طريقة الشبكة الممتدة

تُعدّ طريقة الشبكة الممتدة ( SGM ) تقنية عددية لإيجاد حلول تقريبية لمختلف المسائل الرياضية والهندسية التي يمكن ربطها بسلوك الشبكة المرنة. على وجه الخصوص، يستخدم خبراء الأرصاد الجوية طريقة الشبكة الممتدة للتنبؤ بالطقس ^{[ 1 ]} ، ويستخدمها المهندسون لتصميم الخيام وغيرها من الهياكل المشدودة .

في العقود الأخيرة ، أصبحت طرق العناصر المحدودة وعناصر الحدود (FEM وBEM) من الركائز الأساسية في تصميم وتحليل الهندسة الصناعية. ويجري محاكاة تصاميم أكبر وأكثر تعقيدًا باستخدام هاتين الطريقتين. ومع ذلك، لا تزال بعض مشكلات التحليل الهندسي باستخدام FEM وBEM قيد التطوير. تتمثل المشكلة الأولى في أن موثوقية التحليل تعتمد بشكل كبير على جودة البيانات الأولية المُولَّدة في مرحلة المعالجة المسبقة. ومن المعروف أن تقنيات توليد شبكة العناصر التلقائية في هذه المرحلة أصبحت أدوات شائعة الاستخدام لتحليل النماذج المعقدة في العالم الحقيقي. ^{[ 2 ]} ومع تزايد شعبية FEM وBEM، تبرز الحاجة إلى تحسين خوارزميات توليد الشبكة التلقائية. إلا أن جميع هذه الخوارزميات قد تُنتج عناصر شبكية مشوهة، بل وغير قابلة للاستخدام. توجد عدة تقنيات يمكنها تحسين جودة الشبكة الموجودة. على سبيل المثال، التنعيم (المعروف أيضًا بتحسين الشبكة ) هو إحدى هذه الطرق، حيث يُعيد تحديد مواقع العقد لتقليل تشوه العناصر. تتيح طريقة الشبكة الممتدة الحصول على شبكات شبه منتظمة بسهولة وسرعة كبيرتين في حل من خطوة واحدة. ^{[ 3 ]}

لنفترض وجود شبكة مثلثية عشوائية مضمنة في محيط مضلع مستوٍ متماسك أحادي، تم إنتاجها بواسطة عملية إنشاء شبكة تلقائية (انظر الشكل 1). يمكن افتراض كذلك أن الشبكة، باعتبارها نظامًا عقديًا فيزيائيًا، تتعرض لعدد من التشوهات. يُفترض أن طاقة الوضع الكلية لهذا النظام تتناسب مع طول بعض هذه التشوهات.${\displaystyle n}$متجه ذو أبعاد n يحتوي على جميع أجزاء الشبكة كمكونات له.

وبالتالي، تأخذ طاقة الوضع الشكل التالي

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}{R_{j}}^{2},}$

أين${\displaystyle n}$يمثل العدد الإجمالي للقطاعات في الشبكة،${\displaystyle R_{j}}$هو طول رقم القطعة${\displaystyle j}$، و${\displaystyle D}$ثابت اختياري.

طول رقم المقطع${\displaystyle j}$يمكن التعبير عنها بإحداثيين عقديين كما يلي:

${\displaystyle R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}}}}$

ويمكن أيضاً افتراض أن متجه الإحداثيات${\displaystyle \{X\}}$يرتبط كل عقدة بالشبكة غير المشوهة، ومتجه الإحداثيات${\displaystyle \{X'\}}$يرتبط بالشبكة المشوهة. متجه${\displaystyle \{X\}}$يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle \{X\}=\{X'\}+\{\Delta X\}}$

المتجه${\displaystyle \{X\}}$يرتبط التحديد بتقليل الشكل التربيعي${\displaystyle \Pi }$بواسطة متجه متزايد${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$؛ إنه،

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0,}$

أين${\displaystyle l}$يمثل عدد العقد الداخلية للمنطقة، و${\displaystyle k}$هو عدد الإحداثيات

