محيط

المحيط هو طول حدود مغلقة تُحيط بشكل ثنائي الأبعاد أو خط أحادي البعد . ويُسمى محيط الدائرة أو القطع الناقص محيط الدائرة .

لحساب المحيط تطبيقات عملية عديدة. فالمحيط المحسوب هو طول السياج اللازم لإحاطة فناء أو حديقة. ويصف محيط العجلة/الدائرة (محيطها) المسافة التي تقطعها في دورة واحدة . وبالمثل، يرتبط طول الخيط الملفوف حول بكرة بمحيط البكرة؛ فلو كان طول الخيط دقيقًا، لكان مساويًا للمحيط.

شكل	صيغة	المتغيرات
دائرة	${\displaystyle 2\pi r=\pi d}$	أين${\displaystyle r}$يمثل نصف قطر الدائرة و${\displaystyle d}$هو القطر.
نصف دائرة	${\displaystyle (\pi +2)r}$	أين${\displaystyle r}$يمثل نصف قطر نصف الدائرة.
مثلث	${\displaystyle a+b+c\,}$	أين${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$هي أطوال أضلاع المثلث.
مربع / معين	${\displaystyle 4a}$	أين${\displaystyle a}$هو طول الضلع.
المستطيل	${\displaystyle 2(l+w)}$	أين${\displaystyle l}$هو الطول و${\displaystyle w}$هو العرض.
مضلع متساوي الأضلاع	${\displaystyle n\times a\,}$	أين${\displaystyle n}$عدد الأضلاع و${\displaystyle a}$هو طول أحد الجوانب.
مضلع منتظم	${\displaystyle 2nb\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	أين${\displaystyle n}$عدد الأضلاع و${\displaystyle b}$هي المسافة بين مركز المضلع وأحد رؤوس المضلع.
مضلع عام	${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$	أين${\displaystyle a_{i}}$هو طول${\displaystyle i}$-th (الأول، الثاني، الثالث ... n th) الجانب من مضلع ذي n ضلع.

المحيط هو المسافة حول شكل ما. ويمكن حساب محيطات الأشكال الأكثر عمومية، مثل أي مسار ، باستخدام${\textstyle \int _{0}^{L}\mathrm {d} s}$، أين${\displaystyle L}$هو طول المسار و${\displaystyle ds}$هو عنصر خطي متناهي الصغر. يجب استبدال كليهما بصيغ جبرية لكي يتم حسابهما عمليًا. إذا كان المحيط معطى كمنحنى مستوٍ مغلق أملس جزئيًا${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}} مع

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

ثم طوله${\displaystyle L}$يمكن حسابها على النحو التالي:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

مفهوم معمّم للمحيط، يشمل الأسطح الفائقة التي تحدّ الأحجام في${\displaystyle n}$- الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد ، يتم وصفها بواسطة نظرية مجموعات كاتشوبولي .

تُعدّ المضلعات أساسيةً لتحديد المحيطات، ليس فقط لكونها أبسط الأشكال، بل أيضاً لأن محيطات العديد من الأشكال تُحسب بتقريبها بسلاسل من المضلعات التي تُقارب تلك الأشكال. أول عالم رياضيات معروف باستخدامه لهذا النوع من الاستدلال هو أرخميدس ، الذي قرّب محيط الدائرة بإحاطتها بمضلعات منتظمة . ^{[ 1 ]}

محيط المضلع يساوي مجموع أطوال أضلاعه (حوافه) . وعلى وجه الخصوص، محيط مستطيل عرضه${\displaystyle w}$والطول${\displaystyle \ell }$يساوي${\displaystyle 2w+2\ell .}$

المضلع متساوي الأضلاع هو مضلع جميع أضلاعه متساوية في الطول (على سبيل المثال، المعين مضلع متساوي الأضلاع ذو أربعة أضلاع). لحساب محيط المضلع متساوي الأضلاع، يجب ضرب الطول المشترك للأضلاع في عدد الأضلاع.

يمكن وصف المضلع المنتظم بعدد أضلاعه ونصف قطر محيطه ، أي المسافة الثابتة بين مركزه وكل رأس من رؤوسه . ويمكن حساب طول أضلاعه باستخدام حساب المثلثات . إذا كان R نصف قطر المضلع المنتظم و n عدد أضلاعه، فإن محيطه هو

${\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).}$

فاصل المثلث هو قطعة مستقيمة (قطعة من رأس المثلث إلى الضلع المقابل) تقسم محيطه إلى قسمين متساويين، ويُسمى هذا القسم المشترك نصف محيط المثلث. تتقاطع فواصل المثلث الثلاثة جميعها عند نقطة ناجل .

قاطع المثلث هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف أحد أضلاع المثلث والضلع المقابل له ، بحيث يقسم محيط المثلث إلى قسمين متساويين. تتقاطع جميع قواطع المثلث الثلاثة في مركزه (مركز سبيكر ) .

