شكل غير محدد

• 
  الشكل 1 : ص = س / س
• 
  الشكل 2 : ص = س² ^/ س​
• 
  الشكل 3 : ص = جا س / س 
• 
  الشكل 4: ص = س - 49 / √س - 7 ( لـ س = 49 )
• 
  الشكل 5 : ص = أ س / س حيث أ = 2
• 
  الشكل 6 ^: ص = س / س³​

الصيغة غير المحددة${\displaystyle 0/0}$وهو شائع بشكل خاص في حساب التفاضل والتكامل ، لأنه غالباً ما يظهر في تقييم المشتقات باستخدام تعريفها من حيث النهاية.

كما ذكر أعلاه،

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$(انظر الشكل 1)

بينما

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$(انظر الشكل 2)

هذا يكفي لإثبات ذلك${\displaystyle 0/0}$هي صيغة غير محددة. ومن الأمثلة الأخرى التي تتضمن هذه الصيغة غير المحددة ما يلي:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$(انظر الشكل 3)

و

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$(انظر الشكل 4)

الاستبدال المباشر للرقم الذي${\displaystyle x}$تُظهر المقاربات لأي من هذه التعبيرات أن هذه الأمثلة تتوافق مع الشكل غير المحدد${\displaystyle 0/0}$لكن هذه الحدود يمكن أن تأخذ قيمًا مختلفة كثيرة. أي قيمة مرغوبة${\displaystyle a}$يمكن الحصول على هذا الشكل غير المحدد على النحو التالي:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$(انظر الشكل 5)

القيمة${\displaystyle \infty }$ويمكن الحصول عليها أيضاً (بمعنى التباعد إلى ما لا نهاية):

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$(انظر الشكل 6)

رسم بياني للدالة ص = س ^٠

رسم بياني للدالة y = 0 ^x

توضح الحدود التالية أن التعبير${\displaystyle 0^{0}}$هي صيغة غير محددة: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}&=1,\\\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}&=0.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، بشكل عام، معرفة أن${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0}$و${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$لا يكفي لتقييم الحد $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$$

إذا كانت الدوال${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هم تحليليون في${\displaystyle c}$، و${\displaystyle f}$إيجابي لـ${\displaystyle x}$قريب بما فيه الكفاية (ولكن ليس مساوياً) لـ${\displaystyle c}$ثم حد${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$سيكون${\displaystyle 1}$[ ^{3 ]} وإلا، فاستخدم التحويل الموجود في ^الجدول أدناه لتقييم النهاية.

التعبير${\displaystyle 1/0}$لا يُعتبر عادةً شكلاً غير محدد، لأنه إذا كانت نهاية${\displaystyle f(x)/g(x)}$مثل${\displaystyle g(x)\rightarrow 0}$إذا وُجدت، فلا يوجد أي لبس بشأن قيمتها، لأنها تتباعد دائمًا. تحديدًا، مع القيد الذي${\displaystyle f(x)}$الأساليب${\displaystyle 1}$و${\displaystyle g(x)}$الأساليب${\displaystyle 0,}$قد نختار${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$لهذا السبب:

1. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$الأساليب${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$الأساليب${\displaystyle -\infty }$
3. لا وجود للحد.

في كل حالة القيمة المطلقة${\displaystyle |f(x)/g(x)|}$الأساليب${\displaystyle +\infty }$وبالتالي فإن الناتج${\displaystyle f(x)/g(x)}$يجب أن تتباعد، بمعنى الأعداد الحقيقية الموسعة (في إطار خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا ، تكون النهاية هي اللانهاية غير الموقعة).${\displaystyle \infty }$في الحالات الثلاث جميعها). ^{[ 4 ]} وبالمثل، أي تعبير من الشكل${\displaystyle a/0}$مع${\displaystyle a\neq 0}$(مشتمل${\displaystyle a=+\infty }$و${\displaystyle a=-\infty }$) ليس شكلاً غير محدد، لأن ناتج القسمة الذي يؤدي إلى مثل هذا التعبير سيتباعد دائمًا.

