القطع الزائد

يمكن تعريف القطع الزائد هندسياً على أنه مجموعة من النقاط ( موضع النقاط ) في المستوى الإقليدي:

القطع الزائد هو مجموعة من النقاط، بحيث يكون لأي نقطة${\displaystyle P}$من المجموعة، الفرق المطلق للمسافات${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$إلى نقطتين ثابتتين${\displaystyle F_{1},F_{2}}$( البؤر ) ثابتة، ويرمز لها عادةً بـ${\displaystyle 2a,\,a>0}$[ ^{6 ]​}$${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

نقطة المنتصف${\displaystyle M}$يُطلق على الجزء من القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين اسم مركز القطع الزائد. ^{[ 7 ]} ويُطلق على الخط المار بالبؤرتين اسم المحور الأكبر . ويحتوي على رؤوس القطع الزائد .${\displaystyle V_{1},V_{2}}$والتي لها مسافة${\displaystyle a}$إلى المركز. المسافة${\displaystyle c}$المسافة بين البؤرتين والمركز تُسمى المسافة البؤرية أو الانحراف الخطي . والناتج هو:${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$إنها الغرابة${\displaystyle e}$.

المعادلة${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$يمكن النظر إلى الأمر بطريقة مختلفة (انظر الرسم التوضيحي): إذا${\displaystyle c_{2}}$هي الدائرة التي نقطة المنتصف${\displaystyle F_{2}}$ونصف القطر${\displaystyle 2a}$ثم المسافة إلى نقطة${\displaystyle P}$من الفرع الأيمن إلى الدائرة${\displaystyle c_{2}}$يساوي المسافة إلى البؤرة${\displaystyle F_{1}}$: $${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$${\displaystyle c_{2}}$يُطلق عليه اسم الدليل الدائري (المتعلق بالبؤرة)${\displaystyle F_{2}}$) من القطع الزائد. ^{[ 8 ] [ 9 ]} للحصول على الفرع الأيسر من القطع الزائد، يجب استخدام الدليل الدائري المتعلق بـ${\displaystyle F_{1}}$. يجب عدم الخلط بين هذه الخاصية وتعريف القطع الزائد بمساعدة الدليل (الخط) أدناه.

إذا تم تدوير نظام الإحداثيات xy حول نقطة الأصل بزاوية${\displaystyle +45^{\circ }}$وإحداثيات جديدة${\displaystyle \xi ,\eta }$يتم تعيينهم، ثم${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$القطع الزائد المستطيل${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$(التي تتساوى أنصاف محاورها ) لها المعادلة الجديدة${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta} {a^{2}}}=1}$حل المعادلة لـ${\displaystyle \eta }$العائد${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

وبالتالي، في نظام إحداثيات xy، يكون الرسم البياني للدالة${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$مع المعادلة $${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$هو قطع زائد مستطيل يقع بالكامل في الربعين الأول والثالث مع

• محاور الإحداثيات كخطوط تقارب ،
• الخط${\displaystyle y=x}$كمحور رئيسي ،
• المركز​${\displaystyle (0,0)}$ونصف المحور${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• الرؤوس​${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• نصف العضلة المستقيمة العريضة ونصف قطر الانحناء عند الرؤوس${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• اللامركزية الخطية${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$والغرابة${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• المماس​${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$عند النقطة${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

دوران القطع الزائد الأصلي بواسطة${\displaystyle -45^{\circ }}$ينتج عن ذلك قطع زائد مستطيل يقع بالكامل في الربعين الثاني والرابع، بنفس الخطوط المقاربة والمركز ونصف الوتر البؤري ونصف قطر الانحناء عند الرؤوس واللامركزية الخطية واللامركزية كما في حالة${\displaystyle +45^{\circ }}$الدوران، مع المعادلة $${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• المحاور النصفية${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• الخط${\displaystyle y=-x}$كمحور رئيسي،
• الرؤوس​${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

إزاحة القطع الزائد باستخدام المعادلة${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$بحيث يكون المركز الجديد${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$، مما ينتج عنه المعادلة الجديدة $${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$ والخطوط التقاربية الجديدة هي${\displaystyle x=c_{0}}$و${\displaystyle y=d_{0}}$معلمات الشكل${\displaystyle a,b,p,c,e}$تبقى دون تغيير.

الخطان المتباعدان${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$وتسمى النقاط من المركز والموازية للمحور الأصغر بدليل القطع الزائد (انظر الرسم التخطيطي).

