مصفوفة الكثافة

جزء من سلسلة مقالات حول
ميكانيكا الكم
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ معادلة شرودنجر
مقدمة المصطلحات تاريخ
خلفية الميكانيكا الكلاسيكية نظرية الكم القديمة تدوين براكيت هاملتونيان تدخل
الأساسيات التكامل عدم التماسك تشابك مستوى الطاقة قياس غير محلية عدد الكم ولاية تراكب التماثل حفر الأنفاق ريبة دالة الموجة ينهار
التجارب متباينة بيل عدم المساواة في CHSH دافيسون-جيرمر شق مزدوج إليتسور-فايدمان فرانك هرتز عدم المساواة ليجيت عدم المساواة بين ليجيت وجارج ماخ-زيندر بوبر ممحاة الكم الاختيار المؤجل قطة شرودنجر شتيرن-جيرلاخ خيار ويلر المتأخر
تركيبات ملخص هايزنبيرج تفاعل المصفوفة فضاء الطور شرودنجر مجموع التواريخ (تكامل المسار)
المعادلات ديراك كلاين-جوردون باولي ريدبيرج شرودنجر
تفسيرات بايزية تواريخ متسقة كوبنهاجن دي بروجلي-بوهم فرقة موسيقية متغير مخفي محلي التحديد الفائق عوالم متعددة الهدف-الانهيار المنطق الكمي علائقي معاملاتي فون نيومان-ويجنر
المواضيع المتقدمة ميكانيكا الكم النسبية نظرية المجال الكمي علم المعلومات الكمومية الحوسبة الكمومية الفوضى الكمومية مفارقة EPR مصفوفة الكثافة نظرية التشتت ميكانيكا إحصائية كمية التعلم الآلي الكمومي
العلماء أهارونوف جرس بيثى بلاكيت بلوخ بوم بور وُلِدّ بوس دي بروجلي كومبتون ديراك دافيسون ديباي إيرينفيست اينشتاين إيفريت فوك فيرمي فاينمان جلاوبر جوتزويلر هايزنبيرج هيلبرت الأردن كرامرز حمَل لاندو لاوي موزلي مليكان أونيس باولي بلانك رابي رامان ريدبيرج شرودنجر سيمونز سومرفيلد فون نيومان ويل فيينا ويغنر زيمان زيلينجر
ف ت هـ

في ميكانيكا الكم ، مصفوفة الكثافة (أو عامل الكثافة ) هي مصفوفة تصف مجموعة ^[1] من الأنظمة الفيزيائية كحالات كمية (حتى لو كانت المجموعة تحتوي على نظام واحد فقط). وهي تسمح بحساب احتمالات نتائج أي قياسات يتم إجراؤها على أنظمة المجموعة باستخدام قاعدة بورن . إنها تعميم لمتجهات الحالة أو الدوال الموجية الأكثر شيوعًا : في حين أن تلك لا يمكنها تمثيل الحالات النقية إلا ، يمكن لمصفوفات الكثافة أيضًا تمثيل مجموعات مختلطة (تسمى أحيانًا بشكل غامض الحالات المختلطة ). تنشأ المجموعات المختلطة في ميكانيكا الكم في حالتين مختلفتين:

1. عندما يؤدي إعداد الأنظمة إلى العديد من الحالات النقية في المجموعة، وبالتالي يجب التعامل مع إحصائيات الاستعدادات المحتملة، و
2. عندما يريد المرء وصف نظام فيزيائي متشابك مع نظام آخر، دون وصف حالتهما المشتركة؛ هذه الحالة نموذجية لنظام يتفاعل مع بعض البيئات (على سبيل المثال، فقدان التماسك ). في هذه الحالة، تختلف مصفوفة الكثافة لنظام متشابك عن مصفوفة كثافة مجموعة من الحالات النقية التي، مجتمعة، ستعطي نفس النتائج الإحصائية عند القياس.

وبالتالي، تعد مصفوفات الكثافة أدوات بالغة الأهمية في مجالات ميكانيكا الكم التي تتعامل مع مجموعات مختلطة، مثل ميكانيكا الإحصائيات الكمومية ، والأنظمة الكمومية المفتوحة ، والمعلومات الكمومية .

