متعدد الشعب الطوبولوجي

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

في علم الطوبولوجيا ، يُعرَّف الفضاء الطوبولوجي بأنه فضاء طوبولوجي يُشابه محليًا الفضاء الإقليدي الحقيقي ذي الأبعاد n . تُعدّ الفضاءات الطوبولوجية فئةً مهمةً من الفضاءات الطوبولوجية، ولها تطبيقاتٌ واسعةٌ في مختلف فروع الرياضيات. جميع الفضاءات هي فضاءات طوبولوجية بحكم تعريفها، لذا فإنّ وصف "طوبولوجي" يُؤكّد على غياب البنية الإضافية. على سبيل المثال، الفضاءات التفاضلية هي فضاءات طوبولوجية مُجهَّزة ببنية تفاضلية . لكل فضاء فضاء طوبولوجي "أساسي"، يتم الحصول عليه ببساطة عن طريق "تجاهل" البنية المُضافة. [ 1 ] مع ذلك، لا يُمكن تزويد كل فضاء طوبولوجي ببنية إضافية مُحدَّدة. على سبيل المثال، فضاء E8 هو فضاء طوبولوجي لا يُمكن تزويده ببنية تفاضلية.

التعريف الرسمي

يُطلق على الفضاء الطوبولوجي X اسم الفضاء الإقليدي المحلي إذا كان هناك عدد صحيح غير سالب n بحيث يكون لكل نقطة في X جوار متماثل مع مجموعة جزئية مفتوحة من الفضاء الحقيقي n - r n . [ 2 ]

الفضاء الطوبولوجي هو فضاء هاوسدورف إقليدي محلي . ومن الشائع وضع شروط إضافية على الفضاءات الطوبولوجية. على وجه الخصوص، يُعرّفها العديد من المؤلفين بأنها فضاءات متراصة جزئيًا [ 3 ] أو فضاءات قابلة للعد من الدرجة الثانية [ 2 ] .

فيما تبقى من هذه المقالة، يُقصد بالمتشعب المتشعب الطوبولوجي. أما المتشعب ذو البعد n فيُقصد به المتشعب الطوبولوجي الذي يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل مع R n .

أمثلة

مشعبات من الرتبة n

المشعبات الإسقاطية

مشعبات أخرى

ملكيات

تُحفظ خاصية كون الفضاء إقليديًا محليًا بواسطة التشاكلات الموضعية . أي، إذا كان X فضاءً إقليديًا محليًا ذو بُعد n، وكان f  : Y → X تشاكلًا موضعيًا، فإن Y فضاء إقليديًا محليًا ذو بُعد n . وبالتحديد، تُعد خاصية كون الفضاء إقليديًا محليًا خاصية طوبولوجية .

ترث المتشعبات العديد من الخصائص المحلية للفضاء الإقليدي. على وجه الخصوص، فهي متراصة محليًا ، ومتصلة محليًا ، وقابلة للعد من الدرجة الأولى ، وقابلة للانكماش محليًا ، وقابلة للقياس محليًا . وباعتبارها فضاءات هاوسدورف متراصة محليًا، فإن المتشعبات هي بالضرورة فضاءات تيكونوڤ .

بإضافة شرط هاوسدورف، يمكن أن تصبح عدة خصائص متكافئة لمتشعب. على سبيل المثال، يمكننا إثبات أنه بالنسبة لمتشعب هاوسدورف، فإن مفهومي التراص-سيغما وقابلية العد من الدرجة الثانية متطابقان. في الواقع، متشعب هاوسدورف هو فضاء هاوسدورف متراص محليًا، وبالتالي فهو منتظم (تمامًا). [ 4 ] لنفترض أن فضاءً كهذا X متراص-سيغما. إذن فهو فضاء ليندلوف، ولأن ليندلوف + منتظم يستلزم شبه متراص، فإن X قابل للقياس. ولكن في الفضاء القابل للقياس، تتطابق قابلية العد من الدرجة الثانية مع كونه ليندلوف، لذا فإن X قابل للعد من الدرجة الثانية. على العكس من ذلك، إذا كان X متشعب هاوسدورف قابل للعد من الدرجة الثانية، فلا بد أن يكون متراص-سيغما. [ 5 ]

لا يشترط أن يكون الفضاء متعدد الشعب متصلاً، ولكن كل فضاء متعدد الشعب M هو اتحاد منفصل لفضاءات متعددة الشعب متصلة. هذه الفضاءات هي ببساطة المكونات المتصلة لـ M ، وهي مجموعات مفتوحة لأن الفضاءات متعددة الشعب متصلة محلياً. وبما أن الفضاء متعدد الشعب متصل محلياً عبر المسارات، فإنه يكون متصلاً عبر المسارات إذا وفقط إذا كان متصلاً. ويترتب على ذلك أن مكونات المسارات هي نفسها مكونات الفضاء متعدد الشعب.

