طريقة العناصر الحدية

تُعدّ طريقة العناصر الحدية ( BEM ) طريقة حسابية عددية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية (PDEs) التي تظهر في النمذجة الهندسية والرياضية . وهي تشبه طريقة العناصر المحدودة الأكثر استخدامًا ، حيث تقسم الجسم المدروس إلى سلسلة من النقاط في الفضاء، ثم تُطبّق الحسابات بشكل تكراري على هذه النقاط.

تختلف طريقة العناصر الحدودية (BEM) عن طريقة العناصر المحدودة (FEM) (والطرق المشابهة) في أنها تسمح بحساب القيم عند النقاط الداخلية أو الخارجية باستخدام حسابات تعتمد على القيم عند حدٍّ مُحدد، غالبًا ما يكون السطح الخارجي لجسم ما أو حدًّا مشابهًا. ويتحقق ذلك بإعادة صياغة المعادلات التفاضلية الجزئية كمعادلات تكاملية (أي في صيغة التكامل الحدودي ). يُختزل هذا حساب الحجم الأكبر إلى حسابات تعتمد على الحلول عند الحدود، مما يُقلل بشكل كبير من إجمالي العمليات الحسابية المطلوبة. على سبيل المثال، عند دراسة انتقال الصوت عبر بحيرة، تتطلب طريقة العناصر المحدودة (FEM) حساب حجم هائل من النقاط، بينما تُختزل طريقة العناصر الحدودية (BEM) ذلك إلى حساب الظروف على السطح الخارجي للمُصدر.

تُستخدم طريقة العناصر الحدية (BEM) على نطاق واسع في تحليل الإجهاد ، وميكانيكا الموائع ، وعلم الصوتيات ، والمجالات المشابهة. كما أنها شائعة جدًا في دراسة الكهرومغناطيسية ، وخاصة أداء هوائيات الراديو . في هذه الحالة تحديدًا، يُستخدم هذا الأسلوب على نطاق واسع لدرجة أنه يُشار إليه عادةً بمصطلح آخر، وهو طريقة العزوم (MoM). ^{[ 1 ]}

تُعدّ طريقة العناصر الحدية مناسبةً أيضًا لتحليل ميكانيكا الكسور والشقوق في المواد الصلبة، وهناك العديد من مناهج هذه الطريقة لحلّ مشاكل الشقوق. أحد هذه المناهج هو صياغة شروط الشقوق بدلالة معادلات تكاملية حدية فائقة التفرد، انظر ( Ang 2013 ) وميكانيكا التلامس . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يمكن اعتبار المعادلة التكاملية حلاً دقيقاً للمعادلة التفاضلية الجزئية الحاكمة. تحاول طريقة العناصر الحدية استخدام الشروط الحدية المعطاة لمطابقة القيم الحدية مع المعادلة التكاملية، بدلاً من القيم في جميع أنحاء الفضاء المحدد بواسطة المعادلة التفاضلية الجزئية. بعد ذلك، في مرحلة المعالجة اللاحقة، يمكن استخدام المعادلة التكاملية مرة أخرى لحساب الحل عددياً مباشرةً عند أي نقطة مطلوبة داخل نطاق الحل.

تُطبَّق طريقة العناصر الحدية (BEM) على المسائل التي يمكن حساب دوال غرين لها. وعادةً ما تتضمن هذه المسائل حقولًا في أوساط خطية متجانسة . وهذا يفرض قيودًا كبيرة على نطاق وعمومية المسائل التي يمكن تطبيق العناصر الحدية عليها بفعالية. يمكن تضمين اللاخطية في الصيغة، على الرغم من أنها تُدخل عادةً تكاملات حجمية تتطلب تقسيم الحجم إلى أجزاء منفصلة قبل محاولة الحل، مما يُفقد طريقة العناصر الحدية إحدى أبرز مزاياها . ومن التقنيات المفيدة لمعالجة التكامل الحجمي دون تقسيم الحجم إلى أجزاء منفصلة طريقة التبادل المزدوج . تُقارب هذه الطريقة جزءًا من الدالة المُكاملة باستخدام دوال أساسية شعاعية (دوال استيفاء محلية)، ثم تُحوّل التكامل الحجمي إلى تكامل حدي بعد تحديد نقاط مُختارة موزعة في جميع أنحاء نطاق الحجم (بما في ذلك الحدود). في طريقة العناصر الحدية ذات التبادل المزدوج، على الرغم من عدم الحاجة إلى تقسيم الحجم إلى شبكات، فإن المجاهيل عند نقاط مُختارة داخل نطاق الحل تدخل في المعادلات الجبرية الخطية التي تُقارب المسألة قيد الدراسة.

