رمز مزدوج

في نظرية الترميز ، الشفرة الثنائية للشفرة الخطية

${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

هو الكود الخطي المحدد بواسطة

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\}}$

أين

${\displaystyle \langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}c_{i}}$

هو حاصل ضرب قياسي. في مصطلحات الجبر الخطي ، الشفرة الثنائية هي مُبيد C بالنسبة للصيغة الثنائية الخطية${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$. يكون مجموع أبعاد C وثنائيتها دائمًا مساويًا للطول n :

${\displaystyle \dim C+\dim C^{\perp }=n.}$

مصفوفة المولد للرمز الثنائي هي مصفوفة التحقق من التكافؤ للرمز الأصلي، والعكس صحيح. الرمز الثنائي للرمز الثنائي هو دائمًا الرمز الأصلي.

الشفرة الذاتية المزدوجة هي شفرة تمثل ثنائيتها. وهذا يعني أن n عدد زوجي وأن بُعد الشفرة C يساوي n /2. إذا كانت الشفرة الذاتية المزدوجة بحيث يكون وزن كل كلمة من كلمات الشفرة مضاعفًا لثابت ما، فإن الشفرة الذاتية المزدوجة تكون بحيث يكون وزن كل كلمة من كلمات الشفرة مضاعفًا لثابت ما.${\displaystyle c>1}$إذا كان الأمر كذلك، فهو أحد الأنواع الأربعة التالية: ^{[ 1 ]}

• رموز النوع الأول هي رموز ثنائية ذاتية التناظر، وليست زوجية مضاعفة . رموز النوع الأول زوجية دائمًا (لكل كلمة رمزية وزن هامينغ زوجي ).
• رموز النوع الثاني هي رموز ثنائية ذاتية الازدواج وهي زوجية مضاعفة.
• تُعدّ رموز النوع الثالث رموزًا ثلاثية ذاتية التناظر. كل كلمة رمزية في رمز النوع الثالث لها وزن هامينغ قابل للقسمة على 3.
• رموز النوع الرابع هي رموز مزدوجة ذاتية على F _4. وهذه الرموز زوجية أيضًا.

توجد رموز من النوع الأول والثاني والثالث والرابع فقط إذا كان الطول n من مضاعفات 2 أو 8 أو 4 أو 2 على التوالي.

إذا كان للرمز الذاتي المزدوج مصفوفة مولدة على الشكل${\displaystyle G=[I_{k}|A]}$ثم الشفرة المزدوجة${\displaystyle C^{\perp }}$يحتوي على مصفوفة مولدة${\displaystyle [-{\bar {A}}^{T}|I_{k}]}$، أين${\displaystyle I_{k}}$هو${\displaystyle (n/2)\times (n/2)}$مصفوفة الهوية و${\displaystyle {\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}}$.

• MATH32031: نظرية الترميز - الترميز المزدوج - ملف PDF مع بعض الأمثلة والشروحات