بديهية هاوسدورف

خاصية هاوسدورف ليست خاصية محلية؛ لذا، حتى وإن كان الفضاء الإقليدي هاوسدورف، فليس بالضرورة أن يكون الفضاء الإقليدي محليًا هاوسدورف . مع ذلك، من الصحيح أن كل فضاء إقليدي محلي هو T 1 .

من الأمثلة على الفضاء الإقليدي المحلي غير الهاوسدورفي الخط ذو الأصلين . يُنشأ هذا الفضاء باستبدال أصل خط الأعداد الحقيقية بنقطتين ، بحيث تشمل جوار أي منهما جميع الأعداد غير الصفرية في فترة مفتوحة مركزها الصفر. هذا الفضاء ليس هاوسدورفياً لأن الأصلين لا يمكن فصلهما.

بديهيات التراص والعد

تكون المتشعبات قابلة للقياس إذا وفقط إذا كانت متراصة جزئيًا . الخط الطويل مثال على متشعب طوبولوجي هاوسدورف أحادي البعد طبيعي ، غير قابل للقياس وغير متراص جزئيًا. ولأن قابلية القياس خاصية مرغوبة جدًا للفضاءات الطوبولوجية، فمن الشائع إضافة خاصية التراص الجزئي إلى تعريف المتشعب. على أي حال، تُعتبر المتشعبات غير المتراصة جزئيًا حالات شاذة . تتمتع المتشعبات المتراصة جزئيًا بجميع الخصائص الطوبولوجية للفضاءات المترية، وهي على وجه الخصوص فضاءات هاوسدورف طبيعية تمامًا .

يُشترط عادةً أن تكون المتشعبات قابلة للعد من الدرجة الثانية . وهذا هو الشرط اللازم لضمان تضمين المتشعب في فضاء إقليدي محدود الأبعاد. بالنسبة لأي متشعب، فإن خصائص كونه قابلاً للعد من الدرجة الثانية، وخاصية ليندلوف ، وخاصية التراص سيغما، كلها متكافئة.

كل مشعب قابل للعد الثاني يكون شبه متراص، ولكن ليس العكس. مع ذلك، فإن العكس صحيح تقريبًا: المشعب شبه المتراص يكون قابلًا للعد الثاني إذا وفقط إذا كان له عدد قابل للعد من المكونات المتصلة . على وجه الخصوص، يكون المشعب المتصل شبه متراص إذا وفقط إذا كان قابلًا للعد الثاني. كل مشعب قابل للعد الثاني يكون قابلًا للفصل وشبه متراص. علاوة على ذلك، إذا كان المشعب قابلًا للفصل وشبه متراص، فإنه يكون أيضًا قابلًا للعد الثاني.

كل مشعب مضغوط قابل للعد بالثانية ومضغوط بشكل متوازي.

الأبعاد

بسبب ثبات المجال ، لا يمكن أن يكون فضاء متعدد الشعب غير فارغ من الرتبة n فضاءً متعدد الشعب من الرتبة m إذا كان n ≠ m . [ 6 ] بُعد الفضاء متعدد الشعب غير الفارغ من الرتبة n هو n . كون الفضاء متعدد الشعب من الرتبة n خاصية طوبولوجية ، بمعنى أن أي فضاء طوبولوجي متماثل مع فضاء متعدد الشعب من الرتبة n هو أيضًا فضاء متعدد الشعب من الرتبة n . [ 7 ]

مخططات الإحداثيات

بحسب التعريف، كل نقطة في فضاء إقليدي محلي لها جوار متماثل الشكل مع مجموعة جزئية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}تُسمى هذه الجوارات بالجوارات الإقليدية . ويترتب على ثبات المجال أن الجوارات الإقليدية هي دائمًا مجموعات مفتوحة. ويمكن دائمًا إيجاد جوارات إقليدية متماثلة مع مجموعات مفتوحة "جيدة" فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}في الواقع، يكون الفضاء M إقليديًا محليًا إذا وفقط إذا تحقق أحد الشرطين المتكافئين التاليين:

  • كل نقطة من M لها جوار متماثل مع كرة مفتوحة فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.
  • كل نقطة من M لها جوار متماثل الشكل لـRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}نفسها.