مصفوفة الكثافة هي تمثيل لمشغل خطي يسمى مشغل الكثافة . يتم الحصول على مصفوفة الكثافة من مشغل الكثافة عن طريق اختيار أساس متعامد عمودي في الفضاء الأساسي. ^[2] في الممارسة العملية، غالبًا ما يتم استخدام مصطلحي مصفوفة الكثافة ومشغل الكثافة بالتبادل.

اختر أساسًا بالحالات ، في فضاء هيلبرت ثنائي الأبعاد ، ثم يتم تمثيل عامل الكثافة بالمصفوفة حيث تكون العناصر القطرية أرقامًا حقيقية مجموعها واحد (وتسمى أيضًا مجموعات الحالتين ، ). العناصر غير القطرية عبارة عن مترافقات معقدة لبعضها البعض (وتسمى أيضًا التماسك)؛ وهي مقيدة بالحجم من خلال المتطلب بأن تكون عاملًا موجبًا شبه محدد ، انظر أدناه. ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$$${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle (\rho _{ij})}$

عامل الكثافة هو عامل موجب شبه محدد ، مرافق ذاتي للأثر واحد يعمل على فضاء هيلبرت للنظام. ^{[3] [4] [5]} يمكن تحفيز هذا التعريف من خلال النظر في موقف حيث يتم تحضير كل حالة نقية باحتمالية ، تصف مجموعة من الحالات النقية. يتم إعطاء احتمال الحصول على نتيجة قياس إسقاطية عند استخدام أجهزة الإسقاط بواسطة ^{[6] : 99} مما يجعل عامل الكثافة ، مُعرفًا بأنه تمثيل مناسب لحالة هذه المجموعة. من السهل التحقق من أن هذا العامل موجب شبه محدد، مرافق ذاتي، وله أثر واحد. وعلى العكس من ذلك، يتبع من النظرية الطيفية أنه يمكن كتابة كل عامل بهذه الخصائص كما هو الحال بالنسبة لبعض الحالات والمعاملات غير السلبية والتي يصل مجموعها إلى واحد. ^{[7] [6] : 102} ومع ذلك، لن يكون هذا التمثيل فريدًا، كما هو موضح في نظرية شرودنجر-HJW . ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ $${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right],}$$$${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$

يأتي دافع آخر لتعريف مشغلات الكثافة من النظر في القياسات المحلية على الحالات المتشابكة. دع تكون حالة متشابكة نقية في فضاء هيلبرت المركب . احتمال الحصول على نتيجة القياس عند قياس أجهزة الإسقاط على فضاء هيلبرت وحده يعطى بواسطة ^{[6] : 107} حيث يشير إلى التتبع الجزئي على فضاء هيلبرت . هذا يجعل المشغل أداة ملائمة لحساب احتمالات هذه القياسات المحلية. يُعرف باسم مصفوفة الكثافة المخفضة في النظام الفرعي 1. من السهل التحقق من أن هذا المشغل يحتوي على جميع خصائص مشغل الكثافة. وعلى العكس من ذلك، فإن نظرية شرودنجر-HJW تعني أنه يمكن كتابة جميع مشغلات الكثافة على أنها لبعض الحالات . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Pi _{m}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ $${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$

الحالة الكمومية النقية هي حالة لا يمكن كتابتها كمزيج احتمالي، أو تركيبة محدبة ، من الحالات الكمومية الأخرى. ^[5] هناك العديد من التوصيفات المكافئة للحالات النقية في لغة مشغلات الكثافة. ^{[8] : 73} يمثل مشغل الكثافة حالة نقية إذا وفقط إذا:

• يمكن كتابتها على أنها حاصل ضرب خارجي لمتجه الحالة مع نفسه، أي،${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• إنه إسقاط ، على وجه الخصوص من الدرجة الأولى.
• إنه أيديمبوتني ، أي$${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• فهو له نقاء واحد أي$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

من المهم التأكيد على الفرق بين خليط احتمالي (أي مجموعة) من الحالات الكمومية وتراكب حالتين . إذا تم إعداد مجموعة بحيث يكون نصف أنظمتها في حالة والنصف الآخر في حالة ، فيمكن وصفها بمصفوفة الكثافة: ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

حيث يُفترض أن و متعامدين و من البعد 2، من أجل البساطة. من ناحية أخرى، يؤدي التراكب الكمي لهاتين الحالتين بسعات احتمالية متساوية إلى الحالة النقية مع مصفوفة الكثافة ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

