تصحيح الأخطاء الكمومية

تعتمد أنواع الأخطاء التي تحدث في النظام الكمومي اعتمادًا كبيرًا على المنصة الفيزيائية الأساسية، وليس على افتراضات مستقلة عن الجهاز. فعلى سبيل المثال، حتى عندما يكون الكيوبت تحت تحكم فعال، فإنه يظل مرتبطًا ببيئته من خلال معاملات أينشتاين غير الصفرية . وعندما تُبرَّد البيئة إلى حالة الفراغ، يُؤدي هذا الارتباط إلى أخطاء تضاؤل ​​السعة (أو فقدان الإثارة)، والتي تعكس ميل النظام إلى الاسترخاء نحو التوازن الحراري، وتتميز بزمن استرخاء . علاوة على ذلك، يمتلك الكيوبت المعزول هاميلتونيًا داخليًا يُطابق ديناميكياته الداخلية، مما يؤدي إلى أخطاء متماسكة. ويساهم كل من تضاؤل ​​السعة والتطور المتماسك معًا في فقدان التماسك ، وهو أحد عمليات الضوضاء السائدة في معظم تطبيقات الكيوبت.

كما ذُكر سابقًا، تفترض معظم أنظمة تصحيح الأخطاء الكمومية أن الأخطاء السائدة هي انقلابات البتات، أو انقلابات الطور، أو مزيج من كليهما - وهو ما يتوافق مع عوامل باولي. ويفترض هذا الإطار ضمنيًا إمكانية تقريب الأخطاء الفيزيائية العامة كعناصر من مجموعة باولي . وبموجب هذا النموذج، يمكن تمثيل خطأ كل كيوبت ببتتين كلاسيكيتين (00: لا يوجد خطأ، 01: لا يوجد خطأ).${\displaystyle Z}$10:${\displaystyle X}$، 11:${\displaystyle Y}$وبالتالي، يمكن وصف الأخطاء في نظام مكون من n كيوبت بسلسلة ثنائية طولها 2n، مما يسمح بتطبيق تقنيات تصحيح الأخطاء الكلاسيكية ضمن قيود مناسبة. ورغم أن هذا التقريب لا يشمل جميع عمليات التشويش الواقعية، إلا أنه لا يزال شائع الاستخدام لأنه يبسط بشكل كبير كلاً من التحليل النظري وتصميم الشفرة.

ال${\displaystyle [[n,k,d]]}$لا تشمل رموز QECC جميع الرموز الكمومية الممكنة. تنتمي هذه الرموز إلى فئة الرموز الجمعية، المُعرَّفة ضمن إطار المُثبِّت. وهناك فئة أعمّ، تُعرف بالرموز غير الجمعية، ^{[ 3 ]} تتجاوز هذا الإطار. على سبيل المثال،${\displaystyle ((5,6,2))}$يشفر الكود ^{[ 4 ]} أكثر من اثنين من الكيوبتات${\displaystyle (\log _{2}6\approx 2.585)}$إلى خمسة كيوبتات فيزيائية بمسافة ترميز تبلغ اثنين. من حيث المبدأ، يمكن للرموز غير الجمعية أن تحقق معدلات ترميز أعلى من الرموز الجمعية، لكن بناءها وتحليلها أكثر صعوبة بكثير. ونتيجة لذلك، لا تزال غير مستكشفة بشكل كافٍ، مع وجود دراسات محدودة فقط حتى الآن.

إلى جانب ترميز الكيوبتات في كيوبتات أخرى، يمكن أيضًا تخزين المعلومات الكمومية في أنظمة فيزيائية أكثر عمومية، مثل${\displaystyle d}$الأنظمة ذات المستوى (الكوديتات) أو المذبذبات اللانهائية الأبعاد. يُعد ترميز نظام منطقي أصغر في فضاء هيلبرت فيزيائي أكبر مجالًا نشطًا للبحث.

