جسم كروي

الكرة ( من اليونانية القديمة σφαῖρα ( sphaîra ) وتعني " كرة " ) ^[¹^] هي سطحٌ يُشابه الدائرة ، أي منحنى . في الهندسة الفراغية ، تُعرَّف الكرة بأنها مجموعة النقاط التي تقع جميعها على بُعد متساوٍ $(r)$ من نقطة مُعطاة في الفضاء ثلاثي الأبعاد . ^[²^] تُسمى تلك النقطة المُعطاة مركز الكرة، والمسافة $(r)$ هي نصف قطر الكرة . أقدم الإشارات المعروفة للكرات تظهر في أعمال علماء الرياضيات اليونانيين القدماء .

تُعدّ الكرة سطحًا أساسيًا في العديد من فروع الرياضيات . كما تظهر الكرات والأشكال شبه الكروية في الطبيعة والصناعة. فالفقاعات ، مثل فقاعات الصابون، تتخذ شكلًا كرويًا عند التوازن. وغالبًا ما يُقارب شكل الأرض بالكرة في الجغرافيا ، وتُعدّ الكرة السماوية مفهومًا هامًا في علم الفلك . وتعتمد العديد من المنتجات المصنّعة، بما في ذلك أوعية الضغط ومعظم المرايا والعدسات المنحنية ، على الكرات. وتتدحرج الكرات بسلاسة في جميع الاتجاهات، لذا فإن معظم الكرات المستخدمة في الرياضة والألعاب كروية الشكل، وكذلك محامل الكرات .

المصطلحات الأساسية

كما ذُكر سابقاً، يُمثل $r$ نصف قطر الكرة؛ ويُطلق أيضاً على أي خط من المركز إلى نقطة على الكرة اسم نصف قطر. يُستخدم مصطلح "نصف القطر" بمعنيين: كقطعة مستقيمة، وأيضاً كطولها. ^{[ 3 ]}

إذا مُدِّد نصف قطر من مركز الكرة إلى الجانب المقابل، فإنه يُشكِّل قطرًا . ومثل نصف القطر، يُسمى طول القطر أيضًا بالقطر، ويُرمز له بـ $d$ . الأقطار هي أطول القطع المستقيمة التي يمكن رسمها بين نقطتين على الكرة: طولها ضعف نصف القطر، أي $d = 2r .$ النقطتان على الكرة المتصلتان بقطر هما نقطتان متقابلتان . ^{[ 3 ]}

الكرة الوحدة هي كرة نصف قطرها يساوي واحدًا ( $r = 1$ ). ولتبسيط الأمر، يُفترض غالبًا أن مركز الكرة يقع عند نقطة الأصل في نظام الإحداثيات ، وفي هذه المقالة، يكون مركز الكرة عند نقطة الأصل ما لم يُذكر خلاف ذلك.

الدائرة العظمى على الكرة لها نفس المركز ونصف القطر مثل الكرة، وتقسمها إلى نصفين متساويين .

على الرغم من أن شكل الأرض ليس كرويًا تمامًا، إلا أن المصطلحات المُستعارة من الجغرافيا تُسهّل تطبيقها على الكرة. يُحدد خطٌ مُعين يمر بمركزها محورًا ( كما هو الحال في محور دوران الأرض ). ويُحدد تقاطع الكرة مع المحور قطبين مُتقابلين ( القطب الشمالي والقطب الجنوبي ). تُسمى الدائرة العظمى التي تقع على بُعد متساوٍ من القطبين خط الاستواء . وتُسمى الدوائر العظمى التي تمر بالقطبين خطوط الطول أو خطوط الزوال . أما الدوائر الصغيرة على الكرة والموازية لخط الاستواء فتُسمى دوائر العرض (أو دوائر التوازي ). في الهندسة غير المُتعلقة بالأجرام السماوية، ينبغي استخدام المصطلحات الجغرافية المركزية للتوضيح فقط، مع الإشارة إلى ذلك، إلا إذا كان هناك احتمالٌ واضحٌ لسوء الفهم. ^{[ 3 ]}

يعتبر علماء الرياضيات الكرة سطحًا مغلقًا ثنائي الأبعاد مغمورًا في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . ويميزون بين الكرة والكرة المفتوحة ، التي تُعدّ شكلًا مجسمًا ، أي فضاءً ثلاثي الأبعاد ذا حدود تشمل الحجم الذي تحتويه الكرة. الكرة المفتوحة تستثني الكرة نفسها، بينما الكرة المغلقة تشمل الكرة: الكرة المغلقة هي اتحاد الكرة المفتوحة والكرة، والكرة هي حدود الكرة (المغلقة أو المفتوحة). لم يُحافظ دائمًا على هذا التمييز بين الكرة والكرة المفتوحة ، وخاصةً في المراجع الرياضية القديمة التي تتحدث عن الكرة كجسم مجسم. وينطبق الأمر نفسه على التمييز بين " الدائرة " و" القرص " في المستوى .

تُسمى الكرات الصغيرة أحيانًا بالكريات (على سبيل المثال، الكريات المريخية ).

المعادلات

في الهندسة التحليلية ، $تُعرف$ الكرة التي مركزها $(x₀, y₀, z₀)$ ونصف قطرها $r$ بأنها المحل الهندسي لجميع النقاط $(x, y, z)$ التي تحقق الشروط $التالية$ $:$

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.

بما أنه يمكن التعبير عنها كمعادلة تربيعية، فإن الكرة هي سطح تربيعي ، وهو نوع من الأسطح الجبرية . ^{[ 3 ]}

ليكن $a و b و c و d و e$ أعدادًا حقيقية حيث $a \neq 0،$ ولنضع

x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.

