الحل الأساسي

لنفترض المؤثر L والمعادلة التفاضلية المذكورة في المثال، $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)\,.}$$

يمكننا إيجاد الحل${\displaystyle f(x)}$المعادلة الأصلية عن طريق الالتفاف (المشار إليه بعلامة النجمة) للطرف الأيمن${\displaystyle \sin(x)}$مع الحل الأساسي${\textstyle F(x)={\frac {1}{2}}|x|}$: $${\displaystyle f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|xy|\sin(y)\,dy\,.}$$

يُظهر هذا ضرورة توخي الحذر عند التعامل مع الدوال التي لا تتمتع بانتظام كافٍ (مثل الدعم المحدود، وقابلية التكامل L1 ) ^، حيث نعلم أن الحل المطلوب هو f ( x ) = −sin( x ) ، بينما يتباعد التكامل المذكور أعلاه لجميع قيم x . ومع ذلك، فإن التعبيرين عن f متساويان كتوزيعات.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)\,,}$$ حيث I هي الدالة المميزة (المؤشرة) للفترة [ 0,1 ] . في هذه الحالة، يمكن التحقق من أن التفاف I مع F ( x ) = | x |/2 هو $${\displaystyle (I*F)(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}},&0\leq x\leq 1\\|{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}|,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$وهو حل، أي أن مشتقته الثانية تساوي I.

لنرمز إلى التفاف الدالتين F و g بالرمز F ∗ g . لنفترض أننا نحاول إيجاد حل للمعادلة Lf = g ( x ) . نريد إثبات أن F ∗ g هو حل للمعادلة السابقة، أي نريد إثبات أن L ( F ∗ g ) = g . عند تطبيق المؤثر التفاضلي ذي المعاملات الثابتة، L ، على الالتفاف، من المعروف أن $${\displaystyle L(F*g)=(LF)*g\,,}$$ بشرط أن يكون لـ L معاملات ثابتة.

إذا كان F هو الحل الأساسي، فإن الجانب الأيمن من المعادلة يختزل إلى $${\displaystyle \delta *g~.}$$

لكن بما أن دالة دلتا هي عنصر محايد في عملية الالتفاف، فإن هذا ببساطة هو g ( x ) . باختصار، $${\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)\,dy=g(x)\,.}$$

لذا، إذا كان F هو الحل الأساسي، فإن عملية الالتفاف F ∗ g هي أحد حلول المعادلة Lf = g ( x ) . هذا لا يعني أنه الحل الوحيد، إذ يمكن إيجاد حلول متعددة لشروط ابتدائية مختلفة.

بالنسبة لمعادلة لابلاس ، $${\displaystyle [-\Delta ]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$$ الحلول الأساسية في بعدين وثلاثة أبعاد، على التوالي، هي $${\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{2\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}~.}$$

بالنسبة لمعادلة بواسون المحجوبة ، $${\displaystyle [-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in \mathbb {R} ,}$$ الحلول الأساسية هي $${\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|),\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {\exp(-k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|)}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}},}$$ أين${\displaystyle K_{0}}$هي دالة بيسل معدلة من النوع الثاني.

في الأبعاد الأعلى، يتم إعطاء الحل الأساسي لمعادلة بواسون المحجوبة بواسطة جهد بيسل .

بالنسبة للمعادلة ثنائية التوافق ، $${\displaystyle [-\Delta ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$$ للمعادلة ثنائية التوافقية حلول أساسية $${\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{2}}{8\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{8\pi }}~.}$$