محيط الدائرة ، والذي يُسمى غالبًا محيط الدائرة، يتناسب طرديًا مع قطرها ونصف قطرها . أي أنه يوجد عدد ثابت باي (π) ، حيث يُمثل π (الكلمة اليونانية p تعني محيط)، بحيث إذا كان P هو محيط الدائرة و D هو قطرها، فإن:

${\displaystyle P=\pi \cdot {D}.\!}$

بدلالة نصف قطر الدائرة (r) ، تصبح هذه الصيغة كالتالي:

${\displaystyle P=2\pi \cdot r.}$

لحساب محيط الدائرة، يكفي معرفة نصف قطرها أو قطرها والعدد π . تكمن المشكلة في أن π ليس عددًا نسبيًا (لا يمكن التعبير عنه كحاصل قسمة عددين صحيحين )، كما أنه ليس عددًا جبريًا (ليس جذرًا لمعادلة كثيرة الحدود ذات معاملات نسبية). لذا، يُعدّ الحصول على قيمة تقريبية دقيقة لـ π أمرًا بالغ الأهمية في الحساب. يرتبط حساب أرقام π بالعديد من المجالات، مثل التحليل الرياضي ، وعلم الخوارزميات ، وعلوم الحاسوب .

كلما زاد تقطيع هذا الشكل، قلت المساحة وزاد المحيط. ويبقى الغلاف المحدب كما هو.

إن محيط تحصينات نوف-بريساخ معقد. وأقصر مسار حوله هو على طول غلافه المحدب .

المحيط والمساحة هما مقياسان رئيسيان للأشكال الهندسية. والخلط بينهما خطأ شائع، وكذلك الاعتقاد بأنه كلما زاد أحدهما، زاد الآخر بالضرورة. في الواقع، من الملاحظ أن تكبير (أو تصغير) شكل ما يؤدي إلى زيادة (أو نقصان) مساحته ومحيطه. على سبيل المثال، إذا رُسم حقل على خريطة بمقياس 1/10000 ، يمكن حساب محيط الحقل الفعلي بضرب محيط الرسم في 10000. المساحة الحقيقية تساوي 10000، أي ^ضعف مساحة الشكل على الخريطة. مع ذلك، لا توجد علاقة بين مساحة ومحيط أي شكل عادي. على سبيل المثال، محيط مستطيل عرضه 0.001 وطوله 1000 يزيد قليلاً عن 2000، بينما محيط مستطيل عرضه 0.5 وطوله 2 يساوي 5. مساحتا الشكلين متساويتان.

ذكر بروكلس (القرن الخامس) أن الفلاحين اليونانيين كانوا يقسمون الحقول "بشكل عادل" بالاعتماد على محيطها. ^{[ 2 ]} ومع ذلك، فإن إنتاج الحقل يتناسب مع مساحته، وليس مع محيطه، لذلك ربما حصل العديد من الفلاحين السذج على حقول ذات محيطات طويلة ولكن مساحات صغيرة (وبالتالي، محاصيل قليلة).

إذا أزلنا جزءًا من شكل ما، فإن مساحته تقل، لكن محيطه قد لا يتغير. يمكن تصور الغلاف المحدب للشكل على أنه الشكل الناتج عن شريط مطاطي مشدود حوله. ^{[ 3 ]} في الصورة المتحركة على اليسار، جميع الأشكال لها نفس الغلاف المحدب؛ الشكل السداسي الكبير الأول .

تتمثل مسألة تساوي المحيط في تحديد الشكل ذي المساحة الأكبر من بين الأشكال ذات المحيط المحدد. والحل بديهي؛ إنه الدائرة . وعلى وجه الخصوص، يمكن استخدام هذا لتفسير سبب كون قطرات الدهن على سطح المرق دائرية.

قد تبدو هذه المسألة بسيطة، لكن برهانها الرياضي يتطلب بعض النظريات المعقدة. تُبسط مسألة تساوي المحيط أحيانًا بتقييد نوع الأشكال المستخدمة. تحديدًا، لإيجاد الشكل الرباعي ، أو المثلث، أو أي شكل آخر محدد، ذي أكبر مساحة بين الأشكال ذات الشكل نفسه والتي لها محيط مُعطى. حل مسألة تساوي محيط الشكل الرباعي هو المربع ، وحل مسألة المثلث هو المثلث متساوي الأضلاع . عمومًا، المضلع ذو n ضلعًا والذي له أكبر مساحة ومحيط مُعطى هو المضلع المنتظم ، وهو أقرب إلى الدائرة من أي مضلع غير منتظم له نفس عدد الأضلاع.

الكلمة تأتي من اليونانية περίμετρος محيط ، من περί بيري "حول" و μέτρον مترون "قياس".

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المحيط" . عالم الرياضيات .