رمز المثبت

في الحوسبة الكمومية والاتصالات الكمومية ، يُعدّ رمز التثبيت فئة من الرموز الكمومية المُستخدمة لتصحيح الأخطاء الكمومية . ويُعتبر الرمز الحلقي ، والرموز السطحية بشكل عام، ^{[ 1 ]} من أنواع رموز التثبيت ذات الأهمية البالغة للتطبيق العملي لمعالجة المعلومات الكمومية. في الواقع، ينتمي الرمز الحلقي والرموز السطحية أيضًا إلى فئة خاصة من رموز التثبيت، وهي رموز CSS . ومن الأمثلة على رموز التثبيت التي لا تُصنّف ضمن رموز CSS، رمز تصحيح الأخطاء الخماسي الكيوبت .

تتشابه رموز التثبيت بشكل لافت مع رموز الكتل الخطية الكلاسيكية في طريقة عملها وأدائها. فكما يُمكن تعريف رمز الكتلة الخطية الكلاسيكي بواسطة مصفوفة فحص التكافؤ ، فإن رمز التثبيت الكمومي له أيضًا بنية "فحص تكافؤ" مُحددة بواسطة مُثبتاته . مع ذلك، فإن مُثبتات رمز مكون من $n$ كيوبت هي مُعاملات باولي مكونة $من n$ كيوبت بدلًا من سلاسل بت كلاسيكية مكونة من $n$ بت، ويجب أن تكون جميعها قابلة للتبادل فيما بينها لكي يكون الرمز صالحًا.

تتيح نظرية رموز التثبيت استيراد بعض الرموز الثنائية أو الرباعية الكلاسيكية لاستخدامها كرموز كمومية. مع ذلك، عند استيراد الرمز الكلاسيكي، يجب أن يستوفي شرط الاحتواء الثنائي (أو شرط التعامد الذاتي). وقد وجد الباحثون العديد من الأمثلة على رموز كلاسيكية تستوفي هذا الشرط، لكن معظم الرموز الكلاسيكية لا تستوفيه. ومع ذلك، لا يزال من المفيد استيراد الرموز الكلاسيكية بهذه الطريقة. كما يمكن لصيغة التثبيت المدعومة بالتشابك التغلب على هذه الصعوبة.

توفر رموز الهندسة الجبرية مصدراً آخر لبناء المثبتات. استخدم ماتسوموتو المنحنيات الجبرية للحصول على رموز مثبتة ثنائية جيدة تقاربياً ولتحسين حد أشيكمين-ليتسين-تسفاسمان للرموز الكمومية. ^{[ 2 ]}

تعريف

تعتمد الصيغة المثبتة على مجموعة باولي ذات $n$ $كيوبت Π n$ ، وتستخدم على نطاق واسع حقيقة أن المؤثرات الهرميتية (التي لها عوامل قياسية $\pm1$ بدلاً من $\pm i$ ) في $Π n$ لها قيم ذاتية. $\pm 1$ وأن عاملين في $Π n$ إما يتبادلان أو يتبادلان عكسيًا .

مُثبِّت رمز مُثبِّت ذي $n$ كيوبت فيزيائي هو مُؤثر باولي ذو $n كيوبت$ $P \in Π n$ بحيث تكون جميع حالات الرمز الصالحة $|\psi \rangle$ تقع في الفضاء الذاتي $+1$ لـ P $،$ أي $P|\psi \rangle =|\psi \rangle$ يُعرَّف رمز المُثبِّت بواسطة مُثبِّتاته ، بمعنى أن العكس صحيح أيضًا: حالة $|\psi \rangle$ تكون حالة رمزية صالحة لرمز المثبت إذا وفقط إذا $P|\psi \rangle =|\psi \rangle$ ينطبق هذا على كل مُثبِّت $P.$ لذلك، فإن الفضاء الذاتي المتزامن $+1$ للمُثبِّتات يشكل فضاء الشفرة لرمز المُثبِّت.