بعد إجراء جميع التحويلات، يمكننا كتابة النظامين المستقلين التاليين من المعادلات الجبرية الخطية:

${\displaystyle [A]\{\Delta X_{1}\}=\{B_{1}\}}$

${\displaystyle [A]\{\Delta X_{2}\}=\{B_{2}\},}$

أين${\displaystyle [A]}$هي مصفوفة متناظرة في شكل نطاقي تشبه مصفوفة الصلابة العامة لمجموعة العناصر المحدودة،${\displaystyle \{\Delta X_{1}\}}$و${\displaystyle \{\Delta X_{2}\}}$هي متجهات متزايدة لإحداثيات جميع العقد على المحورين 1 و2، و${\displaystyle \{B_{1}\}}$و${\displaystyle \{B_{2}\}}$هي متجهات الجزء الأيمن التي يتم دمجها بواسطة إحداثيات جميع العقد في المحورين 1 و 2.

يُحقق حل النظامين، مع الحفاظ على جميع عقد الحدود محافظةً، مواقع جديدة للعقد الداخلية تُطابق شبكة غير مشوهة ذات عناصر شبه منتظمة. على سبيل المثال، يُظهر الشكل 2 المنطقة المستطيلة المغطاة بشبكة مثلثية. تحتوي الشبكة التلقائية الأولية على بعض المثلثات المتدهورة (الشبكة اليسرى). أما الشبكة النهائية (الشبكة اليمنى) الناتجة عن إجراء SGM فهي شبه منتظمة بدون أي عناصر مشوهة.

بما أن الأنظمة المذكورة أعلاه خطية، فإن الإجراء يختزل بسرعة كبيرة إلى حل من خطوة واحدة. علاوة على ذلك، فإن كل موضع عقدة داخلية نهائية يفي بشرط المتوسط ​​الحسابي لإحداثيات العقد المحيطة به، كما يفي بمعايير ديلاوناي . لذلك، يتمتع نموذج SGM بجميع القيم الموجبة المميزة لتنعيم لابلاس وأنواع أخرى من أساليب التنعيم، ولكنه أسهل وأكثر موثوقية بكثير نظرًا لتمثيلات المصفوفة النهائية ذات القيم الصحيحة. أخيرًا، لا يقتصر تطبيق نموذج SGM على الشبكات ثنائية الأبعاد فحسب، بل يشمل أيضًا الشبكات ثلاثية الأبعاد التي تتكون من أي خلايا منتظمة، بالإضافة إلى الشبكات المختلطة أو العابرة.

رياضيًا، يُطلق على السطح المحصور بمنحنى مغلق اسم السطح الأدنى إذا كانت مساحته هي الأدنى بين جميع الأسطح ذات الحدود نفسها. يُعد غشاء الصابون المحصور بإطار سلكي أشهر مثال على السطح الأدنى. عادةً، لإنشاء سطح أدنى، يُستخدم قانون تكويني افتراضي يحافظ على إجهاد مسبق ثابت، بغض النظر عن أي تغييرات في الانفعال. ^{[ 4 ]} يعتمد نهج تقريبي بديل على طريقة SGM.

الفكرة هي تقريب سطح ما بشبكة مثلثية. ولتقريب هذه الشبكة إلى شبكة ذات مساحة دنيا، ينبغي حل النظامين المذكورين أعلاه. ويمكن تحديد زيادات إحداثيات العقدة الثالثة بنظام مماثل على المحور 3.

${\displaystyle [A]\{\Delta X_{3}\}=\{B_{3}\}}$

من خلال حل الأنظمة الثلاثة جميعها في وقت واحد، يمكن الحصول على شبكة جديدة تقارب السطح الأدنى المطلوب .

كمثال، يتم عرض شكل سلسلي تم حسابه بالطريقة المذكورة أعلاه في الشكل 3. أنصاف أقطار الحلقات المحيطة وارتفاع الشكل السلسلي يساوي 1. مساحة سطح الشكل السلسلي المحدد بواسطة SGM هي 2.9967189؛ مساحة الشكل السلسلي المثالي هي 2.992.

