معادلة تكاملية

الخطية : تكون المعادلة التكاملية خطية إذا ظهرت الدالة المجهولة u ( x ) وتكاملاتها بشكل خطي في المعادلة. ^{[ 1 ]} ومن الأمثلة على المعادلة الخطية ما يلي: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)\,dt}$$ملاحظة حول اصطلاح التسمية: 1) تُسمى u ( x ) الدالة المجهولة، 2) تُسمى f ( x ) الدالة المعلوم، 3) K ( x , t ) هي دالة لمتغيرين وتُسمى غالبًا دالة النواة ، 4) λ هو عامل أو مُعامل مجهول، ويؤدي نفس دور القيمة الذاتية في الجبر الخطي . ^{[ 1 ]}

المعادلات غير الخطية : تُعتبر المعادلة التكاملية غير خطية إذا ظهرت الدالة المجهولة u ( x ) أو أي من تكاملاتها بشكل غير خطي في المعادلة. ^{[ 1 ]} ومن أمثلة المعادلات غير الخطية المعادلة المذكورة أعلاه إذا استبدلنا u ( t ) بـ${\displaystyle u^{2}(x),\,\,\cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}}$، مثل:$${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)\,dt}$$تُعرف بعض أنواع المعادلات التكاملية غير الخطية بأسماء محددة. ^{[ 3 ]} ومن أمثلة هذه المعادلات: ^{[ 3 ]}

• معادلات فولتيرا التكاملية غير الخطية من النوع الثاني والتي لها الشكل العام التالي:${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,}$ حيث F دالة معروفة. ^{[ 3 ]}
• معادلات فريدهولم التكاملية غير الخطية من النوع الثاني والتي لها الشكل العام التالي:${\displaystyle f(x)=F\left(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy\right)}$[ ^{3 ]​}
• يُعطى نوع خاص من معادلات فريدهولم التكاملية غير الخطية من النوع الثاني بالشكل التالي:${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy}$، والتي تحتوي على فئتين فرعيتين خاصتين: ^{[ 3 ]}
  • معادلة أوريسون:${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy}$[ ^{3 ]​}
  • معادلة هامرشتاين:${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy}$[ ^{3 ]​}

يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول معادلة هامرشتاين والإصدارات المختلفة منها في قسم هامرشتاين أدناه.

النوع الأول : تُسمى المعادلة التكاملية معادلة تكاملية من النوع الأول إذا ظهرت الدالة المجهولة فقط تحت علامة التكامل. ^{[ 3 ]} مثال على ذلك:${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$[ ^{3 ]​}

النوع الثاني : تُسمى المعادلة التكاملية معادلة تكاملية من النوع الثاني إذا ظهرت الدالة المجهولة أيضًا خارج التكامل. ^{[ 3 ]}

النوع الثالث : تسمى المعادلة التكاملية معادلة تكاملية من النوع الثالث إذا كانت معادلة تكاملية خطية بالشكل التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)}$$حيث تنعدم الدالة g ( t ) مرة واحدة على الأقل في الفترة [ a , b ] ^{[ 4 ] [ 5 ]} أو حيث تنعدم الدالة g ( t ) عند عدد محدود من النقاط في ( a , b ). ^{[ 6 ]}

فريدهولم : تُسمى المعادلة التكاملية معادلة تكاملية من نوع فريدهولم إذا كانت حدود التكامل في جميع التكاملات ثابتة ومحددة. ^{[ 1 ]} مثال على ذلك هو إجراء التكامل على مجموعة جزئية ثابتة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^{[ 3 ]} ومن ثم ، فإن المثالين التاليين هما معادلات فريدهولم: ^{[ 1 ]}

• معادلة فريدهولم من النوع الأول:${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$.
• معادلة فريدهولم من النوع الثاني:${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