• تم تصميم رموز الإثارة الثابتة ^{[ 24 ]} للحماية من الأخطاء المتماسكة الجماعية الناجمة عن الهاميلتوني الجوهري للكيوبتات الفيزيائية أثناء فترة تخزين أو إرسال غير معروفة، كما هو الحال عندما يكون جهاز الاستقبال في حالة حركة.
• إن الشكلية المثبتة بمساعدة التشابك ، التي وضعها تود برون وآخرون، هي امتداد للشكلية المثبتة القياسية التي تتضمن التشابك الكمي المشترك بين المرسل والمستقبل.
• قام إريك راينز ^{[ 25 ]} وجون سمولين وآخرون ^{[ 26 ]} بتعميم الرموز غير الجمعية السابقة لتشمل حالتين من حالات المسافة الأكبر. كما قام يو وآخرون ^{[ 27 ] [ 28 ]} بتحسين مسافة الرمز إلى ثلاث حالات.
• اقترح نوه وآخرون مخطط QEC الذي يحمي مذبذبًا واحدًا باستخدام حالة GKP مساعدة. ^{[ 29 ]}

لنفترض أننا نريد نقل حالة كيوبت واحد.${\displaystyle \vert \psi \rangle }$عبر قناة صاخبة${\displaystyle {\mathcal {E}}}$لنفترض أيضًا أن هذه القناة إما أن تقلب حالة الكيوبت، باحتمال${\displaystyle p}$أو يتركه دون تغيير. فعل${\displaystyle {\mathcal {E}}}$مدخلات عامة${\displaystyle \rho }$وبالتالي يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=(1-p)\rho +p\cdot X\rho X}$.

يترك${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$لتكن الحالة الكمومية المراد إرسالها. في حال عدم وجود بروتوكول لتصحيح الأخطاء، سيتم إرسال الحالة المرسلة بشكل صحيح باحتمالية${\displaystyle 1-p}$ومع ذلك، يمكننا تحسين هذا الرقم عن طريق ترميز الحالة في عدد أكبر من الكيوبتات، بحيث يمكن اكتشاف الأخطاء في الكيوبتات المنطقية المقابلة وتصحيحها. في حالة رمز التكرار البسيط المكون من ثلاثة كيوبتات، يتكون الترميز من عمليات الربط.${\displaystyle \vert 0\rangle \rightarrow \vert 0_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 000\rangle }$و${\displaystyle \vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 111\rangle }$حالة الإدخال${\displaystyle \vert \psi \rangle }$يتم ترميزها في الحالة${\displaystyle \vert \psi '\rangle =\alpha _{0}\vert 000\rangle +\alpha _{1}\vert 111\rangle }$يمكن تحقيق هذا الربط، على سبيل المثال، باستخدام بوابتي CNOT، مما يؤدي إلى تشابك النظام مع كيوبتين مساعدين مهيئين في الحالة${\displaystyle \vert 0\rangle }$[ ^{31 ] الحالة} المشفرة${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$هذا ما يتم تمريره الآن عبر القناة الصاخبة.

القناة تعمل على${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$عن طريق قلب مجموعة فرعية (قد تكون فارغة) من الكيوبتات الخاصة بها. لا يتم قلب أي كيوبت باحتمالية${\displaystyle (1-p)^{3}}$، يتم قلب كيوبت واحد باحتمالية${\displaystyle 3p(1-p)^{2}}$يتم قلب كيوبتين باحتمالية${\displaystyle 3p^{2}(1-p)}$ويتم قلب جميع الكيوبتات الثلاثة باحتمالية${\displaystyle p^{3}}$لاحظ أنه يتم هنا افتراض إضافي بشأن القناة: نفترض أن${\displaystyle {\mathcal {E}}}$يؤثر هذا الأمر بالتساوي وبشكل مستقل على كل من الكيوبتات الثلاثة التي تم ترميز الحالة فيها. تكمن المشكلة الآن في كيفية اكتشاف هذه الأخطاء وتصحيحها، دون إتلاف الحالة المرسلة .