لنقطة عشوائية${\displaystyle P}$بالنسبة للقطع الزائد، فإن حاصل قسمة المسافة إلى إحدى البؤرتين على المسافة إلى الدليل المقابل (انظر الرسم التخطيطي) يساوي الانحراف المركزي: $${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$ الدليل للزوجين${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ويترتب على ذلك حقيقة أن${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$و${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$تحقق المعادلة $${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$ أما الحالة الثانية فقد تم إثباتها بطريقة مماثلة.

العبارة العكسية صحيحة أيضاً ويمكن استخدامها لتعريف القطع الزائد (بطريقة مشابهة لتعريف القطع المكافئ):

لأي نقطة${\displaystyle F}$(التركيز)، أي سطر${\displaystyle l}$(مديرة) ليس من خلال${\displaystyle F}$وأي عدد حقيقي${\displaystyle e}$مع${\displaystyle e>1}$مجموعة النقاط (موقع النقاط)، التي يكون فيها ناتج قسمة المسافات إلى النقطة على المسافات إلى الخط هو${\displaystyle e}$$${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$ هو قطع زائد.

(الاختيار)${\displaystyle e=1}$ينتج عنه قطع مكافئ، وإذا${\displaystyle e<1}$شكل بيضاوي .)

دليل

يترك${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$وافترض${\displaystyle (0,0)}$هي نقطة على المنحنى. الدليل${\displaystyle l}$لها معادلة${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$. مع${\displaystyle P=(x,y)}$العلاقة${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$ينتج المعادلات

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$و${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

الاستبدال${\displaystyle p=f(1+e)}$العائد $${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$ هذه معادلة القطع الناقص (${\displaystyle e<1}$) أو قطع مكافئ (${\displaystyle e=1}$) أو قطع زائد (${\displaystyle e>1}$). جميع هذه القطوع المخروطية غير المنحلة تشترك في الأصل كرأس (انظر الرسم التخطيطي).

لو${\displaystyle e>1}$، إدخال معايير جديدة${\displaystyle a,b}$لهذا السبب.${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ثم تصبح المعادلة أعلاه $${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$ وهي معادلة القطع الزائد الذي مركزه${\displaystyle (-a,0)}$، المحور السيني كمحور رئيسي ونصف المحور الرئيسي/الثانوي${\displaystyle a,b}$.

تقاطع مخروط مزدوج قائم مع مستوى لا يمر برأسه وميله أكبر من ميل الخطوط المرسومة على المخروط هو قطع زائد (انظر الرسم التوضيحي: المنحنى الأحمر). ولإثبات الخاصية المميزة للقطع الزائد (انظر أعلاه)، يُستخدم كرتان من كرات داندلين .${\displaystyle d_{1},d_{2}}$وهي عبارة عن كرات تلامس المخروط على طول دوائر${\displaystyle c_{1}}$،${\displaystyle c_{2}}$والمستوى المتقاطع (القطع الزائد) عند النقاط${\displaystyle F_{1}}$و${\displaystyle F_{2}}$اتضح أن :${\displaystyle F_{1},F_{2}}$هي بؤرتا القطع الزائد.

1. يترك${\displaystyle P}$لتكن نقطة عشوائية على منحنى التقاطع.
2. مولد المخروط الذي يحتوي${\displaystyle P}$يتقاطع مع الدائرة${\displaystyle c_{1}}$عند النقطة${\displaystyle A}$ودائرة${\displaystyle c_{2}}$في نقطة${\displaystyle B}$.
3. القطع المستقيمة${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$و${\displaystyle {\overline {PA}}}$تكون مماسية للكرة${\displaystyle d_{1}}$وبالتالي، فهما متساويان في الطول.
4. القطع المستقيمة${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$و${\displaystyle {\overline {PB}}}$تكون مماسية للكرة${\displaystyle d_{2}}$وبالتالي، فهما متساويان في الطول.
5. والنتيجة هي:${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$مستقل عن نقطة القطع الزائد${\displaystyle P}$لأنه بغض النظر عن النقطة${\displaystyle P}$يكون،${\displaystyle A,B}$يجب أن يكونوا على دوائر${\displaystyle c_{1}}$،${\displaystyle c_{2}}$، وقطعة مستقيمة${\displaystyle AB}$يجب أن تعبر القمة. لذلك، كنقطة${\displaystyle P}$يتحرك على طول المنحنى الأحمر (القطع الزائد)، قطعة مستقيمة${\displaystyle {\overline {AB}}}$يدور ببساطة حول قمته دون تغيير طوله.

