نظام غير محدد

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الأعداد ، يحتوي النظام غير المحدد على عدد أقل من المعادلات مقارنةً بعدد المجاهيل، ولكنه يتضمن مجموعة إضافية من القيود على هذه المجاهيل، مثل اشتراط أن تكون القيم أعدادًا صحيحة. [ 1 ] في العصر الحديث، تُسمى المعادلات غير المحددة غالبًا بالمعادلات الديوفانتية . [ 2 ] [ 3 ] : iii

أمثلة

المعادلات الخطية غير المحددة

مثال على معادلة خطية غير محددة هو تخيل رجلين متساويين في الثراء، أحدهما يملك 5 ياقوتات حمراء، و8 ياقوتات زرقاء، و7 لآلئ، و90 قطعة ذهبية؛ والآخر يملك 7، و9، و6، و62 قطعة ذهبية على التوالي. أوجد أسعار (ص، ج، ن) الأحجار الكريمة لكل منهما بالقطع الذهبية. بما أنهما متساويان في الثراء: 5y+8ج+7ن+90=7y+9ج+6ن+62{\displaystyle 5y+8c+7n+90=7y+9c+6n+62}قدّم بهاسكارا الثاني منهجًا عامًا لهذا النوع من المسائل من خلال تخصيص عدد صحيح ثابت لأحد المجاهيل (أو N-2 بشكل عام)، على سبيل المثالن=1{\displaystyle n=1}مما ينتج عنه سلسلة من الحلول الممكنة مثل (y, c, n)=(14, 1, 1)، (13, 3, 1). [ 3 ] : 43

بالنسبة للأعداد الصحيحة المعطاة a و b و n ، فإن المعادلة الخطية العامة غير المحددة هي أx+بy=ن{\displaystyle ax+by=n} مع تقييد المجاهيل x و y بالأعداد الصحيحة. الشرط اللازم والكافي للحلول هو أن القاسم المشترك الأكبر ،(أ،ب){\displaystyle (a,b)}، يقبل القسمة على ن . [ 1 ] : 11

تاريخ

درس علماء الرياضيات الأوائل في كل من الهند والصين المعادلات الخطية غير المحددة ذات الحلول الصحيحة. [ 4 ] طور الفلكي الهندي أريابهاتا خوارزمية تكرارية لحل المعادلات غير المحددة، والتي يُعرف الآن أنها مرتبطة بخوارزمية إقليدس . [ 5 ] يرتبط اسم نظرية الباقي الصينية بالرأي القائل بأن المعادلات غير المحددة نشأت في هذه التقاليد الرياضية الآسيوية، ولكن من المرجح أن الإغريق القدماء قد تعاملوا أيضًا مع المعادلات غير المحددة. [ 4 ]

ظهر أول عمل رئيسي حول المعادلات غير المحددة في كتاب " الحساب " لديوفانتوس في القرن الثالث الميلادي. سعى ديوفانتوس إلى إيجاد حلول مقيدة بالأعداد النسبية ، لكن عمل بيير دي فيرما في القرن السابع عشر الميلادي ركز على الحلول الصحيحة، وقدم فكرة تحديد جميع الحلول الممكنة بدلاً من حل واحد فقط. [ 6 ] في العصر الحديث، أصبحت الحلول الصحيحة للمعادلات غير المحددة تُعرف بتحليل المعادلات الديوفانتية . [ 3 ] : iii

كُتبت الورقة البحثية الأصلية التي عرّف فيها هنري جون ستيفن سميث الصيغة الطبيعية لسميث للأنظمة الخطية غير المحددة. [ 7 ] [ 8 ]

مراجع

  1. 1 2 هوا، لوغينغ (1982). "الفصل 11. المعادلات غير المحددة". مقدمة في نظرية الأعداد . كتب سبرينغر لينك. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ISBN 978-3-642-68130-1.
  2. ↑ باشماكوفا، آي جي (1997). معادلات ديوفانتوس وديوفانتين . سلسلة دولسياني للعروض الرياضية. واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-1-4704-5048-9.
  3. 1 2 3 ديكسون، إل إي (1919). تاريخ نظرية الأعداد، المجلد الثاني: التحليل الديوفانتي . المملكة المتحدة: منشورات دوفر (نُشر عام 2013).
  4. 1 2 كريستيانيديس، ج. (1994). حول تاريخ المسائل غير المحددة من الدرجة الأولى في الرياضيات اليونانية. اتجاهات في تاريخ كتابة العلوم، 237-247.
  5. ^ شوكلا، كن (2015). المعادلة الخطية غير المحددة – سرد تاريخي موجز. ريفيستا برازيليرا دي هيستوريا دا ماتيماتيكا، 15(30)، 83-94.
  6. ↑ كلاينر، إسرائيل (1 فبراير 2005). "فيرما: مؤسس نظرية الأعداد الحديثة" . مجلة الرياضيات . 78 (1): 3-14 . doi : 10.1080/0025570X.2005.11953295 . ISSN 0025-570X . 
  7. ↑ لازيبنيك، ف. (1996). حول أنظمة المعادلات الديوفانتية الخطية. مجلة الرياضيات، 69(4)، 261-266.
  8. ↑ سميث، إتش جيه إس (1861). الخامس عشر حول أنظمة المعادلات الخطية غير المحددة والتطابقات. المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن، (151)، 293-326.