لنفترض، تبسيطاً للأمر، أن${\displaystyle p}$تكون قيمة صغيرة بما يكفي بحيث يكون احتمال قلب أكثر من كيوبت واحد ضئيلاً للغاية. عندئذٍ، يمكن الكشف عما إذا كان قد تم قلب كيوبت، دون الحاجة إلى الاستعلام عن القيم المرسلة، وذلك بسؤال ما إذا كان أحد الكيوبتات يختلف عن البقية. وهذا يُعادل إجراء قياس بأربع نتائج مختلفة، تُقابل القياسات الإسقاطية الأربعة التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}&=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|,\\P_{1}&=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|,\\P_{2}&=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|,\\P_{3}&=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|.\end{aligned}}}$$يكشف هذا عن الكيوبتات المختلفة عن غيرها، دون أن يُعطي في الوقت نفسه معلومات عن حالة الكيوبتات نفسها. إذا كانت النتيجة المقابلة لـ${\displaystyle P_{0}}$إذا تم الحصول على النتيجة، فلا يتم تطبيق أي تصحيح، بينما إذا كانت النتيجة المقابلة لـ${\displaystyle P_{i}}$إذا تمت الملاحظة، يتم تطبيق بوابة باولي إكس على${\displaystyle i}$الكيوبت رقم -th. رسميًا، يتوافق إجراء التصحيح هذا مع تطبيق الخريطة التالية على مخرج القناة: $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }(\rho )=P_{0}\rho P_{0}+\sum _{i=1}^{3}X_{i}P_{i}\rho \,P_{i}X_{i}.}$$لاحظ أنه بينما تُصحح هذه العملية المخرجات تمامًا عند حدوث انعكاسات صفرية أو أحادية بواسطة القناة، فإن المخرجات لا تُصحح بشكل صحيح إذا تم انعكاس أكثر من كيوبت واحد. على سبيل المثال، إذا تم انعكاس الكيوبتين الأولى والثانية، فإن قياس المتلازمة يُعطي النتيجة التالية:${\displaystyle P_{3}}$ويتم قلب الكيوبت الثالث بدلاً من الكيوبتين الأوليين. ولتقييم أداء مخطط تصحيح الأخطاء هذا لمدخل عام، يمكننا دراسة الدقة${\displaystyle F(\psi ')}$بين المدخلات${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$والناتج${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }\equiv {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }({\mathcal {E}}(\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert ))}$كونها حالة الإخراج${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$صحيح عندما لا يتم قلب أكثر من كيوبت واحد، وهو ما يحدث باحتمالية${\displaystyle (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}}$يمكننا كتابتها على النحو التالي${\displaystyle [(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}]\,\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert +(...)}$حيث تشير النقاط إلى مكونات${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$نتيجةً لأخطاء لم يتم تصحيحها بشكل صحيح بواسطة البروتوكول. ويترتب على ذلك أن$${\displaystyle F(\psi ')=\langle \psi '\vert \rho _{\operatorname {out} }\vert \psi '\rangle \geq (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}=1-3p^{2}+2p^{3}.}$$يجب مقارنة هذه الدقة بالدقة المقابلة التي يتم الحصول عليها عند عدم استخدام بروتوكول تصحيح الأخطاء، والتي سبق إثبات أنها تساوي${\displaystyle {1-p}}$ثم تُظهر بعض العمليات الجبرية أن الدقة بعد تصحيح الأخطاء أكبر من الدقة بدون تصحيح الأخطاء.${\displaystyle p<1/2}$لاحظ أن هذا يتوافق مع الافتراض العملي الذي تم وضعه أثناء اشتقاق البروتوكول (لـ${\displaystyle p}$(بحيث تكون صغيرة بما يكفي).

يُعدّ انقلاب البت النوع الوحيد من الأخطاء في الحواسيب التقليدية. أما في الحواسيب الكمومية، فيُمكن حدوث نوع آخر من الأخطاء: انقلاب الإشارة. فعند الإرسال عبر قناة، تتغير الإشارة النسبية بين${\displaystyle |0\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$يمكن أن ينقلب. على سبيل المثال، كيوبت في الحالة${\displaystyle |-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$قد ينقلب شعارها إلى${\displaystyle |+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.}$

الحالة الأصلية للكيوبت $${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$$ سيتم تغييرها إلى الولاية $${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .}$$

في أساس هادامارد، تتحول انعكاسات البتات إلى انعكاسات إشارة، وانعكاسات الإشارة إلى انعكاسات بتات.${\displaystyle E_{\text{phase}}}$لنفترض وجود قناة كمومية قادرة على إحداث انقلاب طور واحد على الأكثر. عندئذٍ، يمكن لرمز قلب البت المذكور أعلاه استعادة${\displaystyle |\psi \rangle }$عن طريق التحويل إلى أساس هادامارد قبل وبعد النقل من خلال${\displaystyle E_{\text{phase}}}$.

