الهندسة الطيفية

الهندسة الطيفية فرع من فروع الرياضيات يهتم بالعلاقات بين البنى الهندسية للمجالات والمتشعبات وأطياف المؤثرات التفاضلية المعرفة وفقًا للمعايير المتعارف عليها . وقد حظي مؤثر لابلاس-بيلترامي على متشعب ريماني مغلق بأكبر قدر من الدراسة، على الرغم من دراسة مؤثرات لابلاس الأخرى في الهندسة التفاضلية أيضًا. ويتناول هذا الفرع نوعين من المسائل: المسائل المباشرة والمسائل العكسية.

تسعى المسائل العكسية إلى تحديد خصائص الهندسة انطلاقًا من معلومات حول القيم الذاتية لمؤثر لابلاس. من أوائل النتائج في هذا المجال ما توصل إليه هيرمان فايل، الذي استخدم نظرية المعادلات التكاملية لديفيد هيلبرت عام ١٩١١ لإثبات إمكانية تحديد حجم نطاق محدود في الفضاء الإقليدي من السلوك التقاربي للقيم الذاتية لمسألة ديريشليه للقيم الحدية لمؤثر لابلاس . يُطرح هذا السؤال عادةً بعبارة " هل يمكن سماع شكل الطبل؟ "، وهي عبارة شائعة منسوبة إلى مارك كاك . وقد أدى تحسين صيغة فايل التقاربية، الذي توصل إليه بليجيل وميناكيسوندارام، إلى إنتاج سلسلة من الثوابت الطيفية المحلية التي تتضمن تفاضلات متغايرة لموتر الانحناء ، والتي يمكن استخدامها لإثبات الصلابة الطيفية لفئة خاصة من المتشعبات. مع ذلك، وكما يوضح لنا المثال الذي قدمه جون ميلنور ، فإن معلومات القيم الذاتية لا تكفي لتحديد فئة التماثل الهندسي لمتشعب (انظر: متساوي الطيف ). وقد أدى منهج عام ومنهجي من ابتكار توشيكازو سونادا إلى ظهور عدد كبير من هذه الأمثلة التي توضح ظاهرة المتشعبات متساوية الطيف.

تسعى المسائل المباشرة إلى استنتاج سلوك القيم الذاتية لمتشعب ريماني من خلال معرفة هندسته. وتُعدّ متباينة شيغر مثالًا نموذجيًا لحلول هذه المسائل ، إذ تربط بين أول قيمة ذاتية موجبة وثابت محيطي ( ثابت شيغر ). وقد طُوّرت العديد من صيغ هذه المتباينة منذ عمل شيغر (على سبيل المثال، من قِبل ر. بروكس وب. بوسر).

• متساوي الطيف
• سماع صوت طبل

• بيرغر, مارسيل ; جودشون، بول؛ مازيت ، إدموند (1971)، Le specter d'une variété riemannienne ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (بالفرنسية)، المجلد.  194، برلين-نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.
• سونادا، توشيكازو (1985)، "الأغطية الريمانية والمتشعبات متساوية الطيف"، حوليات الرياضيات ، 121 (1): 169-186 ، doi : 10.2307/1971195 ، JSTOR 1971195 .