زوايا أويلر

زوايا أويلر هي ثلاث زوايا قدمها ليونهارد أويلر لوصف اتجاه جسم صلب بالنسبة لنظام إحداثيات ثابت . ^[1]

كما يمكنها أيضًا تمثيل اتجاه إطار مرجعي متحرك في الفيزياء أو اتجاه أساس عام في الجبر الخطي ثلاثي الأبعاد .

تأخذ زوايا أويلر الكلاسيكية عادةً زاوية الميل بطريقة تمثل فيها درجة الصفر الاتجاه الرأسي. وقد قدم بيتر جوثري تايت وجورج إتش برايان أشكالًا بديلة فيما بعد بهدف استخدامها في مجال الطيران والهندسة حيث تمثل درجة الصفر الموضع الأفقي.

يمكن تعريف زوايا أويلر من خلال الهندسة الأولية أو من خلال تركيب الدورات (أي الدورات المتسلسلة ). يوضح التعريف الهندسي أن ثلاث دورات أولية مركبة (دورات حول محاور نظام إحداثيات ) تكون كافية دائمًا للوصول إلى أي إطار مستهدف.

قد تكون الدورات الثلاثة الأولية خارجية (دورات حول محاور xyz لنظام الإحداثيات الأصلي، والذي يُفترض أنه يظل ثابتًا)، أو داخلية (دورات حول محاور نظام الإحداثيات الدوار XYZ ، متضامنة مع الجسم المتحرك، والذي يغير اتجاهه فيما يتعلق بالإطار الخارجي بعد كل دورة أولية).

في الأقسام أدناه، يشير تعيين المحور بعلامة أولية علوية (على سبيل المثال، z ″) إلى المحور الجديد بعد الدوران العنصري.

يشار إلى زوايا أويلر عادةً بـ α أو β أو γ أو ψ أو θ أو φ . قد يستخدم مؤلفون مختلفون مجموعات مختلفة من محاور الدوران لتحديد زوايا أويلر، أو أسماء مختلفة لنفس الزوايا. لذلك، يجب أن يسبق أي مناقشة تستخدم زوايا أويلر دائمًا تعريفها.

دون النظر في إمكانية استخدام اتفاقيتين مختلفتين لتعريف محاور الدوران (الجوهرية أو الخارجية)، هناك اثني عشر تسلسلًا محتملًا لمحاور الدوران، مقسمة إلى مجموعتين:

• زوايا أويلر الصحيحة ( z - x - z ، x - y - x ، y - z - y ، z - y - z ، x - z - x ، y - x - y )
• زوايا تيت-برايان ( x - y - z ، y - z - x ، z - x - y ، x - z - y ، z - y - x ، y - x - z ) .

تُسمى زوايا تيت-برايان أيضًا بزوايا كاردان ؛ والزوايا البحرية ؛ والاتجاه والارتفاع والميل ؛ أو الانحراف والانحدار والانقلاب . وفي بعض الأحيان، يُطلق على كلا النوعين من المتتاليات اسم "زوايا أويلر". وفي هذه الحالة، تُسمى متتاليات المجموعة الأولى بزوايا أويلر الحقيقية أو الكلاسيكية .

زوايا أويلر هي ثلاث زوايا قدمها عالم الرياضيات السويسري ليونهارد أويلر (1707 – 1783) لوصف اتجاه جسم صلب بالنسبة لنظام إحداثيات ثابت . ^[1]

يتم الإشارة إلى محاور الإطار الأصلي على أنها x و y و z ومحاور الإطار المُدار على أنها X و Y و Z. يبدأ التعريف الهندسي (يُشار إليه أحيانًا باسم ثابت) بتحديد خط العقد (N) باعتباره تقاطع المستويين xy و XY (يمكن تعريفه أيضًا على أنه العمودي المشترك على المحورين z و Z ثم كتابته على أنه حاصل الضرب المتجهي N = z × Z ). باستخدامه، يمكن تعريف زوايا أويلر الثلاث على النحو التالي:

• ${\displaystyle \alpha }$(أو ) هي الزاوية الموقعة بين المحور x والمحور N ( اتفاقية x - يمكن أيضًا تعريفها بين y و N ، وتسمى اتفاقية y ).${\displaystyle \varphi }$
• ${\displaystyle \beta }$(أو ) هي الزاوية بين المحور z والمحور Z.${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle \gamma }$(أو ) هي الزاوية الموقعة بين المحور N والمحور X ( اتفاقية x ).${\displaystyle \psi }$

يتم تعريف زوايا أويلر بين إطارين مرجعيين فقط إذا كان كلا الإطارين لهما نفس اليد .

الدورات الجوهرية هي دورات عنصرية تحدث حول محاور نظام إحداثيات XYZ متصل بجسم متحرك. لذلك، فإنها تغير اتجاهها بعد كل دورة عنصرية. يدور نظام XYZ ، بينما يكون xyz ثابتًا. بدءًا من تداخل XYZ مع xyz ، يمكن استخدام تركيبة من ثلاث دورات جوهرية للوصول إلى أي اتجاه مستهدف لـ XYZ .