ثم المعادلة

f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0

لا توجد نقاط حقيقية كحلول إذا $\rho <0$ وتُسمى معادلة الكرة الوهمية . إذا $\rho =0$ الحل الوحيد لـ $f(x,y,z)=0$ هذه هي النقطة $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ويُقال إن المعادلة هي معادلة كرة نقطية . وأخيرًا، في حالة $\rho >0$ ، $f(x,y,z)=0$ هي معادلة كرة مركزها $P_{0}$ ونصف قطره ${\sqrt {\rho }}$ [ ²^]

إذا كانت $قيمة a$ في المعادلة أعلاه تساوي صفرًا، فإن $f (x, y, z) = 0$ هي معادلة مستوى. وبالتالي، يمكن اعتبار المستوى كرةً نصف قطرها لانهائي ومركزها نقطة في اللانهاية . ^{[ 4 ]}

البارامتري

معادلة بارامترية للكرة ذات نصف القطر $r>0$ والمركز $(x_{0},y_{0},z_{0})$ يمكن تحديد معلمات باستخدام الدوال المثلثية . ^{[ 5 ]} ${\begin{align}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{محاذاة}}$

الرموز المستخدمة هنا هي نفسها المستخدمة في الإحداثيات الكروية . $r$ ثابت، بينما $θ$ تتغير من 0 إلى $π$ و $\varphi$ يتراوح من 0 إلى $2π$ .

ملكيات

مجلد مغلق

في ثلاثة أبعاد، يكون الحجم داخل الكرة (أي حجم الكرة ، ولكن يُشار إليه تقليديًا بحجم الكرة) هو

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}

حيث $r$ هو نصف القطر و $d$ هو قطر الكرة. اشتق أرخميدس هذه الصيغة لأول مرة ( في كتابه "في الكرة والأسطوانة " حوالي 225 قبل الميلاد) بإثبات أن حجم الكرة يساوي ضعف حجمها داخل الأسطوانة المحيطة بها (التي لها ارتفاع وقطر يساويان قطر الكرة). ^[⁶^] ويمكن إثبات ذلك برسم مخروط مقلوب داخل نصف كرة، مع ملاحظة أن مجموع مساحة مقطع المخروط ومساحة مقطع الكرة يساوي مساحة مقطع الأسطوانة المحيطة، ثم تطبيق مبدأ كافالييري . ^[⁷^] يمكن أيضًا اشتقاق هذه الصيغة باستخدام حساب التكامل (أي التكامل القرصي ) لجمع أحجام عدد لا نهائي من الأقراص الدائرية ذات السماكة الصغيرة للغاية المكدسة جنبًا إلى جنب والمتمركزة على طول المحور $x$ من $x$ $= -$ $r$ إلى $x$ $=$ $r$ ، بافتراض أن الكرة ذات نصف القطر $r$ متمركزة عند نقطة الأصل.

إثبات حجم الكرة باستخدام حساب التفاضل والتكامل

عند أي قيمة معينة لـ $x$ ، يكون الحجم المتزايد ( $δV$ ) مساوياً لحاصل ضرب مساحة المقطع العرضي للقرص عند $x$ وسمكه ( $δx$ ):

\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.

الحجم الإجمالي هو مجموع جميع الأحجام المتزايدة:

V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.

في حالة اقتراب $δx$ من الصفر، ^{[ 8 ]} تصبح هذه المعادلة:

V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.

عند أي قيمة معينة لـ $x$ ، يربط مثلث قائم الزاوية $x$ و $y$ و $r$ بنقطة الأصل؛ وبالتالي، فإن تطبيق نظرية فيثاغورس ينتج عنه:

y^{2}=r^{2}-x^{2}.

باستخدام هذا الاستبدال نحصل على

V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,

والتي يمكن تقييمها لإعطاء النتيجة

V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

تم التوصل إلى صيغة بديلة باستخدام الإحداثيات الكروية ، مع عنصر الحجم

dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi

لذا

V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

لأغراض عملية، يمكن تقريب حجم الكرة المحصورة داخل مكعب بنسبة 52.4% من حجم المكعب، حيث أن $V = π/6d³، حيث d هو قطر الكرة وطول ضلع المكعب، وπ$ $/ 6 \approx 0.5236 . على$ سبيل $المثال$ ، $حجم$ كرة $قطرها$ 1 متر يساوي $52.4$ % من حجم مكعب طول ضلعه 1 متر، أي حوالي 0.524 متر ^مكعب .

مساحة السطح

مساحة سطح كرة نصف قطرها $r$ هي:

A=4\pi r^{2}.

استنتج أرخميدس هذه الصيغة لأول مرة ^{[ 9 ]} من حقيقة أن إسقاط أسطوانة محيطة على سطحها الجانبي يحافظ على المساحة. ^{[ 10 ]} وهناك طريقة أخرى لاستنتاج الصيغة، وهي أنها تساوي مشتقة صيغة الحجم بالنسبة إلى $r،$ لأن الحجم الكلي داخل كرة نصف قطرها $r$ يُمكن اعتباره مجموع مساحات أسطح عدد لا نهائي من الأغلفة الكروية ذات السماكة المتناهية الصغر، والمتراصة بشكل متمركز داخل بعضها البعض من نصف القطر 0 إلى نصف القطر $r$ . عند السماكة المتناهية الصغر، يكون الفرق بين مساحة السطح الداخلي والخارجي لأي غلاف ضئيلاً للغاية، وبالتالي فإن حجم العنصر عند نصف القطر $r$ هو ببساطة حاصل ضرب مساحة السطح عند نصف القطر $r$ في السماكة المتناهية الصغر.

إثبات مساحة السطح باستخدام حساب التفاضل والتكامل

عند أي نصف قطر معين $r$ ، ^{[ ملاحظة 1 ]} يساوي الحجم المتزايد ( $δV$ ) حاصل ضرب مساحة السطح عند نصف القطر $r$ ( $A (r)$ ) وسمك الغلاف ( $δr$ ):

\delta V\approx A(r)\cdot \delta r.