تشكل عناصر دالة غرين التي تربط أزواجًا من رقع المصدر والمجال المحددة بواسطة الشبكة مصفوفة تُحل عدديًا. ما لم تكن دالة غرين منتظمة، على الأقل بالنسبة لأزواج الرقع المتقاربة، يجب تكاملها على رقعة المصدر أو رقعة المجال أو كليهما. يُطلق على شكل الطريقة التي تكون فيها التكاملات على رقع المصدر والمجال متساوية اسم " طريقة غاليركين ". تُعد طريقة غاليركين النهج الأمثل للمسائل المتناظرة فيما يتعلق بتبديل نقاط المصدر والمجال. في الكهرومغناطيسية في مجال التردد، يُضمن ذلك من خلال التبادل الكهرومغناطيسي . عادةً ما تكون تكلفة الحساب في تطبيقات غاليركين البسيطة باهظة. يجب المرور على كل زوج من العناصر (وبالتالي نحصل على n² ^{تفاعلًا} )، ولكل زوج من العناصر، نمر عبر نقاط غاوس في العناصر، مما ينتج عنه عامل ضرب يتناسب مع مربع عدد نقاط غاوس. كذلك، فإن عمليات تقييم الدوال المطلوبة عادةً ما تكون مكلفة للغاية، إذ تتضمن استدعاء دوال مثلثية/زائدية. ومع ذلك، فإن المصدر الرئيسي للتكلفة الحسابية هو هذه الحلقة المزدوجة على العناصر التي تُنتج مصفوفة مكتملة.

غالبًا ما تُشكّل دوال غرين ، أو الحلول الأساسية ، صعوبةً في التكامل لأنها تعتمد على حل معادلات النظام الخاضع لحملٍ شاذ (مثل المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية). ولا يُعدّ تكامل هذه المجالات الشاذة أمرًا يسيرًا. بالنسبة للهندسة البسيطة للعناصر (مثل المثلثات المستوية)، يُمكن استخدام التكامل التحليلي. أما بالنسبة للعناصر الأكثر عمومية، فيُمكن تصميم مخططات عددية بحتة تتكيف مع الشذوذ، ولكن بتكلفة حسابية باهظة. بالطبع، عندما تكون نقطة المصدر وعنصر الهدف (حيث يُجرى التكامل) متباعدين، لا يلزم تحديد التدرج المحلي المحيط بالنقطة بدقة، ويُصبح التكامل سهلًا نظرًا للتضاؤل ​​التدريجي للحل الأساسي. هذه الميزة هي التي تُستخدم عادةً في المخططات المصممة لتسريع حسابات مسائل العناصر الحدية.

يُعدّ اشتقاق دوال غرين ذات الصيغة المغلقة ذا أهمية خاصة في طريقة العناصر الحدية، لا سيما في الكهرومغناطيسية. وبالتحديد في تحليل الأوساط الطبقية، يتطلب اشتقاق دالة غرين في المجال المكاني عكس دالة غرين في المجال الطيفي، القابلة للاشتقاق التحليلي، باستخدام تكامل مسار سومرفيلد. لا يمكن حساب هذا التكامل تحليليًا، كما أن تكامله العددي مكلف نظرًا لسلوكه التذبذبي وبطء تقاربه. ولتحليل دقيق، تُقارب دوال غرين المكانية بدوال أسية مركبة باستخدام طرق مثل طريقة بروني أو حزمة الدوال المعممة ، ويُحسب التكامل باستخدام متطابقة سومرفيلد . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} تُعرف هذه الطريقة بطريقة الصورة المركبة المنفصلة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

تُعدّ طريقة العناصر الحدية أكثر كفاءة من الطرق الأخرى، بما في ذلك طريقة العناصر المحدودة، من حيث الموارد الحسابية في المسائل التي تكون فيها نسبة السطح إلى الحجم صغيرة. ^{[ 8 ]} وتقوم هذه الطريقة، من الناحية النظرية، على إنشاء " شبكة " فوق السطح المُنمذج. مع ذلك، تُعدّ طرق العناصر الحدية أقل كفاءة بشكل ملحوظ من طرق تجزئة الحجم ( طريقة العناصر المحدودة ، وطريقة الفروق المحدودة ، وطريقة الحجم المحدود ) في العديد من المسائل. ومن الأمثلة الجيدة على تطبيق طريقة العناصر الحدية الحساب الفعال للترددات الطبيعية لتمايل السوائل في الخزانات. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} وتُعدّ طريقة العناصر الحدية من أكثر الطرق فعالية للمحاكاة العددية لمسائل التلامس، ^{[ 12 ]} وخاصةً لمحاكاة التلامس اللاصق. ^{[ 13 ]}