يمكن تعريف زوايا أويلر من خلال الدورات الجوهرية. يمكن تصور الإطار الدوار XYZ محاذيًا في البداية مع xyz ، قبل الخضوع للدوران العنصري الثلاثة الممثلة بزوايا أويلر. يمكن الإشارة إلى توجهاته المتعاقبة على النحو التالي:

• x - y - z أو x ₀ - y ₀ - z ₀ (الحرف الأولي)
• x ′- y ′- z ′ أو x ₁ - y ₁ - z ₁ (بعد الدوران الأول)
• x ″- y ″- z ″ أو x ₂ - y ₂ - z ₂ (بعد الدوران الثاني)
• X - Y - Z أو x ₃ - y ₃ - z ₃ (النهائي)

بالنسبة لتسلسل الدورات المذكور أعلاه، يمكن تعريف خط العقد N ببساطة على أنه اتجاه X بعد الدوران العنصري الأول. وبالتالي، يمكن ببساطة الإشارة إلى N بـ x ′. وعلاوة على ذلك، نظرًا لأن الدوران العنصري الثالث يحدث حول Z ، فإنه لا يغير اتجاه Z. وبالتالي، فإن Z يتطابق مع z ″. وهذا يسمح لنا بتبسيط تعريف زوايا أويلر على النحو التالي:

• α (أو φ ) يمثل الدوران حول المحور z ،
• β (أو θ ) يمثل الدوران حول المحور x ′،
• يمثل γ (أو ψ ) دورانًا حول المحور z .

الدورات الخارجية هي دورات عنصرية تحدث حول محاور نظام الإحداثيات الثابتة xyz . يدور نظام XYZ ، بينما يكون xyz ثابتًا. بدءًا من تداخل XYZ مع xyz ، يمكن استخدام تركيبة من ثلاث دورات خارجية للوصول إلى أي اتجاه مستهدف لـ XYZ . زوايا أويلر أو تايت-برايان ( α ، β ، γ ) هي سعة هذه الدورات العنصرية. على سبيل المثال، يمكن الوصول إلى اتجاه الهدف على النحو التالي (لاحظ الترتيب العكسي لتطبيق زاوية أويلر):

• يدور نظام XYZ حول المحور z بمقدار γ . يصبح المحور X الآن عند الزاوية γ بالنسبة للمحور x .
• يدور نظام XYZ مرة أخرى، ولكن هذه المرة حول المحور x بمقدار β . يصبح المحور Z الآن عند الزاوية β بالنسبة للمحور z .
• يدور نظام XYZ للمرة الثالثة، حول المحور z مرة أخرى، بزاوية α .

باختصار، تحدث الدورات الأساسية الثلاثة حول z و x و z . في الواقع، غالبًا ما يُشار إلى هذا التسلسل بـ z - x - z (أو 3-1-3). عادةً ما يتم تسمية مجموعات محاور الدوران المرتبطة بكل من زوايا أويلر الصحيحة وزوايا تيت-برايان باستخدام هذا الترميز (انظر أعلاه للحصول على التفاصيل).

إذا كانت كل خطوة من خطوات الدوران تؤثر على نظام إحداثيات الدوران XYZ، فإن الدوران يكون جوهريًا ( ZX'-Z'' ). يمكن أيضًا الإشارة إلى الدوران الجوهري بـ 3-1-3.

تُعرَّف الزوايا عادةً وفقًا لقاعدة اليد اليمنى . أي أن لها قيمًا موجبة عندما تمثل دورانًا يظهر في اتجاه عقارب الساعة عند النظر في الاتجاه الموجب للمحور، وقيمًا سالبة عندما يظهر الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة. أما القاعدة المعاكسة (قاعدة اليد اليسرى) فهي أقل شيوعًا.

حول النطاقات (باستخدام تدوين الفاصل الزمني ):

• بالنسبة إلى α و γ ، يتم تعريف النطاق بقسمة 2 π راديان . على سبيل المثال، يمكن أن يكون النطاق الصحيح [− π ,  π ] .
• بالنسبة لـ β ، يغطي النطاق π راديان (ولكن لا يمكن القول إنه modulo  π ). على سبيل المثال، يمكن أن يكون [0,  π ] أو [− π /2,  π /2] .

الزوايا α و β و γ محددة بشكل فريد باستثناء الحالة المفردة التي تكون فيها المستويان xy و XY متطابقين، أي عندما يكون للمحور z والمحور Z نفس الاتجاه أو اتجاهين متعاكسين. في الواقع، إذا كان المحور z والمحور Z متماثلين، فإن β = 0 ويتم تعريف ( α  +  γ )  فقط بشكل فريد (وليس القيم الفردية)، وبالمثل، إذا كان المحور z والمحور Z متعاكسين، فإن β  =  π ويتم تعريف ( α  −  γ ) فقط بشكل فريد (وليس القيم الفردية). تُعرف هذه الغموضات باسم قفل gimbal في التطبيقات.

