سطح بسيط

في الرياضيات ، السطح الأدنى هو السطح الذي تقل مساحته محليًا. وهذا يعادل وجود انحناء متوسط ​​يساوي صفرًا (انظر التعريفات أدناه).

يُستخدم مصطلح "السطح الأدنى" لأن هذه الأسطح نشأت في الأصل كأسطح تقلل من إجمالي مساحة السطح الخاضعة لبعض القيود. يمكن عمل نماذج فيزيائية للأسطح الدنيا التي تقلل المساحة عن طريق غمس إطار سلكي في محلول صابون، لتشكيل طبقة صابون ، وهي سطح أدنى يكون إطار السلك هو حدوده. ومع ذلك، يُستخدم المصطلح للأسطح الأكثر عمومية التي قد تتقاطع ذاتيًا أو لا تحتوي على قيود. بالنسبة لقيود معينة، قد يوجد أيضًا العديد من الأسطح الدنيا بمساحات مختلفة (على سبيل المثال، انظر الحد الأدنى لسطح الدوران ): تتعلق التعريفات القياسية فقط بالحد الأقصى المحلي ، وليس الحد الأقصى العالمي .

يمكن تعريف الأسطح الدنيا بعدة طرق متكافئة في . وحقيقة كونها متكافئة تخدم في إظهار كيف تقع نظرية الأسطح الدنيا عند مفترق طرق العديد من التخصصات الرياضية، وخاصة الهندسة التفاضلية ، وحساب المتغيرات ، ونظرية الجهد ، والتحليل المركب ، والفيزياء الرياضية . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

تعريف المساحة المحلية الأقل : يكون السطح صغيرًا إذا وفقط إذا كانت كل نقطة p ∈ M لها جوار ، محدد بمنحنى مغلق بسيط، والذي له أقل مساحة بين جميع الأسطح التي لها نفس الحدود.${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

هذه الخاصية محلية: قد توجد مناطق في سطح صغير، جنبًا إلى جنب مع أسطح أخرى ذات مساحة أصغر لها نفس الحدود. تنشئ هذه الخاصية اتصالاً بأغشية الصابون؛ حيث يعمل غشاء الصابون المشوه بحيث يكون له إطار سلكي كحدود على تقليل المساحة.

تعريف التباين : يكون السطح ضئيلاً إذا وفقط إذا كان نقطة حرجة للمنطقة الوظيفية لجميع التباينات المدعومة بشكل مضغوط .${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

يجعل هذا التعريف الأسطح الدنيا نظيرًا ثنائي الأبعاد للجيوديسيات ، والتي يتم تعريفها بشكل مماثل على أنها نقاط حرجة للطول الوظيفي.

تعريف متوسط ​​الانحناء : يكون السطح في حده الأدنى إذا وفقط إذا كان متوسط ​​الانحناء الخاص به يساوي الصفر في جميع النقاط.${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

أحد الآثار المباشرة لهذا التعريف هو أن كل نقطة على السطح هي نقطة سرج ذات انحناءات أساسية متساوية ومعاكسة . بالإضافة إلى ذلك، فإن هذا يجعل الأسطح الدنيا في الحلول الثابتة لتدفق الانحناء المتوسط . وفقًا لمعادلة يونغ لابلاس ، فإن الانحناء المتوسط ​​لغشاء الصابون يتناسب مع الفرق في الضغط بين الجانبين. إذا لم يحيط غشاء الصابون بمنطقة، فإن هذا سيجعل انحنائه المتوسط ​​يساوي صفرًا. على النقيض من ذلك، تحيط فقاعة الصابون الكروية بمنطقة لها ضغط مختلف عن المنطقة الخارجية، وبالتالي ليس لها انحناء متوسط ​​يساوي صفرًا.

تعريف المعادلة التفاضلية : يكون السطح ضئيلاً إذا وفقط إذا كان من الممكن التعبير عنه محليًا كرسم بياني لحل${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

تم العثور على المعادلة التفاضلية الجزئية في هذا التعريف في الأصل عام 1762 بواسطة لاغرانج ، ^[2] واكتشف جان بابتيست ميوسنييه عام 1776 أنها تعني انحناء متوسط ​​متلاشي. ^[3]

تعريف الطاقة : يكون الغمر المطابق ضئيلًا إذا وفقط إذا كان نقطة حرجة لطاقة دي ريتشليه لجميع الاختلافات المدعومة بشكل مضغوط، أو على نحو مكافئ إذا كانت أي نقطة لها جوار بأقل طاقة بالنسبة لحدودها.${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle p\in م}$

يربط هذا التعريف الأسطح الدنيا بالوظائف التوافقية ونظرية الإمكانات .