التعبير${\displaystyle 0^{\infty }}$ليست صيغة غير محددة. التعبير${\displaystyle 0^{+\infty }}$تم الحصول عليها من خلال النظر${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$يحدد الحد${\displaystyle 0,}$بشرط أن${\displaystyle f(x)}$يبقى غير سالب لأن${\displaystyle x}$الأساليب${\displaystyle c}$التعبير${\displaystyle 0^{-\infty }}$وهو مكافئ بالمثل لـ${\displaystyle 1/0}$؛ لو${\displaystyle f(x)>0}$مثل${\displaystyle x}$الأساليب${\displaystyle c}$، ويظهر الحد على النحو التالي${\displaystyle +\infty }$.

لنرى السبب، دعونا${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$أين${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$و${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين واستخدام${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$نحن نفهم ذلك${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$وهذا يعني أن${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

عندما يكون هناك متغيران${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$تتقارب إلى الصفر عند نفس نقطة النهاية و${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$، وتسمى متكافئة متناهية الصغر (مكافئة).${\displaystyle \alpha \sim \beta }$).

علاوة على ذلك، إذا كانت المتغيرات${\displaystyle \alpha '}$و${\displaystyle \beta '}$هي من النوع الذي${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$و${\displaystyle \beta \sim \beta '}$، ثم: $${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

إليكم دليلًا موجزًا:

لنفترض وجود كميتين متناهيتين في الصغر متكافئتين${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$و${\displaystyle \beta \sim \beta '}$.

$${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

لتقييم الشكل غير المحدد${\displaystyle 0/0}$يمكن الاستفادة من الحقائق التالية حول الكميات المتكافئة (على سبيل المثال،${\displaystyle x\sim \sin x}$(إذا اقتربت قيمة x من الصفر): ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\sim \sin x,\\x&\sim \arcsin x,\\x&\sim \sinh x,\\x&\sim \tan x,\\x&\sim \arctan x,\\x&\sim \ln(1+x),\\1-\cos x&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\\cosh x-1&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\a^{x}-1&\sim x\ln a,\\e^{x}-1&\sim x,\\(1+x)^{a}-1&\sim ax.\end{aligned}}}$$

على سبيل المثال:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$$

في المعادلة الثانية،${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$أين${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$كلما اقتربت قيمة y من الصفر، يتم استخدامها،${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$أين${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$يُستخدم في المساواة الرابعة، و${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$يُستخدم في المساواة الخامسة.

قاعدة لوبيتال هي طريقة عامة لتقييم الأشكال غير المحددة${\displaystyle 0/0}$و${\displaystyle \infty /\infty }$تنص هذه القاعدة على أنه (في ظل الظروف المناسبة)

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$$

أين${\displaystyle f'}$و${\displaystyle g'}$هي مشتقات​${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$(لاحظ أن هذه القاعدة لا تنطبق على التعبيرات)${\displaystyle \infty /0}$،${\displaystyle 1/0}$وهكذا، لأن هذه التعبيرات ليست أشكالاً غير محددة.) ستسمح هذه المشتقات بإجراء تبسيط جبري وتقييم النهاية في النهاية.

يمكن تطبيق قاعدة لوبيتال أيضًا على الأشكال غير المحددة الأخرى، باستخدام تحويل جبري مناسب أولًا. على سبيل المثال، لتقييم الشكل 0 ⁰ :

$${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$$

الجانب الأيمن على شكل${\displaystyle \infty /\infty }$لذا، تنطبق قاعدة لوبيتال عليها. لاحظ أن هذه المعادلة صحيحة (طالما أن الطرف الأيمن مُعرَّف) لأن اللوغاريتم الطبيعي (ln) دالة متصلة ؛ ولا يهم مدى انتظام سلوكها.${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$قد يكون (أو قد لا يكون) طويلاً مثل${\displaystyle f}$موجبة تقاربياً. (مجال اللوغاريتمات هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.)

على الرغم من أن قاعدة المستشفى تنطبق على كليهما${\displaystyle 0/0}$و${\displaystyle \infty /\infty }$قد يكون أحد هذين الشكلين أكثر فائدة من الآخر في حالة معينة (بسبب إمكانية التبسيط الجبري لاحقًا). ويمكن التبديل بين هذين الشكلين عن طريق التحويل.${\displaystyle f/g}$ل${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$.

• فاربيرج، ديل E.؛ بورسيل، إدوين J.؛ ريجدون ، ستيفن إي. (2007). حساب التفاضل والتكامل (  الطبعة التاسعة). بيرسون برنتيس هول . رقم ISBN 978-0131469686.