جوار إقليدي متماثل الشكل مع كرة مفتوحة فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}تُسمى الكرة الإقليدية . تشكل الكرات الإقليدية أساسًا لطوبولوجيا الفضاء الإقليدي المحلي.

لأي جوار إقليدي U ، يكون التشاكل الموضعيϕ:يو→ϕ(يو)⊂Rن{\displaystyle \phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}} يُطلق على ما يُسمى مخطط إحداثيات على U اسم مخطط إحداثيات (مع أن كلمة " مخطط" تُستخدم غالبًا للإشارة إلى نطاق أو مدى هذه الخريطة). يكون الفضاء M إقليديًا محليًا إذا وفقط إذا كان بالإمكان تغطيته بجوارات إقليدية. تُسمى مجموعة الجوارات الإقليدية التي تُغطي M ، بالإضافة إلى مخططات إحداثياتها، أطلسًا على M. (يأتي هذا المصطلح من تشبيه بعلم الخرائط، حيث يمكن وصف الكرة الأرضية بأطلس من الخرائط المسطحة أو المخططات).

بالنظر إلى مخططينϕ{\displaystyle \phi }وψ{\displaystyle \psi }مع وجود نطاقات متداخلة U و V ، توجد دالة انتقال

ψϕ-1:ϕ(يو∩V)→ψ(يو∩V){\displaystyle \psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)}

هذا النوع من الخرائط هو تماثل شكلي بين مجموعات جزئية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}أي أن مخططات الإحداثيات تتفق على التداخلات حتى التشاكل الموضعي. ويمكن تعريف أنواع مختلفة من المتشعبات بوضع قيود على أنواع خرائط الانتقال المسموح بها. على سبيل المثال، بالنسبة للمتشعبات القابلة للتفاضل، يجب أن تكون خرائط الانتقال سلسة .

تصنيف المشعبات

الفضاءات المنفصلة (المتشعب الصفري)

الفضاء الصفري هو مجرد فضاء منفصل . الفضاء المنفصل قابل للعد من الدرجة الثانية إذا وفقط إذا كان قابلاً للعد . [ 7 ]

المنحنيات (متعددة الشعب أحادية البعد)

كل فضاء متعدد الشعب أحادي البعد غير فارغ، متراص، ومتصل، يكون متماثلاً شكلياً إما مع R أو مع الدائرة . [ 7 ]

الأسطح (ثنائية التشعب)

الكرة عبارة عن فضاء ثنائي الأبعاد.

كل سطح ثنائي الأبعاد غير فارغ ومضغوط ومتصل (أو سطح ) يكون متماثلًا مع الكرة ، أو مجموعًا متصلًا من الأسطح الحلقية ، أو مجموعًا متصلًا من المستويات الإسقاطية . [ 8 ]

المجلدات (ثلاثية الأجزاء)

ينتج تصنيف الفضاءات ثلاثية الأبعاد عن حدسية ثورستون الهندسية ، التي أثبتها غريغوري بيرلمان في عام 2003. وبشكل أكثر تحديدًا، توفر نتائج بيرلمان خوارزمية لتحديد ما إذا كان فضاءان ثلاثيا الأبعاد متماثلين طوبولوجيًا مع بعضهما البعض. [ 9 ]

مشعب عام من النوع n

من المعروف أن التصنيف الكامل للمتشعبات من الرتبة n عندما تكون n أكبر من ثلاثة أمر مستحيل؛ وهو على الأقل بنفس صعوبة مسألة الكلمات في نظرية الزمر ، والتي من المعروف أنها غير قابلة للحل خوارزميًا . [ 10 ]

في الواقع، لا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كان مشعب معين بسيط الاتصال . ومع ذلك، يوجد تصنيف للمشعبات بسيطة الاتصال ذات البعد ≥ 5. [ 11 ] [ 12 ]

متعددات الشعب ذات الحدود

قد يكون مفهوم أكثر عمومية مفيداً في بعض الأحيان. الفضاء الطوبولوجي ذو الحدود هو فضاء هاوسدورف حيث يكون لكل نقطة جوار متماثل مع مجموعة فرعية مفتوحة من نصف الفضاء الإقليدي (لقيمة n ثابتة ):

R+ن={(x1،...،xن)∈Rن:xن≥0}.{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}.}

كل مشعب طوبولوجي هو مشعب طوبولوجي ذو حدود، ولكن ليس العكس. [ 7 ]

الإنشاءات

توجد عدة طرق لإنشاء مشعبات من مشعبات أخرى.