على عكس الخليط الاحتمالي، يمكن لهذا التراكب أن يعرض تداخلاً كميًا . ^{[6] : 81}

هندسيًا، مجموعة مشغلات الكثافة هي مجموعة محدبة ، والحالات النقية هي النقاط المتطرفة لتلك المجموعة. أبسط حالة هي حالة فضاء هيلبرت ثنائي الأبعاد، والمعروف باسم كيوبت . يمكن كتابة حالة مختلطة عشوائية لبت كمركبة خطية لمصفوفات باولي ، والتي توفر مع مصفوفة الهوية أساسًا لمصفوفات ذاتية المرافقة : ^{[9] : 126}${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

حيث الأرقام الحقيقية هي إحداثيات نقطة داخل الكرة الوحدوية و ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

تمثل النقاط الحالات النقية، بينما تمثل النقاط في الداخل الحالات المختلطة. وهذا ما يُعرف بصورة كرة بلوخ لمساحة حالة الكيوبت. ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$

مثال على الحالات النقية والمختلطة هو استقطاب الضوء . يمكن وصف الفوتون الفردي بأنه ذو استقطاب دائري أيمن أو أيسر ، موصوف بالحالات الكمومية المتعامدة و /أو تراكب الاثنين: يمكن أن يكون في أي حالة (مع )، المقابلة للاستقطاب الخطي أو الدائري أو الإهليلجي . ضع في اعتبارك الآن فوتونًا مستقطبًا رأسيًا، موصوفًا بالحالة . إذا مررنا به عبر مستقطب دائري يسمح إما بالضوء المستقطب فقط، أو الضوء المستقطب فقط، يتم امتصاص نصف الفوتونات في كلتا الحالتين. قد يجعل هذا الأمر يبدو وكأن نصف الفوتونات في حالة والنصف الآخر في حالة ، لكن هذا غير صحيح: إذا مررنا عبر مستقطب خطي فلا يوجد أي امتصاص على الإطلاق، ولكن إذا مررنا بأي من الحالتين أو يتم امتصاص نصف الفوتونات. ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

لا يمكن وصف الضوء غير المستقطب (مثل الضوء الصادر من المصباح المتوهج ) بأي حالة من حالات الشكل (استقطاب خطي أو دائري أو بيضاوي). وعلى عكس الضوء المستقطب، فإنه يمر عبر مستقطب مع فقدان شدته بنسبة 50% أياً كان اتجاه المستقطب؛ ولا يمكن جعله مستقطباً عن طريق تمريره عبر أي لوحة موجية . ومع ذلك، يمكن وصف الضوء غير المستقطب بأنه مجموعة إحصائية، على سبيل المثال، حيث يكون لكل فوتون إما استقطاب أو استقطاب باحتمال 1/2. سيحدث نفس السلوك إذا كان لكل فوتون إما استقطاب رأسي أو استقطاب أفقي باحتمال 1/2. لا يمكن التمييز بين هاتين المجموعتين على الإطلاق تجريبياً، وبالتالي يُعتبران نفس الحالة المختلطة. بالنسبة لهذا المثال للضوء غير المستقطب، فإن عامل الكثافة يساوي ^{[8] : 75}${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

هناك أيضًا طرق أخرى لتوليد الضوء غير المستقطب: أحد الاحتمالات هو إدخال عدم اليقين في تحضير الفوتون، على سبيل المثال، تمريره عبر بلورة ثنائية الانكسار ذات سطح خشن، بحيث تكتسب أجزاء مختلفة قليلاً من شعاع الضوء استقطابات مختلفة. إمكانية أخرى هي استخدام حالات متشابكة: يمكن للتحلل الإشعاعي أن ينبعث منه فوتونان يسافران في اتجاهين متعاكسين، في الحالة الكمومية . تكون الحالة المشتركة للفوتونين معًا نقية، لكن مصفوفة الكثافة لكل فوتون على حدة، والتي تم العثور عليها عن طريق أخذ الأثر الجزئي لمصفوفة الكثافة المشتركة، مختلطة تمامًا. ^{[6] : 106}${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$

لا يحدد عامل كثافة معين بشكل فريد أي مجموعة من الحالات النقية تؤدي إلى ذلك؛ بشكل عام، يوجد عدد لا نهائي من المجموعات المختلفة التي تولد نفس مصفوفة الكثافة. ^[10] لا يمكن تمييزها بأي قياس. ^[11] يمكن وصف المجموعات المكافئة تمامًا: دع تكون مجموعة. ثم لأي مصفوفة معقدة بحيث ( تساوي القياس الجزئي )، المجموعة المحددة بواسطة ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

سيؤدي ذلك إلى ظهور نفس عامل الكثافة، وكل المجموعات المكافئة هي من هذا النموذج.

