مصفوفة الدوران

في الجبر الخطي ، مصفوفة الدوران هي مصفوفة تحويل تستخدم لإجراء دوران في الفضاء الإقليدي . على سبيل المثال، باستخدام الاتفاقية أدناه، المصفوفة

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$

يدور النقاط في المستوى xy عكس اتجاه عقارب الساعة عبر زاوية θ حول أصل نظام إحداثيات ديكارتية ثنائية الأبعاد . لإجراء الدوران على نقطة مستوية ذات إحداثيات قياسية v = ( x , y ) ، يجب كتابتها كمتجه عمودي ، وضربها في المصفوفة R :

${\displaystyle R\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

إذا كانت x و y إحداثيات نقطة نهاية المتجه، حيث x هو جيب التمام و y هو جيب الزاوية، فإن المعادلات أعلاه تصبح صيغ زاوية المجموع المثلثية . في الواقع، يمكن رؤية مصفوفة الدوران كصيغة زاوية المجموع المثلثية في شكل مصفوفة. إحدى الطرق لفهم ذلك هي أن نقول إن لدينا متجهًا بزاوية 30 درجة من المحور x ، ونرغب في تدوير هذه الزاوية بمقدار 45 درجة أخرى. نحتاج ببساطة إلى حساب إحداثيات نقطة نهاية المتجه عند 75 درجة.

تنطبق الأمثلة في هذه المقالة على الدورات النشطة للمتجهات عكس اتجاه عقارب الساعة في نظام إحداثيات يميني ( y عكس اتجاه عقارب الساعة من x ) عن طريق الضرب المسبق ( R على اليسار ). إذا تم تغيير أي من هذه (مثل تدوير المحاور بدلاً من المتجهات، وهو تحويل سلبي )، فيجب استخدام معكوس مصفوفة المثال، والذي يتطابق مع منقولها .

نظرًا لأن ضرب المصفوفات ليس له تأثير على المتجه الصفري (إحداثيات الأصل)، فإن مصفوفات الدوران تصف الدورات حول الأصل. توفر مصفوفات الدوران وصفًا جبريًا لمثل هذه الدورات، وتُستخدم على نطاق واسع في العمليات الحسابية في الهندسة والفيزياء والرسومات الحاسوبية . في بعض الأدبيات، يتم تعميم مصطلح الدوران ليشمل الدورات غير السليمة ، والتي تتميز بمصفوفات متعامدة بمحدد −1 (بدلاً من +1). تجمع هذه الدورات بين الدورات السليمة والانعكاسات (التي تعكس الاتجاه ). في حالات أخرى، حيث لا يتم أخذ الانعكاسات في الاعتبار، يمكن إسقاط تسمية الدورة السليمة . يتم اتباع الاتفاقية الأخيرة في هذه المقالة.

مصفوفات الدوران هي مصفوفات مربعة ، بمدخلات حقيقية . وبشكل أكثر تحديدًا، يمكن وصفها بأنها مصفوفات متعامدة بمحدد 1  ؛ أي أن المصفوفة المربعة R هي مصفوفة دوران إذا وفقط إذا كانت R ^T = R ⁻¹ و det R = 1. مجموعة جميع المصفوفات المتعامدة ذات الحجم n والمحدد +1 هي تمثيل لمجموعة تُعرف باسم المجموعة المتعامدة الخاصة SO( n ) ، ومن الأمثلة عليها مجموعة الدوران SO(3) . مجموعة جميع المصفوفات المتعامدة ذات الحجم n والمحدد +1 أو −1 هي تمثيل للمجموعة المتعامدة ( العامة) O( n ) .

في البعدين، يكون لمصفوفة الدوران القياسية الشكل التالي:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$

يؤدي هذا إلى تدوير متجهات العمود عن طريق ضرب المصفوفة التالية ،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}$

وبالتالي، فإن الإحداثيات الجديدة ( x ′, y ′) لنقطة ( x , y ) بعد الدوران هي

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.}$

على سبيل المثال، عندما يكون المتجه

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$

يتم تدويره بزاوية θ ، وإحداثياته ​​الجديدة هي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},}$

وعندما يكون المتجه

${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}}$

يتم تدويره بزاوية θ ، وإحداثياته ​​الجديدة هي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$

يكون اتجاه دوران المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة إذا كانت θ موجبة (مثل 90 درجة)، وفي اتجاه عقارب الساعة إذا كانت θ سالبة (مثل −90 درجة) بالنسبة لـ . وبالتالي، يتم إيجاد مصفوفة الدوران في اتجاه عقارب الساعة على النحو التالي ${\displaystyle R(\theta )}$

${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$

الحالة ثنائية الأبعاد هي الحالة الوحيدة غير التافهة (أي ليست أحادية البعد) حيث تكون مجموعة مصفوفات الدوران تبديلية، بحيث لا يهم الترتيب الذي يتم به إجراء دورات متعددة. تستخدم اتفاقية بديلة محاور دوارة، ^[1] وتمثل المصفوفات أعلاه أيضًا دوران المحاور في اتجاه عقارب الساعة من خلال زاوية θ .

إذا تم استخدام نظام إحداثيات ديكارتية أيمن قياسي ، مع توجيه المحور x إلى اليمين وتوجيه المحور y إلى الأعلى، فإن الدوران R ( θ ) يكون عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا تم استخدام نظام إحداثيات ديكارتية أيسر، مع توجيه المحور x إلى اليمين وتوجيه المحور y إلى الأسفل، فإن الدوران R ( θ ) يكون في اتجاه عقارب الساعة. نادرًا ما تُستخدم مثل هذه التوجهات غير القياسية في الرياضيات ولكنها شائعة في رسومات الكمبيوتر ثنائية الأبعاد ، والتي غالبًا ما يكون الأصل في الزاوية اليسرى العلوية والمحور y إلى أسفل الشاشة أو الصفحة. ^[2]

انظر أدناه للاطلاع على اتفاقيات بديلة أخرى قد تغير معنى الدوران الناتج عن مصفوفة الدوران.

المصفوفات مفيدة بشكل خاص

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$

للدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية 90 درجة، و180 درجة، و270 درجة.

منذ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\ =-I,}$

مصفوفات الشكل

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}}$

تشكل حلقة متماثلة مع مجال الأعداد المركبة ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$ . تحت هذا التماثل، تتوافق مصفوفات الدوران مع دائرة الأعداد المركبة الوحدوية ، الأعداد المركبة ذات معامل 1 .

إذا تم تحديد أحد من خلال التماثل الخطي فإن عمل مصفوفة من الشكل أعلاه على متجهات يتوافق مع الضرب في العدد المركب x + iy ، والدوران يتوافق مع الضرب في الأعداد المركبة ذات معامل 1 . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a+ib,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

كما يمكن كتابة كل مصفوفة دوران

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}},}$

المراسلات المذكورة أعلاه تربط مثل هذه المصفوفة بالعدد المركب

${\displaystyle \cos t+i\sin t=e^{it}}$

(هذه المساواة الأخيرة هي صيغة أويلر ).

الدوران الأساسي ثلاثي الأبعاد (يُسمى أيضًا الدوران العنصري) هو دوران حول أحد محاور نظام الإحداثيات. تقوم مصفوفات الدوران الأساسية الثلاثة التالية بتدوير المتجهات بزاوية θ حول المحور x أو y أو z ، في ثلاثة أبعاد، باستخدام قاعدة اليد اليمنى - التي تشفر إشاراتها المتبادلة. لاحظ أن قاعدة اليد اليمنى تعمل فقط عند الضرب . (يمكن أن تمثل نفس المصفوفات أيضًا دورانًا للمحاور في اتجاه عقارب الساعة. ^{[nb 1]} ) ${\displaystyle R\cdot {\vec {x}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}$

بالنسبة لمتجهات العمود ، تظهر كل من دورات المتجه الأساسية هذه عكس اتجاه عقارب الساعة عندما يشير المحور الذي تحدث حوله نحو المراقب، ويكون نظام الإحداثيات منحرفًا إلى اليمين، وتكون الزاوية θ موجبة. على سبيل المثال، يدور R _z نحو المحور y ، وهو متجه محاذٍ للمحور x ، كما يمكن التحقق منه بسهولة من خلال العمل باستخدام R _z على المتجه (1,0,0) :

${\displaystyle R_{z}(90^{\circ }){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos 90^{\circ }&-\sin 90^{\circ }&0\\\sin 90^{\circ }&\quad \cos 90^{\circ }&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}}$

وهذا يشبه الدوران الناتج عن مصفوفة الدوران ثنائية الأبعاد المذكورة أعلاه. انظر أدناه للاتفاقيات البديلة التي قد تعكس ظاهريًا أو فعليًا معنى الدوران الناتج عن هذه المصفوفات.

يمكن الحصول على مصفوفات دوران ثلاثية الأبعاد أخرى من هذه المصفوفات الثلاث باستخدام ضرب المصفوفات . على سبيل المثال، حاصل الضرب

${\displaystyle {\begin{aligned}R=R_{z}(\alpha )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\gamma )&={\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \gamma &-\sin \gamma \\0&\sin \gamma &\cos \gamma \\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

يمثل دورانًا تكون زوايا الانحراف والانحدار والانقلاب فيه هي α و β و γ على التوالي. وبشكل أكثر رسمية، فهو دوران جوهري تكون زوايا تيت-برايان فيه هي α و β و γ حول المحاور z و y و x على التوالي. وبالمثل، فإن حاصل ضرب

${\displaystyle {\begin{aligned}\\R=R_{z}(\gamma )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\alpha )&={\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\cos \beta \sin \gamma &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma \\-\sin \beta &\sin \alpha \cos \beta &\cos \alpha \cos \beta \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

يمثل دورانًا خارجيًا تكون زوايا أويلر (غير الصحيحة) فيه هي α و β و γ حول المحاور x و y و z .

