سطح مُسطّر

في الهندسة ، يُطلق على السطح S في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد اسم السطح المستوي (ويُسمى أيضًا باللفافة ) إذا كان يمر عبر كل نقطة من نقاط S خط مستقيم يقع على S. ومن الأمثلة على ذلك المستوى ، والسطح الجانبي للأسطوانة أو المخروط ، والسطح المخروطي ذو الدليل الإهليلجي ، والمخروط القائم ، والحلزون ، والمماس القابل للتطوير لمنحنى أملس في الفضاء.

يمكن وصف السطح المسطر بأنه مجموعة النقاط التي يمر بها خط مستقيم متحرك. على سبيل المثال، يتشكل المخروط بتثبيت إحدى نقاط الخط مع تحريك نقطة أخرى على طول دائرة . يُسمى السطح مسطرًا مرتين إذا كان يمر عبر كل نقطة من نقاطه خطان مختلفان يقعان على السطح. يُعد كل من القطع المكافئ الزائدي والقطع الزائدي ذو الورقة الواحدة سطحين مسطرين مرتين. المستوى هو السطح الوحيد الذي يحتوي على ثلاثة خطوط مختلفة على الأقل تمر عبر كل نقطة من نقاطه ( فوكس وتاباشنيكوف ، 2007 ) .

تحافظ الخرائط الإسقاطية على خصائص كون السطح مُسطَّرًا أو مُسطَّرًا مرتين ، ولذلك تُعدّ هذه الخصائص من مفاهيم الهندسة الإسقاطية . في الهندسة الجبرية ، تُعتبر الأسطح المُسطَّرة أحيانًا أسطحًا في فضاء أفيني أو إسقاطي فوق حقل ، ولكنها تُعتبر أيضًا أحيانًا أسطحًا جبرية مجردة بدون تضمين في فضاء أفيني أو إسقاطي، وفي هذه الحالة يُفهم مصطلح "الخط المستقيم" على أنه خط أفيني أو إسقاطي.

يُطلق على السطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد اسم السطح المسطر إذا كان اتحادًا لعائلة من الخطوط القابلة للتفاضل ذات مُعامل واحد. وبصورة رسمية، السطح المسطر هو سطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يتم وصف ذلك من خلال تمثيل بارامتري على النحو التالي $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$$ ل${\displaystyle u}$متغيرة على مدى فترة زمنية و${\displaystyle v}$يتراوح بين الأعداد الحقيقية. ^{[ 1 ]} من الضروري أن${\displaystyle \mathbf {r} (u)\neq (0,0,0)}$وكلاهما${\displaystyle \mathbf {c} }$و${\displaystyle \mathbf {r} }$ينبغي أن يكون قابلاً للتفاضل. ^{[ 1 ]}

أي خط مستقيم${\displaystyle v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)}$مع معلمة ثابتة${\displaystyle u=u_{0}}$يُطلق عليه اسم المولد . المتجهات${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$صف اتجاهات المولدات. المنحنى${\displaystyle u\mapsto \mathbf {c} (u)}$يُطلق عليه اسم دليل التمثيل. قد ينهار الدليل إلى نقطة (في حالة المخروط، انظر المثال أدناه).

يمكن وصف السطح المسطر أعلاه بدلاً من ذلك بواسطة $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\mathbf {c} (u)+v\mathbf {d} (u)}$$

مع المديرة الثانية${\displaystyle \mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)}$للعودة إلى الوصف الأول الذي يبدأ بمنحنيين غير متقاطعين${\displaystyle \mathbf {c} (u)،\mathbf {d} (u)}$كدليل، قم بتعيين${\displaystyle \mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u).}$

يُعد الشكل الهندسي للموجهات والمولدات أساسيًا لشكل السطح المسطر الذي تنتجه. ومع ذلك، فإن التمثيلات البارامترية المحددة لها تؤثر أيضًا على شكل السطح المسطر.

لتحديد متجه الوحدة العمودي عند نقطة ما، نحتاج إلى المشتقات الجزئية للتمثيل.${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$: $${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\mathbf {\dot {r}} (u),}$$$${\displaystyle \mathbf {x} _{v}=\mathbf {r} (u).}$$ وبالتالي فإن متجه الوحدة العمودي هو $${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} ).}$$ منذ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$(الناتج المختلط لمتجهين متساويين يساوي دائمًا صفرًا)،${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$هو متجه مماس عند أي نقطة${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$تكون جميع المستويات المماسية على طول هذا الخط متطابقة، إذا${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$هو مضاعف لـ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$هذا ممكن فقط إذا كانت المتجهات الثلاثة${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} }$تقع المتجهات في مستوى واحد، أي إذا كانت مرتبطة خطيًا. ويمكن التحقق من الارتباط الخطي لثلاثة متجهات باستخدام محدد هذه المتجهات.

