الحجة (التحليل المركب)

قد يبدأ اسم القيمة الرئيسية بحرف كبير، كما في Arg z ، خاصةً عند النظر في صيغة عامة للوسيط. لاحظ أن الترميز يختلف، لذا قد يُستخدم arg و Arg بالتبادل في نصوص مختلفة.

يمكن كتابة مجموعة جميع القيم الممكنة للوسيط بدلالة Arg على النحو التالي: $${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}$$

في لغة وولفرام ، يوجد Arg[z]: ^{[ 5 ]}

Arg[x + y I]${\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x=0{\text{ و }}y=0,\\[5mu]{\text{غير معرف}}&{\text{إذا كان }}|x|=\infty {\text{ و }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{إذا كان }}x=\infty {\text{ و }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pi &{\text{إذا كان }}x=-\infty {\text{ و }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{إذا كان }}y=\pm \infty {\text{ و }}|x|\neq \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$

أو باستخدام لغة ArcTan:

Arg[x + y I]${\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

ArcTan[x, y]يكون${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$تم توسيعها للعمل مع اللانهاية. ArcTan[0, 0]هي Indeterminate(أي أنها لا تزال معرفة)، بينما ArcTan[Infinity, -Infinity]لا تُرجع أي شيء (أي أنها غير معرفة ).

يتصرف برنامج Mapleargument(z) بنفس الطريقة كما هو الحال Arg[z]في لغة Wolfram، باستثناء أنه argument(z)يُرجع أيضًا${\displaystyle \pi }$إذا zكانت قيمة الفاصلة العائمة الخاصة −0.. ^{[ 6 ]} كذلك، لا يمتلك برنامج Maple${\displaystyle \operatorname {atan2} }$.

angle(z)يتصرف برنامج MATLAB ^{[ 7 ] [ 8 ]} بنفس طريقة تصرفه Arg[z]في لغة Wolfram، باستثناء أنه

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}$$

على عكس لغة Maple و Wolfram، فإنّ MATLAB atan2(y, x)مكافئة لـ angle(x + y*1i). أي atan2(0, 0)أنّها${\displaystyle 0}$.

$${\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {-1-i}{i}}\right)=\left(\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} i=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}\right){\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}={\frac {3\pi }{4}}.}$$

من${\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} z}}$، نحصل${\displaystyle i\operatorname {Arg} z=\ln {\frac {z}{|z|}}}$، بدلاً عن ذلك${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} \ln {\frac {z}{|z|}}=\operatorname {Im} \ln z}$بما أننا نأخذ الجزء التخيلي، فإن أي عملية توحيد باستخدام عدد حقيقي لن تؤثر على النتيجة. وهذا مفيد عند توفر اللوغاريتم المركب .

دالة الوسيط ليست قابلة للتفاضل المركب، لأن النهاية $${\displaystyle \lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {\arg z-\arg z_{0}}{z-z_{0}}}}$$ لا يوجد لأي${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$وعلى أي فرع (في الواقع، يأخذ البسط القيمة نفسها لأي فرع مختار). ومع ذلك، يمكن تطبيق مشتقات ويرتينجر عليه. ابدأ من المتطابقة اللوغاريتمية $${\displaystyle \ln z=\operatorname {Ln} |z|+i\arg z.}$$ استخدم ذلك${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}}$: $${\displaystyle \ln z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} {\bar {z}}+i\arg z.}$$ يُتيح إجراء عمليات قطع فرعية مختلفة تطبيق المشتقات على جميع نقاط اللوغاريتم الرئيسي في خطوتين. أولاً، قم بتطبيق${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$: $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{z}}+0+i{\frac {\partial }{\partial z}}\arg z.}$$ إعادة الترتيب تعطي${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\arg z={\frac {-i}{2z}}}$قدّم طلبك الآن${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$: $${\displaystyle 0=0+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\bar {z}}}+i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z.}$$ هذا يدل على أن${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z={\frac {i}{2{\bar {z}}}}}$وبما أن كلا مشتقات ويرتينجر موجودة، فإنه يمكن تطبيق مشتقات دولبو. $${\displaystyle \partial \arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz,}$$$${\displaystyle {\bar {\partial }}\arg(z)={\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.}$$ وهذا يعني بالتالي وجود المشتقة الخارجية ، المعطاة بمجموعهما. $${\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.}$$ هذا شكل تفاضلي مهم ، لأنه تحديداً مولد أول تماثل دي رام للدائرة.${\displaystyle H_{dR}^{1}(S^{1})}$. بعبارة أخرى، $${\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}={\frac {x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}},}$$ مما يجعل هذا الشكل مغلقًا ولكنه ليس دقيقًا بالمعنى المعتاد (نتيجة ثانوية لكونه متعدد القيم): $${\displaystyle \oint \limits _{S^{1}}d\arg(z)=2\pi >0}$$ بالاتجاه القياسي.