لاحظ أنه يمكننا التعبير عن المعادلات التكاملية مثل تلك المذكورة أعلاه باستخدام ترميز المؤثر التكاملي أيضًا. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، يمكننا تعريف مؤثر فريدهولم التكاملي على النحو التالي:$${\displaystyle ({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.}$$وبالتالي، يمكن كتابة معادلة فريدهولم المذكورة أعلاه من النوع الثاني بشكل مختصر على النحو التالي: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).}$$

فولتيرا : تُسمى المعادلة التكاملية معادلة فولتيرا إذا كان أحد حدود التكامل على الأقل متغيرًا. ^{[ 1 ]} وبالتالي، يُجرى التكامل على مجال يتغير بتغير متغير التكامل. ^{[ 3 ]} من أمثلة معادلات فولتيرا: ^{[ 1 ]}

• معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الأول:${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الثاني:${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

كما هو الحال مع معادلات فريدهولم، يمكننا مرة أخرى اعتماد ترميز المؤثرات. وبالتالي، يمكننا تعريف مؤثر فولتيرا التكاملي الخطي${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$، كما يلي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle ({\mathcal {V}}\varphi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\varphi (s)\,ds}$$أين${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$وتُسمى الدالة K ( t , s ) بالنواة، ويجب أن تكون متصلة على الفترة.${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$^{[ 3 ]} ومن ثم ، يمكن كتابة معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الأول على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$مع${\displaystyle g(0)=0}$بالإضافة إلى ذلك، معادلة فولتيرا التكاملية الخطية من النوع الثاني لدالة مجهولة${\displaystyle y(t)}$ودالة متصلة معطاة${\displaystyle g(t)}$في الفترة${\displaystyle I}$أين${\displaystyle t\in I}$:$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).}$$فولتيرا-فريدهولم : في الأبعاد الأعلى، توجد معادلات تكاملية مثل معادلات فريدهولم-فولتيرا التكاملية (VFIE). ^{[ 3 ]} تأخذ معادلة VFIE الشكل التالي:$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$مع${\displaystyle x\in \Omega }$و${\displaystyle \Omega }$كونها منطقة مغلقة ومحدودة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$بحدود ناعمة جزئيًا. ^{[ 3 ]} مؤثر فريدهولم-فولتيرا التكاملي${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$يُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$لاحظ أنه على الرغم من أن حدود التكامل تُكتب عادةً على شكل فترات في هذا المقال، إلا أن هذا ليس شرطًا. ^{[ 7 ]} بشكل عام، لا يلزم تعريف المعادلات التكاملية دائمًا على فترة.${\displaystyle [a,b]=I}$ولكن يمكن تعريفها أيضًا على منحنى أو سطح. ^{[ 7 ]}

متجانس : تُسمى المعادلة التكاملية متجانسة إذا كانت الدالة المعروفة${\displaystyle f}$يساوي الصفر تمامًا. ^{[ 1 ]}

غير متجانس : تُسمى المعادلة التكاملية غير متجانسة إذا كانت الدالة المعروفة${\displaystyle f}$غير صفري. ^{[ 1 ]}

منتظمة : تُسمى المعادلة التكاملية منتظمة إذا كانت جميع التكاملات المستخدمة فيها تكاملات حقيقية. ^{[ 7 ]}

المعادلة التكاملية الشاذة أو شبه الشاذة : تُسمى المعادلة التكاملية شاذة أو شبه شاذة إذا كان التكامل تكاملاً غير محدود . ^{[ 7 ]} قد يكون ذلك إما لأن أحد حدود التكامل على الأقل لانهائي، أو لأن نواة التكامل تصبح غير محدودة، أي لانهائية، عند نقطة واحدة على الأقل في الفترة أو المجال الذي يتم التكامل عليه. ^{[ 1 ]}

