تمثيل المرافق المعقد

في الرياضيات ، إذا كانت G مجموعة و Π تمثيل لها على فضاء المتجهات المركبة V ، فإن التمثيل المرافق المركب Π يُعرَّف على فضاء المتجهات المرافق المركب V على النحو التالي :

Π ( g ) هو المرافق لـ Π ( g ) لجميع g في G .

Π هو أيضًا تمثيل، كما يمكن التحقق من ذلك بشكل صريح.

إذا كانت g جبر لي حقيقي و π تمثيل له على الفضاء المتجهي V ، فإن التمثيل المرافق π يُعرَّف على الفضاء المتجهي المرافق V على النحو التالي:

π ( X ) هو المرافق لـ π ( X ) لجميع X في g . ^{[ 1 ]}

π هو أيضاً تمثيل، كما يمكن التحقق من ذلك بشكل صريح.

إذا كان لجبري لي حقيقيين نفس التعقيد ، وكان لدينا تمثيل معقد لجبر لي المُعقّد، فإن تمثيلاتهما المترافقة ستظل مختلفة. انظر إلى السبينور للاطلاع على بعض الأمثلة المرتبطة بتمثيلات السبينور لمجموعات الدوران Spin( p + q ) و Spin( p , q ) .

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو جبر لي * (جبر لي معقد مع عملية * متوافقة مع قوس لي)،

π ( X ) هو المرافق لـ −π ( X *) لجميع قيم X في g

بالنسبة للتمثيل الوحدوي ذي الأبعاد المحدودة ، يتطابق التمثيل الثنائي مع التمثيل المرافق. وينطبق هذا أيضاً على التمثيلات شبه الوحدوية.

• التمثيل المزدوج