حدود التسلسل

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة بإضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "Limit of a sequence" – news  · magazines  · books  · scholar  · JSTOR ( May 2017 ) ( Learn how and when to remove this message )

في الرياضيات ، حد المتتالية هو القيمة التي "تميل" إليها حدود المتتالية ، وغالبًا ما يتم الإشارة إليها باستخدام الرمز (على سبيل المثال، ). ^[1] إذا كان مثل هذا الحد موجودًا ومحدودًا، فإن المتتالية تسمى متقاربة . ^[2] ويقال إن المتتالية التي لا تتقارب متباعدة . ^{[3] ويقال إن حد المتتالية هو المفهوم الأساسي الذي يعتمد عليه} التحليل الرياضي بأكمله في النهاية. ^[1]${\displaystyle \lim }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

يمكن تعريف الحدود في أي فضاء متري أو طوبولوجي ، ولكن عادةً ما يتم مواجهتها أولاً في الأعداد الحقيقية .

اشتهر الفيلسوف اليوناني زينو الإيلي بصياغة المفارقات التي تنطوي على عمليات محدودة .

قام ليوكيبوس وديمقريطس وأنتيفون وإيودوكسوس وأرخميدس بتطوير طريقة الاستنفاد ، والتي تستخدم تسلسلًا لا نهائيًا من التقريبات لتحديد مساحة أو حجم. نجح أرخميدس في جمع ما يسمى الآن بالسلسلة الهندسية .

أعطى غريغوار دو سانت فنسنت أول تعريف لنهاية (نهاية) سلسلة هندسية في عمله Opus Geometricum (1647): " نهاية التقدم هي نهاية السلسلة، والتي لا يمكن لأي تقدم أن يصل إليها، حتى لو استمرت في ما لا نهاية، ولكنها يمكن أن تقترب من جزء معين." ^[4]

توقع بييترو مينجولي الفكرة الحديثة لحدود المتتالية من خلال دراسته للنسب شبه المحدودة في كتابه Geometriae speciosae elementa (1659). استخدم مصطلح شبه لانهائي للإشارة إلى غير المحدود وشبه صفر للإشارة إلى التلاشي .

تناول نيوتن المتسلسلات في أعماله حول التحليل باستخدام المتسلسلات اللانهائية (كتبها عام 1669، وتم تداولها في مخطوطة، ونشرت عام 1711)، وطريقة التدفقات والمتسلسلات اللانهائية (كتبها عام 1671، ونشرت بالترجمة الإنجليزية عام 1736، ونشرت النسخة اللاتينية الأصلية بعد ذلك بكثير) و Tractatus de Quadratura Curvarum (كتبها عام 1693، ونشرت عام 1704 كملحق لكتابه Optiks ). في العمل الأخير، يدرس نيوتن التوسع ثنائي الحدين لـ ، والذي يقوم بعد ذلك بخطيته من خلال أخذ الحد كما يميل إلى . ${\textstyle (x+o)^{n}}$${\textstyle o}$${\نمط النص 0}$

في القرن الثامن عشر، نجح علماء الرياضيات مثل أويلر في جمع بعض السلاسل المتباعدة بالتوقف في اللحظة المناسبة؛ ولم يهتموا كثيرًا بوجود حد، طالما كان من الممكن حسابه. وفي نهاية القرن، رأى لاجرانج في كتابه نظرية الوظائف التحليلية (1797) أن الافتقار إلى الدقة منع المزيد من التطوير في حساب التفاضل والتكامل. وفي دراسته للمتسلسلات فوق الهندسية (1813) قام جاوس لأول مرة بالتحقيق بدقة في الظروف التي تتقارب فيها السلسلة إلى حد.

تم تقديم التعريف الحديث للحد (لأي حد يوجد مؤشر بحيث ...) بواسطة برنارد بولزانو ( Der binomische Lehrsatz ، براغ 1816، والذي لم يلاحظه الكثير في ذلك الوقت)، وكارل وييرشتراس في سبعينيات القرن التاسع عشر. ${\textstyle \varepsilon }$${\textstyle ن}$

في الأعداد الحقيقية ، يكون العدد هو نهاية المتتالية ، إذا أصبحت الأعداد في المتتالية أقرب وأقرب إلى ، وليس إلى أي عدد آخر. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle L}$

