الزاوية المركزية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة
الزاوية ∠ AOB هي زاوية مركزية.

في الهندسة ، الزاوية المركزية هي زاوية رأسها (رأسها) هي مركز الدائرة (O) ، وساقاها (ضلعاها) هما نصفا قطر يتقاطعان مع الدائرة في نقطتين مختلفتين (A و B) . يُقابل الزاوية المركزية قوس بين هاتين النقطتين، وطول هذا القوس هو الزاوية المركزية لدائرة نصف قطرها واحد (مقاسًا بالراديان ). [ 1 ] تُعرف الزاوية المركزية أيضًا بالمسافة الزاوية للقوس . ويُطلق على طول القوس الذي تشكله الزاوية المركزية على سطح الكرة اسم المسافة الكروية .

قياس الزاوية المركزية θ هو 0° < θ < 360° أو 0 < θ < 2π (راديان). عند تعريف أو رسم زاوية مركزية، بالإضافة إلى تحديد النقطتين A و B ، يجب تحديد ما إذا كانت الزاوية محدبة ( أقل من 180°) أو منعكسة ( أكبر من 180°). وبالمثل، يجب تحديد ما إذا كانت الحركة من النقطة A إلى النقطة B باتجاه عقارب الساعة أو عكسها.

الصيغ

إذا كانت نقطتا تقاطع ضلعي الزاوية مع الدائرة، A و B ، تشكلان قطراً ، فإن θ = 180° هي زاوية مستقيمة . (بالراديان، θ = π ).

ليكن L القوس الأصغر للدائرة بين النقطتين A و B ، وليكن R نصف قطر الدائرة. [ 2 ]

زاوية مركزية محدبة، يقابلها القوس الأصغر L.

إذا كانت الزاوية المركزية θ محصورة بالضلع L ، فإن 0∘<θ<180∘،θ=(180LπR)∘=LR.{\displaystyle 0^{\circ }<\theta <180^{\circ }\,,\quad \theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }={\frac {L}{R}}.}

إثبات (للدرجة)

محيط دائرة نصف قطرها R يساوي 2πR ، والقوس الأصغر L هو الجزء المتناسب θ / 360° من المحيط الكلي (انظر القوس ) . إذن: L=θ360∘⋅2πR⇒θ=(180LπR)∘.{\displaystyle L={\frac {\theta }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi R\quad \Rightarrow \quad \theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }.}

الزاوية المركزية المنعكسة، غير المحصورة بالعين اليسرى .
البرهان (بالراديان)

محيط دائرة نصف قطرها R يساوي 2πR ، والقوس الأصغر L هو الجزء المتناسب θ / 2π من المحيط الكلي (انظر القوس ) .L=θ2π⋅2πR⇒θ=LR.{\displaystyle L={\frac {\theta }{2\pi }}\cdot 2\pi R\quad \Rightarrow \quad \theta ={\frac {L}{R}}.}

إذا لم تكن الزاوية المركزية θ محصورة بالقوس الأصغر L ، ​​فإن θ تكون زاوية منعكسة و 180∘<θ<360∘،θ=(360-180LπR)∘=2π-LR.{\displaystyle 180^{\circ }<\theta <360^{\circ }\,,\quad \theta =\left(360-{\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }=2\pi -{\frac {L}{R}}.}

إذا تقاطع مماس عند النقطة A ومماس عند النقطة B عند النقطة الخارجية P ، فإن تسمية المركز بـ O ، والزاويتين ∠BOA ( محدبة ) و∠ BPA متكاملتان (مجموعهما 180 درجة).

الزاوية المركزية للمضلع المنتظم

المضلع المنتظم ذو n ضلعًا له دائرة محيطة تقع عليها جميع رؤوسه، ومركز هذه الدائرة هو أيضًا مركز المضلع. تتكون الزاوية المركزية للمضلع المنتظم عند المركز من نصف قطر الدائرة المحيطة برأسين متجاورين. قياس هذه الزاوية هو2π/ن.{\displaystyle 2\pi /n.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كلافام، سي.؛ نيكلسون، ج. (2009). "قاموس أكسفورد الموجز للرياضيات، الزاوية المركزية" (ملف PDF) . أديسون-ويسلي. ص  122. تم الاطلاع عليه في 30 ديسمبر 2013 .
  2. ↑ "الزاوية المركزية (للدائرة)" . مرجع الرياضيات المفتوح. 2009. تم الاطلاع عليه في 30 ديسمبر 2013 .تفاعلي