تنتج هذه المصفوفات التأثير المطلوب فقط إذا تم استخدامها لضرب متجهات العمود مسبقًا ، و(نظرًا لأن ضرب المصفوفات بشكل عام ليس تبديليًا ) فقط إذا تم تطبيقها بالترتيب المحدد (انظر الغموض لمزيد من التفاصيل). ترتيب عمليات الدوران هو من اليمين إلى اليسار؛ المصفوفة المجاورة لمتجه العمود هي أول ما يتم تطبيقه، ثم المصفوفة الموجودة على اليسار. ^[3]

يتم تعريف كل دوران في ثلاثة أبعاد بواسطة محوره ( المتجه على طول هذا المحور لا يتغير بواسطة الدوران)، وزاويته - مقدار الدوران حول هذا المحور ( نظرية أويلر للدوران ).

توجد عدة طرق لحساب المحور والزاوية من مصفوفة الدوران (انظر أيضًا تمثيل المحور والزاوية ). هنا، نصف فقط الطريقة القائمة على حساب المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لمصفوفة الدوران. ومن الممكن أيضًا استخدام أثر مصفوفة الدوران.

بالنظر إلى مصفوفة دوران 3 × 3 R ، يجب أن يفي المتجه u الموازي لمحور الدوران

${\displaystyle R\mathbf {u} =\mathbf {u} ,}$

نظرًا لأن دوران u حول محور الدوران يجب أن ينتج عنه u . يمكن حل المعادلة أعلاه لـ u والتي تكون فريدة حتى عامل قياسي ما لم يكن R = I .

علاوة على ذلك، يمكن إعادة كتابة المعادلة

${\displaystyle R\mathbf {u} =I\mathbf {u} \implies \left(R-I\right)\mathbf {u} =0,}$

الذي يوضح أن u تقع في الفضاء الصفري لـ R − I.

عند النظر إلى الأمر بطريقة أخرى، فإن u هو متجه ذاتي لـ R يتوافق مع القيمة الذاتية λ = 1. يجب أن تحتوي كل مصفوفة دوران على هذه القيمة الذاتية، وتكون القيمتان الذاتيتان الأخريان مترافقتين معقدتين لبعضهما البعض. ويترتب على ذلك أن مصفوفة الدوران العامة في ثلاثة أبعاد لها، حتى ثابت مضاعف، متجه ذاتي حقيقي واحد فقط.

إحدى الطرق لتحديد محور الدوران هي إظهار أن:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=R^{\mathsf {T}}0+0\\&=R^{\mathsf {T}}\left(R-I\right)\mathbf {u} +\left(R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(I-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

نظرًا لأن ( R − R ^T ) هي مصفوفة مائلة متناظرة ، فيمكننا اختيار u بحيث

${\displaystyle [\mathbf {u} ]_{\times }=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right).}$

يصبح حاصل ضرب المصفوفة بالمتجه حاصل ضرب متبادل للمتجه مع نفسه، مما يضمن أن النتيجة تساوي صفرًا:

${\displaystyle \left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} =[\mathbf {u} ]_{\times }\mathbf {u} =\mathbf {u} \times \mathbf {u} =0\,}$

لذلك، إذا

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}},}$

ثم

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}h-f\\c-g\\d-b\\\end{bmatrix}}.}$

مقدار u المحسوب بهذه الطريقة هو ‖ u ‖ = 2 sin θ ، حيث θ هي زاوية الدوران.

لا يعمل هذا إذا كانت R متماثلة. أعلاه، إذا كانت R − R ^T تساوي صفرًا، فإن جميع الخطوات اللاحقة تكون غير صالحة. في هذه الحالة، من الضروري تحويل R إلى قطري والعثور على المتجه الذاتي المقابل لقيمة ذاتية تساوي 1.

لإيجاد زاوية الدوران، بمجرد معرفة محور الدوران، حدد متجه v عموديًا على المحور. عندها تكون زاوية الدوران هي الزاوية بين v و R v .

ومع ذلك، هناك طريقة أكثر مباشرة تتمثل في حساب الأثر ببساطة : مجموع العناصر القطرية لمصفوفة الدوران. يجب توخي الحذر عند اختيار العلامة الصحيحة للزاوية θ لتتناسب مع المحور المختار:

${\displaystyle \operatorname {tr} (R)=1+2\cos \theta ,}$

ومن ثم فإن القيمة المطلقة للزاوية هي

${\displaystyle |\theta |=\arccos \left({\frac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\right).}$

بالنسبة لمحور الدوران ، يمكنك الحصول على الزاوية الصحيحة ^[4] من ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\cos \theta &=&{\dfrac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\\\sin \theta &=&-{\dfrac {\operatorname {tr} (K_{n}R)}{2}}\end{matrix}}\right.}$

أين

${\displaystyle K_{n}={\begin{bmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\\\end{bmatrix}}}$

مصفوفة الدوران الصحيح R بزاوية θ حول المحور u = ( u _x , u _y , u _z ) ، متجه وحدة مع u²
_×+ أنت²
_سنة+ أنت²
_ز= 1 ، يتم إعطاؤه بواسطة: ^{[5] [6] [7] [8]}

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)-u_{z}\sin \theta &u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{y}\sin \theta \\u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)+u_{z}\sin \theta &u_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{x}\sin \theta \\u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{y}\sin \theta &u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{x}\sin \theta &u_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

يمكن العثور على اشتقاق هذه المصفوفة من المبادئ الأولى في القسم 9.2 هنا. ^[9] الفكرة الأساسية لاستنتاج هذه المصفوفة هي تقسيم المشكلة إلى بضع خطوات بسيطة معروفة.

1. أولاً قم بتدوير المحور المحدد والنقطة بحيث يقع المحور في أحد مستويات الإحداثيات ( xy أو yz أو zx )
2. ثم قم بتدوير المحور المحدد والنقطة بحيث يتم محاذاة المحور مع أحد محوري الإحداثيات لمستوى الإحداثيات المعين ( x أو y أو z )
3. استخدم إحدى مصفوفات الدوران الأساسية لتدوير النقطة اعتمادًا على المحور الإحداثي الذي يتم محاذاة محور الدوران معه.
4. قم بتدوير زوج المحور والنقطة عكسيًا بحيث يصل إلى التكوين النهائي كما كان في الخطوة 2 (التراجع عن الخطوة 2)
5. قم بتدوير زوج المحور والنقطة للخلف كما تم في الخطوة 1 (التراجع عن الخطوة 1)

يمكن كتابة هذا بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي ^[10]

${\displaystyle R=(\cos \theta )\,I+(\sin \theta )\,[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta )\,(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ),}$

حيث [ u ] _× هي مصفوفة الضرب المتجهي لـ u ؛ والتعبير u ⊗ u هو الضرب الخارجي ، و I هي مصفوفة الهوية . بدلاً من ذلك، تكون مدخلات المصفوفة هي:

${\displaystyle R_{jk}={\begin{cases}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\left(2u_{j}^{2}-1\right),\quad &{\text{if }}j=k\\2u_{j}u_{k}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\varepsilon _{jkl}u_{l}\sin \theta ,\quad &{\text{if }}j\neq k\end{cases}}}$

حيث ε _jkl هو رمز Levi-Civita مع ε ₁₂₃ = 1. هذا هو شكل مصفوفة لصيغة دوران رودريجيز (أو ما يعادلها، صيغة أويلر-رودريجيز ذات المعلمات المختلفة ) مع ^{[nb 2]}

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}&u_{y}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{z}&u_{y}u_{z}&u_{z}^{2}\end{bmatrix}},\qquad [\mathbf {u} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-u_{z}&u_{y}\\[3pt]u_{z}&0&-u_{x}\\[3pt]-u_{y}&u_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

في دوران المتجه x حول المحور u بزاوية θ يمكن كتابة ذلك على النحو التالي: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {x} )+\cos \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {u} +\sin \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )}$

أو ما يعادله:

${\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {x} \cos(\theta )+\mathbf {u} (\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )(1-\cos(\theta ))-\mathbf {x} \times \mathbf {u} \sin {\theta }}$

يمكن أيضًا كتابة هذا في صيغة الموتر على النحو التالي: ^[11]

${\displaystyle (R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} )_{i}=(R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}{\mathbf {x} }_{j}\quad {\text{with}}\quad (R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}=\delta _{ij}\cos(\theta )+\mathbf {u} _{i}\mathbf {u} _{j}(1-\cos(\theta ))-\sin {\theta }\varepsilon _{ijk}\mathbf {u} _{k}}$

إذا كانت المساحة ثلاثية الأبعاد يمينية و θ > 0 ، فسيكون هذا الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة عندما يشير u نحو المراقب ( قاعدة اليد اليمنى ). صراحةً، مع وجود أساس متعامد أيمن، ${\displaystyle ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},\mathbf {u} )}$

${\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\alpha }}=\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\beta }}=-\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {u} =\mathbf {u} .}$

لاحظ الاختلافات الظاهرة المذهلة مع صيغة لاي الجبرية المكافئة أدناه.

لأي مصفوفة دوران ذات أبعاد n R تعمل على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$(الدوران عبارة عن مصفوفة متعامدة )

ومن ثم يترتب على ذلك:

${\displaystyle \det R=\pm 1}$

يُطلق على الدوران اسم الدوران الصحيح إذا كان det R = 1 ، وغير الصحيح (أو الانعكاس الدوراني) إذا كان det R = -1 . بالنسبة للأبعاد الزوجية n = 2 k ، تحدث القيم الذاتية n λ للدوران الصحيح كأزواج من المترافقات المركبة التي هي جذور الوحدة: λ = e ^{± iθ _j} لـ j = 1، ...، k ، وهو حقيقي فقط لـ λ = ±1 . لذلك، قد لا تكون هناك متجهات ثابتة بالدوران ( λ = 1 )، وبالتالي لا يوجد محور للدوران. تحدث أي متجهات ذاتية ثابتة في أزواج، ومحور الدوران هو فضاء فرعي ذو أبعاد زوجية.