يجب أن يكون أي مُثبِّتين $P$ و $Q$ قابلين للتبادل، ويجب أن يكون $PQ$ مُثبِّتًا أيضًا. لذلك، تُشكِّل مُثبِّتات الكود مجموعة المُثبِّتات ${\mathcal {S}}$ ، وهي زمرة جزئية أبيلية من $Π$ $n$ . وبالعكس، أي زمرة جزئية أبيلية من $Π$ $n$ لا تحتوي على $-I^{\otimes n}$ ^{[ ملاحظة 1 ]} هي مجموعة مثبتات صالحة تحدد رمز المثبت.

يُحدد عدد الكيوبتات المنطقية المشفرة في رمز المُثبِّت بحجم فضاء الرموز، والذي بدوره يُحدد بعدد الكيوبتات الفيزيائية وحجم مجموعة المُثبِّت. بالنسبة لرمز مُثبِّت ذي $n$ كيوبت يُشفِّر $k$ كيوبت منطقية (يُشار إليه برمز $[[n, k]]$ )، فإن فضاء الرموز له $2^k$ بُعد، ومجموعة المُثبِّت ${\mathcal {S}}$ يحتوي على $2n - k$ $عنصرًا . بما$ أن جميع العناصر الهرميتية غير الوحدوية في $Πn$ $لها$ رتبة 2 ، ${\mathcal {S}}$ يمكن توليدها بواسطة $n - k$ مولدات مستقلة:

{\mathcal {S}}=\left\langle g_{1},\ldots ,g_{nk}\right\rangle .

يجب أن تكون المولدات مستقلة بمعنى أنه لا يوجد أي منها ناتج عن أي عدد من المولدات الأخرى، أو نفيها (وإلا فإنها ستولد $-I^{\otimes n}$ ). وهي مماثلة لصفوف مصفوفة التحقق من التكافؤ في رمز الكتلة الخطي الكلاسيكي .

أمثلة

رمز التكرار الكلاسيكي

كمثال بسيط، يمكن اعتبار رمز التكرار الكلاسيكي $[3, 1, 3]$ ذو الثلاث بتات رمزًا كميًا مُثبِّتًا $[[3, 1, 1]] . فهو يُشفِّر كيوبتًا منطقيًا واحدًا$ $(k$ $= 1)$ إلى ثلاثة كيوبتات فيزيائية $(n$ $= 3)$ ، ويحمي من خطأ قلب بت واحد (يُمثَّل كمؤثر باولي X<sub> $i$ $</sub>$ $في$ سياق المعلومات الكمية). مع ذلك، ولأنه لا يحمي من أخطاء قلب الطور لكيوبت واحد ( $Z<sub>$ $i</sub>)$ ، فإن مسافة رمزه الكمي هي $d$ $= 1$ .

تحتوي مجموعة المثبتات لرمز التكرار ذي 3 كيوبت على $n - k = 2$ مولدات:

{\begin{array}{ccc}g_{1}&=&Z&Z&I\\g_{2}&=&I&Z&Z\\\end{array}}

يشير المُثبِّت $g1 إلى أنه إذا تم قياس$ الكيوبت الأول والثاني في حالة رمز صالحة في أساس $Z$ ، فستكون النتائج دائمًا متطابقة (أي أن حاصل ضرب القيم الذاتية لـ $Z$ سيكون دائمًا $+1$ ). وبالمثل، $يشير$ g2 إلى أن $قياس$ $أساس Z$ على الكيوبت الثاني والثالث يُعطي دائمًا نفس النتيجة. ومن غير المستغرب أن تكون مساحة رمز هذا الكود هي

{\text{Span}}(|000\rangle ,|111\rangle )

.

