المركب المترافق

في الرياضيات ، المرافق المركب لعدد مركب هو العدد الذي له جزء حقيقي وجزء تخيلي متساويان في المقدار ومتعاكسان في الإشارة . أي، إذا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا كانت أعدادًا حقيقية، فإن المرافق المركب لـ${\displaystyle a+bi}$هو​${\displaystyle a-bi}$. المرافق المعقد لـ${\displaystyle z}$يُشار إليه غالبًا باسم${\displaystyle {\overline {z}}}$أو​${\displaystyle z^{*}}$⁠ .

في الشكل القطبي ، إذا${\displaystyle r}$و${\displaystyle \varphi }$إذا كانت أعدادًا حقيقية، فإن مرافقها${\displaystyle re^{i\varphi }}$هو​${\displaystyle re^{-i\varphi }}$ويمكن إثبات ذلك باستخدام صيغة أويلر .

حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه هو عدد حقيقي:${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ (أو ${\displaystyle r^{2}}$(في الإحداثيات القطبية ).

إذا كان جذر متعدد الحدود أحادي المتغير ذو المعاملات الحقيقية عددًا مركبًا، فإن مرافقه المركب هو أيضًا جذر .

المرافق المركب لعدد مركب${\displaystyle z}$تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle {\overline {z}}}$أو​${\displaystyle z^{*}}$يُجنّب الترميز الأول، وهو رمز الخط ، الخلط بينه وبين ترميز منقولة المصفوفة المرافقة ، والذي يُمكن اعتباره تعميمًا للمرافق المركب. أما الترميز الثاني، فهو مُفضّل في الفيزياء ، حيث يُستخدم رمز الخنجر ( † ) للمنقلة المرافقة، وكذلك في الهندسة الكهربائية وهندسة الحاسوب ، حيث يُمكن الخلط بين رمز الخط ورمز النفي المنطقي ("NOT") في الجبر البولياني ، بينما يُعدّ رمز الخط أكثر شيوعًا في الرياضيات البحتة .

إذا تم تمثيل عدد مركب على الصورة${\displaystyle 2\times 2}$[ 1 ]​^​​​

تنطبق الخصائص التالية على جميع الأعداد المركبة${\displaystyle z}$و​${\displaystyle w}$، ما لم يُنص على خلاف ذلك، ويمكن إثبات ذلك بالكتابة${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$بالشكل ⁠${\displaystyle a+bi}$⁠ .

بالنسبة لأي عددين مركبين، يكون الترافق توزيعيًا على الجمع والطرح والضرب والقسمة: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{و}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{إذا كان }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

يكون العدد المركب مساوياً لمرافقه المركب إذا كان الجزء التخيلي منه يساوي صفرًا، أي إذا كان العدد حقيقيًا. بعبارة أخرى، الأعداد الحقيقية هي النقاط الثابتة الوحيدة للترافق.

لا يؤدي الترافق إلى تغيير معيار العدد المركب:${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

المرافق هو عملية عكسية ، أي مرافق مرافق عدد مركب${\displaystyle z}$هو​${\displaystyle z}$. بالرموز، ⁠${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$[ ² ]^​​

حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه يساوي مربع معيار العدد:$${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$وهذا يسمح بحساب سهل للمعكوس الضربي لعدد مركب معطى بإحداثيات مستطيلة:$${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ لجميع }}z\neq 0.}$$

يكون الاقتران تبادليًا تحت التركيب مع الأسس المرفوعة إلى قوى صحيحة، ومع الدالة الأسية، ومع اللوغاريتم الطبيعي للوسائط غير الصفرية: $${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ لجميع }}n\in \mathbb {Z} }$$^{[ ملاحظة 1 ]}$${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$$${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ إذا }}z{\text{ ليس صفرًا أو عددًا حقيقيًا سالبًا }}}$$

لو${\displaystyle p}$هي دالة متعددة الحدود ذات معاملات حقيقية و${\displaystyle p(z)=0,}$ثم${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$كذلك. وبالتالي، تظهر الجذور غير الحقيقية لكثيرات الحدود الحقيقية في أزواج مترافقة معقدة ( انظر نظرية الجذر المترافق المعقد ).

بشكل عام، إذا${\displaystyle \varphi }$هي دالة تحليلية يكون تقييدها على الأعداد الحقيقية ذا قيمة حقيقية، و${\displaystyle \varphi (z)}$و${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$يتم تعريفها، ثم $${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

الخريطة${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$من${\displaystyle \mathbb {C} }$ل${\displaystyle \mathbb {C} }$هو تماثل شكلي (حيث تكون الطوبولوجيا على${\displaystyle \mathbb {C} }$(يُعتبر هذا هو الطوبولوجيا القياسية) ومضاد الخطية ، إذا أخذنا في الاعتبار${\displaystyle \mathbb {C} }$باعتبارها فضاءً متجهيًا معقدًا فوق نفسها. على الرغم من أنها تبدو دالة حسنة السلوك ، إلا أنها ليست دالة تحليلية ؛ فهي تعكس الاتجاه بينما تحافظ الدوال التحليلية على الاتجاه محليًا. وهي تقابلية ومتوافقة مع العمليات الحسابية، وبالتالي فهي تشاكل حقلي . ولأنها تُبقي الأعداد الحقيقية ثابتة، فهي عنصر من زمرة غالوا لامتداد الحقل .${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$تحتوي مجموعة غالوا هذه على عنصرين فقط:${\displaystyle \sigma }$والهوية على${\displaystyle \mathbb {C} }$وبالتالي ، فإن التماثلين الذاتيين الوحيدين للحقل هما${\displaystyle \mathbb {C} }$إن ما يُبقي الأعداد الحقيقية ثابتة هو دالة التطابق والمرافق المركب.