بالنسبة للأبعاد الفردية n = 2 k + 1 ، فإن الدوران الصحيح R سيكون له عدد فردي من القيم الذاتية، مع وجود λ = 1 على الأقل وسيكون محور الدوران فضاءً فرعيًا فردي الأبعاد. الإثبات:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \left(R-I\right)&=\det \left(R^{\mathsf {T}}\right)\det \left(R-I\right)=\det \left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}\right)=\det \left(I-R^{\mathsf {T}}\right)\\&=\det(I-R)=\left(-1\right)^{n}\det \left(R-I\right)=-\det \left(R-I\right).\end{aligned}}}$

هنا I هي مصفوفة الهوية، ونستخدم det( R ^T ) = det( R ) = 1 ، وكذلك (−1) ⁿ = −1 لأن n فردي. لذلك، det( R – I ) = 0 ، مما يعني وجود متجه غير صفري v مع ( R – I ) v = 0 ، أي R v = v ، متجه ذاتي ثابت. قد يكون هناك أيضًا أزواج من المتجهات الذاتية الثابتة في الفضاء الفرعي ذي الأبعاد الزوجية المتعامد على v ، وبالتالي فإن البعد الكلي للمتجهات الذاتية الثابتة فردي.

على سبيل المثال، في الفضاء ثنائي الأبعاد n = 2 ، يكون للدوران بزاوية θ قيم ذاتية λ = e ^iθ و λ = e ^{− iθ} ، لذا لا يوجد محور دوران إلا عندما يكون θ = 0 ، وهي حالة الدوران الصفري. في الفضاء ثلاثي الأبعاد n = 3 ، يكون محور الدوران الصحيح غير الصفري دائمًا خطًا فريدًا، ويكون للدوران حول هذا المحور بزاوية θ قيم ذاتية λ = 1 و e ^iθ و e ^{− iθ} . في الفضاء رباعي الأبعاد n = 4 ، تكون القيم الذاتية الأربع من النموذج e ^{± iθ} و e ^{± iφ} . ويكون للدوران الصفري θ = φ = 0 . حالة θ = 0، φ ≠ 0 تسمى دورانًا بسيطًا ، حيث تشكل قيمتان ذاتيتان وحدويتان مستوى محوريًا ، ودوران ثنائي الأبعاد متعامد على مستوى المحور. بخلاف ذلك، لا يوجد مستوى محوري. تسمى حالة θ = φ دورانًا متساوي الميل ، حيث تتكرر القيم الذاتية e ^{± iθ} مرتين، لذلك يدور كل متجه بزاوية θ .

إن أثر مصفوفة الدوران يساوي مجموع قيمها الذاتية. بالنسبة إلى n = 2 ، فإن الدوران بزاوية θ له أثر 2 cos θ . بالنسبة إلى n = 3 ، فإن الدوران حول أي محور بزاوية θ له أثر 1 + 2 cos θ . بالنسبة إلى n = 4 ، والأثر هو 2(cos θ + cos φ ) ، والذي يصبح 4 cos θ للدوران المتساوي الميل.

في الهندسة الإقليدية ، الدوران هو مثال على التماثل ، وهو تحويل يحرك النقاط دون تغيير المسافات بينها. تتميز الدورات عن التماثلات الأخرى بخاصيتين إضافيتين: فهي تترك (على الأقل) نقطة واحدة ثابتة، وتترك " اليد " دون تغيير. على النقيض من ذلك، فإن الانتقال يحرك كل نقطة، ويتبادل الانعكاس الترتيب الأيسر والأيمن، ويقوم انعكاس الانزلاق بكلا الأمرين، ويجمع الدوران غير السليم بين التغيير في اليد والدوران الطبيعي.

إذا تم اعتبار نقطة ثابتة كأصل لنظام إحداثيات ديكارتية ، فيمكن إعطاء إحداثيات لكل نقطة كإزاحة من الأصل. وبالتالي، يمكن للمرء أن يعمل مع فضاء متجه الإزاحات بدلاً من النقاط نفسها. افترض الآن أن ( p ₁ ، ...، p _n ) هي إحداثيات المتجه p من الأصل O إلى النقطة P. اختر أساسًا متعامدًا لإحداثياتنا؛ ثم تكون المسافة التربيعية إلى P ، بواسطة فيثاغورس ، هي

${\displaystyle d^{2}(O,P)=\|\mathbf {p} \|^{2}=\sum _{r=1}^{n}p_{r}^{2}}$

والتي يمكن حسابها باستخدام عملية ضرب المصفوفة

${\displaystyle \|\mathbf {p} \|^{2}={\begin{bmatrix}p_{1}\cdots p_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} .}$

إن الدوران الهندسي يحول الخطوط إلى خطوط، ويحافظ على نسب المسافات بين النقاط. ومن هذه الخصائص يمكن إثبات أن الدوران هو تحويل خطي للمتجهات، وبالتالي يمكن كتابته في شكل مصفوفة ، Q p . إن حقيقة أن الدوران لا يحافظ على النسب فحسب، بل يحافظ على المسافات نفسها، يتم التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} =(Q\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}(Q\mathbf {p} ),}$

أو

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {p} &{}=\left(\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}Q^{\mathsf {T}}\right)(Q\mathbf {p} )\\&{}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}Q\right)\mathbf {p} .\end{aligned}}}$

نظرًا لأن هذه المعادلة تنطبق على جميع المتجهات، p ، نستنتج أن كل مصفوفة دوران، Q ، تلبي شرط التعامد ،

${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=I.}$

تحافظ الدورات على اليد اليمنى لأنها لا تستطيع تغيير ترتيب المحاور، مما يعني شرط المصفوفة الخاص ،

${\displaystyle \det Q=+1.}$

وبنفس القدر من الأهمية، يمكن إثبات أن أي مصفوفة تلبي هذين الشرطين تعمل بمثابة دوران.

معكوس مصفوفة الدوران هو منقولها، وهو أيضًا مصفوفة دوران:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)&=QQ^{\mathsf {T}}=I\\\det Q^{\mathsf {T}}&=\det Q=+1.\end{aligned}}}$

حاصل ضرب مصفوفتي دوران هو مصفوفة دوران:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(Q_{1}Q_{2}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}Q_{2}\right)&=Q_{2}^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}^{\mathsf {T}}Q_{1}\right)Q_{2}=I\\\det \left(Q_{1}Q_{2}\right)&=\left(\det Q_{1}\right)\left(\det Q_{2}\right)=+1.\end{aligned}}}$

بالنسبة لـ n > 2 ، فإن عملية ضرب n × n من مصفوفات الدوران لا تكون تبادلية بشكل عام .

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}&Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\\Q_{1}Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}&Q_{2}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

مع ملاحظة أن أي مصفوفة هوية هي مصفوفة دوران، وأن ضرب المصفوفات هو جمعي ، يمكننا تلخيص كل هذه الخصائص بالقول إن مصفوفات الدوران n × n تشكل مجموعة ، والتي بالنسبة لـ n > 2 هي غير أبيلية ، تسمى مجموعة متعامدة خاصة ، ويشار إليها بـ SO( n ) أو SO( n , R ) أو SO _n أو SO _n ( R ) ، مجموعة مصفوفات الدوران n × n متماثلة لمجموعة الدورات في فضاء ذي أبعاد n . وهذا يعني أن ضرب مصفوفات الدوران يتوافق مع تكوين الدورات، المطبق بالترتيب من اليسار إلى اليمين لمصفوفاتها المقابلة.

قد يكون تفسير مصفوفة الدوران عرضة للعديد من الغموض.

في معظم الحالات يكون تأثير الغموض معادلاً لتأثير عكس مصفوفة الدوران ( بالنسبة لهذه المصفوفات المتعامدة يكون النقل المكافئ للمصفوفة ).

تحويل الاسم المستعار أو الذريعة (سلبي أو نشط)

قد تتغير إحداثيات النقطة P إما بسبب دوران نظام الإحداثيات CS ( اسم مستعار )، أو دوران النقطة P ( حجة ). في الحالة الأخيرة، ينتج عن دوران P أيضًا دوران المتجه v الذي يمثل P. بعبارة أخرى، إما أن يكون P و v ثابتين أثناء دوران CS (اسم مستعار)، أو أن يكون CS ثابتًا أثناء دوران P و v (حجة). يمكن وصف أي دوران معين بشكل شرعي بكلتا الطريقتين، حيث تدور المتجهات وأنظمة الإحداثيات في الواقع بالنسبة لبعضها البعض، حول نفس المحور ولكن في اتجاهين متعاكسين. طوال هذه المقالة، اخترنا نهج الحجة لوصف الدورات. على سبيل المثال،

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

يمثل دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة لمتجه v بزاوية θ ، أو دورانًا لـ CS بنفس الزاوية ولكن في الاتجاه المعاكس (أي في اتجاه عقارب الساعة). تُعرف تحويلات Alibi وalias أيضًا بالتحويلات النشطة والسلبية ، على التوالي.

ما قبل الضرب أو ما بعد الضرب

يمكن تمثيل نفس النقطة P إما بواسطة متجه عمودي v أو متجه صف w . يمكن لمصفوفات الدوران إما أن تضرب متجهات العمود مسبقًا ( R v ) أو متجهات الصفوف بعد الضرب ( w R ). ومع ذلك، ينتج R v دورانًا في الاتجاه المعاكس بالنسبة إلى w R. في جميع أنحاء هذه المقالة، يتم وصف الدورات الناتجة عن متجهات العمود عن طريق الضرب المسبق. للحصول على نفس الدوران تمامًا (أي نفس الإحداثيات النهائية للنقطة P )، يجب ضرب متجه الصف المكافئ بعد النقل لـ R (أي w R ^T ).

إحداثيات يمينية أو يسارية

يمكن تمثيل المصفوفة والمتجه بالنسبة لنظام إحداثيات أيمن أو أيسر. في جميع أنحاء المقالة، افترضنا اتجاهًا أيمنًا، ما لم يُنص على خلاف ذلك.

المتجهات أو الأشكال

تحتوي مساحة المتجه على مساحة مزدوجة من الأشكال الخطية ، ويمكن للمصفوفة أن تعمل على المتجهات أو الأشكال.

ضع في اعتبارك مصفوفة الدوران 3 × 3

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.80\\-0.80&0.60&0.00\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}.}$

إذا كان Q يعمل في اتجاه معين، v ، كمقياس بحت بعامل λ ، فعندئذٍ يكون لدينا

${\displaystyle Q\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$

لهذا السبب.

