معاملات أينشتاين

في الفيزياء الذرية والجزيئية والبصرية ، تُعرَّف معاملات أينشتاين بأنها كميات تصف احتمالية امتصاص أو انبعاث فوتون من ذرة أو جزيء. ^{[ 1 ]} ترتبط معاملات أينشتاين A بمعدل الانبعاث التلقائي للضوء، بينما ترتبط معاملات أينشتاين B بامتصاص الضوء وانبعاثه المحفز . في هذا المقال، يُقصد بكلمة "ضوء" أي إشعاع كهرومغناطيسي ، وليس بالضرورة ضمن الطيف المرئي .

سميت هذه المعاملات على اسم ألبرت أينشتاين ، الذي اقترحها في عام 1916.

في القرن التاسع عشر، أُجريت قياسات عديدة لكمية الضوء التي تمتصها غازات مختلفة بتغيير تردد الضوء الساقط عليها، وتُعرف هذه القياسات بأطياف الامتصاص ، كما أُجريت قياسات للضوء المنبعث من غازات مُنشَّطة، مثلاً باللهب، وتُعرف هذه القياسات بأطياف الانبعاث . وحتى نهاية ذلك القرن، كان يُعتقد أن هذه الأطياف ناتجة عن اهتزازات الذرات. وفي عام ١٩٠٧، اقترح آرثر ويليام كونواي أن تغير حالة الإلكترون في إلكترون واحد يُنتج خطًا طيفيًا واحدًا. ومن ثم، فإن الخطوط الطيفية المميزة العديدة في الأطياف ناتجة عن وجود ذرات متعددة ذات إلكترونات في حالات مختلفة. ^{[ ٢ ] : ١٠٦}

ظهرت نماذج أفضل للذرة بعد أن أثبت إرنست رذرفورد أنها تحتوي على نواة ذرية مركزة محاطة بالإلكترونات. اقترح جون ويليام نيكلسون في عام 1911 أن الخطوط الطيفية المميزة تمثل انتقالات الإلكترونات التي تقتصر على تغيرات منفصلة في الزخم الزاوي . ثم في عام 1913، طور نيلز بور نموذجًا كاملاً للانتقالات الكمية بين مستويات طاقة الإلكترون، والذي أعاد إنتاج ملاحظات الخطوط الطيفية الذرية بشكل كبير. ^{[ 2 ] : 109}

في نموذج بور، ينطلق فوتون ذو طاقة تساوي الفرق بين مستويين طاقيين (E₂ - E₁) أو يمتصه الذرة. ويرتبط التردد _ν الذي يظهر عنده _الخط الطيفي بطاقة الفوتون وفقًا لشرط بور للتردد: E₂ - E₁ = hν، حيث h ثابت بلانك _{. [} 3 ] ربطت نظرية بور ^{حالات الذرات بطاقة} الخطوط الطيفية المميزة، لكنها لم توضح سبب قوة بعض الخطوط وضعف أخرى.

قدّم ألبرت أينشتاين المعاملات في عامي 1916 و1917 في سلسلة من الأوراق البحثية التي شرح فيها نظريته الكمومية للإشعاع المتفاعل مع المادة. ^{[ 4 ] [ 5 ] : 16 [ 6 ] [ 7 ]} اعتمد أينشتاين أحد الافتراضات الكمومية من نموذج بور للذرات، وهو أنها موجودة في حالات مستقرة . لكل حالة طاقة. يعالج أينشتاين التفاعل بين هذه الذرات ومجال الإشعاع باستخدام مذبذب ماكس بلانك الكلاسيكي ، مستبدلاً بذلك المذبذبات غير المحددة في قانون بلانك بذرات بور. تحدد المرحلة النسبية للمذبذب والمجال الكهرومغناطيسي اتجاه تدفق الطاقة أثناء التفاعل. يتناسب احتمال التفاعل طرديًا مع كثافة التدفق الطيفي للمجال الكهرومغناطيسي.${\displaystyle \rho (\nu ,T).}$ بافتراض وجود مستويين فقط للطاقة،${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$، يتوافق الامتصاص مع${\displaystyle a\rightarrow b}$مع ثبات التناسب،${\displaystyle B_{ab}}$، والانبعاث يتوافق مع${\displaystyle b\rightarrow a}$مع ثبات التناسب،${\displaystyle B_{ba}}$أصبح هذا النوع من الانبعاثات يُطلق عليه اسم الانبعاث المحفز . ويضيف أينشتاين ثابتًا ثالثًا.${\displaystyle A_{ba}}$، بغض النظر عن كثافة التدفق، وهو ما يتوافق مع الانبعاث التلقائي في غياب المجال. ^{[ 8 ] [ 9 ] : 406}