ومن الأمثلة على ذلك: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx}$$$${\displaystyle L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx}$$هاتان المعادلتان التكامليتان هما تحويل فورييه وتحويل لابلاس للدالة u ( x ) على التوالي، وكلاهما معادلات فريدهولم من النوع الأول ذات نواة${\displaystyle K(x,t)=e^{-i\lambda x}}$و${\displaystyle K(x,t)=e^{-\lambda x}}$على التوالي. ^{[ 1 ]} مثال آخر على معادلة تكاملية مفردة تصبح فيها النواة غير محدودة هو: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.}$$هذه المعادلة هي شكل خاص من معادلة فولتيرا التكاملية الضعيفة الشاذة الأكثر عمومية من النوع الأول، والتي تسمى معادلة أبيل التكاملية: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy}$$التفرد القوي : تُسمى المعادلة التكاملية متفردة بقوة إذا تم تعريف التكامل بواسطة تنظيم خاص، على سبيل المثال، بواسطة القيمة الرئيسية لكوشي . ^{[ 7 ]}

المعادلة التكاملية التفاضلية ، كما يوحي اسمها، تجمع بين المؤثرات التفاضلية والتكاملية في معادلة واحدة. ^{[ 1 ]} توجد العديد من الصيغ، بما في ذلك معادلة فولتيرا التكاملية التفاضلية ومعادلات التأخير كما هو موضح أدناه. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، باستخدام مؤثر فولتيرا كما هو موضح أعلاه، يمكن كتابة معادلة فولتيرا التكاملية التفاضلية على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)}$$بالنسبة لمسائل التأخير، يمكننا تعريف عامل التكامل التأخيري${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)}$كما يلي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds}$$حيث يمكن التعبير عن معادلة التكامل التفاضلية المتأخرة على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).}$$

حل معادلة فولتيرا التكاملية الخطية من النوع الأول، المعطى بالمعادلة التالية:$${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$يمكن وصفها بنظرية التفرد والوجود التالية. ^{[ 3 ]} تذكر أن مؤثر فولتيرا التكاملي${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$ويمكن تعريفها على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle ({\mathcal {V}}\varphi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\varphi (s)\,ds}$$أين${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$وتُسمى الدالة K ( t , s ) بالنواة، ويجب أن تكون متصلة على الفترة.${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$[ ^{3 ]​}

الحل لمعادلة فولتيرا التكاملية الخطية من النوع الثاني، المعطى بالمعادلة: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)}$$يمكن وصفها بنظرية التفرد والوجود التالية. ^{[ 3 ]}

يمكن التعبير عن معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الثاني على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$أين${\displaystyle (x,y)\in \Omega$ :=[0,X]\times [0,Y]} ,${\displaystyle g\in C(\Omega )}$،${\displaystyle K\in C(D_{2})}$و${\displaystyle D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}}$[ ^{3 ] لهذه المعادلة التكاملية} حل وحيد${\displaystyle u\in C(\Omega )}$مقدم من: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$أين${\displaystyle R}$هي نواة الحل ^لـ K. [ ^{3 ]}

كما هو موضح أعلاه، فإن VFIE له الشكل التالي:$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$مع${\displaystyle x\in \Omega }$و${\displaystyle \Omega }$كونها منطقة مغلقة ومحدودة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$بحدود ناعمة جزئيًا. ^{[ 3 ]} مؤثر فريدهولم-فولتيرا التكاملي${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$يُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$في الحالة التي يمكن فيها كتابة النواة K على النحو التالي${\displaystyle K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )}$يُطلق على K اسم نواة الذاكرة الموجبة. [ 3 ^{] مع وضع} هذا في الاعتبار، يمكننا الآن تقديم النظرية التالية: ^{[ 3 ]}

يتم تعريف نوع خاص من معادلة فولتيرا يستخدم في تطبيقات مختلفة على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)}$$أين${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$الدالة g ( t ) متصلة على الفترة${\displaystyle I}$، ومؤثر فولتيرا التكاملي${\displaystyle (V_{\alpha }t)}$يُعطى بواسطة:$${\displaystyle (V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds}$$مع${\displaystyle (0\leq \alpha <1)}$[ ^{3 ]​}