يمكن استخدام تعريف القطع الزائد من خلال بؤرتيه ودليله الدائري (انظر أعلاه) لرسم قوس منه بمساعدة الدبابيس والخيط والمسطرة: ^{[ 10 ]}

0. اختر المحاور${\displaystyle F_{1},F_{2}}$وأحد الدليل الدائري ، على سبيل المثال${\displaystyle c_{2}}$(دائرة بنصف قطر)${\displaystyle 2a}$)
1. تم تثبيت المسطرة عند النقطة${\displaystyle F_{2}}$حرية الدوران${\displaystyle F_{2}}$. نقطة${\displaystyle B}$يتم تحديدها على مسافة${\displaystyle 2a}$.
2. يتم تثبيت أحد طرفي الخيط عند نقطة${\displaystyle A}$على المسطرة ويتم تحديد طولها${\displaystyle |AB|}$.
3. يتم تثبيت الطرف الحر للخيط عند النقطة${\displaystyle F_{1}}$.
4. خذ قلمًا وأمسك الخيط بإحكام على حافة المسطرة.
5. تدوير المسطرة حول${\displaystyle F_{2}}$يدفع القلم لرسم قوس الفرع الأيمن للقطع الزائد، بسبب${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$(انظر تعريف القطع الزائد بواسطة الموجهات الدائرية ).

تعتمد الطريقة التالية لإنشاء نقاط مفردة للقطع الزائد على توليد شتاينر لقطع مخروطي غير متدهور :

أعطيت قلمين رصاص${\displaystyle B(U),B(V)}$خطوط عند نقطتين${\displaystyle U,V}$(جميع الأسطر التي تحتوي على${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$(على التوالي) ورسم خرائط إسقاطية ولكن ليس منظورًا${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle B(U)}$على${\displaystyle B(V)}$ثم تشكل نقاط تقاطع الخطوط المتناظرة مقطعًا مخروطيًا إسقاطيًا غير متدهور.

لتوليد نقاط القطع الزائد${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$يستخدم المرء الأقلام الرصاص عند الرؤوس${\displaystyle V_{1},V_{2}}$. يترك${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$أن تكون نقطة من القطع الزائد و${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$القطعة المستقيمة${\displaystyle {\overline {BP}}}$ينقسم إلى n من الأجزاء المتساوية التباعد، ويتم إسقاط هذا التقسيم بالتوازي مع القطر${\displaystyle AB}$كتوجيه على قطعة الخط${\displaystyle {\overline {AP}}}$(انظر الرسم التوضيحي). الإسقاط المتوازي هو جزء من عملية الإسقاط بين الحزمتين عند${\displaystyle V_{1}}$و${\displaystyle V_{2}}$مطلوب. نقاط تقاطع أي خطين متصلين${\displaystyle S_{1}A_{i}}$و${\displaystyle S_{2}B_{i}}$هي نقاط القطع الزائد المحدد بشكل فريد.

ملاحظات:

• يمكن توسيع نطاق التقسيم الفرعي إلى ما وراء النقاط${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$للحصول على المزيد من النقاط، ولكن تحديد نقاط التقاطع سيصبح أقل دقة. والحل الأمثل هو توسيع النقاط التي تم إنشاؤها مسبقًا عن طريق التناظر (انظر الرسوم المتحركة).
• يوجد جيل شتاينر أيضاً فيما يتعلق بالقطع الناقص والقطع المكافئ.
• يُطلق على طريقة توليد شتاينر أحيانًا اسم طريقة متوازي الأضلاع لأنه يمكن استخدام نقاط أخرى بدلاً من الرؤوس، والتي تبدأ بمتوازي أضلاع بدلاً من مستطيل.

قطع زائد معادلته${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال ثلاث نقاط${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$بإحداثيات س و ص مختلفة . طريقة بسيطة لتحديد معلمات الشكل${\displaystyle a,b,c}$يستخدم نظرية الزاوية المحيطية للقطع الزائد:

لقياس الزاوية بين خطين باستخدام المعادلات${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$في هذا السياق، يتم استخدام خارج القسمة $${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

وبالمثل لنظرية الزاوية المحيطية للدوائر، نحصل على

من نتائج نظرية الزاوية المحيطية للقطع الزائد ما يلي:

تعريف آخر للقطع الزائد يستخدم التحويلات الأفينية :

أي قطع زائد هو الصورة الأفينية للقطع الزائد ذي الوحدة الذي معادلته${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$.

