يقع في مجال دالة فردية${\displaystyle f(x)}$، ثم${\displaystyle f(0)=0}$.

من أمثلة الدوال الفردية ما يلي:

• وظيفة الإشارة${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• دالة التطابق${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$لأي عدد صحيح فردي${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$لأي عدد صحيح فردي موجب${\displaystyle n,}$
• جيب${\displaystyle \sin ,}$
• الجيب الزائدي${\displaystyle \sinh ,}$
• دالة الخطأ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

• إذا كانت الدالة زوجية وفردية في نفس الوقت، فإنها تساوي صفرًا في كل مكان يتم تعريفها فيه.
• إذا كانت الدالة فردية، فإن القيمة المطلقة لتلك الدالة تكون دالة زوجية.

• مجموع دالتين زوجيتين هو دالة زوجية .
• مجموع دالتين فرديتين هو دالة فردية.
• الفرق بين دالتين فرديتين هو فرق فردي .
• الفرق بين دالتين زوجيتين هو فرق زوجي.
• The sum of an even and odd function is not even or odd, unless one of the functions is equal to zero over the given domain.

• The product and quotient of two even functions is an even function.
  • This implies that the product of any number of even functions is also even.
  • This implies that the reciprocal of an even function is also even.
• The product and quotient of two odd functions is an even function.
• The product and both quotients of an even function and an odd function is an odd function.
  • This implies that the reciprocal of an odd function is odd.

• The composition of two even functions is even.
• The composition of two odd functions is odd.
• The composition of an even function and an odd function is even.
• The composition of any function with an even function is even (but not vice versa).

• If an odd function is invertible, then its inverse is also odd.

• مشتقة الدالة الزوجية هي دالة فردية .
• مشتقة الدالة الفردية هي دالة زوجية.
• إذا كانت الدالة الفردية قابلة للتكامل على فترة متناظرة محدودة${\displaystyle [-A,A]}$، التكامل على تلك الفترة يساوي صفرًا؛ أي ^{[ 2 ]}

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

  • وهذا يعني أن القيمة الرئيسية لكوشي لدالة فردية على خط الأعداد الحقيقية بأكمله تساوي صفرًا.
• إذا كانت الدالة الزوجية قابلة للتكامل على فترة متناظرة محدودة${\displaystyle [-A,A]}$، التكامل على تلك الفترة يساوي ضعف التكامل من 0 إلى A ؛ أي ^{[ 3 ]}

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

  • تنطبق هذه الخاصية أيضًا على التكامل غير المحدود عندما${\displaystyle A=\infty }$، بشرط أن يكون التكامل من 0 إلى${\displaystyle \infty }$يتقارب.

• تتضمن متسلسلة ماكلورين للدالة الزوجية قوى زوجية فقط.
• تتضمن متسلسلة ماكلورين لدالة فردية قوى فردية فقط.
• تتضمن متسلسلة فورييه لدالة زوجية دورية حدود جيب التمام فقط .
• تتضمن متسلسلة فورييه لدالة فردية دورية حدود الجيب فقط.
• تحويل فورييه لدالة زوجية ذات قيم حقيقية بحتة هو دالة حقيقية وزوجية. (انظر تحليل فورييه §  خصائص التناظر )
• تحويل فورييه لدالة فردية ذات قيم حقيقية بحتة يكون تخيليًا وفرديًا. (انظر تحليل فورييه §  خصائص التناظر )

Even symmetry:

A function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ is called even symmetric if:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Odd symmetry:

A function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ is called odd symmetric if:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

The definitions for even and odd symmetry for complex-valued functions of a real argument are similar to the real case. In signal processing, a similar symmetry is sometimes considered, which involves complex conjugation.^[5][6]

Conjugate symmetry:

A complex-valued function of a real argument ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ is called conjugate symmetric if

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

A complex valued function is conjugate symmetric if and only if its real part is an even function and its imaginary part is an odd function.

A typical example of a conjugate symmetric function is the cis function

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Conjugate antisymmetry:

A complex-valued function of a real argument ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ is called conjugate antisymmetric if:

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

تكون الدالة ذات القيم المركبة متناظرة عكسياً إذا وفقط إذا كان الجزء الحقيقي منها دالة فردية والجزء التخيلي منها دالة زوجية.

تم توسيع تعريفات التناظر الفردي والزوجي لتشمل متواليات النقاط N (أي الدوال من الشكل${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$) كما يلي: ^{[ 6 ] : ص 411}

التناظر الزوجي:

يُطلق على متتالية مكونة من N نقطة اسم المتناظرة المترافقة إذا

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

يُطلق على هذا النوع من التسلسل غالبًا اسم التسلسل المتناظر ؛ انظر أيضًا متعدد الحدود المتناظر .

التناظر الغريب:

يُطلق على متتالية مكونة من N نقطة اسم المترافقة المضادة للتناظر إذا

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

يُطلق على هذا النوع من التسلسل أحيانًا اسم التسلسل المضاد للتسلسل المتناظر ؛ انظر أيضًا متعدد الحدود المضاد للتسلسل المتناظر .