${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda I-Q)\mathbf {v} .}$

وبالتالي فإن λ هو جذر متعدد الحدود المميز لـ Q ،

${\displaystyle {\begin{aligned}0&{}=\det(\lambda I-Q)\\&{}=\lambda ^{3}-{\tfrac {39}{25}}\lambda ^{2}+{\tfrac {39}{25}}\lambda -1\\&{}=(\lambda -1)\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {14}{25}}\lambda +1\right).\end{aligned}}}$

هناك ميزتان جديرتان بالملاحظة. أولاً، أحد الجذور (أو القيم الذاتية ) هو 1، مما يخبرنا أن بعض الاتجاهات لا تتأثر بالمصفوفة. بالنسبة للدوران في ثلاثة أبعاد، يكون هذا هو محور الدوران (مفهوم ليس له معنى في أي بُعد آخر). ثانيًا، الجذران الآخران عبارة عن زوج من المرافقات المركبة، حاصل ضربهما هو 1 (الحد الثابت للمعادلة التربيعية)، ومجموعهما هو 2 cos θ (الحد الخطي المنفي). هذا التحليل إلى عوامل مهم لمصفوفات الدوران 3 × 3 لأن نفس الشيء يحدث لجميعها. (كحالات خاصة، بالنسبة للدوران الصفري، يكون كل من "المرافقات المركبة" 1، وبالنسبة للدوران بزاوية 180 درجة يكون كل منهما −1.) علاوة على ذلك، ينطبق تحليل مماثل إلى عوامل على أي مصفوفة دوران n × n . إذا كان البعد، n ، فرديًا، فسيكون هناك قيمة ذاتية "متدلية" 1؛ ولأي بُعد، يتم تقسيم بقية عوامل كثيرة الحدود إلى حدود تربيعية مثل تلك الموجودة هنا (مع ملاحظة الحالتين الخاصتين). نضمن أن كثيرة الحدود المميزة ستكون لها درجة n وبالتالي قيمة ذاتية n . ونظرًا لأن مصفوفة الدوران تتبادل مع منقولها، فهي مصفوفة عادية ، وبالتالي يمكن تحويلها إلى قطري. نستنتج أن كل مصفوفة دوران، عند التعبير عنها في نظام إحداثيات مناسب، تنقسم إلى دورات مستقلة من فضاءات فرعية ثنائية الأبعاد، على الأكثر ⁠ن/2منهم .

مجموع الإدخالات على القطر الرئيسي للمصفوفة يسمى التتبع ؛ ولا يتغير إذا أعدنا توجيه نظام الإحداثيات، ويساوي دائمًا مجموع القيم الذاتية. وهذا له تأثير ملائم على مصفوفات الدوران 2 × 2 و 3 × 3 حيث يكشف التتبع عن زاوية الدوران ، θ ، في الفضاء ثنائي الأبعاد (أو الفضاء الفرعي). بالنسبة لمصفوفة 2 × 2 ، يكون التتبع 2 cos θ ، وبالنسبة لمصفوفة 3 × 3 يكون 1 + 2 cos θ . في الحالة ثلاثية الأبعاد، يتكون الفضاء الفرعي من جميع المتجهات العمودية على محور الدوران (الاتجاه الثابت، بقيمة ذاتية 1). وبالتالي يمكننا استخراج محور دوران وزاوية من أي مصفوفة دوران 3 × 3 ، ويحدد هذا الدوران تمامًا.

إن القيود المفروضة على مصفوفة الدوران 2 × 2 تعني أنه يجب أن يكون لها الشكل

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}$

مع a ² + b ² = 1. لذلك، يمكننا أن نضع a = cos θ و b = sin θ ، لبعض الزوايا θ . لحل θ، لا يكفي النظر إلى a وحدها أو b وحدها؛ يجب أن نأخذ كليهما في الاعتبار لوضع الزاوية في الربع الصحيح ، باستخدام دالة ظل عكسي ذات حجتين .

الآن فكر في العمود الأول من مصفوفة الدوران 3 × 3 ،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}.}$

على الرغم من أن a ² + b ² ربما لن تساوي 1، ولكن بعض القيم r ² < 1 ، يمكننا استخدام اختلاف طفيف في الحساب السابق لإيجاد ما يسمى دوران Givens الذي يحول العمود إلى

${\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\0\\c\end{bmatrix}},}$

إعادة تعيين b . وهذا يعمل على الفضاء الجزئي الممتد بواسطة المحورين x و y . ويمكننا بعد ذلك تكرار العملية للفضاء الجزئي xz إلى الصفر c . وبالعمل على المصفوفة الكاملة، تنتج هاتان الدورتان الشكل التخطيطي

${\displaystyle Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\ast &\ast \\0&\ast &\ast \end{bmatrix}}.}$

عند تحويل الانتباه إلى العمود الثاني، يمكن الآن لدوران Givens للفضاء الفرعي yz أن يضبط قيمة z على الصفر . وهذا يجعل المصفوفة الكاملة في شكل

${\displaystyle Q_{yz}Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$

وهي عبارة عن مصفوفة هوية. وبالتالي، قمنا بتحليل Q على النحو التالي

${\displaystyle Q=Q_{xy}^{-1}Q_{xz}^{-1}Q_{yz}^{-1}.}$

ستحتوي مصفوفة الدوران n × n على ( n − 1) + ( n − 2) + ⋯ + 2 + 1 ، أو

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {1}{2}}n(n-1)}$

الإدخالات الموجودة أسفل القطر إلى الصفر. يمكننا ضبطها إلى الصفر من خلال توسيع نفس فكرة التنقل عبر الأعمدة بسلسلة من الدورات في تسلسل ثابت من المستويات. نستنتج أن مجموعة مصفوفات الدوران n × n ، والتي تحتوي كل منها على n ² إدخال، يمكن تحديد معلماتها بواسطة ⁠1/2⁠ n ( n − 1) زوايا.

xzx و	إكس زي واي	xyx و	xyz و
يكسي و	yxz و	يزى و	yzx w
زيز و	زيكس و	زكسز و	زكسي و
xzx ب	yzx ب	xyx ب	زيكس ب
يكسي ب	زكسي ب	يزي ب	إكس زي ب
زيز ب	xyz ب	زكسز ب	yxz ب

في الأبعاد الثلاثة، يعيد هذا صياغة ملاحظة أويلر في شكل مصفوفة ، لذلك يطلق علماء الرياضيات على التسلسل المنظم للزوايا الثلاث زوايا أويلر . ومع ذلك، فإن الموقف أكثر تعقيدًا إلى حد ما مما أشرنا إليه حتى الآن. على الرغم من البعد الصغير، لدينا في الواقع حرية كبيرة في تسلسل أزواج المحاور التي نستخدمها؛ ولدينا أيضًا بعض الحرية في اختيار الزوايا. وبالتالي، نجد العديد من الاتفاقيات المختلفة المستخدمة عند تحديد معلمات الدورات ثلاثية الأبعاد للفيزياء، أو الطب، أو الكيمياء، أو التخصصات الأخرى. عندما ندرج خيار محاور العالم أو محاور الجسم، يصبح من الممكن وجود 24 تسلسلًا مختلفًا. وبينما تطلق بعض التخصصات على أي تسلسل زوايا أويلر، فإن البعض الآخر يعطي أسماء مختلفة (كاردانو، وتايت-برايان، والتدحرج-الميل-الانحراف ) لتسلسلات مختلفة.

أحد أسباب العدد الكبير من الخيارات هو أنه، كما ذكرنا سابقًا، لا تتبادل الدورات في الأبعاد الثلاثة (وأعلى). إذا عكسنا تسلسلًا معينًا من الدورات، فسنحصل على نتيجة مختلفة. وهذا يعني أيضًا أنه لا يمكننا تكوين دورتين عن طريق إضافة زواياهما المقابلة. وبالتالي فإن زوايا أويلر ليست متجهات ، على الرغم من التشابه في المظهر كثلاثية من الأرقام.

مصفوفة دوران 3 × 3 مثل

${\displaystyle Q_{3\times 3}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}}}$

يقترح مصفوفة دوران 2 × 2 ،

${\displaystyle Q_{2\times 2}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$

مُضمن في الزاوية اليسرى العليا:

${\displaystyle Q_{3\times 3}=\left[{\begin{matrix}Q_{2\times 2}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matrix}}\right].}$

هذا ليس وهمًا؛ فليس هناك نسخة واحدة فقط، بل العديد من نسخ الدورانات ذات الأبعاد n التي تم العثور عليها داخل الدورانات ذات الأبعاد ( n + 1) ، كمجموعات فرعية . كل تضمين يترك اتجاهًا واحدًا ثابتًا، والذي في حالة المصفوفات 3 × 3 هو محور الدوران. على سبيل المثال، لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\mathbf {x} }(\theta )&={\begin{bmatrix}{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta &-\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {y} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}\\-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {z} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

تحديد المحور x والمحور y والمحور z على التوالي. لا يلزم أن يكون محور الدوران محور إحداثيات؛ إذا كان u = ( x , y , z ) متجه وحدة في الاتجاه المطلوب، إذن

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\mathbf {u} }(\theta )&={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\sin \theta +\left(I-\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)\cos \theta +\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}\left(1-x^{2}\right)c_{\theta }+x^{2}&-zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz\\zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&\left(1-y^{2}\right)c_{\theta }+y^{2}&-xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz\\-ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz&xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz&\left(1-z^{2}\right)c_{\theta }+z^{2}\end{bmatrix}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}x^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&xy(1-c_{\theta })-zs_{\theta }&xz(1-c_{\theta })+ys_{\theta }\\xy(1-c_{\theta })+zs_{\theta }&y^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&yz(1-c_{\theta })-xs_{\theta }\\xz(1-c_{\theta })-ys_{\theta }&yz(1-c_{\theta })+xs_{\theta }&z^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

حيث c _θ = cos θ , s _θ = sin θ , هو دوران بزاوية θ مع ترك المحور u ثابتًا.