استنتج بول ديراك المعاملات في ورقة بحثية عام 1927 بعنوان "النظرية الكمية لانبعاث وامتصاص الإشعاع". ^{[ 10 ] [ 11 ]}

معاملات أينشتاين هي احتمالات ثابتة لكل ذرة مرتبطة بزمن معين، ولا تعتمد على حالة الغاز الذي تنتمي إليه الذرات. لذلك، فإن أي علاقة يمكننا استنتاجها بين هذه المعاملات، مثلاً عند حالة التوازن الديناميكي الحراري، ستكون صالحة بشكل عام.

عند الاتزان الديناميكي الحراري، يكون لدينا توازن بسيط، حيث يكون التغير الصافي في عدد أي ذرات مثارة صفرًا، إذ يتوازن هذا التغير مع الفقد والكسب الناتجين عن جميع العمليات. أما بالنسبة للانتقالات بين المستويات المقيدة، فيكون لدينا توازن تفصيلي أيضًا، والذي ينص على أن التبادل الصافي بين أي مستويين يكون متوازنًا. وذلك لأن احتمالات الانتقال لا تتأثر بوجود أو غياب ذرات مثارة أخرى. يتطلب التوازن التفصيلي (الصحيح فقط عند الاتزان) أن يكون التغير الزمني في عدد الذرات في المستوى 1 نتيجة للعمليات الثلاث المذكورة أعلاه صفرًا. $${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}\rho (\nu )-B_{12}n_{1}\rho (\nu ).}$$

إلى جانب الموازنة التفصيلية، عند درجة الحرارة T، يمكننا استخدام معرفتنا بتوزيع طاقة التوازن للذرات، كما هو مذكور في توزيع ماكسويل-بولتزمان ، وتوزيع التوازن للفوتونات، كما هو مذكور في قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود، لاستخلاص علاقات عالمية بين معاملات أينشتاين.

من توزيع بولتزمان لدينا لعدد الأنواع الذرية المثارة i : $${\displaystyle {\frac {n_{i}}{n}}={\frac {g_{i}e^{-E_{i}/kT}}{Z}},}$$ حيث n هي الكثافة العددية الإجمالية للأنواع الذرية، المثارة وغير المثارة، و k هو ثابت بولتزمان ، و T هي درجة الحرارة .${\displaystyle g_{i}}$يمثل ε انحلال (أو تعددية) الحالة i ، و Z دالة التوزيع . من قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود عند درجة حرارة T، لدينا للإشعاع الطيفي (الإشعاع هو الطاقة لكل وحدة زمن لكل وحدة زاوية مجسمة لكل وحدة مساحة مسقطة، عند التكامل على فترة طيفية مناسبة) ^{[ 12 ]} عند التردد ν$${\displaystyle \rho _{\nu }(\nu ,T)=F(\nu ){\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},}$$ حيث ^{[ 13 ]}$${\displaystyle F(\nu )={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}},}$$ أين${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء و${\displaystyle h}$هو ثابت بلانك .

بإدخال هذه التعبيرات في معادلة الموازنة التفصيلية مع تذكر أن E ₂ − E ₁ = hν ينتج ما يلي: $${\displaystyle A_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}+B_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}}=B_{12}g_{1}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}},}$$ أو $${\displaystyle A_{21}g_{2}(1-e^{-h\nu /kT})+B_{21}g_{2}F(\nu )e^{-h\nu /kT}=B_{12}g_{1}F(\nu ).}$$

يجب أن تكون المعادلة أعلاه صحيحة عند أي درجة حرارة، لذا من${\displaystyle T\to \infty }$يحصل المرء $${\displaystyle B_{21}g_{2}=B_{12}g_{1},}$$ ومن${\displaystyle T\to 0}$$${\displaystyle A_{21}g_{2}=B_{21}g_{2}F(\nu ).}$$

لذلك، فإن معاملات أينشتاين الثلاثة مترابطة فيما بينها من خلال $${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}=F(\nu )}$$ و $${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}.}$$

عند إدخال هذه العلاقة في المعادلة الأصلية، يمكن أيضاً إيجاد علاقة بين${\displaystyle A_{21}}$و${\displaystyle B_{12}}$، بما في ذلك قانون بلانك .