تعريف التوافقيات : إذا كان غمرًا متساوي القياس لسطح ريمان في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإنه يُقال إنه يكون في حده الأدنى كلما كانت هناك دالة توافقية على لكل .${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle i}$

إن النتيجة المباشرة لهذا التعريف والمبدأ الأقصى للوظائف التوافقية هي أنه لا توجد أسطح دنيا كاملة مضغوطة في . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

تعريف خريطة جاوس : يكون السطح ضئيلاً إذا وفقط إذا كانت خريطة جاوس المسقطة مجسماً مجسمة فيما يتعلق ببنية سطح ريمان الأساسية ، وليست جزءًا من كرة.${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$${\displaystyle M}$

يستخدم هذا التعريف أن متوسط ​​الانحناء هو نصف أثر عامل الشكل ، والذي يرتبط بمشتقات خريطة جاوس. إذا كانت خريطة جاوس المتوقعة تتبع معادلات كوشي-ريمان، فإن الأثر يختفي أو تكون كل نقطة من M سرة ، وفي هذه الحالة تكون قطعة من كرة.

تسمح التعريفات المحلية الأقل مساحة والتباينية بتوسيع الأسطح الدنيا إلى متشعبات ريمانية أخرى غير . ^[4]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

نشأت نظرية السطح الأدنى مع لاجرانج الذي درس في عام 1762 مشكلة التباين المتمثلة في إيجاد السطح الأقل مساحة الممتد عبر محيط مغلق معين. وقد استنتج معادلة أويلر-لاجرانج للحل ${\displaystyle z=z(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

لم ينجح في إيجاد أي حل يتجاوز المستوى. في عام 1776 اكتشف جان بابتيست ماري موزنيه أن الحلزوني والسلكي يلبيان المعادلة وأن التعبير التفاضلي يتوافق مع ضعف متوسط ​​انحناء السطح، وخلص إلى أن الأسطح ذات متوسط ​​انحناء صفري تقلل المساحة.

من خلال توسيع معادلة لاغرانج إلى

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

في عام 1795 ، استنتج غاسبار مونج وليجندر صيغ تمثيلية لأسطح الحلول. وفي حين استخدمها هاينريش شيرك بنجاح في عام 1830 لاستنتاج أسطحه ، فقد اعتُبرت عمومًا غير قابلة للاستخدام عمليًا. أثبت كاتالان في عامي 1842/43 أن الحلزوني هو السطح الأدنى الوحيد المحكم .

كان التقدم بطيئًا إلى حد ما حتى منتصف القرن عندما تم حل مشكلة بيورلينج باستخدام طرق معقدة. بدأ "العصر الذهبي الأول" للأسطح الدنيا. وجد شوارتز حلًا لمشكلة الهضبة لرباعي الأضلاع المنتظم في عام 1865 ولرباعي الأضلاع العام في عام 1867 (مما يسمح ببناء عائلات الأسطح الدورية الخاصة به ) باستخدام طرق معقدة. طور فايرستراس وإينيبر صيغ تمثيل أكثر فائدة ، وربطوا بشكل وثيق الأسطح الدنيا بالتحليل المعقد والوظائف التوافقية . جاءت مساهمات مهمة أخرى من بلترامي وبونيه وداربو ولي وريمان وسيريت ووينجارتن.

بين عامي 1925 و1950، عادت نظرية السطح الأدنى إلى الظهور، وهي الآن تستهدف بشكل أساسي الأسطح الدنيا غير المعلمية. وكان الحل الكامل لمشكلة الهضبة بواسطة جيسي دوغلاس وتيبور رادو إنجازًا كبيرًا. كما كانت مشكلة بيرنشتاين وعمل روبرت أوسيرمان على الأسطح الدنيا الكاملة ذات الانحناء الكلي المحدود أمرًا مهمًا أيضًا.

بدأت نهضة أخرى في ثمانينيات القرن العشرين. وكان أحد الأسباب هو اكتشاف سيلسو كوستا في عام 1982 لسطح دحض التخمين القائل بأن المستوى، والكاتينويد، واللولب هي الأسطح الدنيا المضمنة الكاملة الوحيدة من النوع الطوبولوجي المحدود. ولم يحفز هذا العمل الجديد على استخدام الأساليب البارامترية القديمة فحسب، بل أظهر أيضًا أهمية الرسومات الحاسوبية لتصور الأسطح المدروسة والأساليب العددية لحل "مشكلة الفترة" (عند استخدام طريقة السطح المترافق لتحديد بقع السطح التي يمكن تجميعها في سطح متماثل أكبر، يلزم مطابقة معلمات معينة رقميًا لإنتاج سطح مدمج). وكان سبب آخر هو التحقق الذي أجراه إتش كارشر من أن الأسطح الدنيا الدورية الثلاثية التي وصفها آلان شون تجريبيًا في الأصل في عام 1970 موجودة بالفعل. وقد أدى هذا إلى ظهور مجموعة كبيرة من عائلات الأسطح وطرق اشتقاق أسطح جديدة من الأسطح القديمة، على سبيل المثال عن طريق إضافة مقابض أو تشويهها. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