سيكون الاتجاه في الفضاء ذي الأبعاد ( n + 1) متجهًا بمقدار الوحدة، والذي قد نعتبره نقطة على كرة معممة، S ⁿ . وبالتالي، من الطبيعي وصف مجموعة الدوران SO( n + 1) بأنها تجمع بين SO( n ) و S ⁿ . الصيغة المناسبة هي حزمة الألياف ،

${\displaystyle SO(n)\hookrightarrow SO(n+1)\to S^{n},}$

حيث لكل اتجاه في الفضاء الأساسي، S ⁿ ، الألياف فوقه في الفضاء الكلي، SO( n + 1) ، هي نسخة من فضاء الألياف، SO( n ) ، أي الدورات التي تحافظ على هذا الاتجاه ثابتًا.

وبالتالي، يمكننا بناء مصفوفة دوران n × n من خلال البدء بمصفوفة 2 × 2 ، وتوجيه محورها الثابت إلى S ² (الكرة العادية في الفضاء ثلاثي الأبعاد)، وتوجيه الدوران الناتج إلى S ³ ، وهكذا حتى S ^{n −1} . يمكن تحديد نقطة على S ⁿ باستخدام n رقم، لذا لدينا مرة أخرى ⁠1/2n ( n − 1) عدد لوصف أي مصفوفة دوران n × n .

في الواقع، يمكننا أن ننظر إلى تحلل الزاوية المتتالية، الذي ناقشناه سابقًا، على أنه يعكس هذه العملية. يؤدي تكوين n − 1 من دورات Givens إلى إحضار العمود (والصف) الأول إلى (1, 0, ..., 0) ، بحيث يكون باقي المصفوفة عبارة عن مصفوفة دوران ذات بعد أقل بمقدار واحد، مدمجة بحيث تترك (1, 0, ..., 0) ثابتة.

عندما لا تتضمن مصفوفة دوران n × n Q قيمة ذاتية −1، وبالتالي لا تكون أي من الدورات المستوية التي تتضمنها عبارة عن دورات 180 درجة، فإن Q + I هي مصفوفة قابلة للعكس . تناسب معظم مصفوفات الدوران هذا الوصف، ومن الممكن إظهار أن ( Q − I )( Q + I ) ⁻¹ هي مصفوفة متماثلة مائلة ، A. وبالتالي فإن A ^T = − A ؛ وبما أن القطر يساوي بالضرورة صفرًا، وبما أن المثلث العلوي يحدد المثلث السفلي، فإن A تحتوي على ⁠1/2⁠ n ( n − 1) أعداد مستقلة.

من المناسب أن I − A قابلة للعكس عندما تكون A متماثلة مائلة؛ وبالتالي يمكننا استعادة المصفوفة الأصلية باستخدام تحويل كايلي ،

${\displaystyle A\mapsto (I+A)(I-A)^{-1},}$

والذي يربط أي مصفوفة مائلة متماثلة A بمصفوفة دوران. في الواقع، وبصرف النظر عن الاستثناءات المذكورة، يمكننا إنتاج أي مصفوفة دوران بهذه الطريقة. وعلى الرغم من أنه في التطبيقات العملية لا يمكننا تجاهل الدورات بزاوية 180 درجة، فإن تحويل كايلي لا يزال أداة مفيدة محتملة، حيث يوفر معلمة لمعظم مصفوفات الدوران بدون دوال مثلثية.

في الأبعاد الثلاثة، على سبيل المثال، لدينا (كايلي 1846)

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\mapsto \\[3pt]\quad {\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\begin{bmatrix}1+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2xy-2z&2y+2xz\\2xy+2z&1-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2yz-2x\\2xz-2y&2x+2yz&1-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

إذا قمنا بتكثيف إدخالات الانحراف في متجه، ( x ، y ، z ) ، فإننا ننتج دورانًا بزاوية 90 درجة حول المحور x لـ (1، 0، 0)، وحول المحور y لـ (0، 1، 0)، وحول المحور z لـ (0، 0، 1). إن الدورات بزاوية 180 درجة بعيدة المنال؛ لأنه في الحد حيث x → ∞ ، تقترب ( x ، 0، 0) من دوران بزاوية 180 درجة حول المحور x ، وعلى نحو مماثل لاتجاهات أخرى.

بالنسبة للحالة ثنائية الأبعاد، يمكن تحليل مصفوفة الدوران إلى ثلاث مصفوفات قص (Paeth 1986):

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\\sin \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

يُعد هذا مفيدًا، على سبيل المثال، في الرسوميات الحاسوبية، نظرًا لأنه يمكن تنفيذ عمليات القص باستخدام تعليمات ضرب أقل من تدوير خريطة بتات بشكل مباشر. قد لا يكون هذا مهمًا على أجهزة الكمبيوتر الحديثة، ولكنه قد يكون ذا صلة بالمعالجات الدقيقة القديمة جدًا أو منخفضة الجودة.

يمكن أيضًا كتابة الدوران على هيئة قصتين وتدرج (Daubechies & Sweldens 1998):

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&0\\\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\sin \theta \cos \theta \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&{\frac {1}{\cos \theta }}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

فيما يلي بعض الحقائق الأساسية حول دور مجموعة جميع مصفوفات الدوران ذات البعد الثابت (هنا في الغالب 3) في الرياضيات وخاصة في الفيزياء حيث يكون التناظر الدوراني شرطًا لكل قانون أساسي حقيقي (بسبب افتراض خواص الفضاء )، وحيث يكون نفس التناظر، عندما يكون موجودًا، خاصية تبسيط للعديد من المشكلات ذات الطبيعة الأقل جوهرية. وتكثر الأمثلة في الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم . وتنطبق معرفة جزء الحلول المتعلق بهذا التناظر (مع المؤهلات) على جميع هذه المشكلات ويمكن استبعاده من مشكلة محددة في متناول اليد، وبالتالي تقليل تعقيدها. ومن الأمثلة الرئيسية - في الرياضيات والفيزياء - نظرية التوافقيات الكروية . ويتمثل دورها في نظرية المجموعة لمجموعات الدوران في كونها مساحة تمثيل للمجموعة بأكملها من التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة الدوران SO(3). لهذا الموضوع، انظر مجموعة الدوران SO(3) § التوافقيات الكروية .

يتم الرجوع إلى المقالات الرئيسية المدرجة في كل قسم فرعي لمزيد من التفاصيل.

تشكل مصفوفات الدوران n × n لكل n مجموعة ، وهي المجموعة المتعامدة الخاصة ، SO( n ) . يقترن هذا الهيكل الجبري بهيكل طوبولوجي موروث من بطريقة تجعل عمليات الضرب وأخذ العكس عبارة عن وظائف تحليلية لعناصر المصفوفة. وبالتالي فإن SO( n ) لكل n هي مجموعة لاي . وهي مضغوطة ومتصلة ، ولكنها ليست متصلة ببساطة . وهي أيضًا مجموعة شبه بسيطة ، في الواقع مجموعة بسيطة باستثناء SO(4). ^{[12] تكمن أهمية هذا في أن جميع} النظريات وجميع الآليات من نظرية المتشعبات التحليلية (المتشعبات التحليلية هي متشعبات ناعمة بشكل خاص ) تنطبق وأن نظرية التمثيل المتطورة جيدًا للمجموعات شبه البسيطة المضغوطة جاهزة للاستخدام. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$

جبر لاي so ( n ) لـ SO( n ) يعطى بواسطة

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)={\mathfrak {o}}(n)=\left\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X=-X^{\mathsf {T}}\right\},}$

وهي مساحة مصفوفات متماثلة ملتوية ذات بعد n ، انظر المجموعة الكلاسيكية ، حيث o ( n ) هي جبر لاي لـ O( n ) ، المجموعة المتعامدة . للإشارة، فإن الأساس الأكثر شيوعًا لـ so (3) هو

${\displaystyle L_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

ربط جبر لاي بمجموعة لاي هو الخريطة الأسية ، والتي يتم تعريفها باستخدام سلسلة الأسية للمصفوفة القياسية لـ e ^{A [13]} بالنسبة لأي مصفوفة متماثلة مائلة A ، فإن exp( A ) تكون دائمًا مصفوفة دوران. ^{[nb 3]}

من الأمثلة العملية المهمة حالة 3 × 3. في مجموعة الدوران SO(3) ، يتبين أنه من الممكن تحديد كل A ∈ so (3) باستخدام متجه أويلر ω = θ u ، حيث u = ( x ، y ، z ) هو متجه ذو قيمة وحدوية.

وفقًا لخصائص التعريف ، فإن u تقع في الفضاء الصفري لـ A. وبالتالي، فإن u تظل ثابتة من خلال exp( A ) وبالتالي فهي محور دوران. ${\displaystyle \mathbf {su} (2)\cong \mathbb {R} ^{3}}$

وفقًا لصيغة دوران رودريجيز على شكل مصفوفة ، نحصل على،

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&=\exp {\bigl (}\theta (\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ){\bigr )}\\&=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}\right)\\&=I+\sin \theta \ \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} +(1-\cos \theta )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} )^{2},\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.}$

هذه هي مصفوفة الدوران حول المحور u بزاوية θ . للحصول على التفاصيل الكاملة، راجع الخريطة الأسية SO(3) .

توفر صيغة BCH تعبيرًا صريحًا لـ Z = log( e ^X e ^Y ) من حيث التوسع المتسلسل للمبدلات المتداخلة لـ X و Y. [ ^14] يتكشف هذا التوسع العام على النحو التالي ^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}X,[X,Y]{\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}Y,[X,Y]{\bigr ]}+\cdots .}$

في حالة 3 × 3 ، يكون للتوسع اللانهائي العام شكل مضغوط، ^[15]

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

للحصول على معاملات دالة مثلثية مناسبة، مفصلة في صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف لـ SO(3) .