لأن القطع الزائد الواحد${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$مكافئ خطيًا للقطع الزائد${\displaystyle y=1/x}$يمكن اعتبار أي قطع زائد بمثابة الصورة الأفينية (انظر القسم السابق) للقطع الزائد${\displaystyle y=1/x\,}$:

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$مركز القطع الزائد، المتجهات${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$حدد اتجاهات خطوط التقارب و${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$هي نقطة على القطع الزائد. متجه المماس هو $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$ عند رأس المثلث يكون المماس عموديًا على المحور الرئيسي. $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$ ومعامل الرأس هو

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$يعادل${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$و${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$هي رؤوس القطع الزائد.

يمكن إثبات الخصائص التالية للقطع الزائد بسهولة باستخدام تمثيل القطع الزائد الذي تم تقديمه في هذا القسم.

بناء مماس

يمكن إعادة كتابة متجه المماس عن طريق التحليل إلى عوامل: $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$ هذا يعني أن

القطر${\displaystyle AB}$متوازي الأضلاع${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$يكون موازياً للمماس عند نقطة القطع الزائد${\displaystyle P}$(انظر الرسم التوضيحي).

توفر هذه الخاصية طريقة لإنشاء المماس عند نقطة على القطع الزائد.

تُعد هذه الخاصية للقطع الزائد نسخة تآلفية من انحلال النقاط الثلاث لنظرية باسكال . ^{[ 13 ]}

مساحة متوازي الأضلاع الرمادي

مساحة متوازي الأضلاع الرمادي${\displaystyle MAPB}$في الرسم التخطيطي أعلاه هو $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {ab}{2}}}$$ وبالتالي مستقل عن النقطة${\displaystyle P}$تنتج المعادلة الأخيرة من حساب الحالة التي${\displaystyle P}$هو رأس والقطع الزائد في شكله المتعارف عليه${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

بناء النقاط

للقطع الزائد ذي التمثيل البارامتري${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$(لتبسيط الأمر، المركز هو نقطة الأصل) ما يلي صحيح:

لأي نقطتين${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$النقاط

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

تقع على خط مستقيم واحد مع مركز القطع الزائد (انظر الرسم التخطيطي).

البرهان البسيط هو نتيجة للمعادلة${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$.

توفر هذه الخاصية إمكانية إنشاء نقاط القطع الزائد إذا تم إعطاء خطوط التقارب ونقطة واحدة.

تُعد هذه الخاصية للقطع الزائد نسخة تآلفية من انحلال النقاط الأربع لنظرية باسكال . ^{[ 14 ]}

مثلث المماس والمقارب

لتبسيط الأمر، يمكن اعتبار مركز القطع الزائد هو نقطة الأصل والمتجهات${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$لها أطوال متساوية. إذا لم يتحقق الافتراض الأخير، يمكن أولاً تطبيق تحويل للمعاملات (انظر أعلاه) لجعل الافتراض صحيحًا.${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$هي الرؤوس،${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$يمتد على المحور الأصغر، فيحصل المرء على${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$و${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$.

بالنسبة لنقاط تقاطع المماس عند النقطة${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$باستخدام خطوط التقارب، يمكن الحصول على النقاط $${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$ مساحة المثلث​${\displaystyle M,C,D}$يمكن حسابها باستخدام محدد 2 × 2: $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$ (انظر قواعد المحددات ). ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$هي مساحة المعين الناتج عن${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب قطريه. القطران هما نصفا المحورين.${\displaystyle a,b}$من القطع الزائد. ومن ثم:

مساحة المثلث​${\displaystyle MCD}$مستقل عن نقطة القطع الزائد:${\displaystyle A=ab.}$

ينتج عن قلب الدائرة B داخل الدائرة C دائمًا قطع مخروطي ، مثل القطع الزائد. وتتمثل عملية "القلب داخل الدائرة C " في استبدال كل خط ونقطة في الشكل الهندسي بقطبها وإحداثيها القطبي ، على التوالي. قطب الخط هو انعكاس أقرب نقطة إليه من الدائرة C ، بينما الإحداثي القطبي للنقطة هو عكس ذلك، أي الخط الذي تكون أقرب نقطة إليه من C هي انعكاس تلك النقطة.

الانحراف المركزي للقطع المخروطي الناتج عن الانعكاس هو نسبة المسافة بين مركزي الدائرتين إلى نصف قطر دائرة الانعكاس C. إذا كانت B و C تمثلان النقطتين الواقعتين في مركزي الدائرتين المتناظرتين، فإن

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

بما أن اللامركزية للقطع الزائد تكون دائماً أكبر من واحد، فإن المركز B يجب أن يقع خارج الدائرة المتبادلة C.