الحقيقة ذات الصلة الوثيقة هي أن عامل الكثافة المعطى له عدد لا نهائي من التنقية المختلفة ، والتي هي حالات نقية تولد عامل الكثافة عند أخذ أثر جزئي. دع

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

يكون عامل الكثافة الناتج عن المجموعة ، مع حالات ليست بالضرورة متعامدة. إذن، بالنسبة لجميع التماثلات الجزئية، لدينا أن ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

هو تنقية لـ ، حيث هو أساس متعامد، وعلاوة على ذلك فإن جميع تنقية هي من هذا الشكل. ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle |a_{j}\rangle }$${\displaystyle \rho }$

ليكن قابلاً للملاحظة للنظام، وافترض أن المجموعة في حالة مختلطة بحيث تحدث كل حالة نقية باحتمالية . عندئذٍ يكون عامل الكثافة المقابل مساويًا ${\displaystyle A}$${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

يمكن حساب القيمة المتوقعة للقياس من خلال التوسع من حالة الحالات النقية:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

حيث يشير إلى التتبع . وبالتالي، يتم استبدال التعبير المألوف للحالات النقية بـ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

للحالات المختلطة. ^{[8] : 73}

علاوة على ذلك، إذا كان لديه دقة طيفية ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

حيث يكون عامل الإسقاط في الفضاء الذاتي المقابل للقيمة الذاتية ، عامل الكثافة بعد القياس يُعطى بواسطة ^{[12] [13]}${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

عندما يتم الحصول على النتيجة i . في حالة عدم معرفة نتيجة القياس، يتم وصف المجموعة بدلاً من ذلك بواسطة

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

إذا افترضنا أن احتمالات نتائج القياس هي وظائف خطية لأجهزة العرض ، فيجب أن تُعطى من خلال أثر جهاز العرض باستخدام عامل الكثافة. تُظهر نظرية جليسون أنه في فضاءات هيلبرت ذات البعد 3 أو أكبر يمكن استبدال افتراض الخطية بافتراض عدم السياق . ^[14] يمكن إزالة هذا القيد على البعد بافتراض عدم السياق لـ POVMs أيضًا، ^{[15] [16]} ولكن تم انتقاد هذا باعتباره غير محفز ماديًا. ^[17]${\displaystyle P_{i}}$

يمكن التعبير عن إنتروبيا فون نيومان لخليط من حيث القيم الذاتية لـ أو من حيث أثر ولوغاريتم عامل الكثافة . نظرًا لأن هو عامل شبه محدد موجب، فإنه يحتوي على تحلل طيفي بحيث ، حيث متجهات متعامدة عمودية، ، و . إذن إنتروبيا نظام كمي بمصفوفة كثافة هي ${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

يشير هذا التعريف إلى أن إنتروبيا فون نيومان لأي حالة نقية تساوي صفرًا. ^{[18] : 217} إذا كانت هناك حالات لها دعم على فضاءات فرعية متعامدة، فإن إنتروبيا فون نيومان لتركيبة محدبة من هذه الحالات، ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

يتم إعطاؤه من خلال إنتروبيات فون نيومان للحالات وإنتروبيا شانون لتوزيع الاحتمالات : ${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

عندما لا تحتوي الحالات على دعائم متعامدة، يكون المجموع على الجانب الأيمن أكبر تمامًا من إنتروبيا فون نيومان للتركيبة المحدبة . ^{[6] : 518}${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle \rho }$

بالنظر إلى عامل الكثافة والقياس الإسقاطي كما في القسم السابق، فإن الحالة التي تم تحديدها بواسطة التركيبة المحدبة ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

والتي يمكن تفسيرها على أنها الحالة الناتجة عن إجراء القياس ولكن دون تسجيل النتيجة التي حدثت، ^{[9] : 159} لها إنتروبيا فون نيومان أكبر من إنتروبيا ، إلا إذا كان . ومع ذلك، فمن الممكن أن يكون للحالة الناتجة عن قياس معمم ، أو POVM ، إنتروبيا فون نيومان أقل من . ^{[6] : 514}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\rho '}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho }$

تمامًا كما تصف معادلة شرودنجر كيف تتطور الحالات النقية بمرور الوقت، تصف معادلة فون نيومان (المعروفة أيضًا باسم معادلة ليوفيل-فون نيومان ) كيف يتطور عامل الكثافة بمرور الوقت. تنص معادلة فون نيومان على أن ^{[19] [20] [21]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=[H,\rho ]~,}$

حيث تشير الأقواس إلى المبدل .