في التحليل الإنشائي ، يكون شكل الهيكل معروفًا مسبقًا في الغالب. لكن هذا لا ينطبق على الهياكل المشدودة، كالهياكل النسيجية المشدودة . فبما أن الغشاء في الهيكل المشدود لا يمتلك صلابة انحناء، فإن شكله أو بنيته يعتمد على الإجهاد المسبق الأولي والأحمال التي يتعرض لها. لذا، لا يمكن فصل سلوك تحمل الأحمال عن شكل الغشاء، ولا يمكن وصفهما عمومًا بنماذج هندسية بسيطة فقط. يتفاعل شكل الغشاء والأحمال الواقعة على الهيكل والإجهادات الداخلية بطريقة غير خطية لتحقيق معادلات التوازن.

يتضمن التصميم الأولي للهياكل المشدودة تحديدَ شكلٍ أولي، يُعرف باسم إيجاد الشكل . بالإضافة إلى استيفاء شروط التوازن، يجب أن يُراعي الشكل الأولي المتطلبات المعمارية (الجمالية) والإنشائية (القوة والاستقرار). علاوة على ذلك، يجب تلبية متطلبات المساحة والارتفاع، وأن تكون الإجهادات الرئيسية للغشاء إجهادات شد لتجنب التجعد، وأن تكون أنصاف أقطار السطح المنحني المزدوج صغيرة بما يكفي لمقاومة الأحمال خارج المستوى ولضمان الاستقرار الإنشائي . ^{[ 5 ]} طُوِّرت عدة صيغ مختلفة لأساليب إيجاد الشكل القائمة على طريقة العناصر المحدودة لمساعدة المهندسين في تصميم الهياكل النسيجية المشدودة. تستند جميعها إلى نفس الافتراض المستخدم في تحليل سلوك الهياكل المشدودة تحت أحمال مختلفة. مع ذلك، قد يكون من الأفضل أحيانًا استخدام أسطح دنيا في تصميم الهياكل المشدودة.

يتمثل المعنى الفيزيائي لنموذج SGM في تقارب طاقة أي بنية شبكية ذات قيود محددة نحو شبكة تُقلل مجموع المسافات بين أي أزواج من عقد الشبكة. وهذا يسمح بحل مسألة الحد الأدنى لطاقة السطح . يفترض النموذج المعمم لـ SGM إمكانية تطبيق مجموعة من القوى الخارجية والقيود الصلبة أو المرنة على عقد بنية الشبكة، وذلك لنمذجة مختلف التأثيرات الخارجية. ويمكننا الحصول على الصيغة التالية لمثل هذه الصيغة:

${\displaystyle \Pi =\sum _{j=1}^{n}D_{j}R_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{m}C_{ik}\Delta X_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right)}$

أين

• ${\displaystyle n}$يمثل العدد الإجمالي لقطاعات الشبكة،
• ${\displaystyle m}$يمثل العدد الإجمالي للعقد،
• ${\displaystyle R_{j}}$هو طول القطعة${\displaystyle j}$،
• ${\displaystyle D_{j}}$صلابة القطعة${\displaystyle j}$،
• ${\displaystyle \Delta X_{ik}}$يمثل الزيادة في إحداثيات العقدة${\displaystyle k}$عند المحور${\displaystyle i}$،
• ${\displaystyle C_{ik}}$تمثل صلابة القيد المرن في العقدة${\displaystyle k}$عند المحور${\displaystyle i}$، و
• ${\displaystyle P_{ik}}$القوة الخارجية المؤثرة على العقدة${\displaystyle k}$عند المحور${\displaystyle i}$.