عادةً، الحالة الفيزيائية $|000\rangle$ و $|111\rangle$ يتم تحديدها مع $|0\rangle$ و $|1\rangle$ حالات الكيوبت المنطقي على التوالي (غالباً ما تُكتب على النحو التالي) $|{\overline {0}}\rangle$ و $|{\overline {1}}\rangle$ لتمييزها عن الحالات الفيزيائية). وباعتبارها شفرة كمومية، فإن فضاء الشفرة يتضمن أيضًا تراكبات من $|{\overline {0}}\rangle$ و $|{\overline {1}}\rangle$ ، مثل $|{\overline {+}}\rangle =|000\rangle +|111\rangle$ و $|{\overline {-}}\rangle =|000\rangle -|111\rangle$ لاحظ أن خطأ انعكاس الطور $Z i$ على أي كيوبت فيزيائي واحد سيتغير $|{\overline {+}}\rangle$ ل $|{\overline {-}}\rangle$ والعكس صحيح.

رمز خماسي الكيوبت

من أمثلة رموز التثبيت رمز التثبيت الخماسي $[[5, 1, 3]]$ . يقوم هذا الرمز بتشفير 1 كيوبت منطقي $(k = 1)$ إلى 5 كيوبتات فيزيائية $(n = 5)$ . تحتوي مجموعة التثبيت الخاصة به على 4 مولدات $(n - k = 4)$ .

{\begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\end{array}}

كما سنوضح لاحقًا، يحمي هذا الرمز من خطأ أحادي الكيوبت عشوائي، وبالتالي فإن مسافة الرمز $d = 3$ .

عوامل التشغيل المنطقية

توجد طرق عديدة لتقسيم فضاء ترميز ثنائي الأبعاد $(2k)$ إلى $k$ كيوبت منطقي، وإحدى طرق تحديد هذا التقسيم هي إعطاء مُعاملات باولي $Z$ و $X$ لكل كيوبت منطقي. بالنسبة لرموز المُثبِّت، توجد تقسيمات تكون فيها مُعاملات $Z$ و $X$ المنطقية هذه أيضًا عناصر من $Π n$ .

بحسب التعريف، يجب أن يقوم عامل منطقي $P$ بربط حالة رمز صالحة $|\psi \rangle$ إلى حالة رمز صالحة $P|\psi \rangle$ وهذا يعني أنه بالنسبة لكل مُثبِّت $S$ ، $SP|\psi \rangle =P|\psi \rangle =PS|\psi \rangle$ (المساواة الثانية صحيحة لأن $|\psi \rangle$ (وهي نفسها حالة رمزية صالحة)، وهي صحيحة دائمًا عندما يتبادل $P$ و $S$ ولا تكون صحيحة أبدًا عندما يكونان مضادين للتبادل. لذلك فإن مجموعة عوامل التشغيل المنطقية الصالحة في $Π n$ هي ⁠ $C({\mathcal {S}})$ ، مركزية ${\mathcal {S}}$ (أي، المجموعة الفرعية من العناصر التي تتبادل مع جميع أعضاء ⁠ ${\mathcal {S}}$ ( المعروف أيضًا باسم المبدل).

مع ذلك، لا تؤثر جميع هذه العمليات المنطقية بشكل غير بديهي على الكيوبت المنطقي. على وجه الخصوص، بما أن ${\mathcal {S}}$ هي مجموعة فرعية أبيلية، ${\mathcal {S}}$ وهو موجود أيضًا في $C({\mathcal {S}})$ في الواقع ، عندما $S\in {\mathcal {S}}$ ، $S|\psi \rangle =|\psi \rangle$ ، مما يعني أن $S$ تُنفذ عامل الهوية المنطقي $I^{\otimes k}$ علاوة على ذلك، بالنسبة لأي عامل منطقي آخر $P$ ، $فإن PS$ يعمل بشكل مطابق لـ $P$ على حالة الكود، وبالتالي فهما ينفذان نفس العامل المنطقي. يؤدي استخراج هذا التكافؤ إلى الحصول على مجموعة القسمة ⁠ $C({\mathcal {S}})/{\mathcal {S}}$ ، وهو متماثل مع $Π k$ . لذلك يمكن اختيار جميع $عوامل باولي المنطقية ذات k$ كيوبت لتكونعوامل باولي الفيزيائية $ذات n كيوبت.$

