التمثيل الوحدوي

في الرياضيات ، يُعرَّف التمثيل الوحدوي لمجموعة G بأنه تمثيل خطي π لمجموعة G على فضاء هيلبرت معقد V بحيث يكون π( g ) مؤثرًا وحدويًا لكل g ∈ G. وتكون النظرية العامة متطورة جيدًا في حالة كون G مجموعة طوبولوجية متراصة محليًا ( هاوسدورف ) وتكون التمثيلات متصلة بقوة .

طُبقت هذه النظرية على نطاق واسع في ميكانيكا الكم منذ عشرينيات القرن العشرين، وتأثرت بشكل خاص بكتاب هيرمان فايل الصادر عام 1928 بعنوان "نظرية الزمر وميكانيكا الكم" . وكان جورج ماكي من الرواد في بناء نظرية عامة للتمثيلات الوحدوية، لأي زمرة G وليس فقط لزمر معينة مفيدة في التطبيقات .

ترتبط نظرية التمثيلات الوحدوية للمجموعات الطوبولوجية ارتباطًا وثيقًا بالتحليل التوافقي . في حالة المجموعة الأبيلية G ، تُقدم ثنائية بونترياجين صورةً شبه كاملة لنظرية تمثيل G. بشكل عام، تُشكل فئات التكافؤ الوحدوية (انظر أدناه ) للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ G مجموعتها الثنائية الوحدوية . يمكن تحديد هذه المجموعة مع طيف جبر C* المرتبط بـ G من خلال بناء جبر C* للمجموعة . هذا فضاء طوبولوجي .

تحاول الصيغة العامة لنظرية بلانشيريل وصف التمثيل المنتظم لـ G على L² ( G ) باستخدام مقياس على الفضاء الثنائي الوحدوي. بالنسبة لـ G الأبيلية ^، يُعطى هذا بواسطة نظرية بونترياجين للازدواجية. أما بالنسبة لـ G المدمجة ، فيتم ذلك بواسطة نظرية بيتر-ويل ؛ في هذه الحالة، يكون الفضاء الثنائي الوحدوي فضاءً منفصلاً ، ويربط المقياس ذرة بكل نقطة كتلة مساوية لدرجتها.

ليكن G زمرة طوبولوجية. التمثيل الوحدوي المستمر بقوة لـ G على فضاء هيلبرت H هو تشاكل زمر من G إلى الزمرة الوحدوية لـ H.

${\displaystyle \pi :G\rightarrow \operatorname {U} (H)}$

بحيث تكون الدالة g → π( g ) ξ دالة متصلة معيارياً لكل ξ ∈ H .

لاحظ أنه إذا كانت G زمرة لي ، فإن فضاء هيلبرت يقبل أيضًا بنىً أساسية ملساء وتحليلية. يُقال إن المتجه ξ في H أملس أو تحليلي إذا كانت الدالة g → π( g )ξ ملساء أو تحليلية (في المعيار أو الطوبولوجيات الضعيفة على H ). ^{[ 1 ]} المتجهات الملساء كثيفة في H وفقًا لحجة كلاسيكية لـ Lars Gårding ، حيث أن الالتفاف بواسطة دوال ملساء ذات دعم مضغوط ينتج متجهات ملساء. المتجهات التحليلية كثيفة وفقًا لحجة كلاسيكية لـ Edward Nelson ، والتي عززها Roe Goodman، حيث أن المتجهات في صورة مؤثر الحرارة e ^–tD ، المقابل لمؤثر تفاضلي إهليلجي D في الجبر الشامل لـ G ، هي متجهات تحليلية. لا تقتصر وظيفة المتجهات الملساء أو التحليلية على تشكيل فضاءات فرعية كثيفة فحسب؛ لكنها تشكل أيضًا نوى مشتركة للمؤثرات المائلة المرافقة غير المحدودة التي تتوافق مع عناصر جبر لي ، بمعنى نظرية الطيف . ^{[ 2 ]}