هناك ستة احتمالات لاختيار محاور الدوران لزوايا أويلر الصحيحة. وفي كل منها، يكون محور الدوران الأول والثالث متماثلين. والتسلسلات الستة المحتملة هي:

1. z ₁ - x ′- z ₂ ″ (دورات جوهرية) أو z ₂ - x - z ₁ (دورات خارجية)
2. x ₁ - y ′- x ₂ ″ (دوران داخلي) أو x ₂ - y - x ₁ (دوران خارجي)
3. y ₁ - z ′- y ₂ ″ (دورات جوهرية) أو y ₂ - z - y ₁ (دورات خارجية)
4. z ₁ - y ′- z ₂ ″ (دورات جوهرية) أو z ₂ - y - z ₁ (دورات خارجية)
5. x ₁ - z ′- x ₂ ″ (دورات جوهرية) أو x ₂ - z - x ₁ (دورات خارجية)
6. y ₁ - x ′- y ₂ ″ (دوران داخلي) أو y ₂ - x - y ₁ (دوران خارجي)

تُعرَّف الحركة التقدمية والتأرجح والدوران الجوهري (الدوران) على أنها الحركات التي يتم الحصول عليها عن طريق تغيير إحدى زوايا أويلر مع ترك الزاويتين الأخريين ثابتتين. لا يتم التعبير عن هذه الحركات من حيث الإطار الخارجي، أو من حيث إطار الجسم الدوار المتحرك معًا، ولكن في مزيج. إنها تشكل نظام محاور دوران مختلط ، حيث تحرك الزاوية الأولى خط العقد حول المحور الخارجي z ، وتدور الزاوية الثانية حول خط العقد N ، والثالثة عبارة عن دوران جوهري حول Z ، وهو محور ثابت في الجسم المتحرك.

يشير التعريف الثابت إلى أن:

• α (التقدم) يمثل الدوران حول المحور z ،
• يمثل β (التواء) دورانًا حول المحور N أو المحور x′،
• γ (الدوران الجوهري) يمثل الدوران حول المحور Z أو z″.

إذا كان β يساوي صفرًا، فلا يوجد دوران حول N. ونتيجة لذلك، يتطابق Z مع z ، ويمثل α و γ دورانًا حول نفس المحور ( z )، ويمكن الحصول على الاتجاه النهائي بدوران واحد حول z ، بزاوية تساوي α + γ .

على سبيل المثال، لنفترض وجود قمة . تدور القمة حول محور تماثلها الخاص؛ وهذا يتوافق مع دورانها الجوهري. كما تدور حول محورها المحوري، حيث يدور مركز كتلتها حول المحور المحوري؛ وهذا الدوران هو حركة تقدمية. وأخيرًا، يمكن للقمة أن تتأرجح لأعلى ولأسفل؛ وزاوية الميل هي زاوية التأرجح. ويمكن رؤية نفس المثال مع حركات الأرض.

على الرغم من أنه يمكن تمثيل الحركات الثلاث بواسطة عامل دوران بمعاملات ثابتة في إطار ما، إلا أنه لا يمكن تمثيلها بواسطة هذه العوامل جميعها في نفس الوقت. في حالة وجود إطار مرجعي، سيكون أحدها على الأكثر خاليًا من المعاملات. يمكن التعبير عن الانحراف فقط بشكل عام كمصفوفة في أساس الفضاء دون اعتماد الزوايا الأخرى.

تتصرف هذه الحركات أيضًا كمجموعة من المحاور. فإذا كانت هناك مجموعة من الإطارات، قادرة على تحريك كل منها بالنسبة للإطار السابق وفقًا لزاوية واحدة فقط، مثل المحور، فسوف يوجد إطار ثابت خارجي وإطار نهائي وإطاران في المنتصف، يُطلق عليهما "الإطارات الوسيطة". يعمل الإطاران في المنتصف كحلقتين من المحاور تسمحان للإطار الأخير بالوصول إلى أي اتجاه في الفضاء.

النوع الثاني من الصياغات يسمى زوايا تيت-برايان ، نسبة إلى الفيزيائي الرياضي الاسكتلندي بيتر جوثري تيت (1831-1901) وعالم الرياضيات التطبيقي الإنجليزي جورج إتش برايان (1864-1928). وهي الاتفاقية المستخدمة عادة في تطبيقات الفضاء الجوي، بحيث يمثل ارتفاع الدرجة صفر الموقف الأفقي. تمثل زوايا تيت-برايان اتجاه الطائرة بالنسبة لإطار العالم. عند التعامل مع مركبات أخرى، تكون اتفاقيات المحاور المختلفة ممكنة.

التعريفات والرموز المستخدمة لزوايا تيت-برايان مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه لزوايا أويلر الصحيحة (التعريف الهندسي، تعريف الدوران الجوهري، تعريف الدوران الخارجي). والفرق الوحيد هو أن زوايا تيت-برايان تمثل دورات حول ثلاثة محاور مميزة (على سبيل المثال x - y - z ، أو x - y ′- z ″)، بينما تستخدم زوايا أويلر الصحيحة نفس المحور لكل من الدورات الأولية والثالثة (على سبيل المثال، z - x - z ، أو z - x ′- z ″).