الحجم الكلي هو مجموع أحجام جميع الأغلفة:

V\approx \sum A(r)\cdot \delta r.

في حالة اقتراب $δr من الصفر$ ^{[ 8 ]} تصبح هذه المعادلة:

V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.

البديل $الخامس$ :

{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.

باشتقاق طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى $r$ نحصل على $A$ كدالة لـ $r$ :

4\pi r^{2}=A(r).

يُختصر هذا عادةً إلى:

A=4\pi r^{2},

حيث يُعتبر $r الآن نصف قطر الكرة الثابت.$

بدلاً من ذلك، يُعطى عنصر المساحة على الكرة بالإحداثيات الكروية بالعلاقة التالية: $dA = r² sin θ dθ dφ . وبالتالي ،$ يمكن الحصول على المساحة الكلية بالتكامل .

A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.

تتميز الكرة بأصغر مساحة سطح بين جميع الأسطح التي تُحيط بحجم مُحدد، كما أنها تُحيط بأكبر حجم بين جميع الأسطح المغلقة ذات مساحة سطح مُحددة. ^{[ 11 ]} ولذلك، تظهر الكرة في الطبيعة: على سبيل المثال، الفقاعات وقطرات الماء الصغيرة كروية الشكل تقريبًا لأن التوتر السطحي يُقلل مساحة السطح محليًا.

تُسمى مساحة السطح نسبةً إلى كتلة الكرة بمساحة السطح النوعية ، ويمكن التعبير عنها من المعادلات المذكورة أعلاه كما يلي:

\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}

حيث $ρ$ هي الكثافة (نسبة الكتلة إلى الحجم).

خصائص هندسية أخرى

يمكن إنشاء الكرة كسطح ناتج عن دوران دائرة نصف دورة حول أي من أقطارها ؛ وهذا مشابه جدًا للتعريف التقليدي للكرة كما ورد في كتاب الأصول لإقليدس . ولأن الدائرة نوع خاص من القطع الناقص ، فإن الكرة نوع خاص من القطع الناقص الدوراني . باستبدال الدائرة بقطع ناقص يدور حول محوره الأكبر ، يصبح الشكل كرويًا متطاولًا ؛ وبدوره حول محوره الأصغر، يصبح كرويًا مفلطحًا. ^{[ 12 ]}

تُحدد الكرة بشكل فريد بأربع نقاط غير واقعة في مستوى واحد . وبشكل أعم، تُحدد الكرة بشكل فريد بأربعة شروط، مثل المرور بنقطة، أو التماس مع مستوى، وما إلى ذلك. ^{[ 13 ]} هذه الخاصية مماثلة لخاصية أن ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة تُحدد دائرة فريدة في مستوى واحد.

وبالتالي، يتم تحديد الكرة بشكل فريد من خلال (أي أنها تمر عبر) دائرة ونقطة ليست في مستوى تلك الدائرة.

بفحص الحلول المشتركة لمعادلات كرتين ، يتضح أن الكرتين تتقاطعان في دائرة، ويُسمى المستوى الذي يحتوي على هذه الدائرة بالمستوى الجذري للكرتين المتقاطعتين. ^{[ 14 ]} مع أن المستوى الجذري هو مستوى حقيقي، إلا أن الدائرة قد تكون وهمية (أي لا تشترك الكرتان في أي نقطة حقيقية) أو قد تتكون من نقطة واحدة (أي تكون الكرتان متماستين عند تلك النقطة). ^{[ 15 ]}

الزاوية بين كرتين عند نقطة تقاطع حقيقية هي الزاوية الثنائية التي تحددها المستويات المماسية للكرتين عند تلك النقطة. تتقاطع كرتان بنفس الزاوية عند جميع نقاط دائرة تقاطعهما. ^{[ 16 ]} يتقاطعان بزاوية قائمة ( متعامدان ) إذا وفقط إذا كان مربع المسافة بين مركزيهما يساوي مجموع مربعي نصفي قطريهما. ^{[ 4 ]}

قلم من الكرات

إذا كانت $f (x, y, z) = 0$ و $g (x, y, z) = 0$ معادلتين لكرتين مختلفتين، فإن

sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0

وهي أيضًا معادلة كرة لأي قيم للمعاملين $s$ و $t$ . تُسمى مجموعة جميع الكرات التي تحقق هذه المعادلة حزمة كرات محددة بالكرتين الأصليتين. في هذا التعريف، يُسمح للكرة أن تكون مستوية (نصف قطرها لانهائي، ومركزها في اللانهاية)، وإذا كانت كلتا الكرتين الأصليتين مستويتين، فإن جميع كرات الحزمة تكون مستوية، وإلا فلا يوجد سوى مستوى واحد (المستوى الجذري) في الحزمة. ^{[ 4 ]}

خصائص الكرة

في كتابهما "الهندسة والخيال" ، يصف ديفيد هيلبرت وستيفان كوهن-فوسن إحدى عشرة خاصية للكرة، ويناقشان ما إذا كانت هذه الخصائص تحدد الكرة بشكل فريد. ^{[ 17 ]} تنطبق عدة خصائص على المستوى ، الذي يمكن اعتباره كرة ذات نصف قطر لانهائي. وهذه الخصائص هي:

جميع النقاط على الكرة تبعد نفس المسافة عن نقطة ثابتة. كما أن نسبة المسافة بين نقاطها ونقطتين ثابتتين ثابتة.
الجزء الأول هو التعريف المعتاد للكرة ويحددها بشكل فريد. أما الجزء الثاني فيمكن استنتاجه بسهولة، وهو يتبع نتيجة مماثلة توصل إليها أبولونيوس البرغاوي فيما يخص الدائرة . وينطبق هذا الجزء الثاني أيضاً على المستوى .
تُشكل الخطوط الخارجية والمقاطع المستوية للكرة دوائر.
تحدد هذه الخاصية الكرة بشكل فريد.
الكرة لها عرض ثابت ومحيط ثابت.
عرض السطح هو المسافة بين كل زوج من المستويات المماسّة المتوازية. العديد من الأسطح المحدبة المغلقة الأخرى لها عرض ثابت، مثل جسم مايسنر . محيط السطح هو محيط حدود إسقاطه العمودي على مستوى. كل خاصية من هاتين الخاصيتين تستلزم الأخرى.
جميع نقاط الكرة هي نقاط سرية .
في أي نقطة على سطح ما، يكون الاتجاه العمودي متعامدًا مع السطح، لأن هذه الاتجاهات على الكرة هي الخطوط المتشععة من مركز الكرة. يشكّل تقاطع مستوى يحتوي على الاتجاه العمودي مع السطح منحنى يُسمى المقطع العمودي، وانحناء هذا المنحنى هو الانحناء العمودي . بالنسبة لمعظم النقاط على معظم الأسطح، يكون للمقاطع المختلفة انحناءات مختلفة؛ وتُسمى القيمتان القصوى والدنيا لهذه الانحناءات بالانحناءات الرئيسية . يحتوي أي سطح مغلق على أربع نقاط على الأقل تُسمى النقاط السرية . عند النقطة السرية، تتساوى جميع انحناءات المقاطع، وخاصة الانحناءات الرئيسية . يمكن اعتبار النقاط السرية النقاط التي يقترب عندها السطح من الكرة بشكل دقيق.
بالنسبة للكرة، تكون انحناءات جميع المقاطع العمودية متساوية، لذا فإن كل نقطة هي نقطة سرة. الكرة والمستوى هما السطحان الوحيدان اللذان يتمتعان بهذه الخاصية.
الكرة ليس لها سطح من المراكز.
لكل مقطع عمودي مُعطى، توجد دائرة انحناء تُساوي انحناء المقطع، وتكون مماسة للسطح، وتقع خطوطها المركزية على الخط العمودي. على سبيل المثال، يُطلق على المركزين المُقابلين لأقصى وأدنى انحناء للمقطع اسمي البؤرتين ، وتُشكّل مجموعة جميع هذه المراكز السطح البؤري .
بالنسبة لمعظم الأسطح، يشكل السطح البؤري طبقتين، كل منهما سطح، وتلتقيان عند نقاط التقاء. وهناك حالات خاصة:
* بالنسبة لأسطح القنوات ، تشكل إحدى الصفائح منحنى والأخرى سطحًا
* بالنسبة للمخاريط والأسطوانات والحلقات والأشكال الحلقية، تشكل كلتا الصفائح منحنيات.
* بالنسبة للكرة، يقع مركز كل دائرة تماس في مركز الكرة، وتشكل البؤرة نقطة واحدة. هذه الخاصية فريدة للكرة.
جميع الخطوط الجيوديسية للكرة هي منحنيات مغلقة.
الخطوط الجيوديسية هي منحنيات على سطح ما تُعطي أقصر مسافة بين نقطتين. وهي تعميم لمفهوم الخط المستقيم في المستوى. بالنسبة للكرة، تُمثل الخطوط الجيوديسية دوائر عظمى. وتشترك العديد من الأسطح الأخرى في هذه الخاصية.
من بين جميع الأجسام الصلبة ذات الحجم المحدد، فإن الكرة هي التي لها أصغر مساحة سطح؛ ومن بين جميع الأجسام الصلبة ذات مساحة سطح محددة، فإن الكرة هي التي لها أكبر حجم.
ينتج ذلك عن متباينة المحيط المتساوي . تُحدد هذه الخصائص شكل الكرة بشكل فريد، ويمكن ملاحظتها في فقاعات الصابون : إذ تُحيط فقاعة الصابون بحجم ثابت، ويُقلل التوتر السطحي مساحة سطحها لهذا الحجم. لذا، تُقارب فقاعة الصابون الطافية بحرية شكل الكرة (مع أن قوى خارجية كالجاذبية تُشوه شكل الفقاعة قليلاً). ويمكن ملاحظة ذلك أيضاً في الكواكب والنجوم، حيث تُقلل الجاذبية مساحة سطح الأجرام السماوية الكبيرة.
تتميز الكرة بأصغر متوسط انحناء إجمالي بين جميع الأجسام الصلبة المحدبة ذات مساحة سطح معينة.
الانحناء المتوسط هو متوسط الانحناءين الرئيسيين، وهو ثابت لأن الانحناءين الرئيسيين ثابتان عند جميع نقاط الكرة.
للكرة انحناء متوسط ثابت.
الكرة هي السطح المغمور الوحيد الذي يفتقر إلى الحدود أو النقاط الشاذة، وله انحناء متوسط موجب ثابت. أما الأسطح المغمورة الأخرى، كالأسطح الدنيا، فلها انحناء متوسط ثابت.
الكرة لها انحناء غاوسي موجب ثابت.
الانحناء الغاوسي هو حاصل ضرب الانحناءين الرئيسيين. وهو خاصية جوهرية يمكن تحديدها بقياس الطول والزوايا، ولا تتأثر بكيفية انغماس السطح في الفضاء. لذا، فإن ثني السطح لا يُغير من انحنائه الغاوسي، ويمكن الحصول على أسطح أخرى ذات انحناء غاوسي موجب ثابت عن طريق قطع شق صغير في الكرة وثنيها. جميع هذه الأسطح الأخرى لها حدود، والكرة هي السطح الوحيد الذي يفتقر إلى حدود وله انحناء غاوسي موجب ثابت. أما الكرة الزائفة فهي مثال على سطح ذي انحناء غاوسي سالب ثابت.
تتحول الكرة إلى نفسها بواسطة مجموعة من الحركات الصلبة ذات ثلاثة معلمات.
عند تدوير كرة وحدة عند نقطة الأصل حول أي محور، فإنها تُسقط الكرة على نفسها. ويمكن التعبير عن أي دوران حول خط يمر بنقطة الأصل كمجموعة من الدورانات حول محور الإحداثيات الثلاثية (انظر زوايا أويلر ). لذلك، توجد مجموعة دورانات ثلاثية المعاملات بحيث يُحوّل كل دوران الكرة على نفسها؛ وهذه المجموعة هي مجموعة الدوران SO(3) . المستوى هو السطح الوحيد الآخر الذي يمتلك مجموعة تحويلات ثلاثية المعاملات (انتقالات على طول المحورين $x$ و $y$ ودورانات حول نقطة الأصل). الأسطوانات الدائرية هي الأسطح الوحيدة التي تمتلك مجموعات حركات صلبة ثنائية المعاملات، بينما أسطح الدوران والحلزونات هي الأسطح الوحيدة التي تمتلك مجموعة أحادية المعاملات.