باعتبارها هوية جماعية، فإن ما سبق ينطبق على جميع التمثيلات المخلصة ، بما في ذلك التمثيل الثنائي (تمثيل الدوران)، وهو أبسط. وبالتالي فإن نفس الصيغة الصريحة تتبع بشكل مباشر من خلال مصفوفات باولي؛ راجع الاشتقاق 2 × 2 لـ SU(2) . بالنسبة للحالة العامة n × n ، يمكن للمرء استخدام المرجع ^[16]

إن مجموعة لي المكونة من n × n من مصفوفات الدوران، SO( n ) ، ليست متصلة ببساطة ، لذا تخبرنا نظرية لي أنها صورة متجانسة لمجموعة تغطية عالمية . غالبًا ما تكون مجموعة التغطية، والتي تسمى في هذه الحالة مجموعة الدوران التي يرمز لها بـ Spin( n ) ، أبسط وأكثر طبيعية للتعامل معها. ^[17]

في حالة الدورات المستوية، SO(2) هي دائرة طوبولوجيًا ، S ¹ . والمجموعة التي تغطيها عالميًا، Spin(2)، متماثلة مع الخط الحقيقي ، R ، تحت الجمع. ومتى ما تم استخدام زوايا ذات مقدار عشوائي، فإننا نستفيد من ملاءمة الغطاء العالمي. يتم إنتاج كل مصفوفة دوران 2 × 2 بواسطة عدد لا نهائي من الزوايا، مفصولة بمضاعفات عددية صحيحة لـ 2 π . وعلى نحو مماثل، فإن المجموعة الأساسية لـ SO(2) متماثلة مع الأعداد الصحيحة، Z .

في حالة الدورات المكانية، تكون SO(3) مكافئة طوبولوجيًا للفضاء الإسقاطي الحقيقي ثلاثي الأبعاد ، RP ³ . وتكون مجموعة التغطية الشاملة، Spin(3)، متماثلة مع الكرة ثلاثية الأبعاد ، S ³ . وتنتج كل مصفوفة دوران 3 × 3 بواسطة نقطتين متعاكستين على الكرة. وعلى نحو مماثل، تكون المجموعة الأساسية لـ SO(3) متماثلة مع المجموعة ثنائية العنصر، Z ₂ .

يمكننا أيضًا وصف Spin(3) بأنه متماثل مع رباعيات ذات معيار وحدة تحت الضرب، أو مع بعض المصفوفات الحقيقية 4 × 4 ، أو مع مصفوفات وحدوية خاصة معقدة 2 × 2 ، وهي SU(2). تُعطى الخرائط التغطية للحالة الأولى والأخيرة بواسطة

${\displaystyle \mathbb {H} \supset \{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\}\ni w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\mapsto {\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3),}$

و

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\ni {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3).}$

للحصول على شرح مفصل للغطاء SU(2) والغطاء الرباعي، راجع المجموعة الدورانية SO(3) .

تتشابه العديد من سمات هذه الحالات مع الأبعاد الأعلى. تكون جميع الأغطية ثنائية إلى واحدة، حيث SO( n ) ، n > 2 ، لها المجموعة الأساسية Z _2. والوضع الطبيعي لهذه المجموعات يقع ضمن جبر كليفورد . يتم إنتاج نوع واحد من عمل الدورات بواسطة نوع من "الساندويتش"، يشار إليه بـ qvq ^∗ . والأهم من ذلك في التطبيقات على الفيزياء، أن التمثيل الدوراني المقابل لجبر لاي يقع داخل جبر كليفورد. ويمكن رفعه إلى الأس بالطريقة المعتادة لإعطاء تمثيل بقيمة 2 ، والمعروف أيضًا باسم التمثيل الإسقاطي لمجموعة الدوران. هذه هي الحال مع SO(3) وSU(2)، حيث يمكن اعتبار التمثيل بقيمة 2 "معكوسًا" لخريطة التغطية. ومن خلال خصائص خرائط التغطية، يمكن اختيار المعكوس واحدًا لواحد كقسم محلي، ولكن ليس عالميًا.

إن المصفوفات في جبر لاي ليست في حد ذاتها دورات؛ فالمصفوفات المتماثلة هي مشتقات، فروق متناسبة للدورات. إن "الدوران التفاضلي" الفعلي، أو مصفوفة الدوران اللانهائية في الصغر، لها الشكل

${\displaystyle I+A\,d\theta ,}$

حيث dθ صغير للغاية و A ∈ لذا (n) ، على سبيل المثال مع A = L _x ،

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

قواعد الحساب هي المعتادة باستثناء أن اللامتناهيات في الصغر من الدرجة الثانية يتم إسقاطها بشكل روتيني. مع هذه القواعد، لا تلبي هذه المصفوفات جميع الخصائص نفسها مثل مصفوفات الدوران المحدودة العادية تحت المعالجة المعتادة لللامتناهيات في الصغر. ^[18] اتضح أن الترتيب الذي يتم به تطبيق الدورات اللامتناهية في الصغر غير ذي صلة . لرؤية هذا على سبيل المثال، راجع الدورات اللامتناهية في الصغر SO(3) .

لقد رأينا وجود العديد من التحللات التي تنطبق على أي بُعد، وهي المستويات المستقلة والزوايا المتسلسلة والأبعاد المتداخلة. وفي كل هذه الحالات، يمكننا إما تحلل مصفوفة أو إنشاء واحدة. كما أولينا اهتمامًا خاصًا لمصفوفات الدوران 3 × 3 ، وهي تستحق المزيد من الاهتمام، في كلا الاتجاهين (Stuelpnagel 1964).

بالنظر إلى رباعية الوحدة q = w + x i + y j + z k ، فإن مصفوفة الدوران المكافئة المضروبة مسبقًا (التي سيتم استخدامها مع متجهات العمود) 3 × 3 هي ^[19]

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$

الآن، يظهر كل مكون من مكونات الرباعية مضروبًا في اثنين في حد من الدرجة الثانية، وإذا كانت كل هذه الحدود صفرًا، فما يتبقى هو مصفوفة هوية. وهذا يؤدي إلى تحويل فعال وقوي من أي رباعية - سواء كانت وحدة أو غير وحدة - إلى مصفوفة دوران 3 × 3. معطى:

${\displaystyle {\begin{aligned}n&=w\times w+x\times x+y\times y+z\times z\\s&={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0\\{\frac {2}{n}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\\end{aligned}}}$

يمكننا أن نحسب

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-s(yy+zz)&s(xy-wz)&s(xz+wy)\\s(xy+wz)&1-s(xx+zz)&s(yz-wx)\\s(xz-wy)&s(yz+wx)&1-s(xx+yy)\end{bmatrix}}}$

بعد أن تحررنا من مطلب رباعية الوحدة، نجد أن الرباعيات غير الصفرية تعمل كإحداثيات متجانسة لمصفوفات الدوران 3 × 3. يتم الحصول على تحويل كايلي، الذي تمت مناقشته سابقًا، عن طريق قياس الرباعية بحيث يكون مكونها w مساويًا لـ 1. بالنسبة للدوران بزاوية 180 درجة حول أي محور، سيكون w مساويًا للصفر، وهو ما يفسر حد كايلي.

مجموع الإدخالات على طول القطر الرئيسي ( الأثر )، زائد واحد، يساوي 4 − 4( x ² + y ² + z ² ) ، وهو 4 w ² . وبالتالي يمكننا كتابة الأثر نفسه على النحو التالي 2 w ² + 2 w ² − 1 ؛ ومن الإصدار السابق للمصفوفة نرى أن الإدخالات القطرية نفسها لها نفس الشكل: 2 x ² + 2 w ² − 1 و 2 y ² + 2 w ² − 1 و 2 z ² + 2 w ² − 1 . وبالتالي يمكننا بسهولة مقارنة مقادير جميع مكونات الرباعية الأربعة باستخدام قطر المصفوفة. يمكننا في الواقع الحصول على جميع المقادير الأربعة باستخدام المجاميع والجذور التربيعية واختيار إشارات متسقة باستخدام الجزء المائل المتماثل من الإدخالات غير القطرية:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\quad ({\text{the trace of }}Q)\\r&={\sqrt {1+t}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\operatorname {sgn} \left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\y&=\operatorname {sgn} \left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}+Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\z&=\operatorname {sgn} \left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}-Q_{yy}+Q_{zz}}}\right|\end{aligned}}}$

بدلاً من ذلك، استخدم الجذر التربيعي والقسمة الفردية

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\r&={\sqrt {1+t}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\y&=\left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)s\\z&=\left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)s\end{aligned}}}$

هذا مستقر عدديًا طالما أن الأثر، t ، ليس سلبيًا؛ وإلا فإننا نخاطر بالقسمة على (تقريبًا) الصفر. في هذه الحالة، افترض أن Q _xx هو أكبر مدخل قطري، لذا فإن x سيكون له أكبر قدر (الحالات الأخرى مستمدة من خلال التبديل الدوري)؛ ثم يكون التالي آمنًا.

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\x&={\tfrac {1}{2}}r\\y&=\left(Q_{xy}+Q_{yx}\right)s\\z&=\left(Q_{zx}+Q_{xz}\right)s\end{aligned}}}$

إذا كانت المصفوفة تحتوي على خطأ كبير، مثل الخطأ العددي المتراكم، فيمكننا إنشاء مصفوفة متماثلة 4 × 4 ،

${\displaystyle K={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}&Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}-Q_{yz}\\Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{yy}-Q_{xx}-Q_{zz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}\\Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{zz}-Q_{xx}-Q_{yy}&Q_{yx}-Q_{xy}\\Q_{zy}-Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}&Q_{yx}-Q_{xy}&Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\end{bmatrix}},}$

وإيجاد المتجه الذاتي ( x ، y ، z ، w ) ، لأكبر قيمة ذاتية له. (إذا كانت Q هي مصفوفة دوران حقًا، فستكون هذه القيمة 1.) ستتوافق الرباعية الناتجة مع مصفوفة الدوران الأقرب إلى المصفوفة المعطاة (Bar-Itzhack 2000) (ملاحظة: صياغة المقالة المذكورة هي عملية ضرب لاحق، وتعمل مع متجهات الصفوف).

إذا كانت مصفوفة n × n M غير مفردة، فإن أعمدتها عبارة عن متجهات مستقلة خطيًا؛ وبالتالي يمكن لعملية جرام-شميدت تعديلها لتكون أساسًا متعامدًا عموديًا. وبعبارة أخرى من حيث الجبر الخطي العددي ، نحول M إلى مصفوفة متعامدة، Q ، باستخدام تحلل QR . ومع ذلك، فإننا غالبًا ما نفضل Q الأقرب إلى M ، وهو ما لا تحققه هذه الطريقة. ولهذا، فإن الأداة التي نريدها هي التحلل القطبي (Fan & Hoffman 1955؛ Higham 1989).

