القطع المكافئ

في الهندسة ، القطع المكافئ هو سطح تربيعي له محور تناظر واحد فقط ولا يوجد له مركز تناظر . مصطلح "القطع المكافئ" مشتق من كلمة " القطع المكافئ" ، التي تشير إلى مقطع مخروطي له خاصية تناظر مماثلة.

كل مقطع مستوٍ لسطح مكافئ، مُكوَّن من مستوى موازٍ لمحور التناظر، هو قطع مكافئ. يكون السطح المكافئ زائديًا إذا كان كل مقطع مستوٍ آخر إما قطعًا زائدًا ، أو خطين متقاطعين (في حالة المقطع بواسطة مستوى مماس). يكون السطح المكافئ إهليلجيًا إذا كان كل مقطع مستوٍ آخر غير فارغ إما إهليلجًا ، أو نقطة واحدة (في حالة المقطع بواسطة مستوى مماس). السطح المكافئ إما إهليلجي أو زائدي.

بصورة مكافئة، يمكن تعريف القطع المكافئ بأنه سطح تربيعي ليس أسطوانة ، وله معادلة ضمنية يمكن تحليل الجزء ذي الدرجة الثانية منه إلى عاملين خطيين مختلفين على أساس الأعداد المركبة . يكون القطع المكافئ زائديًا إذا كانت العوامل حقيقية، وإهليلجيًا إذا كانت العوامل مترافقة مركبة .

يكون القطع المكافئ الإهليلجي على شكل كأس بيضاوي، وله نقطة عظمى أو صغرى عندما يكون محوره عموديًا. في نظام إحداثيات مناسب بثلاثة محاور x و y و z ، يمكن تمثيله بالمعادلة ^{[ 1 ].}$${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$ حيث يمثل a و b ثابتين يحددان مستوى الانحناء في المستويين xz و yz على التوالي. في هذا الوضع، يكون القطع المكافئ الإهليلجي مفتوحًا لأعلى.

السطح المكافئ الزائدي (لا يُخلط بينه وبين السطح الزائدي ) هو سطح ذو خطين على شكل سرج . في نظام إحداثيات مناسب، يمكن تمثيل السطح المكافئ الزائدي بالمعادلة ^{[ 2 ] [ 3 ].}$${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$ في هذا الوضع، يفتح القطع المكافئ الزائدي لأسفل على طول المحور x ولأعلى على طول المحور y (أي أن القطع المكافئ في المستوى x = 0 يفتح لأعلى والقطع المكافئ في المستوى y = 0 يفتح لأسفل).

أي سطح مكافئ (إهليلجي أو زائدي) هو سطح انتقالي ، حيث يمكن توليده بواسطة قطع مكافئ متحرك موجه بواسطة قطع مكافئ ثان.

قلم القطع المكافئ الإهليلجي $${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ وقلم القطع المكافئ الزائدي $${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ الاقتراب من نفس السطح $${\displaystyle z=x^{2}}$$ ل${\displaystyle b\rightarrow \infty }$، وهو عبارة عن أسطوانة مكافئة (انظر الصورة).

القطع المكافئ الإهليلجي، الذي يتم تحديده ببساطة على النحو التالي $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ له انحناء غاوسي$${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ ومتوسط ​​الانحناء$${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$ وكلاهما موجب دائمًا، ويبلغ أقصى قيمة له عند نقطة الأصل، ويصبح أصغر كلما ابتعدت نقطة على السطح عن نقطة الأصل، ويميل بشكل مقارب إلى الصفر عندما تتحرك النقطة المذكورة بعيدًا إلى ما لا نهاية عن نقطة الأصل.

القطع المكافئ الزائدي، ^{[ 2 ]} عند تمثيله بالمعاملات التالية $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ له انحناء غاوسي $${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ ومتوسط ​​الانحناء $${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

إذا كان القطع المكافئ الزائدي $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$ إذا تم تدويرها بزاوية π / 4 في الاتجاه + z ( وفقًا لقاعدة اليد اليمنى )، فإن النتيجة هي السطح $${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$ وإذا كان a = b، فإن هذا يتبسط إلى $${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$ وأخيرًا، بوضع a = √2 ، نرى أن القطع المكافئ الزائدي $${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$ متطابق مع السطح $${\displaystyle z=xy}$$ والتي يمكن اعتبارها التمثيل الهندسي ( مخطط بياني ثلاثي الأبعاد ، إن صح التعبير) لجدول الضرب .

الدالتان القطعيتان R ² → R$${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$ و $${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$ هي مترافقة توافقية ، وتشكل معًا الدالة التحليلية$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$ وهو الاستمرار التحليلي للدالة المكافئة R → R f ( x ) = ⁠ x ² / 2 ⁠ .

ترتبط أبعاد طبق مكافئ متناظر بالمعادلة $${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$ حيث F هي البعد البؤري، وD هو عمق الطبق (مقاسًا على طول محور التناظر من الرأس إلى مستوى الحافة)، و R هو نصف قطر الحافة. ​​يجب أن تكون جميعها بنفس وحدة الطول . إذا عُرف اثنان من هذه الأطوال الثلاثة، فيمكن استخدام هذه المعادلة لحساب الطول الثالث.

يلزم إجراء حساب أكثر تعقيدًا لإيجاد قطر الطبق المقاس على طول سطحه . يُطلق على هذا القطر أحيانًا اسم "القطر الخطي"، وهو يساوي قطر صفيحة دائرية مسطحة من مادة ما، عادةً ما تكون معدنية، ذات حجم مناسب للقص والثني لصنع الطبق. هناك نتيجتان وسيطتان مفيدتان في الحساب: P = 2F (أو ما يعادلها: P = R² / 2D ) و Q = √ ⁽ P² + R² ⁾ ، حيث F و D و R ^{مُعرَّفة} كما سبق. يُعطى قطر الطبق، المقاس على طول سطحه، بالعلاقة التالية :$${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$ حيث ln x تعني اللوغاريتم الطبيعي لـ x ، أي لوغاريتمها للأساس e .

يُعطى حجم الطبق، أي كمية السائل التي يمكن أن يحتويها إذا كانت حافته أفقية ورأسه في الأسفل (مثل سعة مقلاة ووك مكافئة الشكل )، بالمعادلة التالية: $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$ حيث تُعرَّف الرموز كما سبق. يمكن مقارنة ذلك بصيغ أحجام الأسطوانة ( πR²D ) ، ونصف الكرة ( 2π / 3R²D ^، حيث D = R )، والمخروط (π/3R²D). πR² هي مساحة فتحة الطبق ، أي المساحة المحصورة ^{بالحافة} ، وهي تتناسب مع كمية ضوء الشمس التي ^{يمكن أن يستقبلها طبق عاكس. يمكن} إيجاد مساحة سطح طبق مكافئ باستخدام صيغة مساحة سطح الدوران ، والتي تعطي$${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

• السطح الإهليلجي – سطح تربيعي يشبه كرة مشوهة 
• السطح الزائدي – سطح تربيعي غير محدود 
• مكبر صوت مكافئ – مكبر صوت على شكل قطع مكافئ ينتج موجات مستوية متماسكة 
• عاكس مكافئ – عاكس له شكل قطع مكافئ 

• الوسائط المتعلقة بالقطع المكافئ على ويكيميديا ​​كومنز