• إذا كان للثابت ، فإن . ^{[الدليل 1] [5]}${\displaystyle x_{n}=c}$${\textstyle ج}$${\displaystyle x_{n}\to c}$
• إذا ، إذن . ^{[الدليل 2] [5]}${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• إذا كان متى زوجيًا ومتى فرديًا ، إذن . (حقيقة أن متى فرديًا ليست ذات صلة.)${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$${\displaystyle n}$
• بالنظر إلى أي عدد حقيقي، يمكن للمرء بسهولة إنشاء تسلسل يتقارب مع هذا العدد من خلال أخذ تقريبات عشرية. على سبيل المثال، يتقارب التسلسل إلى . التمثيل العشري هو حد التسلسل السابق، المحدد بواسطة${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle 0.3333\dots }$$${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• إن إيجاد حد المتتالية ليس واضحًا دائمًا. ومن الأمثلة على ذلك (حد المتتالية هو الرقم e ) والمتوسط ​​الحسابي الهندسي . وغالبًا ما تكون نظرية الضغط مفيدة في تحديد مثل هذه الحدود.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

نطلق على حد المتتالية ، والذي يكتب ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to x}$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$,

إذا تحقق الشرط التالي:

لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي بحيث أنه لكل عدد طبيعي لدينا . ^[6]${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$

بعبارة أخرى، لكل مقياس من مقاييس القرب ، تكون حدود المتتالية في النهاية قريبة من الحد. ويقال إن المتتالية تتقارب أو تتجه نحو الحد . ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

إذا تقاربت المتتالية إلى حد ما ، فإنها تكون متقاربة وتكون الحد الوحيد؛ وإلا فهي متباعدة . تسمى المتتالية التي يكون حدها صفرًا أحيانًا بالمتتالية الصفرية . ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{n})}$

• 
  مثال على تسلسل يتقارب إلى الحد${\displaystyle أ}$
• 
  بغض النظر عما لدينا، هناك فهرس ، بحيث يقع التسلسل بعد ذلك بالكامل في أنبوب إبسيلون .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$
• 
  هناك أيضًا مؤشر أصغر ، بحيث يكون التسلسل بعد ذلك داخل أنبوب إبسيلون .${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$
• 
  لكل منهما هناك عدد محدود من أعضاء التسلسل خارج أنبوب إبسيلون.${\displaystyle \varepsilon >0}$

تتضمن بعض الخصائص المهمة الأخرى لحدود المتتاليات الحقيقية ما يلي:

• عندما يكون موجودًا، يكون حد التسلسل فريدًا. ^[5]
• تتصرف حدود المتتاليات بشكل جيد فيما يتعلق بالعمليات الحسابية المعتادة . إذا و موجود، إذن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$قدمت ^[5]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• بالنسبة لأي دالة مستمرة ، إذا كانت موجودة، فإنها موجودة أيضًا. في الواقع، تكون أي دالة ذات قيمة حقيقية مستمرة إذا وفقط إذا حافظت على حدود المتتاليات (على الرغم من أن هذا ليس صحيحًا بالضرورة عند استخدام مفاهيم أكثر عمومية للاستمرارية).${\textstyle f}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$ ${\textstyle f}$

• إذا كان الكل أكبر من البعض ، فإن .${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( نظرية الضغط ) إذا كان لجميعها أكبر من بعض ، و ، فإن .${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• ( نظرية التقارب الرتيب ) إذا كانت محدودة ورتيبة لجميعها أكبر من بعض ، فإنها متقاربة .${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$
• تكون المتتالية متقاربة إذا وفقط إذا كانت كل متتالية فرعية متقاربة.
• إذا كان لكل متتالية فرعية من متتالية متتالية فرعية خاصة بها تتقارب إلى نفس النقطة، فإن المتتالية الأصلية تتقارب إلى تلك النقطة.

تُستخدم هذه الخصائص على نطاق واسع لإثبات الحدود، دون الحاجة إلى استخدام التعريف الرسمي المرهق بشكل مباشر. على سبيل المثال، بمجرد إثبات أن ، يصبح من السهل إظهار ذلك - باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه - (على افتراض أن ). ${\displaystyle 1/n\to 0}$${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle b\neq 0}$

يقال أن التسلسل يميل إلى ما لا نهاية ، مكتوبًا ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$,

إذا كان ما يلي صحيحا:

لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي بحيث لكل عدد طبيعي لدينا ؛ أي أن حدود المتتالية في النهاية أكبر من أي عدد ثابت .${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}>K}$${\displaystyle K}$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$.

وبالمثل، نقول أن المتتالية تميل إلى سالب ما لا نهاية ، مكتوبة

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$,

إذا كان ما يلي صحيحا:

لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي بحيث لكل عدد طبيعي لدينا ؛ أي أن حدود المتتالية تكون في النهاية أصغر من أي عدد ثابت .${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}<K}$${\displaystyle K}$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$.