العلاج حسب مجال الرياضيات

الهندسة الكروية

العناصر الأساسية للهندسة الإقليدية المستوية هي النقاط والخطوط . على الكرة، تُعرَّف النقاط بالمعنى المعتاد. يُقابل الخط الجيوديسي ، وهو دائرة عظمى ؛ السمة المميزة للدائرة العظمى هي أن المستوى الذي يحتوي على جميع نقاطها يمر أيضًا بمركز الكرة. يُبين قياس طول القوس أن أقصر مسار بين نقطتين تقعان على الكرة هو أقصر قطعة من الدائرة العظمى التي تشمل هاتين النقطتين.

تنطبق العديد من نظريات الهندسة الكلاسيكية على الهندسة الكروية أيضًا، ولكن ليس جميعها، لأن الكرة لا تحقق بعض مسلمات الهندسة الكلاسيكية ، بما في ذلك مسلمة التوازي . في حساب المثلثات الكروية ، تُعرَّف الزوايا بين الدوائر العظمى. ويختلف حساب المثلثات الكروية عن حساب المثلثات العادي في جوانب عديدة. فعلى سبيل المثال، مجموع الزوايا الداخلية للمثلث الكروي يتجاوز دائمًا 180 درجة. كما أن أي مثلثين كرويين متشابهين يكونان متطابقين.

أي زوج من النقاط على سطح الكرة يقع على خط مستقيم يمر بمركز الكرة (أي قطرها) يُسمى نقطتين متقابلتين - على سطح الكرة، تكون المسافة بينهما مساوية لنصف محيط الكرة تمامًا. ^[^{ملاحظة 2}^] أي زوج آخر (أي غير متقابل) من النقاط المختلفة على سطح الكرة

تقع على دائرة عظمى فريدة من نوعها،
قسّمها إلى قوس صغير (أي أقصر) وقوس كبير (أي أطول) ، و
يكون طول القوس الأصغر هو أقصر مسافة بينهما على الكرة. ^{[ ملاحظة 3 ]}

الهندسة الكروية هي شكل من أشكال الهندسة الإهليلجية ، والتي تشكل مع الهندسة الزائدية الهندسة غير الإقليدية .

الهندسة التفاضلية

الكرة سطح أملس ذو انحناء غاوسي ثابت عند كل نقطة يساوي $1/ r²$ . ^{[ 9 ]} وفقًا لنظرية غاوس الشاملة ، فإن هذا الانحناء مستقل عن موقع الكرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. كما أنه $،$ استنادًا إلى نظرية غاوس، لا يمكن إسقاط الكرة على مستوى مع الحفاظ على مساحاتها وزواياها. لذلك، فإن أي إسقاط يُحدث نوعًا من التشوه.

كرة نصف قطرها $r$ لها عنصر مساحة $dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$ ويمكن إيجاد ذلك من عنصر الحجم في الإحداثيات الكروية مع تثبيت قيمة $r .$ ^{[ 9 ]}

الكرة ذات أي نصف قطر ومركزها عند الصفر هي سطح متكامل ذو الشكل التفاضلي التالي :

x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.

تُبيّن هذه المعادلة أن متجه الموضع والمستوى المماس عند نقطة ما يكونان متعامدين دائمًا. علاوة على ذلك، فإن متجه العمودي المواجه للخارج يساوي متجه الموضع مضروبًا في $1/r$ .

في الهندسة الريمانية ، تنص فرضية مساحة التعبئة على أن نصف الكرة هو التعبئة المتساوية الأمثل (أقل مساحة) لدائرة ريمان .

الطوبولوجيا

ومن المثير للدهشة أنه من الممكن قلب كرة عادية من الداخل إلى الخارج في فضاء ثلاثي الأبعاد مع إمكانية حدوث تقاطعات ذاتية ولكن دون إحداث أي تجاعيد، في عملية تسمى انقلاب الكرة .

إن الناتج المتقابل للكرة هو السطح المسمى بالمستوى الإسقاطي الحقيقي ، والذي يمكن اعتباره أيضًا نصف الكرة الشمالي مع تحديد النقاط المتقابلة لخط الاستواء.

المنحنيات على سطح الكرة

التقاطع المحوري للكرة والأسطوانة: دائرتان

دوائر

الدوائر على الكرة، كالدوائر في المستوى، تتكون من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن نقطة ثابتة على الكرة. تقاطع الكرة مع المستوى ينتج عنه دائرة، أو نقطة، أو فراغ. ^{[ 18 ]} الدوائر العظمى هي تقاطع الكرة مع مستوى يمر بمركزها؛ أما الدوائر الأخرى فتُسمى دوائر صغرى.