لتحديد تفكيك الكيوبت المنطقي بشكل صريح، عادةً ما يتم اختيار عوامل منطقية Z1 $،$ $X1$ $، ... ، Zk ، Xk \in Πn .$ كل عامل من هذه العوامل ، $Zi$ $أو Xi$ $،$ $يمثل$ فئة التكافؤ $.$ ${\overline {Z_{i}}}{\mathcal {S}}$ أو ${\overline {X_{i}}}{\mathcal {S}}$ تطبيق نفس العامل المنطقي. يجب أن تستوفي هذه العوامل الشروط التالية:

جميع $المؤثرات$ $Z1$ $،$ $X1$ $،$ $...،$ $Zk، Xk، g1، ...، gn-$ $k$ $مستقلة$ $:$ $لا$ $يمكن$ $أن$ $يكون$ $حاصل$ $ضرب$ $أي$ مجموعة $جزئية$ $غير$ فارغة من هذه المؤثرات مضاعفًا قياسيًا لـ $I^{\otimes n}$ .
من بين $Z1 ، X1 ، ...، Zk، Xk، g1، ...، gn- k ، فإن الأزواج الوحيدة التي تتبادل عكسيًا هي Zi و$ Xi لنفس $i .$ $أما$ الأزواج $الأخرى$ $-$ $عاملان منطقيان على كيوبتات منطقية مختلفة،$ $أو$ عامل منطقي واحد ومولد استقرار واحد، أو مولدان استقرار - فجميعها تتبادل.

أمثلة

بالنسبة لرمز التكرار ثلاثي الكيوبت الموصوف أعلاه، يمكن اختيار مولدات المثبت (المكررة للتسهيل) وممثلي العمليات المنطقية على النحو التالي:

{\begin{array}{ccc}g_{1}&=&Z&Z&I\\g_{2}&=&I&Z&Z\\{\overline {Z}}&=&Z&I&I\\{\overline {X}}&=&X&X&X\end{array}}

$تُعدّ$ $عوامل$ $Z$ الأخرى أحادية الكيوبت $تطبيقات$ $بديلة لعامل Z$ المنطقي : $Z₂ = Zg₁ ،$ $Z₃ = Zg₁g₂ .$ ويتوافق هذا مع الملاحظة السابقة بأن أي خطأ في قلب $الطور$ أحادي $الكيوبت$ $يتغير$ $|{\overline {+}}\rangle$ ل $|{\overline {-}}\rangle$ والعكس صحيح. ومن السهل أيضًا التحقق من أن تطبيق $X = XXX$ ، أي قلب البتات الثلاثة، يُغير $|{\overline {0}}\rangle$ ل $|{\overline {1}}\rangle$ والعكس صحيح.

بالنسبة لرمز الكيوبتات الخمسة، يتم عادةً اختيار ممثلي المعامل المنطقي على النحو التالي:

{\begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\\{\overline {Z}}&=&Z&Z&Z&Z&Z\\{\overline {X}}&=&X&X&X&X&X\end{array}}

مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذه ليست المرشحات التمثيلية للمؤثر المنطقي ذات الوزن الأدنى (عدد عوامل باولي غير $I$ ). على سبيل المثال، $Z g 1 = - YIIYZ$ وزنه 3.

شروط تصحيح أخطاء المثبت

من المفاهيم الأساسية في نظرية تصحيح الأخطاء الكمومية أنه يكفي تصحيح مجموعة أخطاء منفصلة ذات دعم في مجموعة باولي $\Pi ^{n}$ لنفترض أن الأخطاء التي تؤثر على حالة كمومية مشفرة هي مجموعة جزئية ${\mathcal {E}}$ من مجموعة باولي $\Pi ^{n}$ :

{\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.