بمجرد إيجاد شكل مُرضٍ، يُمكن إنشاء نمط القطع. تتفاوت هياكل الشد بشكل كبير في حجمها وانحنائها وصلابة مادتها. ويرتبط تقريب نمط القطع ارتباطًا وثيقًا بكل عامل من هذه العوامل. ومن الضروري لطريقة إنشاء نمط القطع تقليل خطأ التقريب إلى أدنى حد ممكن وإنتاج بيانات موثوقة عن القماش المستوي.

الهدف هو تطوير الأشكال الموصوفة بهذه البيانات، بحيث تكون أقرب ما يمكن إلى الشرائط المنحنية المزدوجة المثالية. بشكل عام، تتضمن عملية توليد نمط القطع خطوتين. أولاً، يُقسّم السطح الكلي لهيكل الشد إلى قطع قماش منفصلة. في الخطوة الثانية، يمكن إيجاد نمط القطع المقابل ببساطة عن طريق أخذ كل قطعة قماش وفردها على مساحة مستوية. في حالة سطح الغشاء المنحني المزدوج المثالي، لا يمكن فرد السطح السفلي ببساطة، بل يجب تسويته. على سبيل المثال، في المراجع ^{[ 6 ] و[ 7 ]} ، استُخدمت طريقة SGM لحل مشكلة التسوية.

تنقسم مشكلة توليد نمط القص في الواقع إلى صيغتين مستقلتين. الأولى هي توليد شكل مستوٍ خالٍ من التشوهات عن طريق فرد كل شريط من القماش، والثانية هي تسطيح الأسطح المنحنية المزدوجة التي لا يمكن فردها ببساطة. من منظور الهندسة التفاضلية ، تتطابق الصيغتان. يمكننا اعتبارها إسقاطًا متساوي القياس لسطح على مساحة مستوية، بحيث يكون متطابقًا ومتساوي المساحة في آنٍ واحد نظرًا لثبات الزوايا بين أي منحنيات وثبات أي أجزاء من المساحة. في حالة السطح المنحني أحادي الانحناء الذي يمكن فرده بدقة، يسمح الإسقاط متساوي المساحة بالحصول على نمط قص لبنية النسيج دون أي تشوهات. أما النوع الثاني من الأسطح، فيمكن إسقاطه متساوي المساحة تقريبًا فقط، مع بعض التشوهات في عناصر السطح الخطية التي تحددها خصائص النسيج. لنفترض أن سطحين مُعَلمان بحيث يمكن كتابة صيغهما التربيعية الأولى كما يلي:

${\displaystyle I_{1}=E_{1}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{1}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{1}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

${\displaystyle I_{2}=E_{2}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{2}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

يشترط شرط التحويل المطابق لسطحين أن

${\displaystyle {\sqrt {I_{2}}}=\lambda {\sqrt {I_{1}}},}$

أين${\displaystyle \lambda }$هي نسبة تشوه السطح الناتج عن التحويل المطابق.

من المعروف أن الشكل التربيعي الأول يعكس المسافة بين نقطتين على السطح${\displaystyle (u,v)}$و${\displaystyle (u+\operatorname {d} u,v+\operatorname {d} v)}$. متى${\displaystyle \lambda }$عندما تقترب قيمة من 1، تتقارب المعادلة أعلاه إلى شروط التحويل المتساوي القياس والتحويل متساوي المساحة على التوالي، وذلك بسبب ثبات الزوايا بين أي منحنيات وثبات أي أجزاء من المساحة. مع الأخذ في الاعتبار أن المرحلة الأولى من إيجاد الشكل تعتمد على شبكة مثلثية، وباستخدام طريقة البواقي الموزونة لوصف التحويل المتساوي القياس والتحويل متساوي المساحة للسطح الأدنى على مساحة مستوية، يمكننا كتابة الدالة التالية، والتي تُعرَّف بمجموع التكاملات على طول أجزاء المثلثات المنحنية:

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda {\sqrt {I_{1}}}-{\sqrt {I_{2}}}\right)^{2}\operatorname {d} s,}$

أين

• ${\displaystyle n}$يمثل العدد الإجمالي لخلايا الشبكة،
• ${\displaystyle w_{j}}$هي نسب الوزن،
• ${\displaystyle \Pi }$يمثل إجمالي الباقي من عملية التعيين، و
• ${\displaystyle D}$هو ثابت لا يؤثر على النتيجة النهائية ويمكن استخدامه كنسبة قياس.