تُنتج صياغات العناصر الحدية عادةً مصفوفات مكتملة العناصر. وهذا يعني أن متطلبات التخزين ووقت الحساب يميلان إلى الزيادة وفقًا لمربع حجم المسألة. في المقابل، تكون مصفوفات العناصر المحدودة عادةً مترابطة (العناصر متصلة محليًا فقط)، وتزداد متطلبات تخزين مصفوفات النظام عادةً بشكل خطي تقريبًا مع حجم المسألة. يمكن استخدام تقنيات الضغط (مثل توسيعات متعددة الأقطاب أو التقريب المتقاطع التكيفي/ المصفوفات الهرمية ) للتخفيف من هذه المشاكل، ولكن على حساب زيادة التعقيد، وبمعدل نجاح يعتمد بشكل كبير على طبيعة المسألة المراد حلها والهندسة المعنية.

• طريقة العناصر التحليلية
• الكهرومغناطيسية الحاسوبية
• طرق بدون شبكة
• طريقة الحدود المغمورة
• طريقة الشبكة الممتدة
• طريقة التكامل الشعاعي المعدلة ^{[ 14 ] [ 15 ]}

• أنج، واي-تيونغ (2007)، دورة للمبتدئين في طرق العناصر الحدية ، بوكا راتون، فلوريدا: يونيفرسال بابليشرز ، رقم ISBN 978-1-58112-974-8.
• أنج، واي-تيونغ (2013)، المعادلات التكاملية فائقة التفرد في تحليل الكسور ، أكسفورد: وودهيد للنشر ، رقم ISBN 978-0-85709-479-7.
• بانيرجي، براسانتا كومار (1994)، طرق العناصر الحدية في الهندسة (الطبعة الثانية  )، لندن، إلخ: ماكجرو هيل ، ISBN 978-0-07-707769-3.
• بير، جيرنوت؛ سميث، إيان؛ دونسر، كريستيان (8 أبريل 2008)، طريقة العناصر الحدية مع البرمجة: للمهندسين والعلماء ، برلين - هايدلبرغ - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ  ، 494 صفحة ، ISBN 978-3-211-71574-1
• تشنغ، ألكسندر هـ.-د.؛ تشنغ، ديزي ت. (2005)، "تراث وتاريخ مبكر لطريقة العناصر الحدية"، التحليل الهندسي باستخدام العناصر الحدية ، 29 (3): 268-302 ، doi : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 ، Zbl 1182.65005 متوفر أيضاً هنا .
• جيبسون، والتون سي (2008)، طريقة العزوم في الكهرومغناطيسية ، بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول / سي آر سي برس ، ص.  xv+272، ISBN 978-1-4200-6145-1، MR 2503144 ، Zbl 1175.78002  .
• كاتسيكاديلس، جون ت. (2002)، نظرية عناصر الحدود وتطبيقاتها ، أمستردام: إلسيفير ، ص.  XIV+336، ISBN 978-0-080-44107-8.
• وروبل، إل سي؛ عليابادي، إم إتش (2002)، طريقة العناصر الحدية ، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ص  1066، ISBN 978-0-470-84139-6(في مجلدين).

• كونستاندا، كريستيان؛ دوتي، ديل؛ هاميل، ويليام (2016). طرق معادلات التكامل الحدودي والحلول العددية: الصفائح الرقيقة على أساس مرن . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-3-319-26307-6.

• مورد إلكتروني لعناصر الحدود
• ما الذي يكمن تحت السطح؟ دليل لطريقة العناصر الحدية ووظائف غرين للطلاب والمهنيين
• دورة تمهيدية في هندسة العناصر (مع فصل عن دوال غرين)
• عناصر الحدود لمشاكل الشقوق المستوية
• موقع نمذجة الكهرومغناطيسية على الإنترنت في جامعة كليمسون (يتضمن قائمة بالبرامج المتاحة حاليًا)
• برنامج تحليل العناصر الحدودية لمحلل المفاهيم
• كليمبكي، بروس. حلّ هجين للمجال المغناطيسي باستخدام حلّ مُدمج للمجال باستخدام العناصر المحدودة/العناصر الحدية ، مؤتمر الجمعية المغناطيسية البريطانية، 2003، والذي يقارن بين طريقتي العناصر المحدودة والعناصر الحدية بالإضافة إلى المناهج الهجينة.