في الوقت الحاضر، تنوعت نظرية الأسطح الدنيا إلى متشعبات فرعية دنيا في هندسة محيطة أخرى، وأصبحت ذات صلة بالفيزياء الرياضية (على سبيل المثال ، تخمين الكتلة الموجبة ، وتخمين بنروز ) والهندسة ثلاثية المتشعبات (على سبيل المثال ، تخمين سميث ، وتخمين بوانكاريه ، وتخمين هندسة ثورستون ).

تتضمن الأمثلة الكلاسيكية للأسطح البسيطة ما يلي:

• الطائرة ، وهي حالة تافهة
• الخطوط المتسلسلة : أسطح صغيرة يتم صنعها عن طريق تدوير سلسلة مرة واحدة حول محورها المباشر
• الحلزونات : سطح يمسحه خط يدور بسرعة منتظمة حول محور عمودي على الخط ويتحرك في نفس الوقت على طول المحور بسرعة منتظمة

تشمل الأسطح من العصر الذهبي للقرن التاسع عشر ما يلي:

• أسطح شوارتز الدنيا : أسطح ثلاثية الدورية تملأ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• سطح ريمان الأدنى : سطح دوري تم وصفه بعد وفاته
• سطح إنيبر
• سطح هينبيرج : أول سطح أدنى غير قابل للتوجيه
• الحد الأدنى لسطح بور
• سطح نيوفيوس : سطح دوري ثلاثي

تتضمن الأسطح الحديثة ما يلي:

• الجيرويد : أحد أسطح شون من عام 1970، وهو سطح دوري ثلاثي له أهمية خاصة بالنسبة لبنية البلورات السائلة
• عائلة برج السرج : تعميمات حول السطح الثاني لشيرك
• سطح كوستا الأدنى : دحض تخمين مشهور. وصفه سيلسو كوستا في عام 1982 وتصوره لاحقًا جيم هوفمان . ثم قام جيم هوفمان وديفيد هوفمان وويليام ميكس الثالث بتوسيع التعريف لإنتاج مجموعة من الأسطح ذات التناظرات الدورانية المختلفة.
• عائلة سطح تشين-جاكستاتر ، إضافة مقابض إلى سطح إينيبر.

يمكن تعريف الأسطح الدنيا في متعددات شعب أخرى غير ، مثل الفضاء الزائدي ، أو المساحات ذات الأبعاد الأعلى، أو متعددات الشعب الريمانية . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

يمكن تعميم/توسيع تعريف الأسطح الدنيا لتغطية الأسطح ذات الانحناء المتوسط ​​الثابت : الأسطح ذات الانحناء المتوسط ​​الثابت، والتي لا يلزم أن تساوي الصفر.

تشكل خطوط انحناء السطح المتساوي الحرارة شبكة متساوية الحرارة. ^[5]

في الهندسة التفاضلية المنفصلة، ​​تتم دراسة الأسطح الدنيا المنفصلة: وهي عبارة عن مجمعات مبسطة من المثلثات التي تقلل مساحتها تحت اضطرابات صغيرة في مواضع رؤوسها. ^[6] غالبًا ما تُستخدم مثل هذه التقديرات لتقريب الأسطح الدنيا عدديًا، حتى إذا لم تكن هناك تعبيرات ذات شكل مغلق معروفة.

الحركة البراونية على سطح أدنى تؤدي إلى إثباتات احتمالية للعديد من النظريات على الأسطح الدنيا. ^[7]

أصبحت الأسطح الدنيا مجالًا للدراسة العلمية المكثفة، وخاصة في مجالات الهندسة الجزيئية وعلوم المواد ، وذلك بسبب تطبيقاتها المتوقعة في التجميع الذاتي للمواد المعقدة. ^[8] يُقترح أن الشبكة الإندوبلازمية ، وهي بنية مهمة في علم الأحياء الخلوي، تخضع لضغط تطوري لتتوافق مع سطح أدنى غير تافه. ^[9]

في مجالات النسبية العامة وهندسة لورنتز ، فإن بعض الامتدادات والتعديلات لمفهوم السطح الأدنى، والمعروفة باسم الآفاق الظاهرة ، لها أهمية كبيرة. ^[10] وعلى النقيض من أفق الحدث ، فإنها تمثل نهجًا قائمًا على الانحناء لفهم حدود الثقب الأسود .