عدد مركب${\displaystyle z=x+yi}$أو${\displaystyle z=re^{i\theta }}$إذا تم إعطاء عدد، فإن مرافقه يكفي لإعادة إنتاج أجزاء من${\displaystyle z}$-عامل:

• الجزء الحقيقي:${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• جزء خيالي:${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• المعيار (أو القيمة المطلقة) :${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• دعوى :${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$لذا${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

بالإضافة إلى،${\displaystyle {\overline {z}}}$يمكن استخدامها لتحديد الخطوط في المستوى: المجموعة $${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$ هو خط يمر بنقطة الأصل وعمودي على${\displaystyle {r},}$لأن الجزء الحقيقي من${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$تكون صفرًا فقط عندما يكون جيب تمام الزاوية بين${\displaystyle z}$و${\displaystyle {r}}$يساوي صفرًا. وبالمثل، بالنسبة لوحدة عقدية ثابتة${\displaystyle u=e^{ib},}$المعادلة $${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$ يحدد الخط المار${\displaystyle z_{0}}$موازٍ للخط المار بالنقطة 0 و${\displaystyle u}$⁠ .

هذه استخدامات لمرافق${\displaystyle z}$تم توضيح ذلك كمتغير في كتاب فرانك مورلي "الهندسة العكسية " (1933)، الذي كتبه مع ابنه فرانك فيجور مورلي.

كما يتم تحليل الجبر الحقيقي الموحد المستوي الآخر، والأعداد الثنائية ، والأعداد المركبة المنقسمة باستخدام الاقتران المركب.

بالنسبة لمصفوفات الأعداد المركبة،${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$أين${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$يمثل الاقتران العنصري لـ${\displaystyle \mathbf {A} .}$^{[ 3 ]} قارن هذا بالخاصية${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$أين${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$يمثل النقل المترافق لـ${\textstyle \mathbf {A} .}$

يُعمّم أخذ منقولة المرافق (أو المرافق) للمصفوفات المركبة مفهوم المرافق المركب. بل إن مفهوم المؤثر المرافق أكثر عمومية بالنسبة للمؤثرات على فضاءات هيلبرت المركبة (التي قد تكون لانهائية الأبعاد) . كل هذا يندرج ضمن عمليات *-جبر C* .

يمكن أيضًا تعريف اقتران للأعداد الرباعية والأعداد الرباعية المنقسمة : اقتران${\textstyle a+bi+cj+dk}$هو​${\displaystyle a-bi-cj-dk}$⁠ .

كل هذه التعميمات تكون ضربية فقط إذا تم عكس العوامل: $${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

بما أن ضرب الجبر الحقيقي المستوي هو تبادلي ، فإن هذا الانعكاس غير مطلوب هناك.

يوجد أيضًا مفهوم مجرد للاقتران في الفضاءات المتجهة${\textstyle V}$على الأعداد المركبة . في هذا السياق، أي دالة مضادة للخطية${\textstyle \varphi :V\to V}$ذلك يرضي

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$أين${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$و${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$هي خريطة الهوية على${\displaystyle V}$،​
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$للجميع${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$و
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$للجميع${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

يُطلق عليه اسم الاقتران المعقد ، أو البنية الحقيقية . مثل الالتفاف${\displaystyle \varphi }$بما أنها دالة مضادة للخطية ، فلا يمكن أن تكون دالة التطابق على${\displaystyle V}$⁠ .

بالطبع،${\textstyle \varphi }$هو${\textstyle \mathbb {R} }$التحويل الخطي لـ${\textstyle V,}$إذا لاحظ المرء أن كل فضاء معقد${\displaystyle V}$لها شكل حقيقي يتم الحصول عليه بأخذ نفس المتجهات كما في الفضاء الأصلي وتقييد الكميات العددية لتكون حقيقية. تحدد الخصائص المذكورة أعلاه في الواقع بنية حقيقية على فضاء المتجهات المركبة .${\displaystyle V}$[ ⁴ ]^​​

من الأمثلة على هذا المفهوم عملية النقل المترافق للمصفوفات المركبة المعرّفة أعلاه. مع ذلك، لا يوجد مفهوم معياري للترافق المركب في فضاءات المتجهات المركبة العامة.

• المربع المطلق – حاصل ضرب عدد في نفسه. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الخط المرافق المركب – عملية في الهندسة المركبة 
• تمثيل المرافق المعقد
• فضاء المتجهات المترافقة المركبة – مفهوم رياضي. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• الجبر التركيبي – نوع من أنواع الجبر، وقد يكون غير تجميعي 
• المرافق (الجذور التربيعية) – تغيير إشارة الجذر التربيعي 
• الدالة الهرميتية – نوع من الدوال المركبة 
• مشتقات فيرتينجر – مفهوم في التحليل المركب 

• Budinich، P. و Trautman، A. رقعة الشطرنج الشائكة . سبرينغر-فيرلاغ، 1988. ISBN 0-387-19078-3(تتم مناقشة الخرائط غير الخطية في القسم 3.3).