قد تتقاطع الأسطح الأكثر تعقيدًا مع الكرة في دوائر أيضًا: يتكون تقاطع الكرة مع سطح دوراني محوره مركز الكرة ( متحد المحور ) من دوائر و/أو نقاط إن لم يكن فارغًا. على سبيل المثال، يوضح الرسم البياني على اليمين تقاطع كرة مع أسطوانة، والذي يتكون من دائرتين. إذا كان نصف قطر الأسطوانة مساويًا لنصف قطر الكرة، فسيكون التقاطع دائرة واحدة. أما إذا كان نصف قطر الأسطوانة أكبر من نصف قطر الكرة، فسيكون التقاطع فارغًا.

لوكسودروم

في الملاحة ، يُعرف خط اللوكسودروم أو خط الرومب بأنه مسار تكون زاوية ميله ، أي الزاوية بين مماسه والشمال الحقيقي، ثابتة. تُسقط خطوط اللوكسودروم على خطوط مستقيمة في إسقاط مركاتور . ومن الحالات الخاصة خطوط الطول التي تتجه مباشرةً من الشمال إلى الجنوب، وخطوط العرض التي تتجه مباشرةً من الشرق إلى الغرب. أما في أي اتجاه آخر، فيلتف خط اللوكسودروم بشكل حلزوني لانهائي حول كل قطب. بالنسبة للأرض التي تُنمذج على شكل كرة، أو بالنسبة لكرة عامة مُعطاة نظام إحداثيات كروي ، يُعد خط اللوكسودروم نوعًا من الحلزون الكروي . ^{[ 19 ]}

منحنيات كليليا

وهناك نوع آخر من المنحنيات الكروية الحلزونية وهو منحنى كليليا، الذي يكون فيه خط الطول (أو السمت) $\varphi$ وخط العرض المتجاور (أو الزاوية القطبية) $\theta$ توجد علاقة خطية بينهما ، $\varphi =c\theta$ تُسقط منحنيات كليليا على خطوط مستقيمة تحت الإسقاط المستطيل المتساوي . منحنى فيفياني ( $c=1$ ) حالة خاصة. منحنيات كليليا تقارب المسار الأرضي للأقمار الصناعية في المدار القطبي .

القطوع المخروطية الكروية

إن نظير القطع المخروطي على الكرة هو القطع المخروطي الكروي ، وهو منحنى من الدرجة الرابعة يمكن تعريفه بعدة طرق متكافئة.

تقاطع كرة مع مخروط تربيعي رأسه مركز الكرة
تقاطع كرة مع أسطوانة إهليلجية أو زائدية يمر محورها بمركز الكرة
المحل الهندسي للنقاط التي يكون مجموع أو فرق مسافاتها على الدائرة العظمى من زوج من البؤر ثابتًا

تمتد العديد من النظريات المتعلقة بالقطوع المخروطية المستوية أيضًا إلى القطوع المخروطية الكروية.

تقاطع كرة مع سطح أكثر عمومية

إذا تقاطع سطح كروي مع سطح آخر، فقد تكون هناك منحنيات كروية أكثر تعقيدًا.

مثال: كرة-أسطوانة

تقاطع الكرة مع المعادلة $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ والأسطوانة ذات المعادلة $\;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;$ إنها ليست مجرد دائرة أو دائرتين. إنها حل لنظام المعادلات غير الخطي

x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0

(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .

(انظر المنحنى الضمني والرسم التخطيطي)

التعميمات

الأشكال الإهليلجية

الإهليلج هو شكل كروي مُمدد أو مضغوط في اتجاه واحد أو أكثر. وبشكل أدق، هو صورة الكرة بعد تحويل تآلفي . تربط الإهليلج بالكرة نفس العلاقة التي تربط القطع الناقص بالدائرة.

الأبعاد

يمكن تعميم مفهوم الكرات ليشمل فضاءات ذات أي عدد من الأبعاد . لأي عدد طبيعي $n$ ، تُعرف الكرة $n-$ ية، والتي يُرمز لها غالبًا $بـ Sₙ$ $،$ بأنها مجموعة النقاط في الفضاء الإقليدي ذي ( $n + 1 ) بُعدًا، والتي تقع على مسافة ثابتة$ $r$ من نقطة مركزية في ذلك الفضاء، حيث $r$ ، كما في السابق، عدد حقيقي موجب. على وجه الخصوص:

$S ‍ 0$ : تتكون الكرة الصفرية من نقطتين منفصلتين، $- r$ و $r$
$S ‍ 1$ : الكرة أحادية البعد هي دائرة نصف قطرها r
$S ‍ 2$ : الكرة ثنائية الأبعاد هي كرة عادية
$S ‍ 3$ : الكرة ثلاثية الأبعاد هي كرة في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد.

تُسمى الكرات التي يكون فيها $n > 2 أحيانًا$ بالكرات الفائقة .

تُرمز الكرة ذات البعد $n$ ونصف قطر الوحدة والمتمركزة عند نقطة الأصل بالرمز $S<sub> n</sub>$ ، ويُشار إليها غالبًا باسم " الكرة ذات البعد $n$ " . أما الكرة العادية فهي كرة ثنائية الأبعاد، لأنها سطح ثنائي الأبعاد مُضمن في فضاء ثلاثي الأبعاد.

في علم الطوبولوجيا ، تُعدّ الكرة ذات البعد $n$ مثالاً على مشعب طوبولوجي مضغوط بدون حدود . ولا يشترط أن تكون الكرة الطوبولوجية ملساء ؛ وإذا كانت ملساء، فلا يشترط أن تكون متماثلة شكليًا مع الكرة الإقليدية (وهي كرة غريبة ).

الكرة هي الصورة العكسية لمجموعة ذات نقطة واحدة تحت الدالة المستمرة $‖ x ‖$ ، لذا فهي مغلقة؛ $S n$ محدودة أيضًا ، لذا فهي مضغوطة وفقًا لنظرية هاين-بوريل .

المسافات المترية

وبشكل أكثر عمومية، في فضاء متري $(E ، d)$ ، فإن الكرة التي مركزها $x$ ونصف قطرها $r > 0$ هي مجموعة النقاط $y$ التي تحقق $d (x ، y) = r$ .

