محيط

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة
  محيط ج
  القطر D
  نصف القطر R
  المركز أو الأصل O
المحيط = π × القطر = 2 π × نصف القطر.

في الهندسة ، يُعرف المحيط ( من الكلمة اللاتينية circumferēns التي تعني " الحمل حول" أو "الدوران " ) بأنه محيط الدائرة أو القطع الناقص . ويُمثل المحيط طول قوس الدائرة ، كما لو كانت مفتوحة ومُستقيمة لتصبح قطعة مستقيمة . [ 1 ] وبشكل أعم، يُشير المحيط إلى طول المنحنى حول أي شكل مغلق. وقد يُشير مصطلح المحيط أيضًا إلى الدائرة نفسها، أي إلى المحل الهندسي المُقابل لحافة القرص . محيط الكرة هو محيط أو طول أي مندوائرها العظمى.

دائرة

محيط الدائرة هو المسافة حولها، ولكن إذا عُرِّفت المسافة، كما هو الحال في العديد من الدراسات الأولية، بدلالة الخطوط المستقيمة، فلا يمكن استخدام هذا التعريف. في هذه الحالة، يمكن تعريف محيط الدائرة بأنه مجموع محيطات المضلعات المنتظمة المرسومة داخلها، مع ازدياد عدد أضلاعها بلا حدود. [ 2 ] يُستخدم مصطلح المحيط عند قياس الأجسام المادية، وكذلك عند دراسة الأشكال الهندسية المجردة.

عندما يكون قطر الدائرة 1، يكون محيطهاπ.{\displaystyle \pi .}
عندما يكون نصف قطر الدائرة 1 - وتسمى دائرة الوحدة - فإن محيطها يكون2π.{\displaystyle 2\pi .}

وصف أرخميدس كيفية تعريف محيط الدائرة وحسابه باستخدام طريقة الاستنفاد . وبعبارة أخرى، يتم اعتبار مجموعةأ{\displaystyle A}مجموعة من جميع محيطات المضلعات المرسومة داخلهاب{\displaystyle B}جميع محيطات المضلعات المحيطة بالدائرة. كل عنصر منأ{\displaystyle A}أقل من كل عنصر من عناصرب{\displaystyle B}ولا توجد فجوة موجبة: أي لا يوجد عدد أقل من جميع فروق عناصرأ{\displaystyle A}من عناصرب{\displaystyle B}لذلك، يمكن تعريف المحيط وحسابه على أنه الرقم الفريدx{\displaystyle x}بحيثأ<x<ب{\displaystyle a<x<b}لكل محيط مُدرجأ{\displaystyle a}وكل محيط محددب{\displaystyle b}.

العلاقة مع π

يرتبط محيط الدائرة بأحد أهم الثوابت الرياضية . هذا الثابت ، باي (π )، يُرمز إليه بالحرف اليونانيπ.{\displaystyle \pi .}أرقامها العشرية الأولى هي 3.141592653589793... [ 3 ] ويُعرَّف باي بأنه نسبة محيط الدائرةج{\displaystyle C}إلى قطرهد:{\displaystyle d:}[ 4 ]π=جد.{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}

أو بصورة مكافئة، كنسبة محيط الدائرة إلى ضعف نصف قطرها . يمكن إعادة ترتيب الصيغة أعلاه لحساب المحيط: ج=π⋅د=2π⋅ر.{\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}

نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها تساوي2π{\displaystyle 2\pi }[ أ ] هذا هو أيضاً عدد الراديانات في دورة واحدة . يُعد استخدام الثابت الرياضي π شائعاً في الرياضيات والهندسة والعلوم.

في كتاب "قياس الدائرة" الذي كتبه حوالي عام 250 قبل الميلاد، أظهر أرخميدس أن هذه النسبة (المكتوبة على النحو التالي)ج/د،{\displaystyle C/d,}بما أنه لم يستخدم اسم π ، فقد كانت قيمة π أكبر من 3 × 10/71 وأقل من 3 × 1/7 ، وذلك بحساب محيطي مضلع منتظم داخل الشكل ومضلع منتظم خارجه مكون من 96 ضلعًا. [ 9 ] استُخدمت هذه الطريقة لتقريب قيمة π لقرون، مع الحصول على دقة أكبر باستخدام مضلعات ذات عدد أكبر من الأضلاع. أُجري آخر حساب من هذا النوع عام 1630 على يد كريستوف غرينبرغر الذي استخدم مضلعات مكونة من 10 × 40 ضلعًا.

تحليل المحيط

في التحليل الرياضي الحديث ، يُمكن تعريف محيط الدائرة بأنه قياسها أحادي البعد . أحد التعريفات الجوهرية الشائعة هو قياس هاوسدورف .هـ{\displaystyle E}هي مجموعة جزئية من المستوى الإقليدي، ويتم الحصول على مقياس هاوسدورف أحادي البعد الخاص بها عن طريق التغطيةهـ{\displaystyle E}باستخدام مجموعات ذات أقطار صغيرة وأخذ الحد الأدنى لمجموع تلك الأقطار.