وهذا يعني تعريفًا مختلفًا لخط العقد في البناء الهندسي. في حالة زوايا أويلر الصحيحة، تم تعريفه على أنه التقاطع بين مستويين ديكارتيين متماثلين (متوازيين عندما تكون زوايا أويلر صفرًا؛ على سبيل المثال xy و XY ). في حالة زوايا تيت-برايان، يتم تعريفه على أنه تقاطع مستويين غير متماثلين (عموديين عندما تكون زوايا أويلر صفرًا؛ على سبيل المثال xy و YZ ).

قد تحدث الدورات العنصرية الثلاثة إما حول محاور نظام الإحداثيات الأصلي، الذي يظل ثابتًا (دورات خارجية)، أو حول محاور نظام الإحداثيات الدوار، الذي يغير اتجاهه بعد كل دورة عنصرية (دورات جوهرية).

هناك ستة احتمالات لاختيار محاور الدوران لزوايا تايت-برايان. والتسلسلات الستة المحتملة هي:

• x - y ′- z ″ (دورات جوهرية) أو z - y - x (دورات خارجية)
• y - z ′- x ″ (دورات جوهرية) أو x - z - y (دورات خارجية)
• z - x ′- y ″ (دورات جوهرية) أو y - x - z (دورات خارجية)
• x - z ′- y ″ (دورات جوهرية) أو y - z - x (دورات خارجية)
• z - y ′- x ″ (دوران داخلي) أو x - y - z (دوران خارجي): تُعرف الدورات الداخلية باسم: الانحراف والميل والانقلاب
• y - x ′- z ″ (دورات جوهرية) أو z - x - y (دورات خارجية)

تُستخدم اتفاقية تيت-برايان على نطاق واسع في الهندسة لأغراض مختلفة. وهناك عدة اتفاقيات للمحاور في الممارسة العملية لاختيار المحاور المتحركة والثابتة، وتحدد هذه الاتفاقيات علامات الزوايا. لذلك، يجب دراسة العلامات في كل حالة بعناية.

يغطي نطاق الزاويتين ψ و φ 2 π راديان. أما بالنسبة لـ θ، فيغطي النطاق π راديان.

يتم عادةً أخذ هذه الزوايا كزاوية واحدة في إطار المرجع الخارجي ( الاتجاه ، المحمل )، وواحدة في إطار الحركة الجوهري ( البنك )، وواحدة في الإطار الأوسط، تمثل الارتفاع أو الميل بالنسبة إلى المستوى الأفقي، وهو ما يعادل خط العقد لهذا الغرض.

بالنسبة للطائرة، يمكن الحصول عليها بثلاث دورات حول محاورها الرئيسية إذا تم ذلك بالترتيب الصحيح والبدء من إطار يتطابق مع إطار المرجع.

• سوف يحصل الانحراف على الاتجاه ،
• سوف يؤدي الملعب إلى الارتفاع و
• اللفة تعطي زاوية البنك.

لذلك، في مجال الطيران والفضاء، يطلق عليها أحيانًا اسم الانحراف والميلان والانقلاب . لاحظ أن هذا لن يعمل إذا تم تطبيق الدورات بأي ترتيب آخر أو إذا بدأت محاور الطائرة في أي موضع غير مكافئ لإطار المرجع.

زوايا تيت-برايان، التي تتبع اتفاقية z - y ′- x ″ (الدوران الجوهري)، تُعرف أيضًا باسم الزوايا البحرية ، لأنه يمكن استخدامها لوصف اتجاه السفينة أو الطائرة، أو زوايا كاردان ، نسبة إلى عالم الرياضيات والفيزياء الإيطالي جيرولامو كاردانو ، الذي وصف لأول مرة بالتفصيل تعليق كاردان ومفصل كاردان .

إن إيجاد زوايا أويلر لإطار معين من المشاكل الشائعة. وأسرع طريقة للحصول عليها هي كتابة المتجهات الثلاثة المعطاة كأعمدة لمصفوفة ومقارنتها بتعبير المصفوفة النظرية (انظر جدول المصفوفات اللاحق). ومن ثم يمكن حساب زوايا أويلر الثلاث. ومع ذلك، يمكن الوصول إلى نفس النتيجة بتجنب جبر المصفوفات واستخدام الهندسة الأولية فقط. هنا نقدم النتائج لأكثر اتفاقيتين استخدامًا: ZXZ لزوايا أويلر الصحيحة و ZYX لتايت-برايان. لاحظ أنه يمكن الحصول على أي اتفاقية أخرى بمجرد تغيير اسم المحاور.