لقياس القرب، يمكننا استخدام أي ثابت معياري للمصفوفة في ظل التحويلات المتعامدة. الخيار الملائم هو معيار فروبينيوس ، ‖ Q − M ‖ _F ، مربعًا، وهو مجموع مربعات فروق العناصر. بكتابة هذا من حيث التتبع ، Tr ، فإن هدفنا هو،

أوجد Q لتقليل Tr( ( Q − M ) ^T ( Q − M ) ) ، بشرط أن تكون Q ^T Q = I.

على الرغم من كتابتها بمصطلحات المصفوفة، فإن دالة الهدف هي مجرد متعددة حدود تربيعية. يمكننا تقليلها بالطريقة المعتادة، من خلال إيجاد المشتقة التي تساوي صفرًا. بالنسبة لمصفوفة 3 × 3 ، فإن قيد التعامد يعني ستة معادلات قياسية يجب أن تلبيها مدخلات Q. لدمج القيد (القيود)، يمكننا استخدام تقنية قياسية، مضاعفات لاغرانج ، مجمعة كمصفوفة متماثلة، Y. وبالتالي فإن طريقتنا هي:

ميّز Tr( ( Q − M ) ^T ( Q − M ) + ( Q ^T Q − I ) Y ) بالنسبة إلى (إدخالات) Q ، وساويها بالصفر.

بشكل عام، نحصل على المعادلة

${\displaystyle 0=2(Q-M)+2QY,}$

لهذا السبب.

${\displaystyle M=Q(I+Y)=QS,}$

حيث Q متعامد و S متماثل. لضمان الحد الأدنى، يجب أن تكون مصفوفة Y (وبالتالي S ) موجبة محددة. يطلق الجبر الخطي على QS التحلل القطبي لـ M ، مع S الجذر التربيعي الموجب لـ S ² = M ^T M.

${\displaystyle S^{2}=\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)=M^{\mathsf {T}}QQ^{\mathsf {T}}M=M^{\mathsf {T}}M}$

عندما تكون M غير مفردة ، يتم تحديد عوامل Q و S للتحلل القطبي بشكل فريد. ومع ذلك، فإن محدد S موجب لأن S موجب محدد، لذا يرث Q إشارة محدد M. وهذا يعني أن Q مضمون فقط أن يكون متعامدًا، وليس مصفوفة دوران. وهذا أمر لا مفر منه؛ حيث لا تحتوي M ذات المحدد السالب على أقرب مصفوفة دوران محددة بشكل فريد.

لإنشاء مصفوفة دوران Q بكفاءة من زاوية θ ومحور وحدة u ، يمكننا الاستفادة من التناظر والتناظر المائل داخل الإدخالات. إذا كانت x و y و z هي مكونات متجه الوحدة الذي يمثل المحور، و

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\cos \theta \\s&=\sin \theta \\C&=1-c\end{aligned}}}$

ثم

${\displaystyle Q(\theta )={\begin{bmatrix}xxC+c&xyC-zs&xzC+ys\\yxC+zs&yyC+c&yzC-xs\\zxC-ys&zyC+xs&zzC+c\end{bmatrix}}}$

تحديد المحور والزاوية، مثل تحديد الرباعية، ممكن فقط حتى الإشارة؛ أي أن ( u ، θ ) و (− u ، − θ ) تتوافق مع نفس مصفوفة الدوران، تمامًا مثل q و− q . بالإضافة إلى ذلك ، يقدم استخراج المحور والزاوية صعوبات إضافية. يمكن تقييد الزاوية لتكون من 0 درجة إلى 180 درجة، ولكن الزوايا غامضة رسميًا بمضاعفات 360 درجة. عندما تكون الزاوية صفرًا، يكون المحور غير محدد. عندما تكون الزاوية 180 درجة، تصبح المصفوفة متماثلة، مما له آثار في استخراج المحور. بالقرب من مضاعفات 180 درجة، يلزم توخي الحذر لتجنب المشكلات العددية: في استخراج الزاوية، يتجنب قوس الظل ثنائي الحجة مع atan2 (sin θ ، cos θ ) يساوي θ عدم حساسية قوس الجيب التمام؛ وفي حساب حجم المحور من أجل فرض حجم الوحدة، فإن نهج القوة الغاشمة يمكن أن يفقد الدقة من خلال التدفق السفلي (مولر وموريسون 1983).

النهج الجزئي هو كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=Q_{zy}-Q_{yz}\\y&=Q_{xz}-Q_{zx}\\z&=Q_{yx}-Q_{xy}\\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\t&=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\\theta &=\operatorname {atan2} (r,t-1)\end{aligned}}}$

سيتم بعد ذلك تقسيم مكونات المحور x و y و z على r . سيستخدم النهج القوي بالكامل خوارزمية مختلفة عندما يكون t ، أثر المصفوفة Q ، سالبًا، كما هو الحال مع استخراج الرباعيات. عندما يكون r صفرًا لأن الزاوية صفرية، يجب توفير محور من مصدر آخر غير المصفوفة.

تتزايد تعقيدات التحويل مع زوايا أويلر (المستخدمة هنا بالمعنى الواسع). الصعوبة الأولى هي تحديد أي من الاختلافات الأربعة والعشرين لترتيب المحور الديكارتي سنستخدم. افترض أن الزوايا الثلاث هي θ ₁ و θ ₂ و θ ₃ ؛ قد يفسر الفيزياء والكيمياء هذه على أنها

${\displaystyle Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{1})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3}),}$

في حين أن ديناميكيات الطائرات قد تستخدم

${\displaystyle Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {x} }(\theta _{1}).}$

يبدأ أحد الأساليب المنهجية باختيار المحور الأيمن. من بين جميع التباديل لـ ( x ، y ، z ) ، يوجد اثنان فقط يضعان هذا المحور أولاً؛ أحدهما تبديل زوجي والآخر فردي. وبالتالي فإن اختيار التكافؤ يؤسس المحور الأوسط. وهذا يترك خيارين للمحور الأيسر، إما تكرار الأول أو عدم تكراره. هذه الخيارات الثلاثة تعطينا 3 × 2 × 2 = 12 اختلافًا؛ نضاعف ذلك إلى 24 عن طريق اختيار محاور ثابتة أو دوارة.

يكفي هذا لإنشاء مصفوفة من الزوايا، ولكن يمكن للثلاثيات التي تختلف في العديد من النواحي أن تعطي نفس مصفوفة الدوران. على سبيل المثال، لنفترض أننا نستخدم اتفاقية zyz أعلاه؛ عندها سيكون لدينا الأزواج المكافئة التالية:

(90 درجة،	45 درجة,	-105 درجة)	≡	(−270 درجة،	-315 درجة،	(255 درجة)	مضاعفات 360 درجة
(72 درجة،	0 درجة,	0 درجة)	≡	(40 درجة،	0 درجة,	32 درجة)	محاذاة مفردة
(45 درجة،	60 درجة,	-30 درجة)	≡	(-135 درجة،	-60 درجة،	150 درجة)	قلب ثنائي الثبات

يمكن إيجاد الزوايا لأي ترتيب باستخدام روتين مشترك موجز (Herter & Lott 1993؛ Shoemake 1994).

تحدث مشكلة المحاذاة المفردة، وهي النظير الرياضي لقفل المحور الفيزيائي ، عندما يحاذي الدوران الأوسط محاور الدوران الأول والأخير. وهي تؤثر على كل ترتيب للمحور عند مضاعفات زوجية أو فردية لـ 90 درجة. هذه المفردات ليست من سمات مصفوفة الدوران بحد ذاتها، وتحدث فقط مع استخدام زوايا أويلر.

يتم تجنب التفردات عند النظر إلى مصفوفة الدوران والتلاعب بها كمتجهات صف متعامدة عمودية (في التطبيقات ثلاثية الأبعاد غالبًا ما تسمى المتجه الأيمن والمتجه العلوي والمتجه الخارجي) بدلاً من الزوايا. يتم تجنب التفردات أيضًا عند العمل مع الرباعيات.

في بعض الحالات، من المثير للاهتمام وصف الدوران من خلال تحديد كيفية تعيين متجه إلى آخر من خلال أقصر مسار (أصغر زاوية). يصف هذا بشكل كامل مصفوفة الدوران المرتبطة. بشكل عام، نظرًا لـ x و y ∈ ⁿ ، فإن المصفوفة ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {S} }$

${\displaystyle R:=I+yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}+{\frac {1}{1+\langle x,y\rangle }}\left(yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}\right)^{2}}$

ينتمي إلى SO( n + 1) ويربط x بـ y . ^[20]

نحتاج أحيانًا إلى إنشاء مصفوفة دوران عشوائية موزعة بالتساوي. ويبدو من الواضح حدسيًا في بعدين أن هذا يعني أن زاوية الدوران موزعة بالتساوي بين 0 و2 π . هذه الحدس صحيحة، لكنها لا تنتقل إلى أبعاد أعلى. على سبيل المثال، إذا قمنا بتحليل 3 × 3 مصفوفات دوران في شكل محور-زاوية، فلا ينبغي أن تكون الزاوية موزعة بالتساوي؛ يجب أن يكون احتمال أن يكون (مقدار) الزاوية على الأكثر θ ⁠1/π⁠ ( θ − خطيئة θ ) , ل 0 ≥ θ ≥ π .

نظرًا لأن SO( n ) عبارة عن مجموعة لي متصلة ومضغوطة محليًا، فلدينا معيار قياسي بسيط للتجانس، ألا وهو أن يكون التوزيع دون تغيير عند تكوينه مع أي دوران تعسفي ("ترجمة" مجموعة لي). يتوافق هذا التعريف مع ما يسمى بمقياس هار . يوضح ليون وماسيه وريفست (2006) كيفية استخدام تحويل كايلي لتوليد واختبار المصفوفات وفقًا لهذا المعيار.