لا تنطبق هذه المعادلة إلا عندما نعتبر عامل الكثافة موجودًا في صورة شرودنجر ، على الرغم من أن هذه المعادلة تبدو للوهلة الأولى وكأنها تحاكي معادلة هايزنبيرج للحركة في صورة هايزنبيرج ، مع اختلاف أساسي في الإشارة:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} A^{(\mathrm {H} )}}{\operatorname {d} t}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,}$

أين يوجد بعض مشغلات صورة هايزنبيرج ؛ ولكن في هذه الصورة لا تعتمد مصفوفة الكثافة على الوقت ، وتضمن الإشارة النسبية أن المشتق الزمني للقيمة المتوقعة يخرج كما هو الحال في صورة شرودنجر . ^[5]${\displaystyle A^{(\mathrm {H} )}(t)}$${\displaystyle \langle A\rangle }$

إذا كان هاميلتونيان مستقلاً عن الزمن، فيمكن حل معادلة فون نيومان بسهولة للحصول على

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

بالنسبة لمنحنى هاملتوني أكثر عمومية، إذا كان هو مروج الدالة الموجية على فترة زمنية معينة، فإن التطور الزمني لمصفوفة الكثافة على نفس الفترة الزمنية يُعطى بواسطة ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

يمكن أيضًا تحقيق عامل مصفوفة الكثافة في فضاء الطور . بموجب خريطة Wigner ، تتحول مصفوفة الكثافة إلى دالة Wigner المكافئة ،

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

معادلة التطور الزمني لدالة ويغنر، المعروفة باسم معادلة مويال ، هي تحويل ويغنر لمعادلة فون نيومان أعلاه،

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

أين هو هاميلتونيان، و هو قوس مويال ، تحويل المبدل الكمومي . ${\displaystyle H(x,p)}$${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

إن معادلة التطور لدالة ويغنر تشبه معادلة حدها الكلاسيكي، معادلة ليوفيل للفيزياء الكلاسيكية . في حد ثابت بلانك المتلاشي ، يتم اختزال دالة ليوفيل الكلاسيكية لكثافة الاحتمال في فضاء الطور . ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle W(x,p,t)}$

تُعد مصفوفات الكثافة أداة أساسية في ميكانيكا الكم، وتظهر أحيانًا على الأقل في أي نوع من أنواع الحسابات الميكانيكية الكمومية. وفيما يلي بعض الأمثلة المحددة حيث تكون مصفوفات الكثافة مفيدة وشائعة بشكل خاص:

