النظرية الطيفية

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية الأطياف مصطلحًا شاملًا للنظريات التي تُوسّع نظرية المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لمصفوفة مربعة واحدة لتشمل نظرية أوسع بكثير لبنية المؤثرات في فضاءات رياضية متنوعة . ^{[ 1 ]} وهي نتاج دراسات الجبر الخطي وحلول أنظمة المعادلات الخطية وتعميماتها. ^{[ 2 ]} وترتبط هذه النظرية بنظرية الدوال التحليلية لأن الخصائص الطيفية للمؤثر ترتبط بالدوال التحليلية للمعامل الطيفي. ^{[ 3 ]}

صاغ ديفيد هيلبرت مصطلح " النظرية الطيفية" في صياغته الأصلية لنظرية فضاء هيلبرت ، والتي صيغت بدلالة المعادلات التربيعية في عدد لا نهائي من المتغيرات. ولذلك، اعتُبرت النظرية الطيفية الأصلية بمثابة نسخة من النظرية المتعلقة بالمحاور الرئيسية لسطح إهليلجي ، في سياق لا نهائي الأبعاد. وكان اكتشاف لاحق في ميكانيكا الكم أن النظرية الطيفية قادرة على تفسير خصائص الأطياف الذرية بمثابة مصادفة. وقد فوجئ هيلبرت نفسه بالتطبيق غير المتوقع لهذه النظرية، مشيرًا إلى أنه "طورتُ نظريتي المتعلقة بعدد لا نهائي من المتغيرات انطلاقًا من اهتمامات رياضية بحتة، بل وأطلقتُ عليها اسم "التحليل الطيفي" دون أي توقع مسبق بأنها ستجد لاحقًا تطبيقًا على الطيف الفعلي للفيزياء". ^{[ 4 ]}

ظهرت ثلاث طرق رئيسية لصياغة نظرية الأطياف، ولكل منها استخدامات في مجالات مختلفة. بعد صياغة هيلبرت الأولية، كان التطور اللاحق لفضاءات هيلبرت المجردة ونظرية الأطياف للمؤثرات الطبيعية المفردة عليها ملائمًا تمامًا لمتطلبات الفيزياء ، كما يتضح من أعمال فون نيومان . ^{[ 5 ]} ثم بُنيت النظرية اللاحقة على هذا الأساس لمعالجة جبر باناخ بشكل عام. أدى هذا التطور إلى تمثيل جيلفاند ، الذي يغطي الحالة التبادلية ، ثم إلى التحليل التوافقي غير التبادلي .

يُمكن ملاحظة الفرق عند الربط بتحليل فورييه . يُعدّ تحويل فورييه على خط الأعداد الحقيقية ، من وجهة نظر معينة، نظرية طيفية للتفاضل كمؤثر تفاضلي . ولكن لتغطية هذه الظاهرة، يجب التعامل مع الدوال الذاتية المعممة (على سبيل المثال، باستخدام فضاء هيلبرت مُجهّز ). من ناحية أخرى، من السهل بناء جبر زمرة ، يجسّد طيفه الخصائص الأساسية لتحويل فورييه، ويتم ذلك باستخدام ازدواجية بونترياجين .

يمكن أيضاً دراسة الخصائص الطيفية للمؤثرات على فضاءات باناخ . على سبيل المثال، تتمتع المؤثرات المدمجة على فضاءات باناخ بالعديد من الخصائص الطيفية المشابهة لخصائص المصفوفات .

تم شرح الخلفية في فيزياء الاهتزازات على النحو التالي: ^{[ 6 ]}

ترتبط نظرية الأطياف بدراسة الاهتزازات الموضعية لمجموعة متنوعة من الأجسام، بدءًا من الذرات والجزيئات في الكيمياء وصولًا إلى العوائق في الموجهات الصوتية . لهذه الاهتزازات ترددات ، والمسألة تكمن في تحديد وقت حدوثها وكيفية حساب تردداتها. هذه مشكلة معقدة للغاية، إذ لا يمتلك كل جسم نغمة أساسية فحسب ، بل سلسلة معقدة من النغمات التوافقية التي تختلف اختلافًا جذريًا من جسم لآخر.