مع الأخذ في الاعتبار نسب الوزن الإضافية${\displaystyle w_{j}=1}$يمكننا تحويل المعادلة أعلاه إلى مجموع محدود تقريبي يمثل مزيجًا من المسافات الخطية بين عقد شبكة السطح، وكتابة الشرط الأساسي لرسم خرائط السطح متساوية المساحة كحد أدنى للدالة غير الخطية التالية:

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^{2}\operatorname {d} s,}$

أين

• ${\displaystyle R_{j}}$هو الطول الأولي للقطعة الخطية${\displaystyle j}$،
• ${\displaystyle L_{j}}$هو الطول النهائي لرقم القطعة${\displaystyle j}$، و
• ${\displaystyle \lambda }$نسبة التشوه قريبة من 1 وقد تختلف لكل جزء.

الطول الابتدائي والنهائي لرقم القطعة${\displaystyle j}$يمكن التعبير عنها كالمعتاد بإحداثيين عقديين كما يلي:

${\displaystyle R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}+(X_{32}-X_{31})^{2}}}}$

${\displaystyle L={\sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21})^{2}}},}$

أين

• ${\displaystyle X_{ik}}$هي إحداثيات عقد الجزء الأولي، و
• ${\displaystyle x_{ik}}$هي إحداثيات عقد الجزء الأخير.

وفقًا للافتراض الأولي، يمكننا كتابة${\displaystyle x_{32}=x_{31}=0}$لرسم الخرائط على السطح المستوي. تعبير المتجهات${\displaystyle \{x\}}$و${\displaystyle \{X\}}$يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle \{x\}=\{X\}+\{\Delta X\}.}$

تعريف المتجه${\displaystyle \{\Delta X\}}$كما هو الحال سابقاً

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0.}$

بعد إجراء التحويلات، يمكننا كتابة النظامين المستقلين التاليين من المعادلات الجبرية غير الخطية:

${\displaystyle [A]\{\Delta X_{1}\}=\{B_{1}\}+\{\Delta P_{1}\}}$

${\displaystyle [A]\{\Delta X_{2}\}=\{B_{2}\}+\{\Delta P_{2}\},}$

حيث يمكن التعبير عن جميع أجزاء النظام كما سبق و${\displaystyle \{\Delta P_{1}\}}$و${\displaystyle \{\Delta P_{2}\}}$هي متجهات إجهادات زائفة على المحورين 1 و 2 تأخذ الشكل التالي

${\displaystyle \{\Delta P_{lt}\}=-\left\{\sum _{j=1}^{N}\lambda {\frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt})\right\},}$

أين

• ${\displaystyle N}$يمثل العدد الإجمالي للعقد التي تحيط بالعقدة رقم${\displaystyle t}$، و
• ${\displaystyle l}$هو عدد المحاور العالمية.

يُعدّ الأسلوب المذكور أعلاه شكلاً آخر من أشكال SGM، ويتيح الحصول على نظامين مستقلين من المعادلات الجبرية غير الخطية، يمكن حلهما باستخدام أي إجراء تكراري قياسي. كلما قلّ انحناء غاوس للسطح، زادت دقة رسم الخرائط المستوية. وكقاعدة عامة، يسمح رسم الخرائط المستوية بالحصول على نمط بأبعاد خطية أقل بنسبة 1-2% من الخطوط المكانية المقابلة للسطح النهائي. ولذلك، من الضروري توفير الهوامش المناسبة أثناء عملية رسم الأنماط.

يتم عرض العينة النموذجية للقطع - والتي تسمى أيضًا قطعة أو رقعة - في الأشكال 9 و 10 و 11.

• توليد الشبكة
• أنواع الشبكات