التثليث

التثليث متعدد المدى الحقيقي (ويُسمى أيضًا التثليث متعدد المدى-المدى والتثليث الكروي متعدد المدى) هو طريقة لتحديد موقع مركبة متحركة أو نقطة ثابتة في الفضاء باستخدام نطاقات متعددة ( مسافات ) بين المركبة/النقطة ومواقع معروفة متعددة متباعدة مكانيًا (تُسمى غالبًا "محطات"). ^{[ 7 ] [ 8 ]} قد تُستخدم الموجات الطاقية في تحديد المدى، ولكنها ليست شرطًا أساسيًا.

يُعدّ تحديد الموقع عبر المدى الحقيقي موضوعًا رياضيًا وتقنية تطبيقية تُستخدم في مجالات عديدة. ومن تطبيقاته العملية تحديد الموقع الثابت في مجال المسح . ^{[ 9 ] [ 10 ]} أما التطبيقات التي تتضمن تحديد موقع المركبة فتُسمى ملاحة عندما يتم إبلاغ الأشخاص/المعدات الموجودة على متنها بموقعها، وتُسمى مراقبة عندما يتم إبلاغ جهات خارج المركبة بموقعها.

يمكن استخدام نطاقين مائلين من موقعين معروفين لتحديد موقع نقطة ثالثة في فضاء ديكارتي ثنائي الأبعاد (مستوى)، وهي تقنية شائعة الاستخدام (مثلًا، في المسح). وبالمثل، يمكن استخدام نطاقين كرويين لتحديد موقع نقطة على سطح كرة، وهو مفهوم أساسي في علم الملاحة الفلكية القديم - يُعرف بمسألة اعتراض الارتفاع . علاوة على ذلك، إذا توفر عدد من النطاقات يفوق الحد الأدنى، فمن الممارسات الجيدة استخدامها أيضًا. تتناول هذه المقالة المسألة العامة لتحديد الموقع باستخدام نطاقات متعددة.

في الهندسة ثنائية الأبعاد ، من المعروف أنه إذا وقعت نقطة على دائرتين، فإن مركزي الدائرتين ونصف قطريهما يوفران معلومات كافية لحصر المواقع المحتملة في موقعين فقط، أحدهما هو الحل المطلوب والآخر حل غامض. غالبًا ما تُضيّق المعلومات الإضافية الاحتمالات إلى موقع واحد. في الهندسة ثلاثية الأبعاد، عندما يُعرف أن نقطة ما تقع على أسطح ثلاث كرات، فإن مراكز الكرات الثلاث ونصف أقطارها توفر أيضًا معلومات كافية لحصر المواقع المحتملة في موقعين على الأكثر (إلا إذا كانت المراكز تقع على خط مستقيم).

يمكن مقارنة التثليث باستخدام المدى الحقيقي بالتثليث باستخدام المدى الزائف ، وهو النوع الأكثر شيوعًا ، والذي يستخدم فروق المدى لتحديد موقع نقطة (عادةً ما تكون متحركة). ويتم تطبيق التثليث باستخدام المدى الزائف دائمًا تقريبًا عن طريق قياس أوقات وصول الموجات الطاقية. كما يمكن مقارنة التثليث باستخدام المدى الحقيقي بالتثليث ، الذي يتضمن قياس الزوايا .

تحديد الموقع باستخدام تقنية التثليث متعدد المدى الزائف ، أو ببساطة التثليث متعدد النقاط (MLAT)، هي تقنية لتحديد موقع نقطة مجهولة، مثل مركبة، بناءً على قياس أوقات انتقال الموجات الطاقية (TOFs) المتحيزة، والتي تنتقل بين المركبة ومحطات متعددة في مواقع معروفة. تتأثر أوقات الانتقال بأخطاء التزامن في الفرق بين وقت الوصول (TOA) ووقت الإرسال (TOT): TOF = TOA − TOT . أما المدى الزائف (PR) فهو عبارة عن أوقات الانتقال مضروبة في سرعة انتشار الموجة: PR = TOF · s . بشكل عام، يُفترض أن ساعات المحطات متزامنة، بينما تكون ساعة المركبة غير متزامنة.