لا ترتبط هذه الأفكار الفيزيائية بالنظرية الرياضية على المستوى التقني، ولكن توجد أمثلة على مشاركة غير مباشرة (انظر على سبيل المثال سؤال مارك كاك : هل يمكنك سماع شكل الطبل؟ ). يُنسب استخدام هيلبرت لمصطلح "الطيف" إلى ورقة بحثية لفيلهلم فيرتينغر عام 1897 حول معادلة هيل التفاضلية (بقلم جان ديودونيه )، وقد تبناها طلابه خلال العقد الأول من القرن العشرين، ومن بينهم إرهارد شميدت وهيرمان فايل . طُوِّر الأساس المفاهيمي لفضاء هيلبرت من أفكار هيلبرت على يد إرهارد شميدت وفريجيس ريس . ^{[ 7 ] [ 8 ]} بعد ذلك بعشرين عامًا تقريبًا، عندما صيغت ميكانيكا الكم بدلالة معادلة شرودنغر ، تم الربط بين هذا المفهوم والأطياف الذرية . كان يُشتبه سابقًا في وجود صلة بين الفيزياء الرياضية للاهتزاز، كما أشار هنري بوانكاريه ، ولكن تم رفضها لأسباب كمية بسيطة، في غياب تفسير لسلسلة بالمر . ^{[ 9 ]} ولذلك، كان الاكتشاف اللاحق في ميكانيكا الكم بأن النظرية الطيفية يمكنها تفسير خصائص الأطياف الذرية مصادفة، وليس نتيجة لنظرية هيلبرت الطيفية.

لنفترض تحويلاً خطياً محدوداً T معرفاً في كل مكان على فضاء باناخ عام . نُشكّل التحويل التالي: $${\displaystyle R_{\zeta }=\left(\zeta IT\right)^{-1}.}$$

هنا ، I هو عامل الوحدة وζ عدد مركب . يُعرَّف معكوس العامل T ، أي T ^{−1 ، كما يلي:}$${\displaystyle TT^{-1}=T^{-1}T=I.}$$

إذا كان المعكوس موجودًا، يُطلق على T اسم منتظم . وإذا لم يكن موجودًا، يُطلق على T اسم شاذ .

_{بناءً على} هذه التعريفات، فإن مجموعة الحلول للمؤثر T هي مجموعة جميع الأعداد المركبة ζ التي تحقق الشرط Rζ الموجود والمحدود . ويُرمز لهذه المجموعة عادةً بالرمز ρ ( T ). أما طيف T فهو مجموعة جميع الأعداد المركبة ζ التي لا تحقق _الشرط Rζ أو تكون غير محدودة. ويُرمز لطيف T عادةً بالرمز σ ( T ). تُسمى الدالة Rζ لكل ζ في ρ ( T ) (أي، حيثما وُجدت Rζ كمؤثر محدود) بالحل للمؤثر T. وبالتالي _، فإن طيف T _هو مكمل مجموعة الحلول للمؤثر T في المستوى المركب. ^{[ 10 ]} تنتمي كل قيمة ذاتية للمؤثر T إلى σ ( T )، ولكن قد تحتوي σ ( T ) على قيم غير ذاتية. ^{[ 11 ]}

ينطبق هذا التعريف على فضاء باناخ، ولكن توجد بالطبع أنواع أخرى من الفضاءات؛ فعلى سبيل المثال، تشمل الفضاءات المتجهة الطوبولوجية فضاءات باناخ، ولكنها قد تكون أكثر عمومية. ^{[ 12 ] [ 13 ]} من جهة أخرى، تشمل فضاءات باناخ فضاءات هيلبرت ، وهذه الفضاءات هي التي تجد أكبر قدر من التطبيقات وأغنى النتائج النظرية. ^{[ 14 ]} مع بعض القيود المناسبة، يمكن قول الكثير عن بنية أطياف التحويلات في فضاء هيلبرت. على وجه الخصوص، بالنسبة للمؤثرات ذاتية الترافق ، يقع الطيف على خط الأعداد الحقيقية ، وهو (بشكل عام) مزيج طيفي من طيف نقطي للقيم الذاتية المنفصلة وطيف متصل . ^{[ 15 ]}

في التحليل الوظيفي والجبر الخطي ، تُحدد نظرية الطيف الشروط التي بموجبها يُمكن التعبير عن مؤثر ما بصورة بسيطة كمجموع مؤثرات أبسط. ولأن العرض الكامل والدقيق غير مناسب لهذه المقالة، فإننا نعتمد منهجًا يتجنب الكثير من الدقة والرضا الذي يوفره الأسلوب الرسمي، وذلك بهدف جعله أكثر سهولة في الفهم لغير المتخصصين.