بالنسبة للمنحنيات المنتظمة بدرجة كافية، يتوافق هذا المقياس مع المفهوم المعتاد لطول القوس. وبالمثل، إذاγ:[أ،ب]→R2{\displaystyle \gamma المنحنى القابل للتقويم هو : [a,b]\to \mathbb {R} ^{2} ، ويمكن تعريف طوله على النحو التالي: ل(γ)=رشفة∑أنا=1ن|γ(تأنا)-γ(تأنا-1)|،{\displaystyle L(\gamma )=\sup \sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|,} حيث يتم أخذ القيمة العليا على جميع الأقسامأ=ت0<ت1<⋯<تن=ب.{\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b.} بالنسبة للمنحنيات القابلة للتفاضل باستمرار، يكون هذا الطول مساوياً لـ ل(γ)=∫أب|γ′(ت)|،دت.{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|,dt.}

بتطبيق هذا على دائرة نصف قطرها (r)، مع تحديد المعلمات γ(ت)=(ركوس⁡ت،رالخطيئة⁡ت)،0≤ت≤2π،{\displaystyle \gamma (t)=(r\cos t,r\sin t),\qquad 0\leq t\leq 2\pi ,} أعطِ|γ′(ت)|=ر{\displaystyle |\gamma '(t)|=r}وبالتالي ل(γ)=∫02πر،دت=2πر.{\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{2\pi }r,dt=2\pi r.} وبالتالي، في التحليل، فإن صيغة المحيط تتبع من تعريف عام للطول أحادي البعد بدلاً من افتراض مسبقًا أن الدائرة لها محيط معطى عن طريق استنفاد المضلعات.

القطع الناقص

دائرة، وأشكال بيضاوية لها نفس المحيط

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "المحيط" للدلالة على محيط القطع الناقص. لا توجد صيغة عامة لحساب محيط القطع الناقص بدلالة نصفي المحورين الأكبر والأصغر باستخدام الدوال الأولية فقط. مع ذلك، توجد صيغ تقريبية تعتمد على هذه المعاملات. إحدى هذه الصيغ التقريبية، التي وضعها أويلر (1773) للقطع الناقص القياسي ، x2أ2+y2ب2=1،{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,} يكون جهـللأناصsهـ∼π2(أ2+ب2).{\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.} بعض الحدود الدنيا والعليا لمحيط القطع الناقص المتعارف عليه معأ≥ب{\displaystyle a\geq b}هي: [ 10 ]2πب≤ج≤2πأ،{\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}π(أ+ب)≤ج≤4(أ+ب)،{\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}4أ2+ب2≤ج≤π2(أ2+ب2).{\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}

هنا الحد الأعلى2πأ{\displaystyle 2\pi a}هو محيط دائرة متحدة المركز محيطة تمر بنقطتي نهاية المحور الأكبر للقطع الناقص، والحد الأدنى4أ2+ب2{\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}هو محيط معين محاط برؤوس عند نقاط نهاية المحورين الرئيسي والثانوي.

يمكن التعبير عن محيط القطع الناقص بدقة بدلالة التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني . [ 11 ] وبشكل أدق، جهـللأناصsهـ=4أ∫0π/21-هـ2الخطيئة2⁡θ دθ،{\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,} أينأ{\displaystyle a}يمثل طول المحور شبه الرئيسي وهـ{\displaystyle e}إنها الغرابة1-ب2/أ2.{\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يُستخدم الحرف اليوناني 𝜏 (تاو) أحيانًا لتمثيل هذا الثابت . هذه الصيغة مقبولة في العديد من الآلات الحاسبة الإلكترونية [ 5 ] والعديد من لغات البرمجة. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

مراجع

  1. ↑ بينيت، جيفري؛ بريغز، ويليام (2005)، استخدام وفهم الرياضيات / منهج التفكير الكمي (  الطبعة الثالثة)، أديسون-ويسلي، ص  580، ISBN 978-0-321-22773-7
  2. ↑ جاكوبس، هارولد ر. (1974)، الهندسة ، دبليو إتش فريمان وشركاه، ص 565، رقم ISBN  0-7167-0456-0
  3. ↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "التسلسل A000796" . الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.  
  4. ↑ "درس أساسيات الرياضيات: محيط الدوائر" . openhighschoolcourses.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-12-02 .
  5. ↑ "الوظائف المدعومة" . help.desmos.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 26-03-2023 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-10-2024 .
  6. ↑ "الرياضيات - الدوال الرياضية" . وثائق بايثون 3.7.0 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 29 يوليو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أغسطس 2019 .
  7. ↑ "فئة الرياضيات" . وثائق جافا 19 .
  8. ↑ "std::f64::consts::TAU - Rust" . doc.rust-lang.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 18-07-2023 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-10-2024 .
  9. ↑ كاتز، فيكتور ج. (1998)، تاريخ الرياضيات / مقدمة ( الطبعة الثانية)، أديسون-ويسلي لونغمان، ص 109 ، رقم ISBN   978-0-321-01618-8
  10. ↑ جيمسون، جي جي أو (2014). " متباينات محيط القطع الناقص". المجلة الرياضية . 98 (499): 227-234 . doi : 10.2307/3621497 . JSTOR 3621497. S2CID 126427943 .  
  11. ↑ ألمكفيست، جيرت؛ بيرندت، بروس (1988)، "غاوس، لاندن، رامانوجان، المتوسط ​​الحسابي الهندسي، القطع الناقص، π ، ومذكرات السيدات"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 95 (7): 585-608 ، doi : 10.2307/2323302 ، JSTOR 2323302 ، MR 0966232 ، S2CID 119810884