قد تتسبب قناة الخطأ في انقلاب بت، أو انقلاب إشارة (أي انقلاب طور)، أو كليهما. من الممكن تصحيح كلا النوعين من الأخطاء على كيوبت منطقي باستخدام رمز تصحيح الأخطاء الكمومية (QEC) المصمم جيدًا. أحد الأمثلة على الرموز التي تقوم بذلك هو رمز شور، الذي نُشر عام 1995. ^{[ 32 ] [ 33 ] : 10} بما أن هذين النوعين من الأخطاء هما النوعان الوحيدان اللذان يمكن أن ينتجا بعد القياس الإسقاطي، فإن رمز شور يُصحح أخطاء الكيوبت المفردة العشوائية.

يترك${\displaystyle E}$لنفترض وجود قناة كمومية قادرة على إفساد كيوبت واحد بشكل عشوائي. تُستخدم الكيوبتات الأولى والرابعة والسابعة لترميز قلب الإشارة، بينما صُممت مجموعات الكيوبتات الثلاث (1، 2، 3) و(4، 5، 6) و(7، 8، 9) لترميز قلب البت. باستخدام رمز شور، تكون حالة الكيوبت${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$سيتم تحويلها إلى ناتج ضرب 9 كيوبتات${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle }$، أين $${\displaystyle |0_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )}$$$${\displaystyle |1_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )}$$

إذا حدث خطأ في قلب البت في كيوبت، فسيتم إجراء تحليل المتلازمة على كل مجموعة من الكيوبتات (1،2،3)، (4،5،6)، و(7،8،9) لاكتشاف وتصحيح خطأ قلب بت واحد على الأكثر في كل مجموعة.

إذا اعتبرنا مجموعات قلب البتات الثلاث (1، 2، 3)، (4، 5، 6)، و(7، 8، 9) بمثابة ثلاثة مدخلات، فإن دائرة الشفرة القصيرة (Shor code) يمكن اختزالها إلى شفرة قلب الإشارة. وهذا يعني أن الشفرة القصيرة قادرة أيضًا على تصحيح خطأ قلب الإشارة لكيوبت واحد.

يمكن لرمز شور أيضًا تصحيح أي أخطاء عشوائية (سواءً كانت انعكاس بت أو انعكاس إشارة) لكيوبت واحد. إذا تم نمذجة الخطأ بواسطة تحويل وحدوي U، والذي سيؤثر على الكيوبت${\displaystyle |\psi \rangle }$، ثم${\displaystyle U}$يمكن وصفها بالشكل التالي $${\displaystyle U=c_{0}I+c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z}$$ أين${\displaystyle c_{0}}$،${\displaystyle c_{1}}$،${\displaystyle c_{2}}$، و${\displaystyle c_{3}}$هي ثوابت مركبة، وI هي مصفوفة الوحدة، ومصفوفات باولي معطاة بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\\Y&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}};\\Z&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

إذا كانت قيمة U تساوي قيمة I ، فلن يحدث خطأ.${\displaystyle U=X}$يحدث خطأ في قلب البت. إذا${\displaystyle U=Z}$يحدث خطأ في انعكاس الإشارة. إذا${\displaystyle U=iY}$عندها يحدث خطأ في قلب البت وخطأ في قلب الإشارة. بعبارة أخرى، يمكن لرمز شور تصحيح أي مجموعة من أخطاء البت أو الطور على كيوبت واحد.

وبشكل عام، لا يلزم أن يكون عامل الخطأ U وحدويًا، ولكن يمكن أن يكون عامل كراوس من عملية كمومية تمثل نظامًا يتفاعل مع بيئته.