إذا كان المتتالية تتجه نحو ما لا نهاية أو نحو ما لا نهاية، فإنها تكون متباعدة. ومع ذلك، لا يلزم أن تتجه المتتالية المتباعدة نحو ما لا نهاية موجبًا أو سالبًا، والمتتالية تقدم مثالاً على ذلك. ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

نقطة الفضاء المتري هي حد التسلسل إذا كان : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي بحيث أنه لكل عدد طبيعي لدينا .${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

يتوافق هذا مع التعريف المقدم للأعداد الحقيقية عندما و . ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

• عندما يكون موجودًا، يكون حد التسلسل فريدًا، حيث يتم فصل النقاط المميزة بمسافة موجبة، لذلك بالنسبة لأقل من نصف هذه المسافة، لا يمكن أن تكون مصطلحات التسلسل ضمن مسافة كلتا النقطتين.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

• لأي دالة مستمرة f ، إذا كانت موجودة، فإن . في الواقع، تكون الدالة f مستمرة إذا وفقط إذا حافظت على حدود المتتاليات.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$

متتالية كوشي هي متتالية تصبح حدودها في النهاية قريبة من بعضها البعض بشكل تعسفي، بعد تجاهل عدد كافٍ من الحدود الأولية. إن مفهوم متتالية كوشي مهم في دراسة المتتاليات في الفضاءات المترية ، وخاصة في التحليل الحقيقي . إحدى النتائج المهمة بشكل خاص في التحليل الحقيقي هي معيار كوشي لتقارب المتتاليات : تكون متتاليات الأعداد الحقيقية متقاربة إذا وفقط إذا كانت متتالية كوشي. ويظل هذا صحيحًا في الفضاءات المترية الكاملة الأخرى .

نقطة من الفضاء الطوبولوجي هي${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (X,\tau )}$حد أونقطة الحد ^[7][^8]للتسلسلإذا: ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

لكل جوار من ، يوجد بعض مثل ذلك بحيث لكل ، لدينا . ^[9]${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}\in U}$

يتوافق هذا مع التعريف المقدم للمساحات المترية، إذا كانت مساحة مترية و هي الطوبولوجيا التي تم إنشاؤها بواسطة . ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle d}$

حد سلسلة من النقاط في فضاء طوبولوجي هو حالة خاصة لحد دالة : المجال في الفضاء ، مع الطوبولوجيا المستحثة لنظام الأعداد الحقيقية الممتد بشكل متآلف ، المدى هو ، وحجة الدالة تميل إلى ، والتي في هذا الفضاء هي نقطة حد لـ . ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

في فضاء هاوسدورف ، تكون حدود المتتاليات فريدة كلما وجدت. ولا يلزم أن تكون هذه هي الحال في الفضاءات غير هاوسدورف؛ على وجه الخصوص، إذا كانت نقطتان و غير قابلتين للتمييز طوبولوجيًا ، فإن أي متتالي يتقارب إلى يجب أن يتقارب إلى والعكس صحيح. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

إن تعريف الحد باستخدام الأرقام الفائقة الواقعية يضفي طابعًا رسميًا على الحدس القائل بأنه بالنسبة لقيمة "كبيرة جدًا" للمؤشر، فإن المصطلح المقابل يكون "قريبًا جدًا" من الحد. وبصورة أكثر دقة، يميل التسلسل الحقيقي إلى L إذا كان الحد قريبًا بشكل لا نهائي من كل ما هو فائق الطبيعة لانهائي (أي أن الفرق لا نهائي في الصغر ). وعلى نحو مكافئ، فإن L هو الجزء القياسي من : ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\textstyle H}$${\displaystyle x_{H}}$${\textstyle L}$${\displaystyle x_{H}-L}$${\displaystyle x_{H}}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H})}$.

وبالتالي، يمكن تعريف الحد بالصيغة

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}$.

حيث يكون الحد موجودًا إذا وفقط إذا كان الجانب الأيمن مستقلاً عن اختيار عدد لا نهائي . ${\textstyle H}$

في بعض الأحيان قد نفكر أيضًا في تسلسل يحتوي على أكثر من مؤشر، على سبيل المثال، تسلسل مزدوج . هذا التسلسل له حد إذا أصبح أقرب وأقرب إلى الوقت الذي يصبح فيه كل من n و m كبيرين جدًا. ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

• إذا كان للثابت ، فإن .${\displaystyle x_{n,m}=c}$${\textstyle c}$${\displaystyle x_{n,m}\to c}$
• إذا ، إذن .${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$
• إذا ، فإن الحد غير موجود. واعتمادًا على "سرعة النمو" النسبية لـ و ، يمكن أن تقترب هذه المتوالية من أي قيمة بين و .${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$${\textstyle n}$${\textstyle m}$${\textstyle 0}$${\textstyle 1}$

نطلق على الحد المزدوج للمتتالية ، ما يكتب ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$، أو

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$,

إذا تحقق الشرط التالي:

لكل عدد حقيقي ، يوجد عدد طبيعي بحيث، لكل زوج من الأعداد الطبيعية ، لدينا . ^[10]${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$

بعبارة أخرى، لكل مقياس من مقاييس القرب ، تكون حدود المتتالية في النهاية قريبة من الحد. ويقال إن المتتالية تتقارب أو تتجه نحو الحد . ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle x}$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

يختلف الحد المزدوج عن أخذ الحد في n أولاً، ثم في m . يُعرف الأخير باسم الحد المتكرر . ونظرًا لوجود كل من الحد المزدوج والحد المتكرر، فإنهما لهما نفس القيمة. ومع ذلك، فمن الممكن أن يكون أحدهما موجودًا ولكن الآخر غير موجود.