يُمكن شرح هذا الموضوع بسهولة أكبر من خلال تقديم ترميز برا-كيت لمؤثرات ديراك . ^{[ 16 ] [ 17 ]} على سبيل المثال، يُمكن كتابة مؤثر خطي محدد جدًا L على شكل جداء ثنائي : ^{[ 18 ] [ 19 ]}

${\displaystyle L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,}$

بدلالة "bra" ⟨ b ₁ | و "ket" | k ₁ ⟩. تُوصف الدالة f بواسطة ket على النحو التالي: | f ⟩. الدالة f ( x ) معرفة على الإحداثيات${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$يُشار إليه بـ

${\displaystyle f(x)=\langle x|f\rangle }$

ومقدار f بواسطة

${\displaystyle \|f\|^{2}=\langle f|f\rangle =\int \langle f|x\rangle \langle x|f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx}$

حيث تشير العلامة (*) إلى المرافق المركب . يحدد هذا الاختيار للجداء الداخلي فضاءً محددًا جدًا للجداء الداخلي ، مما يحد من عمومية الحجج اللاحقة. ^{[ 14 ]}

ثم يُوصف تأثير L على الدالة f على النحو التالي:

${\displaystyle L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle }$

معبراً عن النتيجة التي مفادها أن تأثير L على f هو إنتاج دالة جديدة${\displaystyle |k_{1}\rangle }$مضروبًا في حاصل الضرب الداخلي المُمثَّل بـ${\displaystyle \langle b_{1}|f\rangle }$.

يمكن التعبير عن المؤثر الخطي الأكثر عمومية L على النحو التالي:

${\displaystyle L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,}$

حيث${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$هي كميات قياسية و${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$وهي أساس و${\displaystyle \{\,\langle f_{i}|\,\}}$أساس متبادل للفضاء. تُوصف العلاقة بين الأساس والأساس المتبادل، جزئيًا، بما يلي:

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

إذا انطبق هذا الشكل الرسمي، فإن${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$هي القيم الذاتية لـ L والدوال${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$هي ^دوال ذاتية لـ L. القيم الذاتية موجودة ^في طيف L. [ ²⁰ ]

من الأسئلة البديهية: ما هي الظروف التي ينجح فيها هذا النموذج، وما هي المؤثرات L التي يمكن من خلالها إجراء متسلسلات لمؤثرات أخرى مماثلة؟ هل يمكن التعبير عن أي دالة f بدلالة الدوال الذاتية (هل هي أساس شاوودر )؟ وما هي الظروف التي ينشأ فيها طيف نقطي أو طيف متصل؟ كيف تختلف النماذج المستخدمة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد عن تلك المستخدمة في الفضاءات المحدودة الأبعاد، أو هل تختلف أصلاً؟ هل يمكن تعميم هذه الأفكار على فئة أوسع من الفضاءات؟ إن الإجابة على هذه الأسئلة تقع ضمن نطاق نظرية الأطياف، وتتطلب معرفة واسعة في التحليل الوظيفي وجبر المصفوفات .

يستمر هذا القسم بنفس الأسلوب المبسط للقسم السابق باستخدام ترميز برا-كيت، متجاوزًا العديد من التفاصيل المهمة للمعالجة الرياضية الدقيقة. ^{[ 21 ]} يمكن الاطلاع على معالجة رياضية دقيقة في مراجع مختلفة. ^{[ 22 ]} على وجه الخصوص، سيكون بُعد الفضاء n محدودًا.

باستخدام ترميز برا-كيت الوارد في القسم أعلاه، يمكن كتابة عامل الهوية على النحو التالي:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}$

حيث يُفترض كما سبق أن${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}}$وهي أساس و${\displaystyle \{\langle f_{i}|\}}$أساس متبادل للفضاء يحقق العلاقة التالية:

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

يُطلق على هذا التعبير عن عملية الهوية اسم تمثيل أو حل الهوية. ^{[ 21 ] [ 22 ]} هذا التمثيل الرسمي يحقق الخاصية الأساسية للهوية:

${\displaystyle I^{k}=I}$

صالحة لكل عدد صحيح موجب k .

تطبيق حل الهوية على أي دالة في الفضاء${\displaystyle |\psi \rangle }$، فيحصل المرء على:

${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle }$

وهو توسيع فورييه المعمم لـ ψ بدلالة دوال الأساس {  e _i  }. ^{[ 23 ]} هنا${\displaystyle c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle }$.