إذا كان المركز نقطة مميزة تُعتبر أصل المجال $E$ ، كما هو الحال في الفضاء المعياري ، فلا يُذكر في التعريف والترميز. وينطبق الأمر نفسه على نصف القطر إذا اعتُبر مساويًا للواحد، كما في حالة كرة الوحدة .

على عكس الكرة ، حتى الكرة الكبيرة قد تكون مجموعة فارغة. على سبيل المثال، في $Z n$ مع المقياس الإقليدي ، تكون الكرة التي نصف قطرها $r$ غير فارغة فقط إذا $كان من الممكن كتابة$ $r²$ كمجموع $n$ مربعات من الأعداد الصحيحة .

المجسم الثماني الأوجه هو كرة في هندسة سيارات الأجرة ، والمكعب هو كرة في الهندسة باستخدام مسافة تشيبيشيف .

تاريخ

درس الإغريق هندسة الكرة. يُعرّف كتاب "الأصول" لإقليدس الكرة في الكتاب الحادي عشر، ويناقش خصائصها المختلفة في الكتاب الثاني عشر، ويُبيّن كيفية رسم الأشكال الخمسة المنتظمة داخل الكرة في الكتاب الثالث عشر. لم يُدرج إقليدس مساحة وحجم الكرة، بل اكتفى بنظرية مفادها أن حجم الكرة يتناسب طرديًا مع مكعب قطرها، وهو ما يُعزى على الأرجح إلى إيدوكسوس الكنيدي . وقد حُدّدت صيغتا الحجم والمساحة لأول مرة في كتاب " في الكرة والأسطوانة" لأرخميدس باستخدام طريقة الاستنفاد . وكان زينودوروس أول من ذكر أن الكرة، بالنسبة لمساحة سطح مُحددة، هي الجسم الصلب ذو الحجم الأقصى. ^[³^]

كتب أرخميدس عن مسألة تقسيم الكرة إلى قطع دائرية ذات أحجام بنسبة معينة، لكنه لم يجد لها حلاً. وقدّم ديونيسودوروس حلاً باستخدام القطع المكافئ والقطع الزائد . [ 20 ^{] وحلّ القحي} لاحقاً مسألة مشابهة ، وهي إنشاء قطعة دائرية مساوية في الحجم لقطعة دائرية أخرى، وفي المساحة لقطعة أخرى . ^[³^]

معرض

صورة لإحدى أدق الكرات المصنعة، وهي تعكس صورة أينشتاين في الخلفية. كانت هذه الكرة عبارة عن جيروسكوب من الكوارتز المنصهر لتجربة مسبار الجاذبية B ، ولا يختلف شكلها عن الكرة المثالية بأكثر من 40 ذرة (أقل من 10 نانومتر) في السماكة. في 1 يوليو 2008، أُعلن أن علماء أستراليين قد صنعوا كرات أكثر دقة، تصل دقتها إلى 0.3 نانومتر، كجزء من بحث دولي لإيجاد معيار عالمي جديد للكيلوغرام . ^[²¹^]
مجموعة أوراق لعب تُصوّر أدوات هندسية، إنجلترا، 1702. ملك البستوني : كرات

المناطق

انظر أيضاً

كرة ثلاثية
كرة أفينية
كرة الإسكندر ذات القرون
الأجرام السماوية
انحناء
إحصائيات اتجاهية
كرة دايسون
خريطة غاوس
يد تحمل كرة عاكسة ، رسم بورتريه ذاتي للفنان إم سي إيشر يوضح الانعكاس والخصائص البصرية للكرة العاكسة
مجال هوبرمان
مجال التماثل
مجموعات التماثل الكروي
مجال التماثل
كرة لا نهائية الأبعاد
لينارت سفير
مشكلة حلقات المناديل
كرة (بصريات)
شبه المجال
كرة ريمان
زاوية صلبة
تعبئة كروية
الإحداثيات الكروية
بقرة كروية
الحلزون الكروي، مؤشر المماس لمنحنى ذي ترنح ثابت
متعدد السطوح كروي
كروية
نظرية كرة التنس
نصف القطر المكافئ للحجم
كرة زول

ملاحظات ومراجع

ملحوظات

↑ $يتم اعتبار r$ كمتغير في هذه العملية الحسابية.
↑ لا يهم الاتجاه الذي يتم اختياره، فالمسافة هي نصف قطر الكرة × π .
↑ المسافة بين نقطتين غير متميزتين (أي نقطة ونفسها) على الكرة تساوي صفرًا.