يُقال إن تمثيلين وحدويين π₁ _: G → U( H₁ ₎ و π₂ _: G → U( H₂ ₎ متكافئان وحدويًا إذا وُجد تحويل وحدوي A : H₁ → H₂ بحيث يكون _π₁ ( g ₎ = A ^* ∘ π₂ ₍ g ) ∘ A لكل g في G. وعندما يتحقق هذا الشرط، يُقال إن A عامل ربط بين التمثيلين _.${\displaystyle (\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})}$[ ^{3 ]​}

لو${\displaystyle \pi }$هو تمثيل لمجموعة لي متصلة${\displaystyle G}$على فضاء هيلبرت ذي أبعاد محدودة${\displaystyle H}$، ثم${\displaystyle \pi }$تكون العملية وحدوية إذا وفقط إذا كان تمثيل جبر لي المرتبط بها${\displaystyle d\pi$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (H)} تُسقط على فضاء المؤثرات الذاتية المرافقة المائلة على${\displaystyle H}$[ ^{4 ]​}

التمثيل الوحدوي قابل للاختزال تمامًا ، بمعنى أنه لأي فضاء جزئي مغلق وثابت ، يكون المكمل المتعامد فضاءً جزئيًا مغلقًا وثابتًا أيضًا. هذا على مستوى الملاحظة، ولكنه خاصية أساسية. على سبيل المثال، يعني هذا أن التمثيلات الوحدوية ذات الأبعاد المحدودة هي دائمًا مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال، بالمعنى الجبري.

بما أن التعامل مع التمثيلات الوحدوية أسهل بكثير من الحالة العامة، فمن الطبيعي النظر في التمثيلات القابلة للوحدوية ، أي تلك التي تصبح وحدوية عند إدخال بنية فضاء هيلبرت معقدة مناسبة. ينجح هذا الأمر بشكل ممتاز مع الزمر المنتهية ، وبشكل أعم مع الزمر المتراصة ، من خلال حجة متوسطة تُطبق على بنية هيرميتية اختيارية (وبشكل أدق، جداء داخلي جديد مُعرَّف بحجة متوسطة على الجداء القديم، والذي يكون التمثيل وحدويًا بالنسبة له). ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، يمكن إثبات نظرية ماشكه بهذه الطريقة.

بشكل عام، بالنسبة للمجموعات غير المتراصة، يُعدّ تحديد التمثيلات القابلة للتحويل إلى وحدات مسألةً أكثر أهمية. ومن أهم المشكلات غير المحلولة في الرياضيات وصفُ الثنائية الوحدوية ، أي التصنيف الفعال للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لجميع مجموعات لي المختزلة الحقيقية . جميع التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال مقبولة (أو بالأحرى وحدات هاريش-تشاندرا الخاصة بها مقبولة)، ويتم تحديد التمثيلات المقبولة بواسطة تصنيف لانجلاندز ، ومن السهل تحديد أي منها له شكل خطي ثابت غير تافه . تكمن المشكلة في صعوبة تحديد متى يكون الشكل التربيعي موجبًا تمامًا . وقد تم حل هذه المشكلة للعديد من مجموعات لي المختزلة؛ انظر نظرية تمثيل SL2(R) ونظرية تمثيل مجموعة لورنتز للاطلاع على أمثلة.

• التمثيلات المستحثة
• التمثيل النمطي
• نظرية التمثيل لـ SL2(R)
• تمثيلات مجموعة لورنتز
• نظرية ستون-فون نيومان
• التمثيل الوحدوي للنجمة في الجبر الفائق لي
• الوظيفة الكروية المناطقية

• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
• ريد، مايكل ؛ سيمون، باري (1975)، أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة، المجلد 2: تحليل فورييه، الترافق الذاتي ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0-12-585002-6
• وارنر، غارث (1972)، التحليل التوافقي على زمر لي شبه البسيطة 1 ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-05468-5