بافتراض وجود معادلة مؤثرة على الشكل التالي:

${\displaystyle O|\psi \rangle =|h\rangle }$

بوجود h في الفضاء، يمكن حل هذه المعادلة في الأساس المذكور أعلاه من خلال العمليات الرسمية التالية:

${\displaystyle O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,}$

${\displaystyle \langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_ {ي}|ح\rangle،\quad \forall j}$

والتي تحول معادلة المؤثر إلى معادلة مصفوفية تحدد المعاملات المجهولة c _j بدلالة معاملات فورييه المعممة.${\displaystyle \langle f_{j}|h\rangle }$من h وعناصر المصفوفة${\displaystyle O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle }$من المشغل O.

يبرز دور نظرية الأطياف في تحديد طبيعة ووجود الأساس والأساس المتبادل. وعلى وجه الخصوص، قد يتكون الأساس من الدوال الذاتية لمؤثر خطي ما L :

${\displaystyle L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;}$

باستخدام القيم الذاتية { λᵢ } للمصفوفة L من طيفها . ثم يوفر تحليل المتطابقة أعلاه توسيع المصفوفة L _{باستخدام} ثنائيات المحاور .  

${\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.}$

باستخدام نظرية الطيف، فإن عامل التحليل R :

${\displaystyle R=(\lambda IL)^{-1},\,}$

يمكن تقييمها من حيث الدوال الذاتية والقيم الذاتية لـ L ، ويمكن إيجاد دالة غرين المقابلة لـ L.

تطبيق R على دالة عشوائية في الفضاء، على سبيل المثال${\displaystyle \varphi }$،

${\displaystyle R|\varphi \rangle =(\lambda IL)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .}$

لهذه الدالة أقطاب في المستوى المركب λ عند كل قيمة ذاتية لـ L. وبالتالي، باستخدام حساب البواقي :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,}$

حيث يكون التكامل الخطي على محيط C يشمل جميع القيم الذاتية لـ L.

لنفترض أن دوالنا معرفة على بعض الإحداثيات { x _j }، أي:

${\displaystyle \langle x|\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).}$

تقديم الترميز

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\delta (x-y),}$

حيث δ(x − y) = δ(x ₁ − y ₁ , x ₂ − y ₂ , x ₃ − y ₃ , ...) هي دالة ديراك دلتا ، ^{[ 24 ]} يمكننا كتابة

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.}$

ثم:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}}$

الدالة G(x, y; λ) معرفة كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}}$

تُسمى دالة غرين للمؤثر L ، وتُحقق ما يلي: ^{[ 25 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).}$

لننظر في معادلة المؤثر:

${\displaystyle (O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle$ ;}

من حيث الإحداثيات:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).}$

الحالة الخاصة هي λ = 0.

تتمثل وظيفة غرين في القسم السابق فيما يلي:

${\displaystyle \langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),}$

ويلبي:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).}$

باستخدام خاصية دالة غرين هذه:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).}$

ثم، بضرب طرفي هذه المعادلة في h ( z ) وإجراء التكامل:

${\displaystyle \int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),}$

مما يشير إلى أن الحل هو:

${\displaystyle \psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.}$

أي أن الدالة ψ ( x ) التي تحقق معادلة المؤثر يتم إيجادها إذا استطعنا إيجاد طيف O ، وبناء G ، على سبيل المثال باستخدام:

${\displaystyle G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.}$

هناك طرق أخرى عديدة لإيجاد G ، بالطبع. ^{[ 26 ]} انظر المقالات المتعلقة بدوال غرين ومعادلات فريدهولم التكاملية . يجب التنويه إلى أن الرياضيات المذكورة أعلاه هي رياضيات شكلية بحتة، وأن المعالجة الدقيقة تتطلب رياضيات متقدمة، بما في ذلك معرفة جيدة بالتحليل الوظيفي ، وفضاءات هيلبرت ، والتوزيعات ، وما إلى ذلك. راجع هذه المقالات والمراجع لمزيد من التفاصيل.

قد تكون مسائل التحسين هي الأمثلة الأكثر فائدة حول الأهمية التوافقية للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية في المصفوفات المتناظرة، وخاصة بالنسبة لنسبة رايلي بالنسبة للمصفوفة M.

