حساب التفاضل والتكامل الهندسي

في الرياضيات ، يوسع حساب التفاضل والتكامل الهندسي نطاق الجبر الهندسي ليشمل التفاضل والتكامل . يتميز هذا المنهج بقوته، ويمكن إثبات قدرته على إعادة إنتاج نظريات رياضية أخرى، بما في ذلك حساب المتجهات ، والهندسة التفاضلية ، والصيغ التفاضلية . ^{[ 1 ]}

بفرض وجود جبر هندسي، ليكن${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$لتكن متجهات ولتكن${\displaystyle F}$لتكن دالة متعددة القيم في متجه. المشتقة الاتجاهية لـ${\displaystyle F}$على امتداد${\displaystyle b}$في${\displaystyle a}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$

بشرط أن يكون الحد موجودًا للجميع${\displaystyle b}$حيث يتم أخذ الحد للكمية العددية${\displaystyle \epsilon }$وهذا يشبه التعريف المعتاد للمشتقة الاتجاهية ولكنه يوسعه ليشمل الدوال التي لا تكون بالضرورة ذات قيم قياسية.

بعد ذلك، اختر مجموعة من متجهات الأساس${\displaystyle \{e_{i}\}}$ولننظر في العوامل، المشار إليها بـ${\displaystyle \partial _{i}}$، التي تُجري مشتقات اتجاهية في اتجاهات${\displaystyle e_{i}}$:

${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

ثم، باستخدام ترميز جمع أينشتاين ، ضع في اعتبارك المؤثر التالي:

${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$

وهذا يعني

${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$

حيث يتم تطبيق الضرب الهندسي بعد المشتق الاتجاهي. بتعبير أدق:

${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

هذا العامل مستقل عن اختيار الإطار، وبالتالي يمكن استخدامه لتعريف ما يسمى في حساب التفاضل والتكامل الهندسي بالمشتقة المتجهة :

${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$

وهذا يشبه التعريف المعتاد للتدرج ، ولكنه يمتد أيضًا إلى الدوال التي ليست بالضرورة ذات قيم قياسية.

المشتق الاتجاهي خطي بالنسبة لاتجاهه، أي:

${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$

يستنتج من ذلك أن المشتقة الاتجاهية هي حاصل الضرب الداخلي لاتجاهها في المشتقة المتجهة. كل ما يجب ملاحظته هو أن الاتجاه${\displaystyle a}$يمكن كتابتها${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$، لهذا السبب:

${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$

ولهذا السبب،${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$يُلاحظ ذلك غالبًا${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$.

الترتيب القياسي للعمليات في مشتقة المتجهات هو أنها تؤثر فقط على الدالة الأقرب إلى يمينها مباشرة. لنفترض وجود دالتين${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$ثم على سبيل المثال لدينا

${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$

يترك${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$لتكن مجموعة من متجهات الأساس التي تمتد على${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد n. من الجبر الهندسي، نفسر الكمية الزائفة القياسية${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$ليكون المجلد الموقع من${\displaystyle n}$- متوازي السطوح الذي تشكله متجهات الأساس هذه. إذا كانت متجهات الأساس متعامدة ، فإن هذا هو العدد القياسي الزائف الواحدي.

وبشكل أعم، يمكننا أن نقتصر على مجموعة فرعية من${\displaystyle k}$من متجهات الأساس، حيث${\displaystyle 1\leq k\leq n}$، لمعالجة الطول أو المساحة أو غيرها من الأمور العامة${\displaystyle k}$- حجم الفضاء الفرعي في الفضاء الكلي${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد n. نرمز إلى متجهات الأساس المختارة هذه بـ${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$جنرال${\displaystyle k}$-حجم${\displaystyle k}$- متوازي السطوح المحصور بين متجهات الأساس هذه هو الدرجة${\displaystyle k}$متجه متعدد${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$.

وبشكل أعم، يمكننا أن ننظر في مجموعة جديدة من المتجهات${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$بما يتناسب مع${\displaystyle k}$متجهات الأساس، حيث كل منها${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$هو مُكَوِّن يُغيِّر حجم أحد متجهات الأساس. لنا حرية اختيار مُكَوِّنات صغيرة جدًا كما نشاء طالما بقيت غير صفرية. بما أن الضرب الخارجي لهذه الحدود يُمكن تفسيره على أنه${\displaystyle k}$الحجم، وهو طريقة طبيعية لتعريف المقياس هو

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

وبالتالي، فإن المقياس يتناسب دائمًا مع وحدة القياس الزائفة لـ a${\displaystyle k}$فضاء جزئي ذو بُعد n من الفضاء المتجهي. قارن شكل الحجم الريماني في نظرية الأشكال التفاضلية. يُحسب التكامل بالنسبة لهذا المقياس:

${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$

بصورة أكثر رسمية، ضع في اعتبارك بعض الأحجام الموجهة${\displaystyle V}$من الفضاء الجزئي. يمكننا تقسيم هذا الحجم إلى مجموع من الأشكال البسيطة . ليكن${\displaystyle \{x_{i}\}}$لتكن إحداثيات الرؤوس. عند كل رأس، نُعيّن قياسًا${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$باعتباره متوسط ​​قياس الأشكال البسيطة التي تشترك في الرأس. ثم تكامل${\displaystyle F(x)}$بالنسبة إلى${\displaystyle U(x)}$يتم الحصول على هذا الحجم في حالة تقسيم الحجم بشكل أدق إلى أشكال بسيطة أصغر:

${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).}$

ناعمة بما فيه الكفاية${\displaystyle k}$-سطح في${\displaystyle n}$يُعتبر الفضاء ذو ​​الأبعاد n فضاءً متعدد الشعب . ويمكننا أن نُلحق بكل نقطة على هذا الفضاء متعدد الشعب .${\displaystyle k}$-شفرة${\displaystyle B}$وهو مماس للمشعب. محلياً،${\displaystyle B}$يعمل ككمية شبه قياسية من${\displaystyle k}$فضاء ذو ​​أبعاد n. تحدد هذه الشفرة إسقاطًا للمتجهات على المتشعب:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$

تمامًا مثل المشتقة المتجهة${\displaystyle \nabla }$يتم تعريفها على كامل${\displaystyle n}$في الفضاء ذي الأبعاد n، قد نرغب في تعريف مشتقة جوهرية${\displaystyle \partial }$، معرفة محلياً على المتشعب:

${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$

(ملاحظة: قد لا يقع الجانب الأيمن من الشكل أعلاه في الفضاء المماسي للمشعب. لذلك، فهو ليس نفسه)${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$(والذي يقع بالضرورة في الفضاء المماسي.)

لو${\displaystyle a}$إذا كان المتجه مماسًا للمتشعب، فإن كلًا من مشتقة المتجه والمشتقة الذاتية تعطيان نفس المشتقة الاتجاهية:

${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$

على الرغم من أن هذه العملية صحيحة تماماً، إلا أنها ليست مفيدة دائماً لأن${\displaystyle \partial F}$لا يقع العنصر نفسه بالضرورة على المتشعب. لذلك، نُعرّف المشتقة المتغيرة بأنها الإسقاط القسري للمشتقة الجوهرية على المتشعب:

${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$

بما أن أي متجه متعدد عام يمكن التعبير عنه كمجموع إسقاط ورفض، في هذه الحالة

${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

نقدم دالة جديدة، وهي موتر الشكل${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$، وهو ما يرضي

${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

أين${\displaystyle \times }$هو حاصل الضرب التبادلي . في أساس إحداثيات محلي${\displaystyle \{e_{i}\}}$وباعتباره يمتد على السطح المماسي، فإن موتر الشكل يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$

من المهم الإشارة إلى أنه على مشعب عام، لا يتبادل المشتق المتغير. وعلى وجه الخصوص، يرتبط المبدل بموتر الشكل بواسطة

${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$

من الواضح أن المصطلح${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$هذا الأمر ذو أهمية. ومع ذلك، فهو، مثل المشتقة الذاتية، ليس بالضرورة موجودًا على المتشعب. لذلك، يمكننا تعريف موتر ريمان بأنه الإسقاط العكسي على المتشعب:

${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$

وأخيرًا، إذا${\displaystyle F}$هو من الدرجة${\displaystyle r}$ثم يمكننا تعريف المشتقات المتغيرة الداخلية والخارجية على النحو التالي:

${\displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},}$

${\displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},}$

وينطبق الأمر نفسه على المشتق الجوهري.

على سطح متعدد الشعب، يمكننا محليًا تعيين سطح مماس يمتد بواسطة مجموعة من متجهات الأساس${\displaystyle \{e_{i}\}}$يمكننا ربط مكونات موتر القياس ، ورموز كريستوفيل ، وموتر انحناء ريمان على النحو التالي:

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},}$

${\displaystyle R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.}$

تُدمج هذه العلاقات نظرية الهندسة التفاضلية ضمن حساب التفاضل والتكامل الهندسي.

في نظام إحداثيات محلي (${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$), تفاضلات الإحداثيات${\displaystyle dx^{1}}$...${\displaystyle dx^{n}}$شكّل مجموعة أساسية من الأشكال الأحادية ضمن مخطط الإحداثيات . بالنظر إلى مؤشر متعدد${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$مع${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$ل${\displaystyle 1\leq p\leq k}$، يمكننا تعريف${\displaystyle k}$-استمارة

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

يمكننا بدلاً من ذلك تقديم${\displaystyle k}$متجه متعدد الدرجة${\displaystyle A}$مثل

${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$

ومقياس

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

بصرف النظر عن اختلاف دقيق في معنى الضرب الخارجي بالنسبة للأشكال التفاضلية مقابل الضرب الخارجي بالنسبة للمتجهات (في الحالة الأولى تكون الزيادات متجهات مشتركة، بينما في الحالة الثانية تمثل كميات قياسية)، نرى أوجه التشابه في الشكل التفاضلي

${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$

مشتقاته

${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$

ونظيرتها هودج

${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$

دمج نظرية الأشكال التفاضلية ضمن حساب التفاضل والتكامل الهندسي.

فيما يلي رسم بياني يلخص تاريخ حساب التفاضل والتكامل الهندسي.

• ماكدونالد، آلان (2012). حساب المتجهات والهندسة . تشارلستون: كريت سبيس. ISBN 9781480132450. OCLC 829395829 .