بافتراض وجود إطار بمتجهات الوحدة ( X ، Y ، Z ) المعطاة بواسطة إحداثياتها كما في الرسم التخطيطي الرئيسي، يمكن ملاحظة أن:

${\displaystyle \cos(\beta )=Z_{3}.}$

ومنذ ذلك الحين

${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$

لأن لدينا ${\displaystyle 0<x<\pi }$

${\displaystyle \sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

كما هو الحال مع الإسقاط المزدوج للمتجه الوحدوي، ${\displaystyle Z_{2}}$

${\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )=-Z_{2},}$

${\displaystyle \cos(\alpha )=-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

يوجد بناء مماثل لـ ، حيث يتم إسقاطه أولاً على المستوى الذي يحدده المحور z وخط العقد. نظرًا لأن الزاوية بين المستويات هي و ، فإن هذا يؤدي إلى: ${\displaystyle Y_{3}}$${\displaystyle \pi /2-\beta }$${\displaystyle \cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta )}$

${\displaystyle \sin(\beta )\cdot \cos(\gamma )=Y_{3},}$

${\displaystyle \cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}},}$

وأخيرًا، باستخدام دالة جيب التمام العكسية ،

${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left(Z_{3}\right),}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right).}$

بافتراض إطار به متجهات وحدة ( X ، Y ، Z ) يتم تحديدها بواسطة إحداثياتها كما في هذا الرسم التخطيطي الجديد (لاحظ أن الزاوية ثيتا سلبية)، يمكن ملاحظة أن:

${\displaystyle \sin(\theta )=-X_{3}}$

كما في السابق،

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,}$

لأن لدينا ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$

${\displaystyle \cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

بطريقة مماثلة للطريقة السابقة:

${\displaystyle \sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

${\displaystyle \sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

أبحث عن تعبيرات مشابهة لتلك السابقة:

${\displaystyle \psi =\arcsin \left(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \theta =\arcsin(-X_{3}),}$

${\displaystyle \phi =\arcsin \left(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\right).}$

لاحظ أن دالتي الجيب العكسي وجيب التمام تعطيان قيمتين محتملتين للحجة. في هذا الوصف الهندسي، يكون أحد الحلول فقط صالحًا. عندما يتم تعريف زوايا أويلر على أنها تسلسل من الدورات، يمكن أن تكون جميع الحلول صالحة، ولكن سيكون هناك حل واحد فقط داخل نطاقات الزاوية. وذلك لأن تسلسل الدورات للوصول إلى الإطار المستهدف ليس فريدًا إذا لم يتم تعريف النطاقات مسبقًا. ^[2]

لأغراض حسابية، قد يكون من المفيد تمثيل الزوايا باستخدام atan2 ( y , x ) . على سبيل المثال، في حالة زوايا أويلر الصحيحة:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (Z_{1},-Z_{2}),}$

${\displaystyle \gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).}$

زوايا أويلر هي إحدى الطرق لتمثيل الاتجاهات. هناك طرق أخرى، ومن الممكن التغيير من وإلى اتفاقيات أخرى. هناك دائمًا ثلاثة معلمات مطلوبة لوصف الاتجاهات في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد . يمكن إعطاؤها بعدة طرق، وزوايا أويلر هي واحدة منها؛ راجع المخططات على SO(3) لمعرفة الطرق الأخرى.

أكثر تمثيلات التوجيه شيوعًا هي مصفوفات الدوران وزاوية المحور والرباعيات ، والمعروفة أيضًا باسم معلمات أويلر-رودريجيز ، والتي توفر آلية أخرى لتمثيل الدورات ثلاثية الأبعاد. وهذا يعادل وصف المجموعة الوحدوية الخاصة.

إن التعبير عن الدورات في الأبعاد الثلاثية على هيئة رباعيات وحدة بدلاً من المصفوفات له بعض المزايا:

• تعتبر عملية ربط الدورات أسرع حسابيًا وأكثر استقرارًا عدديًا.
• استخراج الزاوية ومحور الدوران أسهل.
• الاستيفاء أكثر وضوحًا. انظر على سبيل المثال slerp .
• لا تعاني الرباعيات من قفل المحور كما تفعل زوايا أويلر.

بغض النظر عن ذلك، فإن حساب مصفوفة الدوران هو الخطوة الأولى للحصول على التمثيلين الآخرين.

يمكن تحقيق أي اتجاه من خلال تكوين ثلاث دورات عنصرية، بدءًا من اتجاه قياسي معروف. وعلى نحو مكافئ، يمكن تحليل أي مصفوفة دوران R كمنتج لثلاث مصفوفات دوران عنصرية. على سبيل المثال: هي مصفوفة دوران يمكن استخدامها لتمثيل تركيبة من الدورات الخارجية حول المحاور z و y و x (بهذا الترتيب)، أو تركيبة من الدورات الجوهرية حول المحاور x - y ′- z ″ (بهذا الترتيب). ومع ذلك، يعتمد كل من تعريف مصفوفات الدوران العنصرية X و Y و Z وترتيب ضربها على الاختيارات التي اتخذها المستخدم حول تعريف كل من مصفوفات الدوران وزوايا أويلر (انظر، على سبيل المثال، الغموض في تعريف مصفوفات الدوران ). لسوء الحظ، يتم تبني مجموعات مختلفة من الاتفاقيات من قبل المستخدمين في سياقات مختلفة. تم بناء الجدول التالي وفقًا لهذه المجموعة من الاتفاقيات: $${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$$