المستويات المماسية على طول الخط${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\mathbf {r} (u_{0})}$متساويان، إذا$${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0}),\mathbf {\dot {r}} (u_{0}),\mathbf {r} (u_{0}))=0.}$$

يُطلق على السطح الأملس ذي الانحناء الغاوسي الصفري اسم السطح القابل للتطوير إلى مستوى ، أو ببساطة السطح القابل للتطوير . ويمكن استخدام شرط المحدد لإثبات العبارة التالية:

سطح مُسطّر${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$يمكن تطويره إذا وفقط إذا$${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} )=0}$$في كل نقطة. ^{[ 4 ]}

تتحد مولدات أي سطح مُسطَّر مع مجموعة واحدة من خطوطه التقاربية. وبالنسبة للأسطح القابلة للتطوير، فإنها تُشكِّل أيضًا مجموعة واحدة من خطوط انحنائها . ويمكن إثبات أن أي سطح قابل للتطوير هو مخروط، أو أسطوانة، أو سطح مُكوَّن من جميع مماسات منحنى فضائي. ^{[ 5 ]}

يُستخدم شرط المحدد للأسطح القابلة للتطوير لتحديد الاتصالات القابلة للتطوير عدديًا بين المنحنيات الفضائية (الموجهات). يوضح الرسم التخطيطي اتصالًا قابلًا للتطوير بين قطعين ناقصين يقعان في مستويين مختلفين (أحدهما أفقي والآخر رأسي) وتطويره. ^{[ 6 ]}

يُقدم انطباع عن استخدام الأسطح القابلة للتطوير في التصميم بمساعدة الحاسوب ( CAD ) في التصميم التفاعلي للأسطح القابلة للتطوير . ^{[ 7 ]}

يمكن الاطلاع على دراسة تاريخية حول الأسطح القابلة للتطوير في كتاب " الأسطح القابلة للتطوير: تاريخها وتطبيقاتها" . ^{[ 8 ]}

في الهندسة الجبرية ، عُرِّفت الأسطح المسطرة في الأصل بأنها أسطح إسقاطية في الفضاء الإسقاطي تحتوي على خط مستقيم يمر بأي نقطة معينة. وهذا يعني ضمناً وجود خط إسقاطي على السطح يمر بأي نقطة معينة، ويُستخدم هذا الشرط الآن غالباً كتعريف للسطح المسطر: تُعرَّف الأسطح المسطرة بأنها أسطح إسقاطية مجردة تحقق شرط وجود خط إسقاطي يمر بأي نقطة. وهذا يُعادل القول بأنها ثنائية النسب بالنسبة لحاصل ضرب منحنى وخط إسقاطي. أحياناً يُعرَّف السطح المسطر بأنه سطح يحقق شرطاً أقوى، وهو وجود تليف فوق منحنى بألياف هي خطوط إسقاطية. وهذا يستثني المستوى الإسقاطي، الذي يحتوي على خط إسقاطي يمر بكل نقطة، لكن لا يمكن كتابته على شكل تليف.

تظهر الأسطح المسطرة في تصنيف إنريكيس للأسطح المركبة الإسقاطية، لأن كل سطح جبري ذي بُعد كودايرا${\displaystyle -\infty }$السطح المسطر هو سطح مُسطّر (أو مستوى إسقاطي، إذا استخدمنا التعريف المُقيّد للسطح المسطر). كل سطح مسطر إسقاطي أدنى، باستثناء المستوى الإسقاطي، هو حزمة إسقاطية لحزمة متجهات ثنائية الأبعاد فوق منحنى ما. تُسمى الأسطح المسطرة ذات المنحنى الأساسي من الرتبة صفر بأسطح هيرزبروش .

تُعدّ الأسطح ذات الخطوط المزدوجة مصدر إلهام للهياكل القطعية المنحنية التي يمكن بناؤها باستخدام شبكة من العناصر المستقيمة، وهي:

• القطع المكافئ الزائدي، مثل الأسقف السرجية .
• الأشكال القطعية ذات الورقة الواحدة، مثل أبراج التبريد وبعض صناديق القمامة .

استخدم محرك الصاروخ RM -81 Agena قنوات تبريد مستقيمة تم وضعها على سطح مستوٍ لتشكيل عنق قسم الفوهة .

• 
  أبراج التبريد ذات الشكل القطعي الزائد في محطة ديدكوت للطاقة ، المملكة المتحدة؛ يمكن رسم السطح بشكل مزدوج.
• 
  برج مياه مزدوج الأعمدة مع خزان حلقي ، من تصميم يان بوغوسلافسكي في تشيخانوف ، بولندا
• 
  برج ميناء كوبي ذو الشكل القطعي الزائد ، كوبي ، اليابان، مع خط مزدوج.
• 
  برج مياه ذو شكل قطعي زائد، 1896 في نيجني نوفغورود .
• 
  الهيكل الشبكي لبرج شوخوف في موسكو، والذي تتكون أقسامه من خطوط مزدوجة.
• 
  درج حلزوني ذو شكل حلزوني محفور داخل برج توراتزو في كريمونا .
• 
  كنيسة قرية في سيلو، سلوفينيا: كل من السقف (المخروطي) والجدار (الأسطواني) عبارة عن أسطح مخططة.
• 
  سقف مكافئ القطعي لمحطة سكة حديد وارسو أوشوتا في وارسو ، بولندا.
• 
  قبعة مخروطية الشكل ذات خطوط .
• 
  بلاط السقف المموج تحكمه خطوط متوازية في اتجاه واحد، وخطوط جيبية في الاتجاه العمودي
• 
  إنشاء سطح مستوٍ عن طريق تسوية الخرسانة ( التسوية )

• وايسشتاين، إريك دبليو. "سطح مسطر" . عالم الرياضيات .
• صور سطحية مسطرة من جامعة أريزونا
• أمثلة على الأسطح القابلة للتطوير على موقع Rhino3DE الإلكتروني