في تقنية تحديد المواقع متعددة الأطراف (MLAT) لأغراض المراقبة ، تُرسل الموجات من المركبة وتستقبلها المحطات؛ ويكون زمن الوصول (TOT) فريدًا وغير معروف، بينما تكون أزمنة الوصول (TOA) متعددة ومعروفة. عند استخدام تقنية MLAT للملاحة (كما في الملاحة القطعية )، تُرسل الموجات من المحطات وتستقبلها المركبة؛ وفي هذه الحالة، تكون أزمنة الوصول (TOT) متعددة ولكنها معروفة، بينما يكون زمن الوصول (TOA) فريدًا وغير معروف. في تطبيقات الملاحة، يُطلق على المركبة غالبًا اسم "المستخدم"؛ أما في تطبيقات المراقبة، فقد يُطلق عليها اسم "الهدف".

تُعتبر ساعة المركبة مجهولًا إضافيًا، ويتم تقديرها جنبًا إلى جنب مع إحداثيات موقع المركبة. إذا كان d هو عدد الأبعاد الفيزيائية التي يتم أخذها في الاعتبار (على سبيل المثال، 2 للطائرة) و m هو عدد الإشارات المستلمة (وبالتالي، أوقات الطيران المقاسة)، فإنه يلزم أن${\displaystyle m\geq d+1}$.

عادةً ما تتطلب المعالجة استخراج أوقات الوصول (TOAs) أو الفروقات بينها من الإشارات المستقبلة، وعادةً ما يلزم استخدام خوارزمية لحل هذه المجموعة من المعادلات. تقوم الخوارزمية إما بما يلي: (أ) تحديد القيم العددية لوقت الإرسال (TOT) (لساعة جهاز الاستقبال) وإحداثيات المركبة ؛ أو (ب) تجاهل وقت الإرسال (TOT) وتكوين${\displaystyle m-1}$(على الأقل د ) فرق زمني للوصول (TDOAs)، والذي يُستخدم لإيجاد إحداثيات المركبة د . في أغلب الأحيان،${\displaystyle d=2}$(مثلاً، مستوى أو سطح كرة) أو${\displaystyle d=3}$(على سبيل المثال، العالم المادي الحقيقي). تُسمى الأنظمة التي تُشكل فروقًا زمنية في وقت الوصول أيضًا بالأنظمة الزائدية ، ^{[ 11 ]} لأسباب سيتم مناقشتها أدناه.

يُزوّد ​​نظام الملاحة متعدد الأطراف جهةً داخل المركبة (مثل طيار الطائرة أو مُشغّل جهاز استقبال نظام تحديد المواقع العالمي GPS) بمعلومات موقع المركبة. بينما يُزوّد ​​نظام المراقبة متعدد الأطراف جهةً خارج المركبة (مثل مراقب الحركة الجوية أو مُزوّد ​​خدمة الهاتف المحمول) بمعلومات موقع المركبة. وبناءً على مبدأ التبادلية، يُمكن استخدام أي طريقة تُستخدم للملاحة في المراقبة، والعكس صحيح (حيث تُستخدم نفس المعلومات).

طُوِّرت أنظمةٌ لكلٍّ من خوارزميات TOT وTDOA (التي تتجاهل TOT). في هذه المقالة، نتناول خوارزميات TDOA أولًا، نظرًا لتطبيقها أولًا. وبسبب التكنولوجيا المتاحة آنذاك، كانت أنظمة TDOA تُحدِّد موقع المركبة غالبًا في بُعدين. أما أنظمة TOT، فنتناولها ثانيًا. وقد طُبِّقت تقريبًا بعد عام ١٩٧٥، وتعتمد عادةً على الأقمار الصناعية. وبفضل التطورات التكنولوجية، تُحدِّد خوارزميات TOT عمومًا موقع المستخدم/المركبة في ثلاثة أبعاد. مع ذلك، من الناحية النظرية، لا ترتبط خوارزميات TDOA أو TOT بعدد الأبعاد المُستخدمة.