تنص النظرية على أنه إذا كانت M مصفوفة متناظرة، و x متجهًا غير صفري يُعظّم حاصل قسمة رايلي بالنسبة إلى M ، فإن x متجه ذاتي لـ M وقيمته الذاتية تساوي حاصل قسمة رايلي . علاوة على ذلك، فإن هذه القيمة الذاتية هي أكبر قيمة ذاتية لـ M. 

البرهان: لنفترض صحة نظرية الطيف. ولتكن القيم الذاتية للمصفوفة M هي${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}}$منذ${\displaystyle \{v_{i}\}}$بتشكيل أساس متعامد ، يمكن التعبير عن أي متجه x في هذا الأساس على النحو التالي:

${\displaystyle x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}}$

إن طريقة إثبات هذه الصيغة سهلة للغاية. وهي، على وجه التحديد،

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}}$

قم بتقييم حاصل قسمة رايلي بالنسبة إلى x :

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{T}Mx={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}}$

حيث استخدمنا متطابقة بارسيفال في السطر الأخير. وأخيرًا، نحصل على ذلك.

${\displaystyle {\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}}$

لذا فإن حاصل قسمة رايلي يكون دائمًا أقل من${\displaystyle \lambda _{n}}$[ ^{27 ]​}

• دوال المؤثرات ، نظرية المؤثرات
• أزواج متساهلة
• تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى
• جهاز عرض ريز
• عامل ذاتي الترافق
• الطيف (التحليل الوظيفي) ، الصيغة التحليلية ، تفكيك الطيف (التحليل الوظيفي)
• نصف القطر الطيفي ، طيف المؤثر ، نظرية الطيف
• النظرية الطيفية للمؤثرات المدمجة
• النظرية الطيفية للجبر C* العادي
• نظرية ستورم-ليوفيل ، المعادلات التكاملية ، نظرية فريدهولم
• المؤثرات المدمجة ، المؤثرات متساوية الطيف ، الاكتمال
• الهندسة الطيفية
• نظرية الرسم البياني الطيفي
• قائمة بمواضيع التحليل الوظيفي

• إدوارد برايان ديفيز (1996). نظرية الأطياف والمؤثرات التفاضلية؛ المجلد 42 من سلسلة دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-58710-7.
• دانفورد، نيلسون؛ شوارتز، جاكوب ت. (1988). المؤثرات الخطية، النظرية الطيفية، المؤثرات الذاتية المرافقة في فضاء هيلبرت (الجزء 2) (طبعة ورقية معاد طباعتها من طبعة 1967  ). وايلي. ISBN 0-471-60847-5.
• دانفورد، نيلسون؛ شوارتز، جاكوب ت (1988). المؤثرات الخطية، المؤثرات الطيفية (الجزء 3) (طبعة ورقية معاد طباعتها من  طبعة 1971). وايلي. ISBN 0-471-60846-7.
• صدري حساني (1999). "الفصل 4: التحليل الطيفي" . الفيزياء الرياضية: مدخل حديث لأسسها . سبرينغر. ISBN 0-387-98579-4.
• "النظرية الطيفية للمؤثرات الخطية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• شموئيل كانتوروفيتز (1983). النظرية الطيفية لمؤثرات فضاء باناخ؛ سبرينغر.
• آرتش دبليو. نايلور، جورج آر. سيل (2000). "الفصل 5، الجزء ب: الطيف" . نظرية المؤثرات الخطية في الهندسة والعلوم؛ المجلد 40 من العلوم الرياضية التطبيقيةسبرينغر. ص  411. رقم ISBN 0-387-95001-X.
• جيرالد تيشل (2009). الأساليب الرياضية في ميكانيكا الكم؛ مع تطبيقات على مؤثرات شرودنغر . الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• فالتر موريتي (2017). نظرية الأطياف وميكانيكا الكم؛ الأسس الرياضية لنظريات الكم، والتناظرات، ومقدمة في الصياغة الجبرية، الطبعة الثانية . سبرينغر. ISBN 978-3-319-70705-1.

• تاريخ موجز لنظرية المؤثرات بقلم إيفانز إم. هاريل الثاني
• غريغوري هـ. مور (1995). "وضع بديهيات الجبر الخطي: 1875-1940" . مجلة التاريخ الرياضي . 22 (3): 262-303 . doi : 10.1006/hmat.1995.1025 .
• ستين، ل. أ. (أبريل 1973). "أبرز المحطات في تاريخ نظرية الأطياف". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 80 (4): 359-381 . doi : 10.2307/2319079 . JSTOR 2319079 .