مشعبات المنتجات

إذا كانت M متعددة الشعب من الرتبة m و N متعددة الشعب من الرتبة n ، فإن حاصل الضرب الديكارتي M × N يكون متعدد الشعب من الرتبة ( m + n ) عند إعطائه طوبولوجيا الضرب . [ 13 ]

اتحاد منفصل

الاتحاد المنفصل لعائلة قابلة للعد من متعددات الشعب ذات البعد n هو متعدد شعب ذو البعد n (يجب أن تكون جميع الأجزاء بنفس البعد). [ 7 ]

المجموع المتصل

يُعرَّف المجموع المتصل لمتشعبين من الرتبة n بإزالة كرة مفتوحة من كل متشعب، ثم قسمة الاتحاد المنفصل للمتشعبين الناتجين مع حدودهما، مع مراعاة التشاكل الموضعي بين الكرات الحدودية للكرات المُزالة. ينتج عن ذلك متشعب آخر من الرتبة n . [ 7 ]

مشعب فرعي

أي مجموعة فرعية مفتوحة من مشعب ذي n بُعد هي مشعب ذو n بُعد مع طوبولوجيا الفضاء الفرعي . [ 13 ]

الحواشي

  1. ↑ راجندرا بهاتيا (6 يونيو 2011). وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات: حيدر آباد، 19-27 أغسطس 2010. وورلد ساينتيفيك. ص  477 وما بعدها. ISBN 978-981-4324-35-9.
  2. 1 2 جون إم. لي (6 أبريل 2006). مقدمة في المشعبات الطوبولوجية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-22727-6.
  3. ↑ تيري أوبين (2001). دورة في الهندسة التفاضلية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 25 وما يليها. ISBN  978-0-8218-7214-7.
  4. ↑ ويكي فرعي عن الفضاءات الطوبولوجية، هاوسدورف المدمج محليًا يستلزم انتظامًا تامًا
  5. ↑ موقع ستاك إكستشينج، هاوسدورف متراص محليًا، والعدد الثاني القابل للعد متراص سيجما.
  6. ↑ تامو توم ديك (2008). الطوبولوجيا الجبرية . الجمعية الرياضية الأوروبية. ص 249–. ISBN  978-3-03719-048-7.
  7. 1 2 3 4 5 6 جون لي (25 ديسمبر 2010). مقدمة في المشعبات الطوبولوجية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 64 وما بعدها. ISBN  978-1-4419-7940-7.
  8. ↑ جان غالييه؛ ديانا شو (5 فبراير 2013). دليل لنظرية التصنيف للأسطح المدمجة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-642-34364-3.
  9. ↑ هندسة الفضاءات ثلاثية الأبعاد . الجمعية الرياضية الأوروبية. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.
  10. ↑ لورانس كونلون (17 أبريل 2013). المتشعبات التفاضلية: مدخل تمهيدي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 90 وما بعدها. ISBN  978-1-4757-2284-0.
  11. ↑ زوبر، أ. ف. (1988). تصنيف المشعبات الطوبولوجية السداسية المتصلة ببساطة. في: فيرو، أ. ي.، وفرشيك، أ. م. (محرران). الطوبولوجيا والهندسة - ندوة روهلين. سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1346. سبرينغر، برلين، هايدلبرغ.
  12. ↑ باردن، د. "المتشعبات الخماسية المتصلة ببساطة". حوليات الرياضيات، المجلد 82، العدد 3، 1965، الصفحات 365-385. JSTOR، www.jstor.org/stable/1970702.
  13. 1 2 جيفري لي؛ جيفري مارك لي (2009). المتشعبات والهندسة التفاضلية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 7–. ISBN  978-0-8218-4815-9.

مراجع

  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بالمتشعبات الرياضية على ويكيميديا ​​كومنز