يمكننا أيضًا إنشاء توزيع موحد في أي بُعد باستخدام خوارزمية المجموعة الفرعية لـ Diaconis & Shahshahani (1987). يستغل هذا بشكل متكرر بنية مجموعة الأبعاد المتداخلة لـ SO( n ) ، على النحو التالي. أنشئ زاوية موحدة وقم بإنشاء مصفوفة دوران 2 × 2. للانتقال من n إلى n + 1 ، أنشئ متجه v موزعًا بشكل موحد على الكرة n S ⁿ ، وقم بتضمين المصفوفة n × n في الحجم الأكبر التالي مع العمود الأخير (0، ...، 0، 1) ، وقم بتدوير المصفوفة الأكبر حتى يصبح العمود الأخير v .

كما هو الحال عادة، لدينا بدائل خاصة لحالة 3 × 3. تبدأ كل من هذه الطرق بثلاثة أعداد عشوائية مستقلة موزعة بشكل موحد على الفاصل الزمني الوحدوي. يستفيد أرفو (1992) من البعد الفردي لتغيير انعكاس هاوسهولدر إلى دوران بالنفي، ويستخدم ذلك لتوجيه محور الدوران المستوي المنتظم.

تستخدم طريقة أخرى رباعيات الوحدة. إن ضرب مصفوفات الدوران متماثل لضرب الرباعيات، والضرب في رباعية الوحدة يدور الكرة الوحدوية. نظرًا لأن التماثل هو تماثل محلي ، فإننا نستنتج على الفور أنه لإنتاج توزيع موحد على SO(3) يمكننا استخدام توزيع موحد على S ^3. في الممارسة العملية: أنشئ متجهًا بأربعة عناصر حيث يكون كل عنصر عبارة عن عينة من توزيع طبيعي. قم بتطبيع طوله وستحصل على رباعية وحدة عشوائية تم أخذ عينات منها بشكل موحد والتي تمثل دورانًا عشوائيًا تم أخذ عينات منه بشكل موحد. لاحظ أن ما سبق ذكره ينطبق فقط على الدورات في البعد 3. للحصول على فكرة عامة عن الرباعيات، يجب على المرء أن ينظر في الدوارات .

يمكن أيضًا استخدام زوايا أويلر، ولكن ليس مع توزيع كل زاوية بشكل موحد (Murnaghan 1962؛ Miles 1965).

بالنسبة لشكل المحور-الزاوية، يتم توزيع المحور بشكل موحد على الكرة الوحدوية للاتجاهات، S ² ، بينما يكون للزاوية توزيع غير موحد على [0، π ] كما هو مذكور سابقًا (مايلز 1965).

• أرفو، جيمس (1992)، "مصفوفات الدوران العشوائي السريع"، في ديفيد كيرك (المحرر)، Graphics Gems III، سان دييغو: Academic Press Professional، ص. 117-120، رمز Bibcode : 1992grge.book.....K، ISBN 978-0-12-409671-4
• بيكر، أندرو (2003)، مجموعات المصفوفات: مقدمة لنظرية مجموعات الكذب ، سبرينغر ، رقم ISBN 978-1-85233-470-3
• بار-إيتزاك، إيتزاك واي. (نوفمبر-ديسمبر 2000)، "طريقة جديدة لاستخراج الرباعية من مصفوفة الدوران"، مجلة التوجيه والتحكم والديناميكيات ، 23 (6): 1085-1087، رمز Bibcode :2000JGCD...23.1085B، doi :10.2514/2.4654، ISSN  0731-5090
• بيورك، آكي؛ باوي، كلازيت (يونيو 1971)، "خوارزمية تكرارية لحساب أفضل تقدير لمصفوفة متعامدة"، مجلة سيام للتحليل العددي ، 8 (2): 358-364، رمز المكتبة : 1971SJNA....8..358B، doi : 10.1137/0708036، ISSN  0036-1429
• كايلي ، آرثر (1846)، “Sur quelques propriétés des déterminants gauches”، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 1846 (32): 119–123، دوى :10.1515/crll.1846.32.119، ISSN  0075-4102، S2CID  1995467 46؛ أعيد طبعه كمقالة رقم 52 في كايلي، آرثر (1889)، الأوراق الرياضية المجمعة لآرثر كايلي، المجلد الأول (1841-1853)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 332-336
• دياكونيس، بيرسي ؛ شاهشاهاني، مهرداد (1987)، "خوارزمية المجموعة الفرعية لتوليد متغيرات عشوائية موحدة"، الاحتمالية في العلوم الهندسية والمعلوماتية ، 1 : 15-32، doi :10.1017/S0269964800000255، ISSN  0269-9648، S2CID  122752374
• إنجو، كينث (يونيو 2001)، "حول صيغة BCH في so(3)"، الرياضيات العددية BIT ، 41 (3): 629–632، doi :10.1023/A:1021979515229، ISSN  0006-3835، S2CID  126053191
• فان، كي؛ هوفمان، آلان جيه. (فبراير 1955)، "بعض التفاوتات المترية في فضاء المصفوفات"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 6 (1): 111-116، doi : 10.2307/2032662 ، ISSN  0002-9939، JSTOR  2032662
• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991)، نظرية التمثيل: دورة أولى ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 129، نيويورك، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر ، رقم ISBN 978-0-387-97495-8السيد 1153249 ​
• جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب.؛ سافكو، جون ل. (2002)، الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي ، ISBN 978-0-201-65702-9
• هول، بريان سي. (2004)، مجموعات الكذب، جبر الكذب، والتمثيلات: مقدمة أولية ، سبرينغر ، رقم ISBN 978-0-387-40122-5( جتم 222)
• هيرتر، توماس؛ لوت، كلاوس (سبتمبر-أكتوبر 1993)، "خوارزميات لتحليل المصفوفات المتعامدة ثلاثية الأبعاد إلى دورات بدائية"، الحاسبات والرسومات ، 17 (5): 517-527، doi :10.1016/0097-8493(93)90003-R، ISSN  0097-8493
• هايغام، نيكولاس جيه. (1 أكتوبر 1989)، "مشاكل قرب المصفوفة وتطبيقاتها"، في جوفر، مايكل جيه سي؛ بارنيت، ستيفن (المحررون)، تطبيقات نظرية المصفوفة، مطبعة جامعة أكسفورد ، ص. 1-27، رقم ISBN 978-0-19-853625-3
• ليون، كارلوس أ.؛ ماسيه، جان كلود؛ ريفست، لويس بول (فبراير 2006)، "نموذج إحصائي للدورات العشوائية"، مجلة التحليل المتعدد المتغيرات ، 97 (2): 412-430، doi : 10.1016/j.jmva.2005.03.009 ، ISSN  0047-259X
• مايلز، روجر إي. (ديسمبر 1965)، "حول الدورات العشوائية في R ³ "، بيومتريكا ، 52 (3/4): 636-639، doi :10.2307/2333716، ISSN  0006-3444، JSTOR  2333716
• مولر، كليف ؛ موريسون، دونالد (1983)، "استبدال الجذور التربيعية بمجموعات فيثاغورس"، مجلة آي بي إم للأبحاث والتطوير ، 27 (6): 577-581، doi :10.1147/rd.276.0577، ISSN  0018-8646
• مورناغان، فرانسيس د. (1950)، "عنصر حجم مجموعة الدوران"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم ، 36 (11): 670-672، رمز Bibcode :1950PNAS...36..670M، doi : 10.1073/pnas.36.11.670 ، ISSN  0027-8424، PMC  1063502 ، PMID  16589056
• مورناغان، فرانسيس د. (1962)، المجموعات الوحدوية والدورانية ، محاضرات في الرياضيات التطبيقية، واشنطن: كتب سبارتان
• كايلي، آرثر (1889)، الأوراق الرياضية المجمعة لآرثر كايلي، المجلد الأول (1841-1853)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 332-336
• بايث، آلان دبليو. (1986)، "خوارزمية سريعة للدوران العام للشبكة النقطية" (PDF) ، وقائع، واجهة الرسوميات '86 : 77–81
• Daubechies, Ingrid ; Sweldens, Wim (1998), "تحليل تحويلات الموجات إلى خطوات رفع" (PDF) ، مجلة التحليل والتطبيقات فورييه ، 4 (3): 247–269، doi :10.1007/BF02476026، S2CID  195242970
• بيك، مايكل إي. (1990)، "أدوات الدوران"، في أندرو إس. جلاسنر (المحرر)، جواهر الرسومات، سان دييغو: أكاديميك بريس بروفيشنال، ص 465-469، رقم ISBN 978-0-12-286166-6
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 21.5.2. Picking a Random Rotation Matrix", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, تم أرشفته من الأصل في 2011-08-11 , تم استرجاعه في 2011-08-18
• شيبرد، ستانلي دبليو. (مايو-يونيو 1978)، "رباعية الأبعاد من مصفوفة الدوران"، مجلة التوجيه والتحكم ، 1 (3): 223-224، doi :10.2514/3.55767b
• Shoemake, Ken (1994), "Euler angle conversion", in Paul Heckbert (ed.), Graphics Gems IV, San Diego: Academic Press Professional, pp. 222–229, ISBN 978-0-12-336155-4
• Stuelpnagel, John (أكتوبر 1964)، "حول معلمة مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد"، مراجعة SIAM ، 6 (4): 422-430، رمز Bibcode :1964SIAMR...6..422S، doi :10.1137/1006093، ISSN  0036-1445، S2CID  13990266(أيضًا NASA-CR-53568.)
• فاراداراجان، فيرافالي س. (1984)، مجموعات الكذب، جبر الكذب، وتمثيلها ، سبرينغر ، رقم ISBN 978-0-387-90969-1( جتم 102 )
• ويديربورن، جوزيف إتش إم (1934)، محاضرات عن المصفوفات، AMS ، ISBN 978-0-8218-3204-2

• "الدوران"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• مصفوفات الدوران في Mathworld
• عرض توضيحي تفاعلي لشهر التوعية بالرياضيات 2000 (يتطلب Java )
• مصفوفات الدوران في MathPages
• (بالإيطالية) معلمة SOn(R) بواسطة زوايا أويلر المعممة
• الدوران حول أي نقطة