لأن ${\mathcal {E}}$ و ${\mathcal {S}}$ كلاهما مجموعتان فرعيتان من $\Pi ^{n}$ خطأ $E\in {\mathcal {E}}$ إما أن يتنقل أو يتجنب التنقل مع أي عنصر معين $S\in {\mathcal {S}}$ إذا كان العنصر $E$ مضادًا للتبديل مع العنصر $S$ ، فإن $SE|\psi \rangle =-ES|\psi \rangle =-E|\psi \rangle$ وهذا يعني أن $E|\psi \rangle$ $يقع E$ في الفضاء الذاتي -1 $للمصفوفة$ S $وليس$ في الفضاء الذاتي +1 $،$ وبالتالي يمكن الكشف عنه بقياس $S.$ في الواقع، يكفي قياس كل مولد مُثبِّت $g$ ، لأنه إذا كان $E$ يتبادل مع كل $g$ ، فسيكون $E$ أيضًا يتبادل مع حاصل ضرب أي عدد منها. في هذه الحالة $E\in C({\mathcal {S}})$ هو عامل منطقي، وبالتالي لا يمكن اكتشافه بواسطة الكود.

لكن، $E\in {\mathcal {S}}$ وهي حالة خاصة أخرى، حيث يُطبّق $E$ عامل الهوية المنطقي: على الرغم من أنه غير قابل للكشف، إلا أنه لا يُفسد الحالة المُشفّرة. وينطبق هذا أيضًا على أي مُضاعف عددي لـ $E\in {\mathcal {S}}$ بما أن المرحلة العالمية ليس لها تأثير مادي، فإننا نُعرّف الخطأ المنطقي غير القابل للكشف $E$ بأنه خطأ غير قابل للكشف ولكنه يُفسد الحالة المُشفّرة، أي

E\in C({\mathcal {S}})\setminus \{+1,+i,-1,-i\}\otimes {\mathcal {S}}=C({\mathcal {S}})\setminus C(C({\mathcal {S}})).

تُقدّم المساواة أعلاه توصيفًا بديلًا للخطأ المنطقي غير القابل للكشف $E$ : يجب أن يكون $E$ تبادليًا مع جميع المُثبِّتات، ولكن ليس مع جميع المُعاملات المنطقية. غالبًا ما يكون هذا التوصيف أكثر ملاءمة، إذ يكفي التحقق من التبادلية مع المُولِّدات $Z₁, X₁, ..., Zₖ, Xₖ, g₁$ $,$ $..., gₙ₋ₖ ، بدلًا من حلّ نظام من المعادلات الخطية$ $لتحديد$ $ما$ $إذا$ $كان$ E $ناتجًا$ $عن$ $مجموعة$ جزئية من ${$ $gᵢ} حتى$ الطور العام.

من الناحية التشغيلية، يمكن قياس كل مولد مُثبِّت $g عبر$ قياس التكافؤ دون التأثير على الحالات في فضاء الشفرة. وتُعرف مجموعة نتائج قياس كل $g باسم$ المتلازمة . $\mathbf {r}$ ، ممثلة كمتجه ثنائي $\mathbf {r}$ مع الطول $n-k$ تشير عناصرها إلى ما إذا كان الخطأ $E$ يتبادل أو يتبادل عكسيًا مع كل مولد مثبت $g$ .

شروط كنيل-لافلام

عند استخدام رمز التثبيت كرمز لتصحيح الأخطاء $،$ يجب أيضًا اختيار تصحيح $E1 †$ ^{[ ملاحظة 2} $]$ ^لكل متلازمة. إذا وُجد خطأ محتمل آخر $E2$ $له$ نفس متلازمة $E1$ $،$ فقد يتبقى بعد التصحيح خطأ متبقٍ $E1 † E2 .$ $إن$ شرط أن $يكون$ $لـ$ $E2$ $نفس$ متلازمة $E1$ يُعادل أن $E1$ $†$ $E2$ غير قابل للكشف، $أي$ $E_{1}^{\dagger }E_{2}\in C({\mathcal {S}})$ مع ذلك، إذا لم يُفسد الخطأ $E1 † E2$ البتات المنطقية، فسيكون تصحيح الخطأ ناجحًا على أي حال. لذا، يمكن لرمز التثبيت تصحيح مجموعة من أخطاء باولي بشكل $مثالي$ $.$ ${\mathcal {E}}$ طالما لا يوجد $E_{1},E_{2}\in {\mathcal {E}}$ بحيث يكون $E 1 † E 2$ خطأً منطقياً غير قابل للكشف. ^{[ ملاحظة 3 ]}