• تستخدم الميكانيكا الإحصائية مصفوفات الكثافة، وبشكل بارز للتعبير عن فكرة أن النظام يتم تحضيره عند درجة حرارة غير صفرية. إن إنشاء مصفوفة كثافة باستخدام مجموعة أساسية يعطي نتيجة من النموذج ، حيث هي درجة الحرارة العكسية و هي هاملتونيان النظام. يحدد شرط التطبيع الذي يكون فيه أثر يساوي 1 دالة التقسيم لتكون . إذا لم يكن عدد الجسيمات المشاركة في النظام نفسه مؤكدًا، فيمكن تطبيق مجموعة أساسية كبرى ، حيث يتم رسم الحالات المجمعة لتكوين مصفوفة الكثافة من فضاء فوك . ^{[22] : 174}${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$
• تتضمن نظرية فقدان التماسك الكمومي عادةً أنظمة كمية غير معزولة تتطور إلى تشابك مع أنظمة أخرى، بما في ذلك أجهزة القياس. تجعل مصفوفات الكثافة من السهل وصف العملية وحساب عواقبها. يفسر فقدان التماسك الكمومي سبب انتقال النظام المتفاعل مع البيئة من كونه حالة نقية، تعرض تراكبات، إلى حالة مختلطة، وهي مزيج غير متماسك من البدائل الكلاسيكية. هذا الانتقال قابل للعكس بشكل أساسي، حيث لا تزال الحالة المدمجة للنظام والبيئة نقية، ولكن لجميع الأغراض العملية غير قابلة للعكس، حيث أن البيئة عبارة عن نظام كمي كبير ومعقد للغاية، ومن غير الممكن عكس تفاعلهما. وبالتالي فإن فقدان التماسك مهم جدًا لتفسير الحد الكلاسيكي لميكانيكا الكم، لكنه لا يستطيع تفسير انهيار الدالة الموجية، حيث لا تزال جميع البدائل الكلاسيكية موجودة في الحالة المختلطة، ويختار انهيار الدالة الموجية واحدًا منها فقط. ^[23]
• وبالمثل، في الحوسبة الكمومية ، ونظرية المعلومات الكمومية ، والأنظمة الكمومية المفتوحة ، وغيرها من المجالات حيث يكون تحضير الحالة صاخبًا ويمكن أن يحدث فقدان التماسك، تُستخدم مصفوفات الكثافة بشكل متكرر. غالبًا ما يتم نمذجة الضوضاء عبر قناة استقطاب أو قناة تخميد السعة . التصوير المقطعي الكمومي هو عملية يتم من خلالها حساب مصفوفة كثافة متسقة مع نتائج القياسات تلك، مع الأخذ في الاعتبار مجموعة من البيانات التي تمثل نتائج القياسات الكمومية. ^{[24] [25]}
• عند تحليل نظام به العديد من الإلكترونات، مثل الذرة أو الجزيء ، فإن التقريب الأول غير الكامل ولكن المفيد هو معاملة الإلكترونات على أنها غير مرتبطة أو أن كل منها له دالة موجية مستقلة لجسيم واحد. هذه هي نقطة البداية المعتادة عند بناء محدد سلاتر في طريقة هارتري-فوك . إذا كانت هناك إلكترونات تملأ الدوال الموجية للجسيم الواحد ، فيمكن وصف مجموعة الإلكترونات معًا بمصفوفة الكثافة .${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle N}$${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

من المقبول عمومًا الآن أن وصف ميكانيكا الكم حيث تمثل جميع المشغلات المترافقة الذاتية قابلات للملاحظة غير قابل للدفاع عنه. ^{[26] [27]} لهذا السبب، يتم تحديد القابلات للملاحظة بعناصر الجبر المجرد C * A (أي بدون تمثيل مميز كجبر للمشغلات) والحالات عبارة عن وظائف خطية موجبة على A. ومع ذلك، باستخدام بناء GNS ، يمكننا استعادة فضاءات هيلبرت التي تحقق A كجبر فرعي للمشغلات.

هندسيًا، الحالة النقية على جبر C* -A هي حالة تشكل نقطة متطرفة لمجموعة جميع الحالات على A. وفقًا لخصائص بناء GNS، تتوافق هذه الحالات مع التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ A.

إن حالات جبر C* للمشغلات المدمجة K ( H ) تتوافق تمامًا مع مشغلات الكثافة، وبالتالي فإن الحالات النقية لـ K ( H ) هي الحالات النقية تمامًا بمعنى ميكانيكا الكم.

يمكن ملاحظة أن صيغة الجبر C* تشمل كل من الأنظمة الكلاسيكية والكمية. عندما يكون النظام كلاسيكيًا، يصبح جبر العناصر القابلة للملاحظة جبرًا أبيليًا C*. في هذه الحالة تصبح الحالات مقاييس احتمالية.

تم تقديم صيغة مشغلات الكثافة والمصفوفات في عام 1927 بواسطة جون فون نيومان ^[28] وبشكل مستقل، ولكن بشكل أقل منهجية، بواسطة ليف لاندو ^[29] وفي وقت لاحق في عام 1946 بواسطة فيليكس بلوخ . ^[30] قدم فون نيومان مصفوفة الكثافة من أجل تطوير كل من ميكانيكا الإحصاء الكمومي ونظرية القياسات الكمومية. يرتبط اسم مصفوفة الكثافة نفسها بمراسلاتها الكلاسيكية لمقياس احتمالية فضاء الطور (توزيع احتمالات الموضع والزخم) في ميكانيكا الإحصاء الكلاسيكية ، والذي قدمه ويجنر في عام 1932. ^[3]

على النقيض من ذلك، كان الدافع الذي ألهم لاندو هو استحالة وصف نظام فرعي لنظام كمي مركب بواسطة متجه الحالة. ^[29]