يمكن تطبيق تصحيح الأخطاء الكمومية على القياس الكمومي . بالتالي، يُخزَّن كيوبت منطقي في عدة كيوبتات فيزيائية. في حالة مقياس التداخل الخطي، لا يوجد تفاعل بين الكيوبتات المنطقية. مع ذلك، تُحدَّد الديناميكيات بمؤثرات تتضمن مؤثرات ارتباط متعددة الكيوبتات للكيوبتات الفيزيائية المقابلة لكيوبت منطقي. في هذا المخطط، يمكن اكتشاف الأخطاء وتصحيحها وفقًا للقواعد العامة لتصحيح الأخطاء الكمومية. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

في نهج آخر، لا يكمن الهدف في تصحيح الحالة الكمومية، بل في الحفاظ على حالة تُمكّن من إجراء القياس الكمومي بدقة عالية حتى في وجود التشويش. وقد لوحظ أن بعض الحالات الكمومية التي لا تتفوق على الحالات القابلة للفصل في القياس الكمومي، قد تكون أفضل منها في حالة النسخ المتعددة، وبالتالي يمكن تفعيل قدراتها القياسية. ^{[ 36 ]} لذا، بدلاً من تخزين كل كيوبت منطقي في عدة كيوبتات فيزيائية، نخزن عدة نسخ من الحالة الكمومية بأكملها. على سبيل المثال، لنفترض...${\displaystyle N}$حالة كمومية من نوع كيوبت${\displaystyle \varrho }$العيش في هذا المكان

$${\displaystyle \{|0\rangle ^{\otimes N},|1\rangle ^{\otimes N}\}.}$$

يشمل هذا الفضاء الفرعي الحالة الكمومية المشوشة

$${\displaystyle p|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \langle {\rm {GHZ}}_{N}|+(1-p){\frac {(|0\rangle \langle 0|)^{\otimes N}+(|1\rangle \langle 1|)^{\otimes N}}{2}},}$$

حيث تُعطى حالة غرينبرغر-هورن-زيلينغر (GHZ) على النحو التالي

$${\displaystyle |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}).}$$

دعونا نتأمل${\displaystyle M}$نسخ من الدولة

$${\displaystyle \varrho _{M{\text{-copy}}}=\varrho ^{\otimes M}.}$$

ثم، الهاميلتوني التالي

$${\displaystyle H=\sum _{n=1}^{N}\prod _{m=1}^{M}\sigma _{z}^{(n,m)}}$$

يتصرف بشأن${\displaystyle M}$- نسخ الحالة الكمومية. هنا،${\displaystyle \sigma _{z}^{(n,m)}}$هي مصفوفة باولي الدورانية${\displaystyle \sigma _{z}}$بالنسبة للكيوبت رقم n من النسخة رقم m . تتميز الفائدة المترولوجية بمعلومات فيشر الكمومية كـ

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]}$$

يزداد بشكل كبير مع عدد النسخ،${\displaystyle M}$ويقترب من الفائدة المترولوجية لدولة GHZ،${\displaystyle 4N^{2}.}$تصل الدول القابلة للانفصال إلى مرحلة الانفصال${\displaystyle 4N.}$^{[ 37 ]}

إذا كانت الحالة خارج الفضاء الفرعي الموصوف أعلاه، فيمكن إعادتها إلى الفضاء الفرعي بالخطوات المعتادة لتصحيح الأخطاء باستخدام رمز قلب البت.

في مثال آخر، يمكن ملاحظة أنه في هذا المخطط يتم قمع خطأ الطور حتى بدون تصحيح الخطأ. لنسمي النسخ الثلاث من${\displaystyle N}$حالة الكيوبت بتردد جيجاهرتز، ثم طور واحد

$${\displaystyle |\Psi \rangle =|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ,}$$

وبالنظر إلى الهاميلتوني أعلاه، فإن الفائدة المترولوجية للحالة تتميز بمعلومات فيشر الكمومية.${\displaystyle F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$.

لنرمز إلى الحالة بعد مرور أحد الكيوبتات عبر قناة قلب الطور بـ${\displaystyle \varrho _{\rm {phaseflip}}.}$يمكن إثبات أن الفائدة المترولوجية للدولة لا تتغير

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho _{\rm {phaseflip}},H]=F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$$

ويظلّ في أقصى حدّ له. وبالتالي، حتى بدون خطوة تصحيح الخطأ، تظلّ الخصائص المترولوجية كما هي. (انظر الملحق هـ في المرجع ^{[ 37 ]} والمرجع ^{[ 38 ]} )