1. من المفترض أن تعمل كل مصفوفة عن طريق ضرب متجهات العمود مسبقًا (انظر الغموض في تعريف مصفوفات الدوران )${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$
2. كل مصفوفة من المفترض أن تمثل دورانًا نشطًا (من المفترض أن تعمل المصفوفات المركبة والمكونة على إحداثيات المتجهات المحددة في إطار المرجع الثابت الأولي وتعطي نتيجة لذلك إحداثيات المتجه الدوار المحدد في نفس إطار المرجع).
3. كل مصفوفة من المفترض أن تمثل، في المقام الأول، تركيبة من الدورات الجوهرية (حول محاور إطار المرجع الدوار)، وثانيًا، تركيبة ثلاث دورات خارجية (والتي تتوافق مع التقييم البناء لمصفوفة R من خلال ضرب ثلاث مصفوفات عنصرية حقيقية، بترتيب عكسي).
4. تم اعتماد إطارات مرجعية لليد اليمنى ، وتم استخدام قاعدة اليد اليمنى لتحديد إشارة الزوايا α و β و γ .

من أجل التبسيط، يستخدم الجدول التالي لمنتجات المصفوفة التسمية التالية:

1. X و Y و Z هي المصفوفات التي تمثل الدورات الأولية حول المحاور x و y و z للإطار الثابت (على سبيل المثال، يمثل X _α دورانًا حول x بزاوية α ).
2. يمثل s و c الجيب وجيب التمام (على سبيل المثال، يمثل s _α جيب α ).

زوايا أويلر الصحيحة	زوايا تيت-برايان
${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }={\beta}c_{\gamma }&-c_{\gamma }s_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }\\c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }c_{\gamma }&-s_{\beta }&c_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }&c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\beta }\\s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }\\-c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }c_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\gamma }&s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\alpha }\\s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }\\s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }&-c_{\gamma }s_{\beta }\\-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\beta }s_{\alpha }\\c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }c_{\gamma }&-s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }+s_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }\\c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }\\-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }&s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\beta }&c_{\beta }c_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\gamma }\\-c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&s_{\alpha }s_{\beta }\\-c_{\gamma }s_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }&c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }\\c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }\\-s_{\beta }&c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }c_{\gamma }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\beta }\\s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\beta }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }&s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }\\-c_{\beta }s_{\gamma }&s_{\beta }&c_{\beta }c_{\gamma }\end{bmatrix}}}$

تتوفر هذه النتائج الجدولية في العديد من الكتب المدرسية. ^[3] بالنسبة لكل عمود، يشكل الصف الأخير الاتفاقية الأكثر استخدامًا.

لتغيير صيغ الدورات السلبية (أو إيجاد الدوران النشط العكسي)، قم بنقل المصفوفات (ثم تقوم كل مصفوفة بتحويل الإحداثيات الأولية للمتجه الذي يبقى ثابتًا إلى إحداثيات نفس المتجه المقاس في نظام المرجع الدائري؛ نفس محور الدوران، نفس الزوايا، ولكن الآن يدور نظام الإحداثيات، وليس المتجه).

يحتوي الجدول التالي على صيغ للزوايا α و β و γ من عناصر مصفوفة الدوران . ^[4]${\displaystyle R}$

زوايا أويلر الصحيحة		زوايا تيت-برايان
${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{21}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{11}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{12}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_{12}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{11}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{31}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{11}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{13}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_{13}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{11}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{32}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{22}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{23}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_{23}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{22}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_{12}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{22}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{21}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_{21}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{22}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{13}}}\right)\\\beta &=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-R_{33}^{2}}}{R_{33}}}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_{31}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_{31}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{33}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{23}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{33}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{32}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_{32}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{33}}}\right)\end{aligned}}}$

تشكل زوايا أويلر مخططًا على كل SO(3) ، المجموعة المتعامدة الخاصة للدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد. المخطط سلس باستثناء التفرد بأسلوب الإحداثيات القطبية على طول β = 0. راجع المخططات على SO(3) للحصول على معالجة أكثر اكتمالاً.

يُطلق على فضاء الدورات بشكل عام اسم " الكرة الفائقة للدوران "، على الرغم من أن هذا تسمية خاطئة: المجموعة Spin(3) متساوية القياس للكرة الفائقة S ³ ، ولكن فضاء الدوران SO(3) بدلاً من ذلك متساوي القياس للفضاء الإسقاطي الحقيقي RP ³ وهو فضاء حاصل ضرب 2 أضعاف للكرة الفائقة. هذا الغموض 2 إلى 1 هو الأصل الرياضي للدوران في الفيزياء .

ينطبق تحليل مماثل للزوايا الثلاث على SU(2) ، المجموعة الوحدوية الخاصة للدورات في الفضاء المركب ثنائي الأبعاد، مع اختلاف أن β تتراوح من 0 إلى 2 π . وتسمى هذه أيضًا زوايا أويلر.