أمثلة

يمكن لرمز التكرار ثلاثي الكيوبتات تصحيح أخطاء قلب البت أحادي الكيوبت، مما يعني أنه يفي بشروط تصحيح الأخطاء لـ ${\mathcal {E}}=\{I,X_{1},X_{2},X_{3}\}$ في الواقع، الخطأ المنطقي الوحيد غير القابل للكشف والذي يتكون فقط من $I$ و $X$ هو $XXX$ بوزن 3، وحاصل ضرب خطأين في ${\mathcal {E}}$ ويمكن التحقق من ذلك أيضاً عن طريق فحص التصحيحات المقابلة لكل متلازمة بشكل صريح:

متلازمة	تصحيح
$+1، +1$	$أنا$
$-1، +1$	$X 1$
$-1، -1$	$X 2$
$+1، -1$	$X 3$

يمكن لرمز الكيوبتات الخمسة تصحيح أي خطأ في كيوبت واحد، أي أنه يفي بشروط تصحيح الخطأ لـ ${\mathcal {E}}=\{I,X_{i},Y_{i},Z_{i}\}$ ( $1 + 5 \times 3 = 16$ خطأً مميزًا). يمكن التحقق من ذلك إما بإثبات أن جميع الأخطاء المنطقية غير القابلة للكشف في هذا الكود لها وزن لا يقل عن 3، أو بالتحقق صراحةً من المتلازمات البالغ عددها $2^4 = 16.$ بالنسبة لرمز الكيوبتات الخمسة، تتوافق كل متلازمة مع خطأ واحد في ${\mathcal {E}}$ ، على الرغم من أن هذا ليس نموذجيًا لرموز التثبيت: بالنسبة للرموز مثل رمز السطح مع مسافات رمز عالية ومثبتات ذات وزن منخفض نسبيًا، فإن متلازمة واحدة عادة ما تتوافق مع العديد من الأخطاء القابلة للتصحيح والتي تختلف عن بعضها البعض بواسطة المثبتات.

العلاقة بين زمرة باولي والمتجهات الثنائية

تمتلك مجموعة باولي تمثيلاً متجهياً ثنائياً يعتمد على التعيين التالي:

⁠

I\to 00,\;X\to 01,\;Y\to 11,\;Z\to 10.

⁠

هذه الخريطة $\Pi ^{n}$ إلى المتجهات في $(\mathbb {Z} _{2})^{2n}$ بحيث يكون ضرب معاملات باولي مكافئًا لجمع المتجهات الثنائية حتى طور عالمي. علاوة على ذلك ، $(\mathbb {Z} _{2})^{2n}$ يمكن تجهيزها بجبر تماثلي ، بحيث يشير حاصل الضرب التماثلي لمتجهين ثنائيين إلى ما إذا كانت عوامل باولي المقابلة تتبادل أم لا.

يُعدّ التمثيل الثنائي والجبر التبادلي المذكوران أعلاه مفيدين بشكل خاص في توضيح العلاقة بين تصحيح الأخطاء الخطية الكلاسيكية ورموز التثبيت الكمومي. في لغة الفضاءات المتجهة التبادلية ، يُقابل الفضاء التبادلي مجموعًا مباشرًا لجبر باولي (أي الكيوبتات المشفرة)، بينما يُقابل الفضاء المتناحي مجموعة من المثبتات.