يمكن استخدام الهياكل ذات الأسطح الدنيا كخيام.

الأسطح البسيطة هي جزء من مجموعة أدوات التصميم التوليدي التي يستخدمها المصممون المعاصرون. في الهندسة المعمارية كان هناك اهتمام كبير بالهياكل الشد ، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالأسطح البسيطة. يمكن رؤية أمثلة بارزة في أعمال فراي أوتو وشيجيرو بان وزها حديد . استوحى فراي أوتو تصميم ملعب ميونيخ الأوليمبي من أسطح الصابون. ^[11] ومن الأمثلة البارزة الأخرى، أيضًا لفراي أوتو، الجناح الألماني في إكسبو 67 في مونتريال، كندا. ^[12]

في عالم الفن، تم استكشاف الأسطح البسيطة على نطاق واسع في أعمال النحت التي قام بها روبرت إنجمان (1927-2018)، وروبرت لونجهيرست (1949-)، وتشارلز أو. بيري (1929-2011)، وغيرهم.

الكتب المدرسية

• R. Courant . Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., New York, NY, 1950. xiii+330 pp.
• إتش. بلين لوسون الابن. محاضرات عن المتشعبات الجزئية الدنيا. المجلد الأول. الطبعة الثانية. سلسلة محاضرات الرياضيات، 9. شركة النشر أو الهلاك، ويلمنجتون، ديلاوير، 1980. iv+178 صفحة. ISBN 0-914098-18-7 
• روبرت أوسيرمان . مسح للأسطح الدنيا. الطبعة الثانية. دار دوفر للنشر، نيويورك، 1986. 6+207 صفحة. ISBN 0-486-64998-9 ، MR 0852409 
• يوهانس سي سي نيتشه. محاضرات عن الأسطح الدنيا. المجلد 1. مقدمة، أساسيات، هندسة ومشكلات قيمة الحدود الأساسية. ترجمة من الألمانية بواسطة جيري م. فينبرج. مع مقدمة باللغة الألمانية. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1989. xxvi+563 صفحة. ISBN 0-521-24427-7 
• نيشيكاوا، سيكي (2002). المشكلات المتغيرة في الهندسة . ترجمات الدراسات الرياضية؛ سلسلة إيوانامي في الرياضيات الحديثة. المجلد 205. ترجمة آبي، كينيتسو. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . رقم ISBN 0821813560. ISSN  0065-9282، مترجم من:{{cite book}}:CS1 maint: postscript ( الرابط )

• 西川青季 (1998).幾何学的変分問題. 岩波講座現代数学の基礎 (باللغة اليابانية). المجلد. 28. طوكيو:岩波書店. رقم ISBN 4-00-010642-2.

• أولريش ديركيس، وستيفان هيلدبراندت، وفريدريش سوفيجني. الحد الأدنى من الأسطح. الطبعة الثانية منقحة وموسعة. بمساعدة ومساهمات A. Küster وR. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، 339. سبرينغر، هايدلبرغ، 2010. xvi+688 pp. ISBN 978-3-642-11697-1 ، دوى :10.1007 / 978-3-642-11698-8 السيد 2566897​
• توبياس هولك كولدينج وويليام بي مينيكوزي ، II. دورة في الأسطح البسيطة. الدراسات العليا في الرياضيات، 121. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2011. xii+313 ص. ISBN 978-0-8218-5323-8 

الموارد المتاحة على الإنترنت

• كارشر، هيرمان؛ بولثير، كونراد (1995). "أفلام الصابون الملامسة - مقدمة إلى الأسطح البسيطة" . تم الاسترجاع في 27 ديسمبر 2006 . (مقدمة رسومية عن الأسطح البسيطة وأفلام الصابون.)
• جاك كلينوفسكي. "معرض الأسطح الدنيا الدورية" . تم الاسترجاع في 2 فبراير 2009 . (مجموعة من الأسطح البسيطة مع أمثلة كلاسيكية وحديثة)
• مارتن ستيفينز وكريستيان تيتزلي. "مكتبة الأسطح البسيطة للعنب" . تم الاسترجاع في 27 أكتوبر 2008 . (مجموعة من الأسطح البسيطة)
• متنوع (2000). "EG-Models" . تم استرجاعه في 28 سبتمبر 2004 . (مجلة إلكترونية تحتوي على عدة نماذج منشورة للأسطح البسيطة)

• "السطح الأدنى"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• الصفحة الرئيسية لـ 3D-XplorMath-J — برنامج Java وتطبيقات صغيرة لتصور الرياضيات التفاعلي
• معرض للأسطح الصغيرة القابلة للدوران
• معرض قائم على WebGL لأسطح صغيرة قابلة للدوران/التكبير