يتم إعطاء مقياس هار لـ SO(3) بزوايا أويلر من خلال معلمة زاوية هوبف لـ SO(3)، ، ^[5] حيث معلمة ، مساحة محاور الدوران. ${\displaystyle {\textrm {d}}V\propto \sin \beta \cdot {\textrm {d}}\alpha \cdot {\textrm {d}}\beta \cdot {\textrm {d}}\gamma }$${\displaystyle (\beta ,\alpha )}$${\displaystyle S^{2}}$

على سبيل المثال، لتوليد توجهات عشوائية موحدة، دع α و γ يكونان منتظمين من 0 إلى 2π ، وليكن z منتظمًا من −1 إلى 1، وليكن β = arccos( z ) .

يمكن إيجاد خصائص أخرى لزوايا أويلر والدوران بشكل عام من الجبر الهندسي ، وهو تجريد أعلى مستوى، حيث تكون الرباعيات جبرًا جزئيًا زوجيًا. الأداة الرئيسية في الجبر الهندسي هي الدوار حيث زاوية الدوران ، هي محور الدوران (متجه أحادي) وهي شبه قياسي (متجه ثلاثي في ​​) ${\displaystyle \mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]}$${\displaystyle \theta =}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

من الممكن تحديد معلمات مماثلة لزوايا أويلر في أبعاد أكبر من ثلاثة. ^{[6] [7] [ مصدر غير موثوق؟ ]} في أربعة أبعاد وما فوق، يفقد مفهوم "الدوران حول محور" معناه ويصبح بدلاً من ذلك "الدوران في مستوى". عدد زوايا أويلر اللازمة لتمثيل المجموعة SO( n ) هو n ( n − 1)/2 ، وهو ما يعادل عدد المستويات التي تحتوي على محورين إحداثيين متميزين في فضاء إقليدي ذي أبعاد n .

في SO(4) يتم تعريف مصفوفة الدوران بواسطة رباعيتين وحدويتين ، وبالتالي يكون لها ست درجات حرية، ثلاث درجات من كل رباعية.

الميزة الرئيسية لهذه الأجهزة مقارنة بأوصاف التوجيه الأخرى هي أنه يمكن قياسها مباشرة من محور مثبت في مركبة. نظرًا لأن الجيروسكوبات تحافظ على ثبات محور دورانها، فإن الزوايا المقاسة في إطار الجيروسكوب تعادل الزوايا المقاسة في إطار المختبر. لذلك، تُستخدم الجيروسكوبات لمعرفة الاتجاه الفعلي للمركبة الفضائية المتحركة، ويمكن قياس زوايا أويلر مباشرة. لا يمكن قراءة زاوية الدوران الجوهرية من محور واحد، لذلك يجب أن يكون هناك أكثر من محور في المركبة الفضائية. عادةً ما يكون هناك ثلاثة على الأقل للتكرار. هناك أيضًا علاقة بمشكلة قفل المحور المعروفة في الهندسة الميكانيكية . ^[8]

عند دراسة الأجسام الصلبة بشكل عام، يُطلق على إحداثيات فضاء نظام xyz اسم إحداثيات الفضاء ، وإحداثيات جسم نظام XYZ اسم إحداثيات الفضاء. تُعامل إحداثيات الفضاء على أنها غير متحركة، بينما تُعتبر إحداثيات الجسم مدمجة في الجسم المتحرك. غالبًا ما تكون الحسابات التي تتضمن التسارع ، والتسارع الزاوي ، والسرعة الزاوية ، والزخم الزاوي ، والطاقة الحركية هي الأسهل في إحداثيات الجسم، لأنه عندئذٍ لا يتغير موتر عزم القصور الذاتي بمرور الوقت. إذا قمنا أيضًا بتقسيم موتر عزم القصور الذاتي للجسم الصلب قطريًا (بتسعة مكونات، ستة منها مستقلة)، فسيكون لدينا مجموعة من الإحداثيات (تسمى المحاور الرئيسية) حيث يحتوي موتر عزم القصور الذاتي على ثلاثة مكونات فقط.

تتخذ السرعة الزاوية لجسم صلب شكلًا بسيطًا باستخدام زوايا أويلر في الإطار المتحرك. كما أن معادلات أويلر للجسم الصلب أبسط لأن موتر القصور الذاتي ثابت في هذا الإطار.

في علم المواد، يمكن وصف الملمس البلوري (أو الاتجاه المفضل) باستخدام زوايا أويلر. في تحليل الملمس، توفر زوايا أويلر تصويرًا رياضيًا لاتجاه البلورات الفردية داخل مادة متعددة البلورات، مما يسمح بالوصف الكمي للمادة العيانية. ^[10] التعريف الأكثر شيوعًا للزوايا يرجع إلى Bunge ويتوافق مع اتفاقية ZXZ . من المهم ملاحظة، مع ذلك، أن التطبيق ينطوي عمومًا على تحويلات محورية لكميات الموتر، أي الدورات السلبية. وبالتالي فإن المصفوفة التي تتوافق مع زوايا أويلر Bunge هي المصفوفة المنقولة لتلك الموضحة في الجدول أعلاه. ^[11]

تُستخدم زوايا أويلر، والتي تُعرف عادةً باسم زوايا تايت-برايان، أيضًا في مجال الروبوتات للتحدث عن درجات حرية المعصم . كما تُستخدم أيضًا في التحكم الإلكتروني بالاستقرار بطريقة مماثلة.