ملحوظات

↑ هذا الشرط يعني أن جميع أعضاء ${\mathcal {S}}$ هيرميتية، لأن العنصر المضاد للهرميتي في $Π n$ مربع إلى $-I^{\otimes n}$ .
↑ على الرغم من أن أخطاء باولي كلها ذاتية الترافق ، إلا أننا هنا نستخدم رموزًا تتوافق مع نظرية تصحيح الأخطاء الكمومية الأكثر عمومية.
↑ في معظم الحالات، ${\mathcal {E}}$ يتم تعريفها بطريقة تشمل $I^{\otimes n}$ يتم اختيار هذا الخيار كتصحيح في حالة عدم حدوث أي خطأ. وبهذه الطريقة، لا تحتاج حالة عدم وجود خطأ إلى معاملة خاصة.

مراجع

↑ "ما هو "الرمز السطحي" في سياق تصحيح الأخطاء الكمومية؟" . موقع Quantum Computing Stack Exchange . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 يناير 2024 .
↑ ماتسوموتو، ريوتارو (يوليو 2002). "تحسين حد أشيكمين-ليتسين-تسفاسمان للرموز الكمومية". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 48 (7): 2122-2124 . arXiv : quant-ph/0107129 . doi : 10.1109/TIT.2002.1013156 .

د. غوتسمان، "رموز التثبيت وتصحيح الأخطاء الكمومية"، quant-ph/9705052، أطروحة دكتوراه، معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
شور، بيتر و. (1995-10-01). "مخطط لتقليل فقدان الترابط في ذاكرة الحاسوب الكمومي". مجلة Physical Review A ، 52 (4). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): R2493– R2496. Bibcode : 1995PhRvA..52.2493S . doi : 10.1103/physreva.52.r2493 . ISSN 1050-2947 . PMID 9912632 .
كالدربانك، أركنساس؛ شور، بيتر دبليو. (1996-08-01). "توجد رموز جيدة لتصحيح الأخطاء الكمومية". مجلة Physical Review A. 54 ( 2). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 1098-1105 . arXiv : quant-ph/9512032 . Bibcode : 1996PhRvA..54.1098C . doi : 10.1103 / physreva.54.1098 . ISSN 1050-2947 . PMID 9913578. S2CID 11524969 .
ستين، أ.م. (29 يوليو 1996). "رموز تصحيح الأخطاء في نظرية الكم". رسائل المراجعة الفيزيائية . 77 (5). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 793-797 . رمز Bibcode : 1996PhRvL..77..793S . doi : 10.1103/physrevlett.77.793 . ISSN 0031-9007 . PMID 10062908 .
أ. كالدربانك، إ. راينز، ب. شور، ون. سلون، "تصحيح الأخطاء الكمومية باستخدام رموز على حقل غالوا GF(4)"، مجلة IEEE للمعاملات في نظرية المعلومات، المجلد 44، الصفحات 1369-1387، 1998. متاح على الرابط التالي: https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006

[3] هذا الشرط يعني أن جميع أعضاء ${\mathcal {S}}$ هيرميتية، لأن العنصر المضاد للهرميتي في $Π n$ مربع إلى $-I^{\otimes n}$ .

[4] على الرغم من أن أخطاء باولي كلها ذاتية الترافق ، إلا أننا هنا نستخدم رموزًا تتوافق مع نظرية تصحيح الأخطاء الكمومية الأكثر عمومية.

[5] في معظم الحالات، ${\mathcal {E}}$ يتم تعريفها بطريقة تشمل $I^{\otimes n}$ يتم اختيار هذا الخيار كتصحيح في حالة عدم حدوث أي خطأ. وبهذه الطريقة، لا تحتاج حالة عدم وجود خطأ إلى معاملة خاصة.

[1] "ما هو "الرمز السطحي" في سياق تصحيح الأخطاء الكمومية؟" . موقع Quantum Computing Stack Exchange . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 يناير 2024 .

[2] ماتسوموتو، ريوتارو (يوليو 2002). "تحسين حد أشيكمين-ليتسين-تسفاسمان للرموز الكمومية". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 48 (7): 2122-2124 . arXiv : quant-ph/0107129 . doi : 10.1109/TIT.2002.1013156 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2

[ ملاحظة 3 ]