الزاوية الداخلية

ليكن O مركز دائرة، كما في الرسم التوضيحي على اليمين. اختر نقطتين على الدائرة، ولنسميهما V و A. حدد النقطة B لتكون مقابلة قطرية للنقطة V. ارسم الوتر VB ، وهو قطر يحتوي على النقطة O. ارسم الوتر VA. الزاوية ∠BVA هي زاوية محيطية تقاطع القوس AB ؛ ولنرمز لها بالرمز ψ . ارسم الخط OA . الزاوية ∠BOA هي زاوية مركزية تقاطع القوس AB أيضًا ؛ ولنرمز لها بالرمز θ .

الخطان OV و OA كلاهما نصفا قطر الدائرة، لذا فهما متساويان في الطول. بالتالي، المثلث △ VOA متساوي الساقين ، لذا فإن الزاويتين ∠BVA و ∠VAO متساويتان .

الزاويتان ∠ BOA و ∠ AOV متكاملتان ، ومجموعهما زاوية مستقيمة (180 درجة)، لذا فإن قياس الزاوية ∠ AOV هو 180 درجة - θ .

يجب أن يكون مجموع زوايا المثلث △ VOA الثلاث مساوياً لـ 180 درجة :

$${\displaystyle (180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.}$$

إضافة${\displaystyle \theta -180^{\circ }}$يؤدي كلا الجانبين إلى

$${\displaystyle 2\psi =\theta .}$$

بفرض وجود دائرة مركزها النقطة O ، اختر ثلاث نقاط V وC وD على الدائرة. ارسم الخطين VC و VD : الزاوية ∠DVC زاوية محيطية. الآن ارسم الخط OV ومدده متجاوزًا النقطة O بحيث يتقاطع مع الدائرة عند النقطة E. الزاوية ∠DVC تقاطع القوس DC على الدائرة.

لنفترض أن هذا القوس يشمل النقطة E. النقطة E مقابلة قطريًا للنقطة V. الزاويتان ∠DVE و∠ EVC هما أيضًا زاويتان محيطيتان، ولكن لكلتاهما ضلع يمر بمركز الدائرة، لذلك يمكن تطبيق النظرية من الجزء 1 أعلاه عليهما .

لذلك،

$${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}$$

ثم دع

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

لهذا السبب.

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$$

ارسم الخطين OC و OD . الزاوية ∠DOC زاوية مركزية ، وكذلك الزاويتان ∠DOE و∠ EOC ، و$${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$$

يترك

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

لهذا السبب.

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$$

من الجزء الأول نعلم أن${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$وذلك${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$وبدمج هذه النتائج مع المعادلة (2) نحصل على

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}$$

وبالتالي، وفقًا للمعادلة (1)،

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

يمكن توسيع الحالة السابقة لتشمل الحالة التي يكون فيها قياس الزاوية المحيطية هو الفرق بين زاويتين محيطيتين كما تمت مناقشته في الجزء الأول من هذا البرهان.

بفرض وجود دائرة مركزها النقطة O ، اختر ثلاث نقاط V وC وD على الدائرة. ارسم الخطين VC و VD : الزاوية ∠DVC زاوية محيطية. الآن ارسم الخط OV ومدده متجاوزًا النقطة O بحيث يتقاطع مع الدائرة عند النقطة E. الزاوية ∠DVC تقاطع القوس DC على الدائرة.

لنفترض أن هذا القوس لا يشمل النقطة E. تقع النقطة E مقابل النقطة V قطريًا . الزاويتان ∠EVD و∠ EVC هما زاويتان محيطيتان أيضًا، ولكن لكل منهما ضلع يمر بمركز الدائرة، وبالتالي يمكن تطبيق النظرية الواردة في الجزء الأول أعلاه عليهما .

لذلك،

$${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD.}$$

ثم دع

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

لهذا السبب.

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}$$

ارسم الخطين OC و OD . الزاوية ∠DOC زاوية مركزية ، وكذلك الزاويتان ∠EOD و∠ EOC ، و

$${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}$$

يترك

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

لهذا السبب.

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}$$

من الجزء الأول نعلم أن${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$وذلك${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$وبدمج هذه النتائج مع المعادلة (4) نحصل على $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$$ وبالتالي، وفقًا للمعادلة (3)، $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$