يشير هذا التعريف إلى أن القطع الزائد هو المحل الهندسي لأقطاب المماسات للدائرة B ، وكذلك غلاف الخطوط القطبية للنقاط الواقعة على B. وبالمقابل، فإن الدائرة B هي غلاف الخطوط القطبية للنقاط الواقعة على القطع الزائد، والمحل الهندسي لأقطاب المماسات للقطع الزائد. لا يمتلك مماسان للدائرة B أقطابًا (محدودة) لأنهما يمران بمركز الدائرة C المقابلة لدائرة الانعكاس C ؛ والخطوط القطبية لنقاط التماس المقابلة على B هي خطوط التقارب للقطع الزائد. ويتوافق فرعا القطع الزائد مع جزئي الدائرة B اللذين تفصل بينهما نقاط التماس هذه.

يمكن تعريف القطع الزائد أيضًا على أنه معادلة من الدرجة الثانية في الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle (x,y)}$في الطائرة ،

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

بشرط أن تكون الثوابت${\displaystyle A_{xx},}$${\displaystyle A_{xy},}$${\displaystyle A_{yy},}$${\displaystyle B_{x},}$${\displaystyle B_{y},}$و${\displaystyle C}$استيفاء شرط المحدد

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

يُطلق على هذا المحدد اصطلاحاً اسم مميز القطع المخروطي. ^{[ 15 ]}

تحدث حالة خاصة من القطع الزائد - وهي القطع الزائد المنحط المكون من خطين متقاطعين - عندما يكون أحد المحددات الأخرى يساوي صفرًا:

$${\displaystyle \Delta$$ :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}

هذا المحدد${\displaystyle \Delta }$يُطلق عليه أحيانًا اسم مميز القطع المخروطي. ^{[ 16 ]}

يمكن الحصول على معاملات المعادلة العامة من المحور شبه الرئيسي المعروف${\displaystyle a,}$المحور شبه الأصغر${\displaystyle b,}$إحداثيات المركز${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$وزاوية الدوران${\displaystyle \theta }$(الزاوية من المحور الأفقي الموجب إلى المحور الرئيسي للقطع الزائد) باستخدام الصيغ التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

يمكن اشتقاق هذه التعبيرات من المعادلة الأساسية

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

عن طريق نقل وتدوير الإحداثيات${\displaystyle (x,y)}$:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

بالنظر إلى المعلمات العامة المذكورة أعلاه للقطع الزائد في الإحداثيات الديكارتية، يمكن إيجاد اللامركزية باستخدام الصيغة في المقطع المخروطي#اللامركزية بدلالة المعاملات .

المركز${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$يمكن تحديد طول القطع الزائد من الصيغ التالية:

$$\displaystyle \begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

فيما يتعلق بالإحداثيات الجديدة،${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$و${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$يمكن كتابة المعادلة المحددة للقطع الزائد على النحو التالي

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

تشكل المحاور الرئيسية للقطع الزائد زاوية${\displaystyle \varphi }$مع الإيجابي${\displaystyle x}$المحور - الذي يُعطى بواسطة

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

تدوير محاور الإحداثيات بحيث${\displaystyle x}$يؤدي محاذاة المحور السيني مع المحور العرضي إلى تحويل المعادلة إلى شكلها المتعارف عليه.

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

المحوران الرئيسي والثانوي${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يتم تعريفها بواسطة المعادلات $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \lambda _{1}}$و${\displaystyle \lambda _{2}}$هي جذور المعادلة التربيعية

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

للمقارنة، فإن المعادلة المقابلة للقطع الزائد المنحط (المكون من خطين متقاطعين) هي

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

الخط المماس لنقطة معينة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$يتم تعريف الجزء الواقع على القطع الزائد بالمعادلة

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

أين${\displaystyle E,}$${\displaystyle F,}$و${\displaystyle G}$يتم تعريفها بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

الخط العمودي على القطع الزائد عند نفس النقطة يُعطى بالمعادلة

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

الخط العمودي متعامد مع الخط المماس، وكلاهما يمران بنفس النقطة.${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

من المعادلة

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

التركيز الأيسر هو${\displaystyle (-ae,0)}$والتركيز الصحيح هو${\displaystyle (ae,0),}$أين${\displaystyle e}$يمثل الانحراف المركزي. ويرمز إلى المسافات من نقطة ما.${\displaystyle (x,y)}$إلى البؤرتين اليسرى واليمنى كـ${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}.}$للحصول على نقطة على الفرع الأيمن،

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

وبالنسبة لنقطة على الفرع الأيسر،

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي:

لو${\displaystyle (x,y)}$هي نقطة على القطع الزائد، والمسافة إلى البؤرة اليسرى هي

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$