تتطلب أنظمة التحكم في إطلاق النار تصحيح زوايا ترتيب المدفع (الاتجاه والارتفاع) للتعويض عن إمالة السطح (الميلان والانقلاب). في الأنظمة التقليدية، يقوم الجيروسكوب المستقر ذو المحور الدوراني الرأسي بتصحيح إمالة السطح، وتثبيت المشاهد البصرية وهوائي الرادار. ومع ذلك، تشير براميل المدفع في اتجاه مختلف عن خط الرؤية إلى الهدف، لتوقع حركة الهدف وسقوط المقذوف بسبب الجاذبية، من بين عوامل أخرى. تتدحرج حوامل المدفع وتميل مع مستوى السطح، ولكنها تتطلب أيضًا التثبيت. تتضمن أوامر المدفع زوايا محسوبة من بيانات الجيروسكوب الرأسي، وتتضمن هذه الحسابات زوايا أويلر.

تُستخدم زوايا أويلر أيضًا على نطاق واسع في ميكانيكا الكم للزخم الزاوي. في ميكانيكا الكم، تعد الأوصاف الصريحة لتمثيلات SO(3) مهمة جدًا للحسابات، وقد تم إنجاز كل العمل تقريبًا باستخدام زوايا أويلر. في التاريخ المبكر لميكانيكا الكم، عندما كان لدى الفيزيائيين والكيميائيين رد فعل سلبي حاد تجاه أساليب النظرية الجماعية المجردة (تسمى Gruppenpest )، كان الاعتماد على زوايا أويلر ضروريًا أيضًا للعمل النظري الأساسي.

تحتوي العديد من أجهزة الحوسبة المحمولة على مقاييس تسارع يمكنها تحديد زوايا أويلر لهذه الأجهزة فيما يتعلق بقوة الجاذبية الأرضية. تُستخدم هذه المقاييس في تطبيقات مثل الألعاب ومحاكاة مستويات الفقاعات والمنظارات . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

تستخدمها مكتبات الرسوميات الحاسوبية مثل three.js لتوجيه الكاميرا

• عرض ثلاثي الأبعاد
• تمثيل المحور والزاوية
• التحويل بين الرباعيات وزوايا أويلر
• دورات دافنبورت المتسلسلة
• نظرية أويلر للدوران
• قفل جيمبال
• رباعية الأبعاد
• الرباعيات والدوران المكاني
• صيغة الدوران في الأبعاد الثلاثة
• نظام الإحداثيات الكروية

• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981), Angular Momentum in Quantum Physics , Reading, MA: Addison–Wesley , ISBN 978-0-201-13507-7
• جولدشتاين، هربرت (1980)، الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثانية)، ريدنج، ماساتشوستس: أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-02918-5
• جراي، أندرو (1918)، أطروحة في الجيروستاتيك والحركة الدورانية ، لندن: ماكميلان (نُشر عام 2007)، رقم ISBN 978-1-4212-5592-7
• روز، مي (1957)، النظرية الأولية للزخم الزاوي ، نيويورك، نيويورك: جون وايلي وأولاده (نُشر عام 1995)، رقم ISBN 978-0-486-68480-2
• سيمون، كيث (1971)، الميكانيكا ، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-07392-8
• لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1996)، الميكانيكا (الطبعة الثالثة)، أكسفورد: باتروورث-هاينمان، رقم ISBN 978-0-7506-2896-9

• "زوايا أويلر"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. “زوايا أويلر”. عالم الرياضيات .
• ديفيد إيبرلي. صيغ أويلر للزوايا، أدوات هندسية
• برنامج تعليمي تفاعلي حول زوايا أويلر متاح على https://www.mecademic.com/en/how-is-orientation-in-space-represented-with-euler-angles
• EulerAngles – تطبيق iOS لتصور الدورات الثلاث المرتبطة بزوايا أويلر بتقنية ثلاثية الأبعاد
• مكتبة التوجيه - "orilib"، مجموعة من الروتينات للتلاعب بالدوران/التوجيه، بما في ذلك أدوات خاصة لتوجيه البلورات
• أداة عبر الإنترنت لتحويل مصفوفات الدوران متوفرة في محول الدوران (التحويل العددي)
• أداة عبر الإنترنت لتحويل مصفوفات الدوران الرمزي (ميتة، ولكنها لا تزال متاحة من Wayback Machine ) محول الدوران الرمزي
• الدوران والانعكاس وتغيير الإطار: الموتر المتعامد في ميكانيكا الهندسة الحسابية، IOP Publishing
• زوايا أويلر، الرباعيات، ومصفوفات التحويل لتحليل مكوك الفضاء، وكالة ناسا