قوة المذبذب${\displaystyle f_{12}}$يتم تعريفها من خلال العلاقة التالية مع المقطع العرضي${\displaystyle \sigma }$للامتصاص: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}c}}\,f_{12}\,\phi _{\nu }={\frac {\pi e^{2}}{2\varepsilon _{0}m_{e}c}}\,f_{12}\,\phi _{\omega },}$$

أين${\displaystyle e}$هي شحنة الإلكترون،${\displaystyle m_{e}}$كتلة الإلكترون، و${\displaystyle \phi _{\nu }}$و${\displaystyle \phi _{\omega }}$هي دوال توزيع معيارية في التردد والتردد الزاوي على التوالي. وهذا يسمح بالتعبير عن جميع معاملات أينشتاين الثلاثة بدلالة قوة المذبذب الواحد المرتبطة بخط الطيف الذري المحدد: $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{12}&={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}h\nu }}f_{12},\\[1ex]B_{21}&={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}h\nu }}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}f_{12},\\[1ex]A_{21}&={\frac {2\pi \nu ^{2}e^{2}}{\varepsilon _{0}m_{e}c^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}f_{12}.\end{aligned}}}$$

يمكن حساب قيم المعاملين A وB باستخدام ميكانيكا الكم، حيث تُستخدم تقريبات ثنائية القطب في نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن. في حين أن حساب المعامل B سهل، فإن حساب المعامل A يتطلب استخدام نتائج التكميم الثاني . ويعود ذلك إلى أن النظرية المُطوَّرة باستخدام تقريب ثنائي القطب ونظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن تُعطي وصفًا شبه كلاسيكي للانتقال الإلكتروني، والذي يؤول إلى الصفر عندما تؤول مجالات الاضطراب إلى الصفر. أما المعامل A، الذي يتحكم في الانبعاث التلقائي، فلا ينبغي أن يؤول إلى الصفر عند اضمحلال مجالات الاضطراب. وتُعطى نتائج معدلات انتقال المستويات الإلكترونية المختلفة نتيجة الانبعاث التلقائي كما يلي (بوحدات النظام الدولي للوحدات): ^{[ 14 ] [ 1 ] [ 15 ]}$${\displaystyle w_{i\to f}^{\text{s.emi}}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}\left|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle \right|^{2}=A_{if}}$$

بالنسبة لمعامل B، فإن التطبيق المباشر لتقريب ثنائي القطب في نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن ينتج عنه (بوحدات النظام الدولي للوحدات): ^{[ 16 ] [ 15 ]}$${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{\text{abs}}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}\left|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle \right|^{2}=B_{if}^{\text{abs}}u(\omega _{fi})}$$$${\displaystyle w_{i\to f}^{\text{emi}}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}\left|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle \right|^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$$

لاحظ أن صيغة معدل الانتقال تعتمد على مؤثر عزم ثنائي القطب. أما بالنسبة للتقريبات ذات الرتبة الأعلى، فإنها تتضمن عزم رباعي القطب ومصطلحات أخرى مماثلة.

هنا، يتم اختيار معاملات B لتتوافق مع${\displaystyle \omega }$دالة توزيع الطاقة. غالبًا ما يتم تمييز هذه التعريفات المختلفة لمعاملات B بواسطة رمز علوي، على سبيل المثال،${\textstyle B_{21}^{f}={\frac {B_{21}^{\omega }}{2\pi }}}$أين${\textstyle B_{21}^{f}}$المصطلح يتوافق مع التوزيع التكراري و${\textstyle B_{21}^{\omega }}$المصطلح يتوافق مع${\displaystyle \omega }$التوزيع. ^{[ 1 ]} تختلف صيغ معاملات B عكسيًا عن توزيع الطاقة المختار، بحيث يكون معدل الانتقال هو نفسه بغض النظر عن الاصطلاح.

وبالتالي، يتم حساب معاملات AB باستخدام تقريب ثنائي القطب على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{ab}&={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}\left|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle \right|^{2}\\[1ex]B_{ab}&={\frac {\pi e^{2}}{3\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}\left|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle \right|^{2}\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$وتتوافق معاملات B مع${\displaystyle \omega }$دالة توزيع الطاقة.

وبالتالي، يتم استنتاج النسب التالية أيضًا: $${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$$و$${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$$

• أطياف الانبعاث من مصادر ضوئية مختلفة