مراجع

↑ σφαῖρα . ليدل، هنري جورج ؛ سكوت، روبرت ؛ معجم يوناني-إنجليزي في مشروع بيرسيوس
1 2 ألبرت 2016 ، ص 54 .
1 2 3 4 5 6 تشيشولم، هيو ، محرر. (1911). "المجال" . الموسوعة البريطانية . المجلد 25 ( الطبعة الحادية عشرة). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 647-648 .
1 2 3 وودز 1961 ، ص 266 .
^ كريسيج (1972 ، ص 342) .
↑ شتاينهاوس 1969 ، ص 223 .
↑ "حجم الكرة - مركز الرياضيات" . mathcentral.uregina.ca . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يونيو 2019 .
1 2 إي. جيه. بوروفسكي؛ جيه إم بورواين (1989). قاموس كولينز للرياضيات . كولينز. ص 141، 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "المجال" . عالم الرياضيات .
↑ شتاينهاوس 1969 ، ص 221 .
↑ أوسرمان، روبرت (1978). "متباينة المحيط المتساوي" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 84 (6): 1187. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 . تاريخ الاسترجاع: 14 ديسمبر 2019 .
↑ ألبرت 2016 ، ص 60 .
↑ ألبرت 2016 ، ص 55 .
↑ ألبرت 2016 ، ص 57 .
↑ وودز 1961 ، ص 267 .
↑ ألبرت 2016 ، ص 58 .
↑ هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952). "إحدى عشرة خاصية للكرة". الهندسة والخيال ( الطبعة الثانية). تشيلسي. ص 215-231 . ISBN 978-0-8284-1087-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "المقطع الكروي" . عالم الرياضيات .
↑ "لوكسودروم" .
↑ فريد، مايكل ن. (25 فبراير 2019). "القطوع المخروطية" . موسوعة أكسفورد للأبحاث الكلاسيكية . doi : 10.1093/acrefore/9780199381135.013.8161 . ISBN 978-0-19-938113-5تم الاطلاع عليه في 4 نوفمبر 2022. والأهم من ذلك، أن فيتروفيوس (في كتابه عن العمارة، فيتروفيوس 9.8) ربط الساعات الشمسية المخروطية بديونيسودوروس (أوائل القرن الثاني قبل الميلاد)، وديونيسودوروس، وفقًا لإيوتوكيوس الأسكالوني (حوالي 480-540 م)، استخدم القطوع المخروطية لإكمال حل لمسألة أرخميدس المتمثلة في قطع كرة بواسطة مستوى بحيث تكون نسبة الأحجام الناتجة هي نفسها نسبة معينة.
↑ نيو ساينتست | التكنولوجيا | تم ابتكار أكثر الأجسام استدارة في العالم .

للمزيد من القراءة

ألبرت، أبراهام أدريان (2016) [1949]، الهندسة التحليلية الصلبة ، دوفر، ISBN 978-0-486-81026-3.
دونهام، ويليام (1997). الكون الرياضي: رحلة أبجدية عبر البراهين والمسائل والشخصيات العظيمة . نيويورك: وايلي. ص 28 ، 226. رمز Bibcode : 1994muaa.book.....D . ISBN 978-0-471-17661-9.
كريزيج، إروين (1972)، الرياضيات الهندسية المتقدمة ( الطبعة الثالثة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 978-0-471-50728-4.
شتاينهاوس، هـ. (1969)، لقطات رياضية ( الطبعة الأمريكية الثالثة)، مطبعة جامعة أكسفورد.
وودز، فريدريك س. (1961) [1922]، الهندسة العليا / مقدمة في الأساليب المتقدمة في الهندسة التحليلية ، دوفر.
جون سي. بولكينغ (15 أبريل 1999). "هندسة الكرة" . www.math.csi.cuny.edu . تاريخ الاطلاع: 21 يناير 2022 .

روابط خارجية

[11] $يتم اعتبار r$ كمتغير في هذه العملية الحسابية.

[19] لا يهم الاتجاه الذي يتم اختياره، فالمسافة هي نصف قطر الكرة × π .

[20] المسافة بين نقطتين غير متميزتين (أي نقطة ونفسها) على الكرة تساوي صفرًا.

[1] σφαῖρα . ليدل، هنري جورج ؛ سكوت، روبرت ؛ معجم يوناني-إنجليزي في مشروع بيرسيوس

[Albert54-2] 1 2 ألبرت 2016 ، ص 54 .

[EB-3] 1 2 3 4 5 6 تشيشولم، هيو ، محرر. (1911). "المجال" . الموسوعة البريطانية . المجلد 25 ( الطبعة الحادية عشرة). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 647-648 .

[Woods266-4] 1 2 3 وودز 1961 ، ص 266 .

[5] كريسيج (1972 ، ص 342) .

[6] شتاينهاوس 1969 ، ص 223 .

[7] "حجم الكرة - مركز الرياضيات" . mathcentral.uregina.ca . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يونيو 2019 .

[delta-8] 1 2 إي. جيه. بوروفسكي؛ جيه إم بورواين (1989). قاموس كولينز للرياضيات . كولينز. ص 141، 149. ISBN 978-0-00-434347-1.

[MathWorld_Sphere-9] 1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "المجال" . عالم الرياضيات .

[10] شتاينهاوس 1969 ، ص 221 .

[12] أوسرمان، روبرت (1978). "متباينة المحيط المتساوي" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 84 (6): 1187. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 . تاريخ الاسترجاع: 14 ديسمبر 2019 .

[13] ألبرت 2016 ، ص 60 .

[14] ألبرت 2016 ، ص 55 .

[15] ألبرت 2016 ، ص 57 .

[Woods267-16] وودز 1961 ، ص 267 .

[17] ألبرت 2016 ، ص 58 .

[18] هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952). "إحدى عشرة خاصية للكرة". الهندسة والخيال ( الطبعة الثانية). تشيلسي. ص 215-231 . ISBN 978-0-8284-1087-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[21] وايسشتاين، إريك دبليو. "المقطع الكروي" . عالم الرياضيات .

[22] "لوكسودروم" .

[23] فريد، مايكل ن. (25 فبراير 2019). "القطوع المخروطية" . موسوعة أكسفورد للأبحاث الكلاسيكية . doi : 10.1093/acrefore/9780199381135.013.8161 . ISBN 978-0-19-938113-5تم الاطلاع عليه في 4 نوفمبر 2022. والأهم من ذلك، أن فيتروفيوس (في كتابه عن العمارة، فيتروفيوس 9.8) ربط الساعات الشمسية المخروطية بديونيسودوروس (أوائل القرن الثاني قبل الميلاد)، وديونيسودوروس، وفقًا لإيوتوكيوس الأسكالوني (حوالي 480-540 م)، استخدم القطوع المخروطية لإكمال حل لمسألة أرخميدس المتمثلة في قطع كرة بواسطة مستوى بحيث تكون نسبة الأحجام الناتجة هي نفسها نسبة معينة.

[24] نيو ساينتست | التكنولوجيا | تم ابتكار أكثر الأجسام استدارة في العالم .

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[

[ ملاحظة 3 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

] وحلّ القحي

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