يقال أن التسلسل يميل إلى ما لا نهاية ، مكتوبًا ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$,

إذا كان ما يلي صحيحا:

لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي بحيث أنه لكل زوج من الأعداد الطبيعية لدينا ؛ أي أن حدود المتتالية في النهاية أكبر من أي عدد ثابت .${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle x_{n,m}>K}$${\displaystyle K}$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$.

وبالمثل، يميل التسلسل إلى سالب ما لا نهاية ، مكتوبًا ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$,

إذا كان ما يلي صحيحا:

لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي بحيث أنه لكل زوج من الأعداد الطبيعية لدينا ؛ أي أن حدود المتتالية تكون في النهاية أصغر من أي عدد ثابت .${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle x_{n,m}<K}$${\displaystyle K}$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$.

إذا كان المتتالية تتجه نحو ما لا نهاية أو نحو ما لا نهاية، فإنها تكون متباعدة. ومع ذلك، لا يلزم أن تتجه المتتالية المتباعدة نحو ما لا نهاية موجبًا أو سالبًا، والمتتالية تقدم مثالاً على ذلك. ${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$

بالنسبة لتسلسل مزدوج ، يمكننا أن نأخذ حدًا في أحد المؤشرات، على سبيل المثال ، للحصول على تسلسل واحد . في الواقع، هناك معنيان محتملان عند أخذ هذا الحد. يسمى الأول حدًا نقطيًا ، ويرمز إليه ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (y_{m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$,

وهو ما يعني:

لكل عدد حقيقي ولكل عدد طبيعي ثابت ، يوجد عدد طبيعي بحيث، لكل عدد طبيعي ، لدينا . ^[11]${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

عندما يوجد مثل هذا الحد، نقول أن التسلسل يتقارب نقطة واحدة إلى . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

والثاني يسمى الحد الموحد ، ويرمز له

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$، أو

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$,

وهو ما يعني:

لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي بحيث أنه لكل عدد طبيعي ولكل عدد طبيعي لدينا . ^[11]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

رمزيا، هذا هو:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

في هذا التعريف، يكون اختيار مستقلاً عن . بعبارة أخرى، يكون اختيار قابلاً للتطبيق بشكل موحد على جميع الأعداد الطبيعية . وبالتالي، يمكن للمرء أن يرى بسهولة أن التقارب المنتظم هو خاصية أقوى من التقارب النقطي: وجود حد موحد يعني وجود حد نقطي ومساواته: ${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$

إذا بشكل موحد، ثم نقطيا.${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$

عندما يوجد مثل هذا الحد، نقول أن التسلسل يتقارب بشكل موحد إلى . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

بالنسبة لمتتالية مزدوجة ، يمكننا أن نأخذ الحد في أحد المؤشرات، على سبيل المثال ، للحصول على متتالي واحد ، ثم نأخذ الحد في المؤشر الآخر، أي ، للحصول على رقم . رمزيًا، ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (y_{m})}$${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$.

يُعرف هذا الحد باسم الحد المتكرر للتسلسل المزدوج. قد يؤثر ترتيب أخذ الحدود على النتيجة، على سبيل المثال،

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$على العموم.

يتم توفير شرط كافٍ للمساواة بواسطة نظرية مور-أوسجود ، والتي تتطلب أن يكون الحد موحدًا في . ^[10]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$${\textstyle m}$

• نقطة الحد
• الحد اللاحق
• الحد الأعلى والحد الأدنى
• حدود الدالة
• حدود تسلسل المجموعات
• حدود الشبكة
• التقارب النقطي
• التقارب المنتظم
• طرق التقارب

• كزار، أكوس (1978). طوبولوجيا عامة . ترجمة كزار، كلارا. بريستول إنجلترا: آدم هيلجر المحدودة ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• كورانت، ريتشارد (1961). "حساب التفاضل والتكامل، المجلد الأول"، بلاكي آند صن، جلاسكو.
• فرانك مورلي وجيمس هاركنس أطروحة حول نظرية الوظائف (نيويورك: ماكميلان، 1893)

• "الحد"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• تاريخ حساب التفاضل والتكامل، بما في ذلك الحدود